Giá trị lớn nhất GTLN và giá trị nhỏ nhất GTNN của một biểu thức chứa nhiều hơn một biến số là một phần trong cấu trúc ñề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao ñẳng, ñây là loại toán tương ñ
Trang 1BÀI VIẾT ĐƯỢC ĐĂNG TRÊN ĐẶC SAN SỐ 5 TOÁN HỌC & TUỔI TRẺ
THÁNG 11 NĂM 2012
Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức chứa nhiều hơn một biến
số là một phần trong cấu trúc ñề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao ñẳng, ñây là loại toán tương ñối khó có nhiều dạng và nhiều phương pháp giải ñược học ở chương trình THPT Trong bài viết này tác giả trình bày phương pháp ñưa biểu thức chứa nhiều hơn một biến số về biểu thức
theo một biến số mới giả sử theo t và sau ñó sử dụng công cụ ñạo hàm, thiết lập bảng biến thiên
của hàm sốy= f t( )trên tập xác ñịnh của nó, từ ñó suy ra GTLN và GTNN của biểu thức cần tìm
SỬ DỤNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM
ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA BIỂU THỨC NHIỀU BIẾN PHẠM TRỌNG THƯ
(GV THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp)
Thí dụ 1 Xét hai số thực không âm x y, thỏa mãn ñiều kiện x+ =y 1 Tìm GTLN và GTNN của biểu thứcA=(5x2+4 )(5y y2+4 )x +40xy
Lời giải
Ta có A=25x y2 2+20(x3+y3)+56xy
2 2
2 2
25 20 ( ) 3 ( ) 56
25 20(1 3 ) 56 1)
25 4 20
(do
Đặt xy=tthì 0 1
4
t
≤ ≤
2 1 0
xy
Ta ñược A=25t2− +4t 20
Xét hàm số f t( )=25t2− +4t 20với 0 1
4
t
≤ ≤ , có f t′ =( ) 50t−4, ( ) 0 2
25
Bảng biến thiên của hàm sốf t( )trên 0; 1 :
4
t 0 2
25 1
4 ( )
f t′ − 0 +
( )
f t
20 329
16
496
25
Từ ñó suy ra 496 ( ) 329,
25 ≤ f t ≤ 16 với 0 1
4
t
≤ ≤ ⋅
Do ñó GTLN của A bằng 329
16 , ñạt ñược khi và chỉ khi
1
1 1
2 4
xy
+ =
⇔ = =
=
Trang 2và GTNN của A bằng 496
25 , ñạt ñược khi và chỉ khi
1 2 25
xy
+ =
=
5 17 10
5 17 10
x y
−
hoặc
5 17
10
5 17
10
x
y
⋅
+
=
Thí dụ 2 Xét ba số thực dương x y z, , Tìm GTNN của biểu thức 2 ( 2 2 2)
2
xyz
xyz
Lời giải
Viết lại biểu thức B dưới dạng
2 2 2
B
xyz
với mọi số x y z, , ta luôn có bất ñẳng thức x2+y2+z2≥xy+yz+zx
Đẳng thức xảy ra khi và chi khi x= =y z
Do ñó
2 2 2
B
xyz
B
⇒ ≥ + + + + +
Đẳng thức trong (1) xảy ra khi và chỉ khi x= =y z
Xét hàm số
2 1 ( )
2
t
f t
t
= + với t>0, có
2 2
1 3 ( 1)
2 4
1 ( 1)( 1) ( )
Ta cóf t′ = ⇔ =( ) 0 t 1
Bảng biến thiên của hàm sốf t( ) trên (0;+∞) :
t 0 1 +∞
( )
f t′ − 0 +
( )
f t
+∞ +∞
3
2
Từ ñó suy ra ( ) 3, 0
2
2
Vậy GTNN của B bằng 9
2, ñạt ñược khi và chỉ khi x= = =y z 1
Thí dụ 3 Xét hai số thực x y, thỏa mãn ñiều kiện x≥1, y≥1 và 3(x+y)=4xy Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 3 3
3
= + + + ⋅
Lời giải
Đặt x+ =y a Khi ñó 3 ,
4
2
a
Do (x+y)2−4xy≥0nên a2−3a≥0⇒a≥3
Vì x≥1, y≥1 nên (x−1)(y− ≥1) 0 ( ) 1 0 3 1 0 4
4
Vậy 3≤ ≤a 4
Ta có
2
( ) 3 ( ) 3
Trang 3Xét hàm số ( ) 3 9 2 8 16
a
2
a
nên hàm số f a( ) ñồng biến trên [3; 4] Suy ra (3) ( ) (4) 113 ( ) 94
Do ñó GTLN của C bằng 94
3 , ñạt ñược khi và chỉ khi 4 3
⇔
1 3
x y
=
⋅
=
và GTNN của C bằng113
12 , ñạt ñược khi và chỉ khi
3
3 9
2 4
xy
+ =
⇔ = = ⋅
=
Thí dụ 4 Xét hai số thực x y, thỏa mãn ñiều kiện (x+y)3+4xy≥2
Tìm GTNN của biểu thứcD=3(x2+y2 2) −2(x+y)2−xy xy(3 − +4) 2012
Lời giải
Với mọi số x, y ta luôn có (x−y)2≥0 hay (x+y)2≥4xy,nên từ ñiều kiện
suy ra (x+y)3+ +(x y)2≥ +(x y)3+4xy≥2
(x y) (x y) 2 0
2 [(x y) 1][(x y) 2(x y) 2] 0
(x+ y) +2(x+y)+ =2 (x+y) 1+ + > ∀1 0, x y, , nên từ (1) suy ra x+ ≥y 1
Ta biến ñổi D như sau:
( ) ( ) 2( 2 ) (3 4) 2012
3( 2 2 2) 3( 4 4 2 2 2) 2( 2 2 2 ) (3 4) 2012
2 x y 2 x y x y x y xy xy xy
3( 2 2 2) 3( 4 4) 2( 2 2) 2012
2 x y 2 x y x y
Do
2
nên từ (2) suy ra 9( 2 2 2) 2( 2 2) 2012
4
Đặt 2 2
x +y =t thì 1
2
Xét hàm số ( ) 9 2 2 2012
4
f t = t − +t với 1
2
nên hàm số f(t) ñồng biến trên 1;
2
Suy ra
1
;
2
1 32185 ( )
2 16
min
t
∈ +∞
Do ñó GTNN của D bằng32185
16 , ñạt ñược khi và chỉ khi 1
2
Thí dụ 5 Xét hai số x y, ñều dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2
x +y =x −y +y −x
Tìm GTNN của biểu thức 2 2
Lời giải
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có
Trang 4( )
(x y ) (x y ) 2 (x y )
Do (x2+y2 2) ≥4x y2 2 nên từ (1) suy ra
Đặt 2 2
x +y =t thì 0< ≤t 1
Xét hàm số f t( ) t 4
t
= + với0< ≤t 1, có
2
4 ( ) 1 0, (0; 1]
t
′ = − < ∀ ∈
nên hàm số f(t) nghịch biến trong (0; 1], suy ra
(0; 1]
( ) (1) 5
min
t
Do ñó GTNN của E bằng5, ñạt ñược khi và chỉ khi 1
2
Thí dụ 6 Cho x y, là các số thực thay ñổi.Tìm GTNN của biểu thức
F= x− +y + x+ +y + −y
Lời giải
Trên mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy, xét các ñiểm M( 1− +x; −y); N(1+x y; )
Ta có OM +ON≥MN,suy ra
(x−1) +y + (x+1) +y ≥ 4+4y =2 1+y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=0
Từ ñó suy ra F≥2 1+y2 + −y 2
Xét hàm số f y( )=2 1+y2+ −y 2
iVới y<2 ta có 2
2
2 ( ) 2 1 2 , ( ) 1
1
y
y
′
+
( ) 0
3
Bảng biến thiên của hàm sốf y( )như sau:
y −∞ 1
3 2 ( )
f′ y − 0 +
( )
f y
+∞ 2 5
2+ 3
Suy ra
2
1 min ( ) 2 3
3
<
iVới y≥2thì f y( )≥2 1+y2 ≥2 5> +2 3
Vậy GTNN của F bằng 2+ 3, ñạt ñược khi và chỉ khi ( ; ) 0; 1
3
Trang 5Một số bài tập ñề nghị
1) Xét hai số thực dươngx y, thỏa mãn ñiều kiện 5
4
4 1
4
A
Đáp số minA=5
2) Xét hai số thực x y, khác 0 Tìm GTNN của biểu thức
3 x y 8 x y
B
Đáp số minB= −10
3) Xét ba số thực x y z, , thỏa mãn ñiều kiện x2+xy+y2=1.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
Đáp số max 3; min 1
3
4) Xét hai số thực x y, thỏa mãn ñiều kiện x2+y2−xy= ⋅1 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
Đáp số max 3; min 1
5) Xét ba số thực dương x y, , zthỏa mãn ñiều kiện 3
2
1 1 1
= + + + + + ⋅
Đáp số min 15
2
6) Xét hai số thực dương x y, thay ñổi thỏa mãn ñiều kiện x+ =y 1.Tìm GTNN của biểu thức
F
xy
+
Đáp số minF = +4 2 3
7) Xét hai số thực x y, thay ñổi thỏa mãn ñiều kiện x+ =y 1.Tìm GTLN của biểu thức
( 1)( 1)
Đáp số maxG=4
(x+y xy) =x + y −xy.Tìm GTLN của biểu thức
1 1
H
Đáp số maxH=16
9) Xét ba số thực không âm x y, , z thỏa mãn ñiều kiện x2+y2+z2=3.Tìm GTLN của biểu
+ +
Đáp số max 14
3
10) Xét hai số thực x y, thỏa mãn ñiều kiện x2+y2=2.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
2( ) 3
Đáp số max 13; min 7
2
Trang 611) Xét hai số thực x y, thỏa mãn ñiều kiện 2 2
2(x +y )=xy+1.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
2 1
K
xy
+
+
Đáp số max 1; min 2
12) Xét ba số thực dươngx y z, , thỏa mãn ñiều kiện 3
2
Đáp số min 195
16