TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , NHỎ NHẤT P=f(x,y,z) với x,y,z thuộc D Bài 1 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm maxP ,
P
HD :
Ta có :
2
∑ ∑ ∑ , max ( 1) 1
Bài 2 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1, Tìm MaxP , P yz zx xy
HD :
Bài 3 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MaxP , 2 2 2 2 2 2
P
HD: đặt x b,y c,z a
a
1
2
Bài 4 : Cho x,y,z> 0 , x+y+z+2=xyz , Tìm MinP , P 1 1 1
= + +
HD : đặt 1 , 1 , 1
2
P
2
Bài 5 Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tim minP ,
P
HD : y z a z y b x y c+ = , + = , + = => a+b+c=2
2
a
a
2
+ + =>
2
P
Bài 6 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm MinP , P (1 1)(1 1)(1 1)
HD : P (1 1)(1 1)(1 1)
x+ = + + + ≥1 x x y z 44 x yz2
Trang 24 2
y+ = + + + ≥x y y z xy z
2 4
z+ = + + + ≥x y z z xyz
64
64
xyz P
xyz
1
3
Bài 7 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm MaxP ,
P
P
3
P
Bài 8 : Cho x,y,z>0 , 3
4
x y z+ + = , Tìm MaxP , P=3 x+3y+3 y+3z+3 z+3x
HD : Ta có 3 3 2 4( ) 6
4
Bài 9 : Cho x+y+z=0 , Tìm MinP , P= 3 4+ x + 3 4+ y + 3 4+ z
HD: Ta có 3 4 4 44 2 24 6 23 4 6
P
+ +
minP P x= ( = = = =y z 0) 6
Bài 10 : cho x,y,z>0 , xy+yz+zx=4xyz , Tìm MaxP , 1 1 1
P
HD : ta có xy+yz+zx=4xyz => 1 1 1 4
x+ + =y z
1
P
3
4
Bài 11 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MaxP , 3 3 3 3 3 3
P
HD : Ta có x3+y3 = +(x y x)( 2− +xy y2) (≥ +x y)(2xy xy− )=xy x y( + )
=> 3 3
z
1
1 1
z P
Bài 12: Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MinP , P 21 2 x2 y2 2 21 z2 y2 2 21 x2 z2
HD:
( )
P
+ +
Trang 3( 1) 3 3
Bài 13 : Cho x,y,z >0, xyz=1 Tìm MaxP , 2 2 2 2 2 2
P
HD : Ta có x2+y2+ ≥1 xy x y+ + => 3(x2+y2+ ≥1) x2+y2+ +1 2(xy x y+ + ) (= + +x y 1)2
=> 2 2
x y
( ) ( )3 3
P
maxP P x= ( = = = =y z 1) 3
Bài 14 : Cho x,y,z>0 , 2 2 2 2 2 2
1
z
+
=>
1
(x y z+ + ) ≤ + +6 x y +z
=> P xy yz zx= + + ≤3
=> maxP P x= ( = = = =y z 1) 3
Bài 15: Cho , , 1, x y z≥ x y z+ + =2xyz ,
P
HD: Biến đổi
3
2 3
P
xyz
=
Ta có , , 1, x y z≥ x y z+ + =2xyz , khi đó :
x y z+ − =2xyz−2z=2 (z xy− ≥1) 0 , x y z− + =2xyz−2y=2 (y xz− ≥1) 0,
− + + =x y z 2xyz−2x=2 (x zy− ≥1) 0
=>
3
3 2
3
4
P
xyz
2
Bài 16 : Cho x,y,z>0, xy+yz+zx=1 , Tìm minP ,
= + ÷ + + ÷ + + ÷
HD : Biến đổi 2 2 2 2 2 2
Mà : x y z 3
y+ + ≥z x
Trang 42 2 2 2 2 2
P
1
3
Bài 17: Cho x,y,z>0 , Tìm MaxP , 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3
P
HD :
P
y
x
P
1
2
Bài 18 : Cho x,y,z> 0 , x+y+z=1 , Tìm MaxP ,
P
HD :
2
3
+
+
Bài 19: Cho x,y,z>0 , Tìm maxP , 3 3 3 3 3 3 3 3 3
P
HD : Ta có : 3 3 ( )3 3 ( ) ( )3 3( )3 1( )3
=> z+3 4x3+4y3 ≥ + +z x y=> 3 3 3 2
P
x y z
+ +
maxP P x= ( = = =y z) 2
Bài 20 : cho x,y,z≥0 , Tim minP , P x y z
HD : Ta có x y z 2 x y z( ) x 2x
2
2
P
∑ ∑ => MinP P x= ( = =y 1,z= =0) 2
Trang 5Bài 21 : Cho x, y, z ≥0 thỏa mãn: x + y + z = 1 Tìm minP,
HD :
Ta có Đặt t = xy+yz+zx
⇒ 1 = (x+y+z)2 ≥ 3(xy+yz+zx)=3t, x2 + y2 + z2 = 1 – 2t và 0 1
3
t
≤ ≤
⇒ M ≥ 2
f’(t) = 2 3 2
1 2
t
t
+ −
−
f ’’(t) = 2 2 3
(1 2 )t
−
− < 0, ∀t ∈
1 0, 3
⇒ f’(t) là hàm giảm
f t ≥ f = − > 0 ⇒ f tăng ⇒ f(t) ≥ f(0) = 2, ∀t ∈ 0,1
3
MinP P x= ( = =y 1,z= =0) 2
Bài 22 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MinP ,
P
HD :
P
Ta có
x
y
z
3
4
Bài 23 : cho x,y,z>0 , xy+yz+zx=1 , Tìm MinP, P= 1+xy+ 1+yz+ 1+zx
HD :
P>0 , xét P2 = +3 xy yz zx+ + +2( (1+xy)(1+yz)+ (1+yz)(1+zx)+ (1+zx)(1+xy))
2 4 (2 ) 12
cyc
=>P= 1+xy+ 1+yz+ 1+zx ≤2 3 ,
1
3
Bài 24 : cho x,y,z >0 , x+y+z=1 , Tìm MinP, P x2 12 y2 12 z2 12
3
2 3
(
2
,0
x y z
Trang 6=> 3 ( ) 3 1 9 82
9
3
Bài 25 : Cho x,y,z>0 , x y z 3yz
x
2
P
HD :
Ta có : (x y z+ + )x 3= xy
Đặt a x y,b x z
4
4
=> maxP P x= ( = = = =y z 1) 5
Bài 26 : Cho x,y,z thuộc [0,1] , Tìm MaxP , P=2(x3+y3+z3) (− x y y z z x2 + 2 + 2 )
HD: Ta có x y z, , ∈[ ]0,1 => −(1 x2)(1− + −y) (1 y2)(1− + −z) (1 z2)(1− ≥x) 0,
x3 ≤x2 ≤x y, 3 ≤ y2 ≤y z, 3 ≤z2 ≤z
Bài 27 : Cho , , 1, 4
2
HD : , , 1, 4
2
∈ => log ,log2x 2 y,log2 z∈ −[ 1, 2]
Khi đó : (log2x+1 ( log) ( 2x− +2) (log2 y+1 ( log) ( 2 y− +2) (log2z+1 ( log) ( 2 z− ≤2) 0,
log x + log y + log z − log x+log y+log z − ≤6 0
Mà xyz=1 nên log2x+log2 y+log2 z=log2xyz=0
1
2
Bài 28 : cho x,y,z>0 , 3
2
HD :
+ +
2
t = + +x y z < ≤t => P f t( ) t 9, '( ) 1f t 92 0
6
Bài 29 : Cho x,y,z>1 x+y+z= 6 , Tìm maxP ,
P
Trang 7HD : Đặt a x= −1,b y= −1,c z= −1 => a+b+c=3
Khi đó : P a 1 b 1 c 1
b c a a b c
a b c
+ +
Bài 30 : Cho x,y,z>0, xyz=1 , Tìm MinP , 1 1 1
P
HD : Ta có 1 1 1 0
1
y
x
=> 1 1 1
y
P
3 2
3
2
Bài 31 : Cho x,y,z thuộc R , xyz=1 , Tìm MinP ,
P
HD : Đặt , ,
Khi đó abc=(a-1)(b-1)(c-1) => a+b+c-1= ab+bc+ca
P a= 2+ + = + +b2 c2 (a b c)2−2(ab bc ca+ + ) (= + +a b c)2−2((a b c+ + −) 1)
=> P= + + −(a b c 1)2+ ≥1 1