Tìm max, min của biểu thức ba biến

Lê Quang Dũng – GV THPT số Phù Cát , Bình Định TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , NHỎ NHẤT P=f(x,y,z) với x,y,z thuộc D yz zx xy + + Bài : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm maxP , P = 1− x 1− y 1− z HD : xy ( x + y)2 x+ y 1 ≤∑ =∑ = , max P = P ( x = y = z = ) = Ta có : ∑ cyc − z cyc 4( x + y ) cyc Bài : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1, Tìm MaxP , P = yz + x + yz zx xy + y + zx z + xy HD : xy xy xy  x y  =∑ =∑ ≤ ∑ + ÷= z + xy cyc − x − y + xy cyc (1 − x )(1 − y ) cyc  − y − x  cyc max P = P ( x = y = z = ) = 1 + + Bài : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MaxP , P = 2 2 ( x + 1) + y + ( y + 1) + z + ( z + 1) + x + b c a HD: đặt x = , y = , z = a b c 1 a =∑ ≤∑ =∑ = Ta có : ∑ 2 2 cyc ( x + 1) + y + cyc x + y + x + cyc 2( xy + x + 1) cyc 2( a + b + c ) max P = P ( x = y = z = 1) = 1 Bài : Cho x,y,z> , x+y+z+2=xyz , Tìm MinP , P = + + x y z 1 ,b = ,c = HD : đặt a = , x+y+z+2=xyz => a+b+c=1 1+ x 1+ y 1+ z 1 a b c P= + + = + + ≥ x y z b+c c+a a +b P = P ( x = y = z = 2) = x2 y2 z2 + + Bài Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tim minP , P = y+z z+x x+ y HD : y + z = a, z + y = b, x + y = c => a+b+c=2 Ta có : ∑ ∑ cyc (1 − a) 1  = ∑  + a − ÷= ∑ − a  cyc a cyc  a 1 9 x2 y2 z2 + + ≥ = => P = + + ≥ a b c a+b+c y+z z+x x+ y 1 P = P ( x = y = z = ) = 1 Bài : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm MinP , P = (1 + )(1 + )(1 + ) x y z 1 x +1 y +1 z +1 )( )( ) HD : P = (1 + )(1 + )(1 + ) = ( x y z x y z Ta có : x + = x + x + y + z ≥ 4 x yz Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) Lê Quang Dũng – GV THPT số Phù Cát , Bình Định y + = x + y + y + z ≥ 4 xy z z + = x + y + z + z ≥ 4 xyz 64 xyz P≥ = 64 xyz P = P ( x = y = z = ) = 64 Bài : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm MaxP , P = x y z + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z x x   =∑ =∑ 1 − ÷= − ∑ x +1  cyc x + y + z cyc x + cyc  cyc x + 1 1 9 x y z + + ≥ = => P = + + ≤ x +1 y +1 z +1 x + y + z + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z max P = P ( x = y = z = ) = Bài : Cho x,y,z>0 , x + y + z = , Tìm MaxP , P = x + y + y + 3z + z + 3x x + y + 4( x + y + z ) + = = ,=> max P = P ( x = y = z = ) = HD : Ta có ∑ x + y ≤ ∑ 3 cyc cyc HD : P = ∑ Bài : Cho x+y+z=0 , Tìm MinP , P = + x + + y + + z x HD: Ta có P = ∑ + ≥ ∑ 4 = 2∑ ≥ x cyc x cyc x+ y + z =6 cyc P = P ( x = y = z = 0) = Bài 10 : cho x,y,z>0 , xy+yz+zx=4xyz , Tìm MaxP , P = 1 + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z 1 + + =4 x y z 2 1 11 1 1 P=∑ ≤ ∑  + + ÷=  + + ÷= 16 cyc  x y z   x y z  cyc x + y + z max P = P ( x = y = z = ) = 1 + 3 + Bài 11 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MaxP , P = 3 x + y + y + z + z + x3 + HD : ta có xy+yz+zx=4xyz => HD : Ta có x + y = ( x + y )( x − xy + y ) ≥ ( x + y )(2 xy − xy ) = xy ( x + y ) 1 z ≤ = => x + y + ≥ xy ( x + y ) + xyz = xy ( x + y + z ) => 3 x + y + xy ( x + y + z ) x + y + z z P=∑ ≤∑ ≤ , max P = P ( x = y = z = 1) = cyc x + y + cyc x + y + z Bài 12: Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MinP , P = HD: P = ∑ cyc x y + 2+ + x y y x + x3 + y 3xy ≥∑ =∑ ≥ 33 xy xy xy cyc cyc Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 27 ( xyz ) z y x z + 2+ + 2+ 2+ y z y z x z z x 2 =3 Lê Quang Dũng – GV THPT số Phù Cát , Bình Định MinP = P ( x = y = z = 1) = 3 Bài 13 : Cho x,y,z >0, xyz=1 . Tìm MaxP , P = x + y +1 y + z +1 z + x +1 + + 2 2 x + y + y + z + z + x2 + 2 2 HD : Ta có x + y + ≥ xy + x + y => ( x + y + 1) ≥ x + y + + 2( xy + x + y ) = ( x + y + 1) => P ≤ 3∑ cyc = 3∑ x + y +1 cyc x + y +1 ≤ 2 x + y +1 x + y +1 ( x) +( y) +1 Áp dụng , bài 11 , P ≤ max P = P ( x = y = z = 1) = Bài 14 : Cho x,y,z>0 , 1 + + = , Tìm MaxP , P = xy + yz + zx 2 x + y + y + z + z + x2 + + z2 ≤ x2 + y + ( x + y + z)2 1 + x2 + y + z + + ≤ => = x + y2 + y2 + z + z + x2 + ( x + y + z )2 => ( x + y + z ) ≤ + x + y + z => P = xy + yz + zx ≤ => max P = P ( x = y = z = 1) = Bài 15: Cho x, y , z ≥ 1, x + y + z = xyz , 2 2 HD : Ta có : ( x + y + z ) ≤ ( x + y + 1) ( + + z ) => Tìm MaxP , P = HD: Biến đổi P = 1 1 1 − 2 +3 − 2 +3 − 2 2 x yz x y z xy z x y z xyz x y z xy − + yz − + zx − ( xyz ) Ta có x, y , z ≥ 1, x + y + z = xyz , đó : x + y − z = xyz − z = z ( xy − 1) ≥ , x − y + z = xyz − y = y ( xz − 1) ≥ , − x + y + z = xyz − x = x( zy − 1) ≥ ( x + y − z ) + x + y + ( x − y + z ) + x + z + ( −x + y + z ) + y + z Ta có : xyz = x + y + z = 3 3 xyz = x + y + z ≥ ∑ ( x + y − z ) xy = ∑ xyz ( xy − 1) cyc => P = xy − + yz − + zx − ( xyz ) => max P = P ( x = y = z = cyc ≤34 )= 2  1  1  1 Bài 16 : Cho x,y,z>0, xy+yz+zx=1 , Tìm minP , P =  x + ÷ +  y + ÷ +  z + ÷ y  z  x  x y z 1 2 HD : Biến đổi P = x + y + z + + + +  + + ÷ x y z  y z x x y z Mà : + + ≥ y z x Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) Lê Quang Dũng – GV THPT số Phù Cát , Bình Định 2 ≥ , y2 + ≥ , z2 + ≥ 9x 9y 9z 8 1  8 1 1 = 16 Nên P ≥ +  + + ÷ ≥ +  + + ÷ ≥ + 9 x y z   xy yz zx  xy + yz + zx MinP = P ( x = y = z = ) = 16 x y z + + Bài 17: Cho x,y,z>0 , Tìm MaxP , P = 2 2x + y + y + z + 2z + x2 + HD : x x x 1 P=∑ =∑ ≤ ∑ = ∑ 2 Ta có : cyc x + y cyc + y cyc x + y + cyc 2( x + 1) + ( y + 1) x x2 + 1 ≤ y x z 6+ + + => max P = P ( x = y = z ) = x z x xy yz zx + + Bài 18 : Cho x,y,z> , x+y+z=1 , Tìm MaxP , P = x + y + y + 2z + z + 2x + HD : P≤ xy  xy xy xy   xy  ≤ ∑ + + ÷ = ∑  xy + ÷ cyc  1 x + y  cyc  x + 2y  cyc x + y + 2 Mà ( xy + yz + zx ) ≤ ( x + y + z ) = => ( xy + yz + zx ) ≤ xy 2x + y ≤ ( x + y ) ( x + y ) ≥ xy => x + 2y  (2 x + y + y + z + z + x )  Nên P ≤  + ÷= 93  1 => max P = P ( x = y = z = ) = x+ y y+z z+x + + Bài 19: Cho x,y,z>0 , Tìm maxP , P = 3 3 z + 4x + y x + y + 4z y + z + x3 P=∑ 3 3 3 HD : Ta có : x + y = ( x + y ) − xy ( x + y ) ≥ ( x + y ) − ( x + y ) = ( x + y ) 4 x+ y x+ y ≤∑ =2 => z + x + y ≥ z + x + y => P = ∑ cyc z + x + y cyc x + y + z max P = P ( x = y = z ) = x y z + + y+z z+x x+ y Bài 20 : cho x,y,z ≥ , Tim minP , P = HD : Ta có x + y + z ≥ x( y + z ) => P=∑ cyc x 2x ≥ y+z x+ y+z x 2x ≥∑ = => MinP = P ( x = y = 1, z = 0) = y + z cyc x + y + z Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) Lê Quang Dũng – GV THPT số Phù Cát , Bình Định Bài 21 : Cho x, y, z ≥ thỏa mãn: x + y + z = 1. Tìm minP, P = ( x y + y z + z x ) + ( xy + yz + zx ) + x + y + z HD : Ta có Đặt t = xy+yz+zx ⇒ = (x+y+z)2 ≥ 3(xy+yz+zx)=3t, x2 + y2 + z2 = – 2t và ≤ t ≤ ( x y + y z + z x ) ≥ ( xy + yz + zx) = t ⇒ M ≥ t + 3t + − 2t = f (t ) f’(t) = 2t + − − 2t f ’’(t) = − < 0, ∀t ∈ (1 − 2t )3  1 0,  ⇒ f’(t) là hàm giảm 11 f '(t ) ≥ f '( ) = − > ⇒ f tăng ⇒ f(t) ≥ f(0) = 2, ∀t ∈ 3 MinP = P ( x = y = 1, z = 0) =  1 0,  x3 y3 z3 + + Bài 22 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MinP , P = + y + z + yz + z + x + zx + x + y + xy x3 y3 z3 + + HD : P = (1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x) (1 + x)(1 + y ) x3 1+ y 1+ z y3 1+ z 1+ x + + ≥ x + + ≥ y, Ta có , (1 + y )(1 + z ) 8 (1 + z )(1 + x) 8 z 1+ x 1+ y + + ≥ z (1 + x)(1 + y ) 8 3 3 => P ≥ ( x + y + z ) − ≥ xyz − = 4 MinP = P ( x = y = z = 1) = Bài 23 : cho x,y,z>0 , xy+yz+zx=1 , Tìm MinP, P = + xy + + yz + + zx HD : P>0 , xét P = + xy + yz + zx + ( (1 + xy )(1 + yz ) + (1 + yz )(1 + zx) + (1 + zx)(1 + xy ) P ≤ + ∑ ( + xy + yz ) = 12 ) cyc => P = + xy + + yz + + zx ≤ , max P = P ( x = y = z = )=2 3 Bài 24 : cho x,y,z >0 , x+y+z=1 , Tìm MinP, P = x + r r r r r r P = a + b + c ≥ a+b+c = HD : Đặt t = ( xyz ) ( x + y + z) 1 + y2 + + z2 + 2 y z x 1 1 + + + ÷ ≥ x y z ( ( xyz ) + ( ( xyz )  x + y + z  P ≥ f (t ), f (t ) = t + , f '(t ) = − < ,0 < t ≤  ÷ = , t t2   Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) Lê Quang Dũng – GV THPT số Phù Cát , Bình Định => P ≥ f (t ) ≥ 1 + = 82 => MinP = P ( x = y = z = ) = 82 yz  x + y   x + z  3( x + xy + xz + yz ) Bài 25 : Cho x,y,z>0 , x + y + z = Tìm maxP , P =  ÷ + ÷+ x ( y + z )2  y+z  y+z HD : Ta có : ( x + y + z ) x = xy x+ y x+z  x + y   x + z   x + y  x + z  ,b = Đặt a = => a + b − ab =  ÷ + ÷ − ÷ ÷= y+z y+z  y + z   y + z   y + z  y + z  2 Ta có (a + b) = + 3ab ≤ + ( a + b) => (a + b) ≤ 3 Khiđó P = a + b + 3ab = (a + b) + 3ab ≤ (a + b) + (a + b) ≤ max P = P ( x = y = z = 1) = => Bài 26 : Cho x,y,z thuộc [0,1] , Tìm MaxP , P = 2( x + y + z ) − ( x y + y z + z x) 2 HD: Ta có x, y , z ∈ [ 0,1] => (1 − x )(1 − y ) + (1 − y )(1 − z ) + (1 − z )(1 − x) ≥ , x ≤ x ≤ x, y ≤ y ≤ y , z ≤ z ≤ z => x + y + z + x + y + z − ( x y + y z + z x ) ≤ => 2( x + y + z ) − ( x y + y z + z x ) ≤ => MaxP = P ( x = y = z = 1) = 1  2 Bài 27 : Cho x, y , z ∈  ,  và xyz=1 , Tìm maxP , P = log x + log y + log z   1  HD : x, y , z ∈  ,  => log x, log y, log z ∈ [ −1, ] 2  Khi đó : ( log x + 1) (( log x − ) + ( log y + 1) (( log y − ) + ( log z + 1) (( log z − ) ≤ 0, => ( log x ) + ( log y ) + ( log z ) − ( log x + log y + log z ) − ≤ Mà xyz=1 nên log x + log y + log z = log xyz = 2 => P = log x + log y + log z ≤ max P = P ( x = 4, y = z = ) = xy + yz + zx + + + Bài 28 : cho x,y,z>0 , x + y + z ≤ , Tìm MinP, P = y z x HD : 1 1 P = ( x + y + z ) +  + + ÷≥ x + y + z + x+ y+z x y z 9 Đặt t = x + y + z , < t ≤ => P ≥ f (t ) = t + , f '(t ) = − < t t 15 P ≥ +6= 2 15 MinP = P ( x = y = z = ) = 2 x y z + + Bài 29 : Cho x,y,z>1 x+y+z= , Tìm maxP , P = y −1 z −1 x −1 Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) Lê Quang Dũng – GV THPT số Phù Cát , Bình Định HD : Đặt a = x − 1, b = y − 1, c = z − => a+b+c=3 a +1 b +1 c +1 a b c 1 + + = + + + + + ≥ 3+ =6 Khi đó : P = b c a b c a a b c a+b+c MinP = P ( x = y = z = 2) = 1 + + Bài 30 : Cho x,y,z>0, xyz=1 , Tìm MinP , P = x(1 + y ) y (1 + z ) z (1 + x)   xyz y ÷ 1  + ≥ + − ≥ => HD : Ta có  − y ÷ ÷ x(1 + y ) z (1 + x ) + x + y x   1+ y 1+ ÷ x  1 y + ≥ + => x(1 + y ) z (1 + x ) + x + y 2 + + ≥ => P ≥ Khi đó : P = x(1 + y ) y (1 + z ) z (1 + x) MinP = P ( x = y = z = 1) = x2 y2 z2 + + Bài 31 : Cho x,y,z thuộc R , xyz=1 , Tìm MinP , P = ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) x y z ,b = ,c = HD : Đặt a = x −1 y −1 z −1 Khi đó abc=(a-1)(b-1)(c-1) => a+b+c-1= ab+bc+ca P = a + b + c = (a + b + c ) − 2(ab + bc + ca ) = (a + b + c ) − 2((a + b + c ) − 1) => P = (a + b + c − 1) + ≥ Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) . x,y,z ≥ 0 , Tim minP , x y z P y z z x x y = + + + + + HD     x x x y z x y z y z x y z + + ≥ + => ≥ + + +    cyc cyc x x P y z x y z = ≥ = + + + ∑ ∑     MinP P. " P x y z xy yz zx xy yz zx     ≥ + + + ≥ + + + ≥ + =  ÷  ÷ + +         #  MinP P x y z= = = = = B#i 17             x y z P x y y z. !"##$#!%!&'()$*+,      MinP P x y z= = = = = B#i 13%             x y y