D12 max min của biểu thức nhiều biến muc do 4

Câu 45: [2D1-3.12-4] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Cho hai số thực x , y thỏa mãn: y3  y  x  x   x   y  1 Tìm giá trị lớn biểu thức P  x  y B P  A P  10 C P  Lời giải D P  Chọn B y3  y  x  x   x   y  1   y3  y  y  1   y  1  1  x   x   x   x   y  1   y  1   1 x   x 1 Xét hàm số f  t   2t  t 0;    Ta có: f   t   6t   với t   f  t  đồng biến 0;    Vậy 1  y    x  y    x  P  x  y  x    x với  x  1 Xét hàm số g  x    x   x  ;1 Ta có: g   x    1  x 1 g  x    x   1 x 1 x Bảng biến thiên g  x  : Từ bảng biến thiên hàm số g  x  suy giá trị lớn P là: max g  x    ;1 Câu 50 [2D1-3.12-4] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Cho x, y hai số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện  xy  1 P x y x  xy  y 2   xy   y   x  B  30 C Lời giải Chọn C  xy  1    xy   y   x   y  xy  1   xy   y    y xy   y   0 xy   y  y  xy  1  xy   y      xy   y   xy   y  Tìm giá trị lớn biểu thức y x  2y ? 6 x  y  30 A   30 D 7 30 x 1 1 1         y y y  y 2 x    Dấu đạt y  , x  y t 1 t 2 x y x  2y x  1   với t  t   0;  P  y  4 t  t   t  1 x  xy  y  x  y  Ta có t 1 t2  t   8t   với t   0;  27  4  4t  1  20t  25t    1 Thật  với t   0;   8t      729 t t 3  4 t  t  27 t 2 P  f t  8t    27 6t  16 5t  32 5t  16  27  1 Khi f   t    với t   0;  54  4  t  1 t 1 Vậy P  t 2    10 , dấu đạt x  , y   f t   f    8t    27 6t  30 4 Câu [2D1-3.12-4] (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Xét số thực dương x , y thỏa mãn 2018    x  y Tìm giá trị nhỏ Pmin P  y  3x 2 x  y 1  x  1 B Pmin  A Pmin  C Pmin  D Pmin  Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có 2018    x  y  x  y   log   2018 x  y2 2 x  y 1  x  1  x  1 2   x  1   x  y   log 2018  x  y   log 2018  x  1 2   x  1  log 2018  x  1   x  y   log 2018  x  y  Có dạng f  x  1   f  x  y  với f  t   2t  log 2018 t ,  t     Xét hàm số f  t   2t  log 2018 t ,  t   , ta có f   t      t   nên hàm số f  t  t.ln 2018 2 đồng biến khoảng  0;    Khi f  x  1   f  x  y    x  1  x  y  y  x2    Ta có P  y  3x   x  1  3x  x  3x  Bảng biến thiên Vậy Pmin  x   Cách 2: Ta có 2018   2x  y 2 x  y 1  x  1   2018 x  x 1 x  y   2x  y  x  1   x  x 1 2018 2x  y   2 x  y  2018  x  1 2018   2x  y   2 x  y  2018  x  1 x 1 Đặt u   x  1 , v  x  y với u , v  Phương trình có dạng:  u.20182u  v.20182v 1 với u , v  20182u v  20182v u Xét hàm đặc trưng f  t   t.2018t có f   t   2018t  t.2018t.ln 2018  với  t   , suy hàm số f  t  đồng biến  0;    Do phương trình 1 có dạng f  u   f  v   u  u   x  1  x  y  y  x2  Khi P  y  3x   x  1  3x  x  3x  có đồ thị 3 7 đường cong Parabol, đỉnh điểm thấp có tọa độ I  ;  Do vậy, Pmin  x  4 8 Câu 14: [2D1-3.12-4] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần – 2018) Cho số thực x , y thỏa mãn x  y 1    x2  y3 Giá trị lớn biểu M  3x  y 4   x  y  1 27 x y   x  y  A  9476 243 B 76 Chọn D Điều kiện x  2; y  3 x  y 1    193 Lời giải C D  148  x   y    x  y  1  x  y   x  y  (*) Vì x  y   x  y  nên từ (*) suy  x  y  1   x  y  1  x  y  Vì x  y   nên từ (*) suy x  y 1  x  y 1   x  y  1     x  y  1   x  y 1  x  y 1  x  y  Do x  nên x  x , y   y , suy x  y    x  y  Từ ta có  x  y  1 M  3x y 4   x  y  1 27 x y   x  y   3x y 4   x  y  1 27 x y   x  y   Đặt t  x  y với t  1  t  Xét hàm số f  t   3t 4   t  1 27t  6t  , ta có f  1  f   t   3t 4 ln  27t   t  1 27t ln  f   t   3t 4 ln   t  1 ln  2 27t.ln  , t  3;7 2188 243 Suy f   t  đồng biến  3;7  , mà f   t  liên tục 3;7  f   3 f     nên phương trình f   t   có nghiệm t0   3;7  thức t to f'(t) + 148 f(t) f(to) Suy M  3x  y 4   x  y  1 27 x  y   x  y   148 Đẳng thức xảy x  , y  Câu 46: [2D1-3.12-4] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần – 2018) Cho a, b  ; a, b  thỏa mãn  a b3   a b   a  b   ab   a  b  ab   Giá trị nhỏ biểu thức P         b a  b a  23 21 23 A 10 B C D 4 Lời giải Chọn C a b Đặt t    t   Ta có: b a  a b   a b   a b3   a b  a b  a b  a b P                        b a  b a   b a   b a   b a  b a  b a   4t  9t  12t  18 Ta có  a b   a  b2   ab   a  b  ab          a  b  1   b a  ab  a b 1 1     1   a  b     b a a b Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có 2  a  b    1  2 a b  a  b   1 a b     2   2 a b b a  a b a b a b  Suy       2        b a b a b a  a b Hay t      b a Xét hàm số f  t   4t  9t  12t  18 với t   t 2  Ta có f   t   12t  18t  12 ; f   t     t     2 5  Ta có f   t   0, t  , nên hàm số f  t  đồng biến  ;   2  23 5 Bởi vậy: f  t   f     4 1;  2  23 a  2; b  a  1; b  Câu 47: [2D1-3.12-4] (THPT Kim Liên - HN - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho x , y hai số thực Hay P  thỏa mãn điều kiện x2  y  xy   y  3x Tìm giá trị lớn biểu thức P   x3  y   20 x  xy  y  39 x A 100 B C D Lời giải Chọn A x2  y  xy   y  3x  y  y  x    x2  3x      x     x  3x    3x2  x    x  x2  y  xy   y  3x  x2  y  xy  y  3x  P   x3  y   20 x  xy  y  39 x   x  y   x  y  xy   20 x  xy  y  39 x 2 4  4  29 x  y  5xy  27 x  12 y  7 y  y  27  12 y  29    7  y    100 3  3 Vậy giá trị lớn hàm số 100 x  y  2 Câu 46: [2D1-3.12-4] [THPT Đô Lương - Nghệ An - 2018 - BTN] Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn 2x  y  Giá trị lớn biểu thức P  (2 x2  y)(2 y  x)  xy là: A 18 C 16 Lời giải B 12 D 21 Chọn A Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:  2x  y  2x.2 y  2x  y   x  y   x y Lại có: xy       Khi đó: P   x2  y  y  x   xy   x3  y   x y  10 xy 2 =  x  y   x  y   3xy    xy   10 xy      3xy    xy   10 xy  16   xy   xy  xy  1  18 2 Vậy giá trị lớn P 18 x  y  Câu 48: [2D1-3.12-4] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x3   y 3xy  x  3xy     Tìm giá trị nhỏ P  x3  y3  xy   3x  1  x  y   A 296 15  18 B 36  296 15 C Lời giải Chọn B   Ta có x3   y 3xy  x  3xy    27 x3  x   3xy  5 3xy   3xy  36  D 4  18 Xét hàm f  t   t  2t với t   0;   có f '  t   3t   0t   0;   nên hàm số liên tục đồng biến  0;   Khi ta có 3x  3xy   x  x  3xy  Với x   5  l  với x  P  x3  y3  xy   3x  1  x  y    x3  y3  xy   x2  3  x  y    x3  y3  xy   3xy  2 x  y  2  x3  y3  3x2 y  3xy   x  y     x  y  2 x  y  Mà x  y  x  x2  5 5 Đặt t  x  y t   x   x  3x 3x 3x 3 Xét f  t   t  2t  với t  5 Khi f   t   3t   với t  3   36  296 15 Do f  t   f      Suy P  36  296 15 36  296 15 Vậy GTNN P 9 Câu 47: [2D1-3.12-4] (Chuyên Long An - Lần - Năm 2018) Cho số thực x , y thỏa mãn x y2   x   y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   x  y   15xy A P  80 B P  91 C P  83 Lời giải D P  63 Chọn C x  Điều kiện:   y  3 Ta x y2  có  x   y    x  y    x  y   x  y    x  y  x  y   1 x  y  Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được: x y2   x   y   2  x  y   x  y   2 Từ 1   ta có x  y   4;8 Ta lại có  x  3 y  3   xy  3 x  y   Đặt t  x  y suy P   x  y   15xy   x  y   xy  4t  21t  63 Xét hàm số f  t   4t  21t  63 , với t   4;8 Ta có f   t   8t  21   t  21   4;8 Do f  t   f    83 4;8  x  y  Do P  83 suy P  83  x y2   Câu 46: [2D1-3.12-4]  x   x3  y 3  y  3  (THPT Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018 - BTN) Cho hai số thực x , 1 log 11  x  y   y  x  Xét biểu thức 2 P  16 yx2  x  y    y  Gọi m , M giá trị nhỏ giá trị lớn y thỏa mãn  x  ,  y  P Khi giá trị T   4m  M  bao nhiêu? A 16 B 18 C 17 Lời giải Chọn A Ta có D 19 log 11  x  y   y  x    x  y   log 11   x  y     Đặt t  x  y ,  t  11 Phương trình trở thành: 2t  log 11  t    1 Xét hàm số f  t   2t  log 11  t   khoảng  0;11  , t   0;11 Do hàm số f  t  đồng biến 11  t Dễ thấy 1 có nghiệm t  Do t  nghiệm 1 Có y   1  y  Suy x   y Khi P  16 y  1  y  y    y   y3  y  y  Xét hàm số g  y   y3  y  y  0;  , có  2  1 g   y   12 y  10 y   , y  0;   2 Do đó, g  y   g    , max g  y   g 1   1 0;     1 0;    Suy m  , m  Vậy T  4.3   16 Câu 45: [2D1-3.12-4] (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần - Năm 2018) Cho x , y , z ba số thực dương P  đạt giá trị nhỏ   2 2 x  y  yz  x  y  z   xz  x  y  z Tính x  y  z B 3 A C D Lời giải Chọn C x  y  yz  x  y  y.2 z  x  y  y  z   x  y  z   x  y  z   xz   x  z   y   x  z   y    x  y  z    P 2 1     2 x  y  z x  y  z  x  y  z 2 x  y  z x  y  z  Đặt t  x  y  z  t  Xét hàm số f  t   Ta có f   t      0;   2t t   3t  3  5t  ; f  t   t  1    2 2t 2t  t  3  t  3 Bảng biến thiên Vậy P   Câu 6: 1  x  y  z  Khi đó, x  z  y  2 [2D1-3.12-4] (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho số thực x , y với x  thỏa mãn 5x 3 y  5xy 1  x  y  1   5 xy 1  biểu thức T  x  y  Mệnh đề sau đúng? A m   0;1 x 3 y  y Gọi m giá trị nhỏ C m   2;3 B m  1;  D m  1;0  Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: 5x 3 y  5xy 1  x  y  1   5 xy 1   3y  5x3 y  5 x3 y  x  y  5 xy 1  5xy 1  xy  x 3 y Xét hàm số f  t   5t  5t  t có f   t   5t ln  5t ln   , t  Do hàm số f  t  đồng biến  y 3  x    x 1  y   f  x  y   f   xy  1  x  y   xy   x 1 2 x  (do x  nên x   )  x  y   x  1 3 x x3 x2  x   x3 Xét hàm số g  x   x2  x  x2  x   , x  với x  có g   x   x3  x  3 1 Do đó: g  x   g    , x  hay x  y   , x  Vậy m    0;1 3 Câu 1318: [2D1-3.12-4] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] [2017] Cho x , y số thực thỏa mãn x  y  x   y  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ P  x2  y   x  1 y  1   x  y Khi đó, giá trị M  m A 41 B 42 C 43 Lời giải D 44 Chọn C P  x2  y   x  1 y  1   x  y   x  y    x  y     x  y Đặt t  x  y  P  t  2t    t Theo giả thiết x  y  x   y    x  y   x  y   2  x  1 y  1  x  y    x  1  y    x  y   t  3t  t  3t    t  Xét f  t   t  2t    t  0;3 ; f   t     2t    t    t  1  t  4t t     t  2t  1   t    t  2t  7t   t   2  0;3  t   2   0;3 Ta có f    18 ; f  3  25  P  18, max  P   25 f   t   2t   Vậy M  m  25  18  43 Câu 1319: [2D1-3.12-4] [THPT Kim Liên-HN] [2017] Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P x A Pmin y2 x B Pmin y2 2 y C Pmin 2 D Pmin 191 50 Lời giải Chọn B Áp dụng bất đẳng thức MinCopxki ta có P x x Xét hàm số f y 2y 2 y2 y y2 y y Ta có f 2y y y f y y Ta thấy f y Do Pmin Câu 1320: [2D1-3.12-4] [THPT Chuyên KHTN] [2017] a  b  ab  1, giá trị nhỏ P  a  b4 A   1 B   1 C  Với a, b  thỏa mãn điều kiện  1 D  Lời giải Chọn B 2 P  a  b4   a  b2    a.b    a  b   2ab    ab    2 2  P  1  ab   2ab    ab   1  x  x   x với ab  x  x     P  x4  16 x2   x2  8x3  8x  x2  x4  8x3  16 x2  8x  Ta có a  b   ab  ab  1  x  x 1    x  1   x   2 P  x3  24 x2  32 x  Bảng biến thiên    P  P  2   1 Câu 50: [2D1-3.12-4] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần - 2017 - 2018)Xét ba số thực a; b; c thay đổi thuộc đoạn  0;3 Giá trị lớn biểu thức T   a  b  b  c  c  a    ab  bc  ca    a  b  c  A 81 Lời giải: B  C 41 D Chọn C Đặt x  a  b , y  b  c , z  c  a , không tổng quát giả sử a  b  c Do a, b, c  0;3 nên x  y  a  c  Ta có  x  y2  z2  2  4 xy   x  y    x  y   x  y    2 T  4 xyz   x  y  81  xy  x  y   x  y  xy  11xy  x  y  xy       2 2 a    b 81 81  Khi  nên giá trị lớn T T  4 c  Câu 32: [2D1-3.12-4] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Tính tổng giá trị lớn Cho x, y  thoả mãn nhỏ biểu thức P  3x y  xy  x3  x ? A B C 12 Hướng dẫn giải D Chọn D Xét x  xy    y  x2  (do x  ) x x  x2  x  14 x  9 Xét x  y  14   x   14   0  1 x  1  x  x x 5  x  x  3   x  3  x  x x  x  3  x2  3 Ta có: P  3x  x  2x  2x   x x x2 x 5x   9 Xét P  1;  x  5 2 P  5x2   9   x  1;  nên P đồng biến x  5  9 1;  9 Suy P  P 1  4 , max P  P       9 5 1;  1;      Vậy P  max P  Câu 37 [2D1-3.12-4] (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO) Cho số thực x , y thay đổi thỏa điều kiện y  , x  x  y  12 Giá trị lớn nhỏ biểu thức M  xy  x  y  17 A 10; 6 B 5; 3 C 20; 12 D 8; 5 Lời giải Chọn C Ta có: y  x  x  12 Do đó: y   x2  x  12   4  x  Mặt khác, M  xy  x  y  17  x  x  x  12   x   x  x  12  17  x3  3x  9x  Xét hàm số f  x   x3  3x  x  với 4  x  Ta có: f   x   3x  x  Do đó: f   x    x   x  3 Khi đó: f  3  20, f 1  12, f  4   13, f  3  20 Vậy max M  20, m  12 Câu 49: [2D1-3.12-4] (Sở Phú Thọ - Lần - 2018 - BTN) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  xy  yz  zx  Giá trị nhỏ biểu thức bằng: A 20 B 25 C 15 Lời giải Chọn B  x  y  z  x  y   z  Ta có:   xy  yz  zx    xy   z  x  y    z  z x 1 1  y3  z3     x y z D 35    Lại có:  x  y   xy    z    z  z  2  z  Dấu "  " xảy x  y Và  x  y  z   x3  y3  z   x  y  z  x  y  z  3xy  x  y     x3  y3  z  43  12  x  y  z  3xy  x  y   64    z   z 1 1   Ta có: P  x3  y  z      3z  12 z  15 z     z  z  5z  x y z 50 Đặt t  z  z  5z , với  z    t  27 50 4  Do xét hàm số f  t      , với  t  27 t  20  50  Ta có f   t    0, t   ; 2 nên hàm số f  t  liên tục nghịch biến t  27  Do Pmin  f    25 đạt x  y  , z      ...  18  43 Câu 1319: [2D1-3.12 -4] [THPT Kim Liên-HN] [2017] Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P x A Pmin y2 x B Pmin y2 2 y C Pmin 2 D Pmin 191 50 Lời giải Chọn B Áp dụng bất đẳng thức MinCopxki...  có nghiệm t0   3;7  thức t to f''(t) + 148 f(t) f(to) Suy M  3x  y ? ?4   x  y  1 27 x  y   x  y   148 Đẳng thức xảy x  , y  Câu 46 : [2D1-3.12 -4] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc...  x  y   xy  4t  21t  63 Xét hàm số f  t   4t  21t  63 , với t   4; 8 Ta có f   t   8t  21   t  21   4; 8 Do f  t   f    83 ? ?4; 8  x  y  Do P  83 suy P