Vectơ trong không gian và các bài toán đẳng thức, bất đẳng thức hình học các điểm thẳng hàng, trùng nhau các vectơ đồng phẳng, không đồng phẳng quan hệ song song

Nhờ có phương pháp này, các bài toán như chứng minh tính song song, vuông góc, thẳng hàng… nói chung được giải quyết một cách dễ dàng và ngắn gọn.. Mục đích và nhiệm vụ nghên cứu Qua cá

 QUAN HỆ SONG SONG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

 QUAN HỆ SONG SONG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học

GV BÙI VĂN BÌNH

LỜI CẢM ƠN

Bước đầu làm quen với việc tiến hành nghiên cứu khoa học nên em không khỏi bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn Để có được khoá luận hoàn thiện

em đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán cùng các thầy

cô trong trường ĐHSPHN2 và đặc biệt là sự tân tình chỉ bảo và đóng góp những ý kiến quý báu của thầy Bùi Văn Bình trong thời gian qua

Do điều kiện thời gian cùng với vốn kiến thức chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của thầy cô

và các bạn sinh viên để tìm được những ý tưởng tốt hơn, bổ sung cho khóa luận được hoàn thiện hơn nữa và sẽ là tài liệu tham khảo thật sự bổ ích cho tất

cả những độc giả có niềm đam mê môn Toán

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Hình học, các thầy cô trong khoa Toán và đặc biệt là thầy Bùi Văn Bình đã hướng dẫn em hoàn thành khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bản khóa luận này được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy Bùi Văn Bình

Bản khóa luận này không trùng với kết quả của tác giả khác Nếu trùng tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Rất mong được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để bản khóa luận

được hoàn thiện hơn

Sinh viên Nguyễn Thị Liễu

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1

PHẦN II: NỘI DUNG 3

Chương I: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ 3

I Vectơ 3

II Các phép toán vectơ 5

III Tích vô hướng 7

IV Ba vectơ đồng phẳng 8

V Các bài toán cơ bản 9

Chương II: ỨNG DỤNG VECTƠ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 13

I Chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức 13

II Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai điểm trùng nhau 17

III Chứng minh các vectơ đồng phẳng, không đồng phẳng 27

IV Ứng dụng điều kiện đồng phẳng, không đồng phẳng của ba vectơ 32

V Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau, đường thẳng song song với mặt phẳng 39

PHẦN III: KẾT LUẬN 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

Trang

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là một bộ phận quan trọng cấu thành toán học Hình học luôn luôn là một môn học khó đối với học sinh bởi đây là môn học có tính chặt chẽ, tính lôgic và tính trừu tượng cao hơn những ngành học khác của toán học

Trong chương trình môn toán ở trung học cơ sở các em đã được làm quen với các khái niệm về đại lượng vô hướng Khi lên bậc trung học phổ thông các khái niệm đó tiếp tục được mở rộng, chúng ta có các khái niệm mới, trong đó vectơ là một ví dụ Khi mở rộng đoạn thẳng vô hướng sang đoạn thẳng có hướng ta có khái niệm vectơ Khái niệm vectơ sẽ theo suốt các

em trong quá trình học tập ở trường trung học phổ thông

Thông thường khi mở rộng một khái niệm nào đó thì đồng thời ta có một phương pháp mới, một công cụ mới để giải toán Khái niệm vectơ ra đời cho

ta một phương pháp mới để giải toán một cách hiệu quả hơn Nhờ có phương pháp này, các bài toán như chứng minh tính song song, vuông góc, thẳng hàng… nói chung được giải quyết một cách dễ dàng và ngắn gọn

Với mong muốn trên, được sự giúp đỡ của thầy Bùi Văn Bình, em đã

mạnh dạn chọn đề tài “Vectơ trong không gian và các bài toán”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghên cứu

Qua các dạng toán, các ví dụ tham khảo mẫu… sẽ cho học sinh thấy được phần quan trọng của việc sử dụng vectơ trong lời giải các bài tập hình học Tạo cho học sinh coi đây là một phương pháp để giải toán hiệu quả, một cách suy nghĩ mới mẻ về hình học

3 Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là vectơ và vấn đề áp dụng nó vào giải các bài tập trong hình học không gian

Do thời gian có hạn, đề tài chỉ đề cập đến vấn đề sử dụng công cụ vectơ

để giải một số dạng bài tập cơ bản của Hình học không gian, với đối tượng là học sinh THPT, chuẩn bị thi Đại học, Cao đẳng, THCN

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

+) Hệ thống các khái niệm và tính chất cơ bản của vectơ trong hình học không gian

+) Hệ thống các dạng bài tập trong hình học không gian

5 Phương pháp nghiên cứu

+) Phân tích, tổng hợp các tài liệu có liên quan

+) Tổng kết kinh nghiệm

PHẦN 2: NỘI DUNG

I Vectơ

I.1 Định nghĩa vectơ:

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng

Cho đoạn thẳng AB trong không gian Nếu ta chọn điểm đầu (điểm gốc)

là A và điểm cuối (điểm ngọn) là B thì ta có một vectơ

được gọi là cùng hướng, nếu chiều

từ A đến B trùng với chiều từ C đến D Kí hiệu là: AB­ ­ CD

Hai vectơ cùng phương AB

và CD

được gọi là ngược hướng, nếu chiều

từ A đến B ngược với chiều từ C đến D Kí hiệu là: AB­ ¯CD

Chú ý: Khi đó ta cũng có các kết quả sau:

+) Vectơ không được xem là cùng hướng với mọi vectơ

+) Hai vectơ cùng hướng với một vectơ khác vectơ không thì hai vectơ

đó cùng hướng với nhau

+) Ta chỉ có thể nói hai vectơ nào đó cùng hướng hay ngược hướng khi

đã có hai vectơ đó cùng phương

I.3 Độ dài của vectơ

Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó

Độ dài của vectơ AB

là độ dài của đoạn thẳng AB, được kí hiệu là: AB



Như vậy: AB = AB= BA

Theo đó, độ dài của vectơ - không có độ dài bằng O

Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị

I.4 Hai vectơ bằng nhau

và được kí hiệu bằng một chữ cái thường và có mũi tên trên đầu như:

+) Hiển nhiên, mọi vectơ - không đều bằng nhau Kí hiệu: 0

+) Khi cho trước vectơ a và điểm O thì có một điểm A duy nhất sao cho:

a

b

a

B A

B và C sao cho: ABa; BCb

Khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a

và b

Ta kí hiệu tổng của hai vectơ a và b

là: a + b Hay AC= a+ b

Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ

C B

A

Mỗi vectơ có một vectơ đối là duy nhất

và c

ta có:

+) Tính chất giao hoán:

a+ b= b+ a+) Tính chất kết hợp:

Nếu ABCD là hình bình hành thì ta luôn

có: AB+ AD= AC

+) Quy tắc hình hộp:

Phép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ hai vectơ (vectơ atrừ đi vectơ b)

b) Từ định nghĩa ta có quy tắc ba điểm đối với phép trừ như sau:

Với ba điểm A,B,C bất kỳ ta có: AB AC CB- = 

II.3 Phép nhân vectơ với một số

a) Định nghĩa

Cho số thực k 0¹ và vectơ a¹ 0

Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là k a

, được xác định như sau:

+) Nếu k³ 0 thì vectơ k.a

cùng hướng với vectơ a

+) Nếu k 0< thì vectơ k.a

ngược hướng với vectơ a

k.a = k a

Phép lấy tích của một vectơ với một số còn được gọi là phép nhân vectơ với số thực

b) Các tính chất của phép nhân vectơ với một số:

Với hai vectơ a và b

III.2 Các tính chất cơ bản của tích vô hướng

Với ba vectơ a,b,c   tùy ý và mọi số thực k0, ta có:

IV Ba vectơ đồng phẳng

IV.1 Định nghĩa

Trong không gian cho ba vectơ a, b,c  

tùy ý Nếu từ một điểm O bất kỳ

ta vẽ: OA a;OB b;OC c= =  = 

thì có thể xảy ra hai trường hợp:

 Nếu bốn điểm O,A,B,C cùng nằm trên một mặt phẳng, ta nói ba vectơ

Hay ta định nghĩa như sau:

Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu ba đường thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng

V Một số bài toán cơ bản

MA+ MB+ MC+ MD= 4.MG

    

, với mọi điểm M

Chứng minh:

Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD

Sử dụng quy tắc ba điểm ta lần lượt có:

C

J

D A

Tương tự, ta chứng minh được G là trung điểm chung của các đoạn thẳng KL và MN Vậy G là trọng tâm của tứ diện ABCD

Suy ra: MA+ MB+ MC+ MC= 4.MG

Điều phải chứng minh

cạnh AD,BC và G là trọng tâm của tam giác BCD

Do đó: 2.MN= MA+ MD+ AB+ DC+ BN+ CN

Vì M là trung điểm của đoạn AD nên: MA+ MD= 0

Và N là trung điểm của đoạn BC nên: BN+ CN= 0

Suy ra: AB+ AC+ AD= 3.AG+ GB+ GC+ GD.

Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên GB+ GC+ GD= 0.

Do đó ta suy ra: AB+ AC+ AD= 3.AG

Đpcm

Chương II: ỨNG DỤNG VÉCTƠ

TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Sử dụng phương pháp véctơ sẽ giải quyết được rất nhiều bài toán trong không gian mà các phương pháp khác không đạt được tính ưu việt như phương pháp này

Nội dung của việc ứng dụng véctơ trong giải toán hình học không gian được thể hiện qua một số dạng toán sau:

I CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC:

I.1 Phương pháp chung: Để chứng minh đẳng thức véctơ ta thường lựa

chọn một trong các hướng biến đổi sau:

*) Hướng 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (VT Þ VP hoặc VP Þ VT ) Khi đó: - Nếu xuất phát từ vế phức tạp hơn ta cần thực hiện đơn giản biểu thức

- Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích véctơ

*) Hướng 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng

*) Hướng 3: Biến đổi đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh

*) Hướng 4: Tạo dựng hình phụ

Trong quá trình biến đổi ta thường sử dụng các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp, các bài toán 1, bài toán 2,… , các phép toán véctơ

Khi gặp dạng toán chứa bình phương độ dài các đoạn thẳng ta chuyển hệ thức cần chứng minh về dạng bình phương vô hướng như: 2 2

AB = AB

Khi gặp dạng toán chứa bình phương tích độ dài đoạn thẳng ta chuyển về tích độ dài vectơ hoặc sử dụng định nghĩa tích vô hướng để giải

I.2 Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Trong không gian cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D bất kỳ Chứng minh: AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0

( công thức Euler )

Chứng minh:

Thực hiện biến đổi vế trái, ta có:

AB.CD AC.DB AD.BC

AB.AD AB.AC AC.AB AC.AD AD.AC AD.AB

Từ đó có ngay lời giải bài toán

Từ đẳng thức trên ta suy ra trong không gian nếu có bốn điểm A,B,C,D phân biệt sao cho: AB.CD 0 =

và AC.DB = 0

thì: AD.BC = 0

Hay nếu bốn điểm A,B,C,D trong không gian tạo thành một tứ diện có

AB^ CD và AC^ BD thì AD^ BC

Nói cách khác: nếu tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vông góc với nhau từng đôi một thì cặp cạnh đối diện còn lại cũng vuông góc với nhau

Ví dụ 2:

Cho tứ diện ABCD Gọi I, I , J, J , K, K lần lượt là trung điểm của 1 1 1

DA,CB, BD, AC,BA và CD Biết rằng: II1= JJ1= KK1 Chứng minh rằng:

Rõ ràng việc sử dụng phương pháp vectơ trong chứng minh các hệ thức

là một phương pháp hiệu quả giúp lời giải bài toán đơn giản, ngắn gọn, dễ dàng hơn và phần nhiều không phụ thuộc vào hình vẽ…

D

C B

A

Bài 2: Cho tứ diện ABCD

a) Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AC và BD Chứng minh rằng:

II.1 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

II.1.1 Phương pháp chung

Để chứng minh ba điểm phân biệt A,B,C thẳng hàng ta chọn một trong

các hướng sau:

 Hướng 1: Chứng minh hai vectơ AB

và AC

cộng tuyến, tức chứng minh: AB k.AC,k R=  Î

 Hướng 2: Sử dụng kết quả sau:

“Cho ba điểm A,B,C phân biệt Điều kiện cần và đủ để A,B,C thẳng hàng là: MC= a.MA+ (1- a).MB

, với M là điểm tùy ý, a là số thực bất kỳ”

II.1.2 Các ví dụ minh họa

Từ giả thiết theo định lý Ta-let, ta có: BA k.BC= 

và B A1 1= k.B C1 1

Khi đó, ta lần lượt có:

) Bởi đó là công việc khó và thay vào đó ta chứng minh ba vectơ OK,OI,OJ   thỏa mãn:

OJ= a.OI+ b.OK

với a + b = 1

Ví dụ 2:

Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho: MA= - 2.MB

và ND= - 2.NC

Các điểm I,J,K lần lượt thuộc

AD, MN, BC sao cho: IA= k.ID,

JM= k.JN,

KB= k.KC

Chứng minh ba điểm: I,J,K thẳng hàng

Giải:

Theo giả thiết của bài toán ta lần lượt có:

+) Với vectơ IJ, ta có biểu diễn:

Từ (3) và (4) ta suy ra: IJ= 2.JKÛ I,J,K thẳng hàng

Nhận xét: Với việc sử dụng hướng giải xác định vectơ IJ và JK

thông qua một tổ hợp trung gian, để thiết lập được điều kiện IJ= 2.JK

Và câu hỏi thường được học sinh đặt ra ở đây là: “Vì sao lại nghĩ được như vậy?”, để trả lời chúng ta bắt đầu như sau:

A

*) I,J,K sẽ thẳng hàng khi IJ= t.JK

(hoặc IJ= t '.IK

) và để có được đẳng thức này nếu sử dụng phép tách chúng ta cần chèn thêm các điểm

A, B, C, D, M, N (tức sáu điểm), khi đó sẽ nhận được một biểu thức vectơ rất phức tạp

*) Với sự cần thiết của sáu điểm để đơn giản hóa chúng chia thành hai

bộ (mỗi bộ ba điểm) tương ứng với các đẳng thức vectơ của giả thiết

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCDA B C D Gọi 1 1 1 1 G là trọng tâm của tam giác BDA Chứng minh rằng: 1 A,G,C thẳng hàng 1

BC tại I và DA tại 1 J Chứng minh rằng: I,M,J thẳng hàng

Bài 2: Cho tứ diện ABCD Gọi B ,C ,D lần lượt là trọng tâm của các 0 0 0tam giác ACD, ADB và ABC Gọi G và G là trọng tâm của tam giác 0BCD và B C D Chứng minh: ba điểm 0 0 0 A,G ,G thẳng hàng 0

Bài 3: Cho hình hộp ABCDA B C D 1 1 1 1 M là điểm trên cạnh AD sao cho 1

3

=

 

N là điểm trên đường thẳng BD , 1 Þ CG'= 2.GIÞ CG'/ /GI

là điểm trên đường thẳng CC sao cho ba điểm M, N,P thẳng hàng 1

Vì trọng tâm G của tam giác BCD

cũng là trọng tâm của tam giác

A

P

c

b a N M

A

ïï - = a ì

-ïï

ïï = a ïî

-Giải hệ này ta được: 2; x 3; y 3

II.2.CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU

II.2.1 Phương pháp chung

hai hướng sau:

 Hướng 1: Chứng minh: AA1= 0

 Hướng 2: Chứng minh: OA1= OA2

, với O là điểm bất kỳ

II.2.2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' có cùng trọng tâm là: AA '+ BB'+ CC'+ DD'= 0

Giải:

Xét tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD

GA '+ GB'+ GC'+ GD'= 0

Nghĩa là hai tứ diện có cùng trọng tâm

Vậy điều kiện cần và đủ để hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' có cùng trọng tâm là: AA '+ BB'+ CC'+ DD'= 0

(đpcm)

Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCDA B C D Gọi 1 1 1 1 P, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB và A D Gọi 1 1 P ,Q,Q ,R lần lượt là giao điểm đường chéo các 1 1 1mặt: ABCD, CDD C , 1 1 A B C D , 1 1 1 1 ADD A Chứng minh: 1 1

Vậy hai tam giác: DPQR và DP Q R1 1 1 có cùng trọng tâm

Nhận xét: Dạng bài chứng minh hai điểm trùng nhau thường sử dụng phương pháp vectơ để giải

II.2.3 Bài tập đề nghị

Bài 1: Cho các điểm A,B,C,D,E,F, trong đó không có bốn điểm nào cùng ở trên một mặt phẳng Gọi I,J,K,L,M lần lượt là trung điểm của AB,BC, CD, DE,EF và FA

Chứng minh: hai tứ diện SIKM và SJLN có cùng trong tâm

Bài 2: Cho tứ diện ABCD M, N,P là ba điểm lần lượt ở trên ba đường thẳng BC,CD,DB và không trùng với B,C,D sao cho:

Vì J,L, N là trung điểm của BC,DE,FA

Nên (2) Û G J1 + G L1 + G N1 = 0 Suy ra G là trọng tâm tam giác 1 JLN Vậy hai hình chóp SIKM và SJLN có cùng trọng tuyến SG Do đó 1

Bài 2: Gọi G là trọng tâm tam giác 1 BCD Ta có: G B1 + G C1 + G D1 = 0

Ta chứng minh G là trọng tâm tam giác 1 MNP

Ta có: G M1 = G B1 + BM= G B1 + kBC

Tương tự: G N1 = G C1 + kCD