Vectơ trong không gian và các bài toán

Trong chương trình toán học phổ thông, để giải một bài toán hình học ta có rất nhiều phương pháp, trong đó phương pháp vectơ là phương pháp rất hiệu quả.. Xuất phát từ những lý do trên c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

 CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2012

LỜI CẢM ƠN

Bước đầu làm quen với việc tiến hành nghiên cứu khoa học nên em không khỏi bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn Để có được khoá luận hoàn thiện

em đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán cùng các thầy

cô trong trường ĐHSPHN2 và đặc biệt là sự tân tình chỉ bảo và đóng góp những ý kiến quý báu của thầy Bùi Văn Bình trong thời gian qua

Do điều kiện thời gian cùng với vốn kiến thức chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên để tìm được những ý tưởng tốt hơn bổ sung cho khóa luận được hoàn thiện hơn nữa và sẽ là tài liệu tham khảo thật sự bổ ích cho tất cả những độc giả có niềm đam mê môn Toán

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Hình

học, các thầy cô trong khoa và đặc biệt là thầy Bùi Văn Bình đã hướng dẫn

em hoàn thành khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên Ngô Thị Hồng Thoa

LỜI CAM ĐOAN

Do sự nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của thầy Bùi Văn Bình trong quá trình hoàn thành khóa luận tôi xin cam đoan khóa luận này không trùng với kết quả của tác giả nào khác Nếu trùng tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn

Sinh viên Ngô Thị Hồng Thoa

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

LỜI MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 4

CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ 4

I VECTƠ 4

II CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 6

III TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 10

CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI TOÁN 14

I CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC 14

II CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH 25

III TÌM QUỸ TÍCH ĐIỂM 28

IV CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 33

V CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN 36

KẾT LUẬN 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, hình học luôn là môn học khó đối với học sinh Vì hình học là môn học đòi hỏi tính chặt chẽ, tính logic và trừu tượng cao hơn môn học khác của toán học

Trong chương trình toán học phổ thông, để giải một bài toán hình học

ta có rất nhiều phương pháp, trong đó phương pháp vectơ là phương pháp rất hiệu quả Nó cho chúng ta lời giải một cách chính xác, tránh được yếu tố trực quan, các suy diễn phức tạp của phương pháp tổng hợp và là công cụ hiệu quả

để giải các bài toán hình học Không những thế phương pháp vectơ cón là một công cụ rất mạnh để giải các bài toán đại số

Do đó việc nắm vững phương pháp sẽ cung cấp cho học sinh một phương pháp giải toán hữu hiệu Đồng thời còn để cho học sinh suy nghĩ về bài toán theo một phương pháp khác với các phương pháp quen thuộc mà học sinh đã biết từ trước tới nay

Xuất phát từ những lý do trên cùng với mong muốn của bản thân có một hệ thống cụ thể về phương pháp vectơ trong toán học sơ cấp và sự động

viên khích lệ của thầy Bùi Văn Bình mà em đã chọn đề tài:” Vectơ trong không gian và các bài toán: Quan hệ vuông góc, điểm cố định của đường thẳng và mặt phẳng, quỹ tích điểm, bất đẳng thức hình học, các bài toán tính toán”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu là ứng dụng phương pháp vectơ vào giải các bài toán trong không gian để đơn giản hoá lời giải giúp các bài toán có các cách

giải ngắn gọn và giúp học sinh có thêm một phương pháp để giải các bài toán hình học trong không gian

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là ứng dụng phương pháp vectơ vào giải các bài toán trong không gian để giảm bớt quá trình tính toán

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm cách chuyển ngôn ngữ của bài toán sang ngôn ngữ vectơ Sau đó

sử dụng các kiến thức tổng hợp về vectơ để giải toán Sau khi giải xong ta lại chuyển ngược lại từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ bài toán cần giải

5 Phạm vi nghiên cứu

Do khuôn khổ thời gian có hạn nên đề tài này chỉ đề cập đến vấn đề sử dụng công cụ vectơ để giải các bài toán hình học trong không gian

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài đã cho ta thấy được những ưu điểm nổi bật của phương pháp vectơ so với các phương pháp khác và những ứng dụng rộng rãi trong toán học của vectơ

Đề tài còn cung cấp cho chúng ta một phương pháp giải các bài toán hình học trong không gian một cách hữu hiệu mà ngắn gọn, dễ hiểu

7 Phương pháp nghiên cứu

 Phân tích tài liệu

 Tổng kết lại thành từng dạng toán

8 Cấu trúc khoá luận

Nội dung khoá luận gồm 2 phần cơ bản:

Chương I: Những kiến thức liên quan

Phần này trình bày tóm tắt về một số kiến thức cơ bản về vectơ

Chươnh II: Ứng dụng phương pháp vectơ vào giải toán

Phần này đưa ra các ứng dụng cụ thể của phương pháp vectơ để giải các bài toán hình học trong không gian Đồng thời trình bày hệ thống các ví

dụ và bài tập cụ thể

NỘI DUNG

CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ

I VECTƠ

I.1 Định nghĩa vectơ

Cho đoạn thẳng AB Nếu ta quy định điểm A là điểm đầu (điểm gốc) và điểm B là điểm cuối (điểm ngọn) thì ta bảo rằng đoạn thẳng AB đã được định hướng hay gọi là vectơ AB

* Hai vectơ cùng phương AB

+ Ta chỉ có thể nói hai vectơ nào đó cùng hướng hay ngược hướng khi đã

có hai vectơ đó cùng phương

I.3 Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ AB

là độ dài của đoạn thẳng AB

Kí hiệu là: AB

Khi đó: AB  ABBA

Từ đó ta có: độ dài của vectơ- không bằng 0

I.4 Hai vectơ bằng nhau

+ Quan hệ bằng nhau của các vectơ là quan hệ tương đương Mỗi vectơ đại diện được kí hiệu là , , ,a b x y   

,…

+ Nếu đã cho vectơ a

và một điểm O thì có một điểm A duy nhất sao cho:

OA a

+ Mọi vectơ-không đều bằng nhau Kí hiệu là: 0

I.5 Góc giữa hai vectơ

Định nghĩa :

Cho hai vectơ a

và b khác 0

Kí hiệu : ( a

, b) Nhận xét:

+ ( a

, b

)=180o a

và b ngược hướng

+ ( a

, b

)=90o ta nói hai vectơ a

và b vuông góc với nhau

Kí hiệu: a b

Quy ước: Nếu ít nhất một trong hai vectơ a

và b bằng 0

Từ định nghĩa ta có các quy tắc sau :

Khi đó ta có : a  b a  b

Phép tìm hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ hai vectơ

* Quy tắc ba điểm về phép trừ vectơ :

số thực

II.3.2 Các tính chất của phép nhân vectơ với một số

Với hai vectơ a

, b bất kì và mọi số thực k, l ta có:

III TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

a b  a b  a  b

; hay 1 2 2

III.2 Các tính chất cơ bản của tích vô hướng

Với mọi vectơ , ,a b c  

- Nếu hai trong ba vectơ , ,a b c  

cùng phương với nhau thì ba vectơ đó đồng phẳng

không đồng phẳng khi đó với mọi d

luôn tồn tại duy nhất ba số

2 I là trung điểm của đoạn AB  MA MB     2 MI 

với M là điểm tùy ý Chứng minh:

1.Điều kiện cần:

I là trung điiểm của đoạn AB nên ta có: AI=IB, AI

( Với mọi điểm M) (đpcm)

Bài toán 2: Trong không gian chứng minh rằng:

1 Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD GA GB    GCGD0

1 Gọi I, J, K, L, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC,

G là trung điểm của đoạn thẳng IJ

Chứng minh tương tự ta được G là trung điểm của các đoạn thẳng KL và

MN

Vậy G là trọng tâm của tứ diện ABCD

2 Do G là trọng tâm của tứ diện ABCD GA GB    GCGD 0

(*) Với mọi điểm O, đẳng thức (*) sẽ tương đương với đẳng thức:

CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI TOÁN

) vuông góc với nhau  a b   0

Từ đó nếu a

, b lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và b thì 0

Khi đó giải bài toán trở lên đơn giản!

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh a, trên các đường chéo của mặt bên là BD và AD1 lấy lần lượt 2 điểm M, N sao cho BM2MD

, 1

B1

A1

C1

M N

32

Nhận xét: Biểu diễn MN BD AD  , , 1

theo , ,a b c  

sau đó sử dụng tích vô hướng

ta có ngay lời giải bài toán

Ví dụ 3 : Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau : AB=CD=

c, BC=DA=a, CA=BD=b Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để các đường trọng tuyến AA1 và CC1 vuông góc với nhau là :

a2+c2=3b2

Giải :

1AA

CC AC AC    ABAD AC

1

13

Bài tập 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi AH là đường cao của tứ

diện xuất phát từ đỉnh A và O là trung điểm của AH Chứng minh: OB, OC,

OD vuông góc với nhau từng đôi một

2

b c   c d b d a a c 

Sau đó biểu diễn các vectơ OB OC OD  , ,

theo các vectơ , ,b c d  

rồi xét các tích , ,

Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD, AC=a, BD=b Trên đường thẳng AB lấy 2

điểm P, P1; trên đường thẳng CD lấy 2 điểm Q, Q1 sao cho: AP CQ a

Gọi O là 1 điểm trong không gian Do A, B, P thẳng hàng và AP a

b

PB  nên bOA aOB

Sau đó biểu diễn 2 vectơ PQ PQ , 1 1

theo a, b ta sẽ suy ra điều phải chứng minh

Bài tập 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của AD và BB’ Chứng minh: MN  A C'

Hướng dẫn :

Đặt ABa AD , b , AA'c

Sau đó biểu diễn MN AC , '

theo , ,a b c  

rồi xét tích MN AC  '

sẽ suy ra điều phải chứng minh

I.2 CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Để chứng minh CDSOE ta đi chứng minh: CDOECD OE  0

Do SOABC và SA=SB=SC O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

Mà ABC cân ở A nên O nằm trên đường trung trực AM của cạnh BC

G là trọng tâm của ABC nên ta có:

(**) Vậy từ (*) và (**) SGA B C1 1 1 (đpcm)

Nhận xét: Đây là một bài toán khá phức tạp Nếu sử dụng các phương pháp thong thường thì việc chứng minh sẽ gặp rất nhiều khó khăn

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1

Chứng minh AC1A BD1 

Giải:

D

CB

A

I.2.3 Bài tập:

Bài tập 1: Cho hình thang ABCD có 90o

AB S là điểm trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết rằng AD=2a, AB=BC=a

rồi xét các tích vô hướng SB SC SC SD    ,

Bài tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng 1 Trên

các cạnh BB’, CD, A’D’ lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho: B’M=CN=D’P=a (0<a<1) Chứng minh:

II CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ĐI QUA ĐIỂM

CỐ ĐỊNH

II.1 Phương pháp:

Một điểm hoàn toàn cố định khi biết tỷ số mà điểm đó chia đoạn cố định cho trước

Do vậy để chứng minh đường thẳng và mặt phẳng đi qua một điểm cố định

ta sẽ chỉ ra rằng đường thẳng và mặt phẳng đó chứa một điểm chia đoạn thẳng

cố định nào đó theo một tỷ số xác định đã biết

II.2 Ví dụ:

Ví dụ 1: Gọi P là điểm cố định trên mặt cầu tâm O bán kính R cho trước

Tam diện vuông Pxyz quay xung quanh P có các tia Px, Py, Pz cắt mặt cầu lần lượt tại A, B, C Chứng minh (ABC) luôn đi qua một điểm cố định

Giải:

Gọi I là trung điểm của BC Trên PI lấy điểm K sao cho PK 2PI

Khi đó APK vuông tại P, mặt cầu qua 4 điểm P, A, B, C nhận AK làm

Gọi G là trọng tâm của ABC nên

AA3

Nhận xét: Hệ thức vectơ về trọng tâm của tam giác giúp cho những bài toán

sử dụng vectơ trở nên đơn giản

Việc sử dụng vectơ để tìm điểm cố định sẽ dễ dàng hơn rất nhiều so với các phương pháp khác

Bài tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Trên các

đường chéo BD và AD’ của các mặt bên lần lượt lấy hai điểm thay đổi M và

N sao cho DM=AN=x 0xa 2 Chứng minh rằng khi đó đường thẳng

MN luôn song song với mặt phẳng cố định

Chú ý : Nếu M’N’//A’D’, MM’//BC ta được mp(MNN’M’)//(BCD’A’)

III TÌM QUỸ TÍCH ĐIỂM

III.1 Phương pháp:

Để có thể sử dụng vectơ vào các bài toán tìm quỹ tích điểm, chúng ta cần luư ý kỹ năng chuyển từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ hình học và ngược lại

OM R

5) Qũy tích những điểm M sao cho  AM AB  0

là đường vuông góc với

với k *; A, B, C cho trước:

+ Nếu A, B, C thẳng hàng thì quỹ tích điểm M là đường thẳng BC

+ Nếu A, B, C không thẳng hàng thì quỹ tích điểm M là đường thẳng qua

A và song song với BC

III.2 Ví dụ:

Ví dụ 1: Trong không gian cho hai đường thẳng (a) và (b) chéo nhau, M và

N là 2 điểm lần lượt di động trên (a) và (b) Tìm tập hợp các điểm I sao cho

IM k IN

 

với k là hằng số cho trước, k0,k 1

Giải:

Lấy điểm A bất kì trên (a) và gọi a a   0

là vectơ chỉ phương của (a)

B là điểm bất kì trên (b) và gọi b b   0

là vectơ chỉ phương của (b)

Gọi I0 là điểm chia đọan AB theo tỷ số k hay I A0 k I B0

Vì M ( ),a N( )b nên có 2 số thực m, n để: AM ma BN , nb

Với mọi điểm I trong không gian ta có:

Nhận xét: việc dự đoán quỹ tích rất khó khăn

Ở bài này quỹ tích là một mặt phẳng do đó sử dụng các phương pháp thông thường để tìm quỹ tích sẽ gặp khó khăn

Ví dụ 2:

Trong không gian cho 3 đường thẳng (p), (q) và (r) đôi một chéo nhau và cùng song song với mặt phẳng   nào đó A, B, C lần lượt là 3 điểm di động trên (p), (q), (r) Tìm quỹ tích trọng tâm của ABC

tương ứng là các vectơ chỉ phương của (p), (q), (r)

Do (p), (q), (r) đôi một chéo nhau và cùng song song với   nên , ,  p q r

đồng phẳng nhưng từng đôi một không cùng phương Do đó có 2 số thực m, n

sao cho rm pnq

Vì A(p), B( ),q C( )r nên luôn tìm được cặp số a, b, c sao cho:

A Aa p B Bbq C C cr cm pcnq

       

Gọi G0 là trọng tâm của ABC nên ta có: G A  0 0 G B0 0G C0 0 0

Hay   và   cùng phương

Vậy quỹ tích G là mặt phẳng đi qua G0 cùng phương với mp  đã cho Nhận xét: Sử dụng phương pháp vectơ trong lời giải của bài toán giúp cho việc tìm tập hợp trở nên đơn giản và ngắn gọn

Sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng ta sẽ suy ra được quỹ tích của điểm M

Bài tập 2: Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm M trong không gian thỏa

Bài tập 3 Cho tứ diện ABCD và M là một điểm di động trong không gian

Tìm quỹ tícsh điểm M nếu có:

2 Trước hết ta hãy xác định điểm I thỏa mãn hệ thức:

3IA2IB  ICID0Gọi N là trung điểm của CD suy ra điểm I được xác định duy nhất bởi hệ

Sau đó biến đổi biểu thức ở vế trái theo vectơ MI

suy ra điều phải chứng minh

IV CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

IV.1 Phương pháp

Để chứng minh bất đẳng thức bằng vectơ ta dựa vào các kết quả sau:

a) Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ:

Cho hai vectơ a b a  ,  0, b0

khi đó tích vô hướng của hai vectơ được định nghĩa như sau:

IV.2 Ví dụ:

Ví dụ 1:

Trong không gian cho hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ Gọi G, G’ lần lượt

là trọng tâm của hai tứ diện đó Chứng minh: ' AA ' ' ' DD '

BOC DOA AOB DOC COADOB Chứng minh: với mọi điểm M

trong không gian luôn có: MAMBMC MDOA OB OCOD

Giải:

Trên các tia OA, OB, OC, OD lấy các vectơ đơn vị OA OB OC OD   ', ', ', '

Khi đó với giả thiết đã cho ta có; B’C’=D’A’,C’A’=D’B’,A’B’=D’C’ nên A’B’C’D’ tứ diện gần đều nhận O là tâm mặt cầu ngoại tiếp, đồng thời O cũng là trọng tâm của tứ diện gần đều A’B’C’D’

IV.3 Bài tập:

Bài tập 1 Cho tứ diện gần đều ABCD (AB=CD=a, BC=AD=b, AC=BD=c)

Chứng minh: MA+MB+MC+MD4R

Hướng dẫn: