Vectơ trong mặt phẳng với các bài toán đẳng thức bất đẳng thức ba điểm thẳng hàng hai điểm trùng nhau

Phương pháp vectơ được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán chứng minh, sử dụng phương pháp vectơ để giải toán trong hình học phẳng ưu việt hơn sử dụng các phương pháp khác.. Với những m

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

 HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học:

BÙI VĂN BÌNH

Hà Nội – 2012

LỜI CẢM ƠN

Học tập và nghiên cứu khoa học là nhiệm vụ hàng đầu của mỗi sinh viên Song trên con đường tìm kiếm và khám phá kho tàng kiến thức mà nhân loại đã tích lũy được thì bất kể ai đều cần có sự chỉ bảo giúp đỡ của người thầy Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Bùi Văn Bình đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học này

Do đây là lần đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và hơn nữa do thời gian, năng lực của bản thân còn hạn chế nên sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô cùng các bạn để đề tài nghiên cứu khoa học của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 07 tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Nông Thị Chuẩn

LỜI CAM ĐOAN

Do sự nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của thầy Bùi Văn Bình trong quá trình hoàn thành khóa luận tôi xin cam đoan khóa luận này không trùng với kết quả của tác giả nào khác Nếu trùng tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn

Sinh viên Nông Thị Chuẩn

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 4

NỘI DUNG 10

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN LIÊN QUAN 10

1.1 Vectơ 10

1.2 Các phép toán vectơ 12

1.3 Tích vô hướng của vectơ 14

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG 16

2.1 Chứng minh các đẳng thức vectơ 16

2.2 Chứng minh hệ thức hình học 24

2.3 Chứng minh bất đẳng thức 29

2.4 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 37

2.5 Chứng minh hai điểm trùng nhau 44

KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Hình học là một bộ phận cấu thành nên toán học Đây là một môn học thú vị nhưng tương đối khó đối với học sinh Trong chương trình toán THCS học sinh đã được làm quen với các đại lượng vô hướng, khi lên bậc THPT các khái niệm đó tiếp tục được mở rộng Trong đó vectơ là một ví dụ điển hình Khi mở rộng đoạn thẳng vô hướng sang đoạn thẳng có hướng ta có khái niệm vectơ Thông thường khi mở rộng một khái niệm nào đó thì đồng thời ta có thêm một phương pháp mới để giải toán Khái niệm vectơ cho ta cho ta một phương pháp giải toán rất hiệu quả đó là phương pháp vectơ,là một trong những phương thức phát triển năng lực sáng tạo trong giải toán Phương pháp vectơ được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán chứng minh, sử dụng phương pháp vectơ để giải toán trong hình học phẳng ưu việt hơn sử dụng các phương pháp khác

Với những mong muốn trên cùng với sự giúp động viên giúp đỡ của

thầy giáo Bùi Văn Bình em chọn đề tài “Vectơ trong hình học phẳng và

các bài toán: đẳng thức, bất đẳng thức, các điểm thẳng hàng và trùng nhau”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nhằm rèn luyện khả năng phát hiện các ứng dụng đa dạng của phương pháp vectơ trong giải toán hình học phẳng, đặc biệt là trong chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức,tính thẳng hàng và trùng nhau của các điểm

Trình bày phương pháp giải giải và đưa ra các ví dụ mẫu để học sinh có thể giải được các bài tập tương tự trong phần bài tập đề nghị

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Lấy vectơ làm cơ sở để nghiên cứu những ứng dụng của vectơ vào giải bài tập trong hình học phẳng

Do thời gian có hạn và chỉ trong khuôn khổ của một khoá luận tốt nghiệp nên đề tài của em chỉ giới hạn trong các bài toán: Chứng minh hệ thức hình học, các đẳng thức vectơ, các bất đẳng thức, chứng minh ba điểm thẳng hàng và hai điểm trùng nhau

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN LIÊN QUAN

1.1 Vectơ

1.1.1 Định nghĩa vectơ

Vectơ là một đoạn thẳng đã định

hướng, nghĩa là đã chỉ rõ điểm mút nào

của đoạn thẳng là điểm đầu (điểm gốc)

và điểm mút nào của đoạn thẳng là

điểm cuối (điểm ngọn)

Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B Kí hiệu là: AB

Chú ý:

 Cho hai điểm phân biệt A và B thì ta có hai vectơ AB

và BA

là khác nhau

 Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như: AA

, BB

,… gọi là vectơ–không

1.1.2 Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ AB

là độ dài đoạn thẳng AB Kí hiệu: AB

Như vậy,

ta có:

 ) AB  ABBA

 ) Độ dài của vectơ-không bằng 0

1.1.3 Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng

Hai vectơ AB

và CD

gọi là cùng phương nếu chúng lần lượt nằm trên hai đường thẳng

song song hoặc trùng nhau

Hai vectơ cùng phương AB

là cùng hướng nếu chiều đi từ A đến B trùng

với chiều đi từ C đến D

Hai vectơ cùng phương AB

và CD

gọi là ngược hướng nếu chiều đi từ A đến

B ngược với chiều đi từ C đến D

gọi là bằng nhau nếu chúng cùng phương cùng

hướng và cùng độ dài Kí hiệu: ABCD

Chú ý:

 Quan hệ hai vectơ bằng nhau là một quan hệ tương đương Đại diện cho mỗi lớp tương đương kí hiệu là , , , , , , a b c x y z     

 Nếu đã cho vectơ a

và một điểm A thì có một điểm B duy nhất

sao cho ABa

 Mọi vectơ–không đều bằng nhau Kí hiệu là 0

1.1.5 Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ a

và bkhác vectơ 0

Quy tắc tìm vectơ tổng được gọi là phép cộng hai vectơ

Từ định nghĩa ta có các quy tắc sau:

 Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có:

Từ định nghĩa ta có quy tắc 3 điểm cho phép trừ như sau: với 3 điểm

Định nghĩa: Tích của vectơ a

với số thực k là một vectơ,kí hiệu là

os( , )

a b   a b c  a b Chú ý:

Bình phương vô hướng của a

là tích vô hướng a a 

và được kí hiệu là

 a 2

hay đơn giản là a2

Áp dụng định nghĩa tích vô hướng, ta có:

2 2

a  a

Bình phương vô hướng của vectơ a

là bình phương độ dài của vectơ

a b ab  a  b

.4

a b   ab  a b

được gọi là dạng độ dài biểu thức tích vô hướng

Ngoài ra biểu thức tích vô hướng còn được viết dưới dạng tọa độ như

sau: Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy cho hai vectơ a

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI TOÁN

 Quy tắc trung điểm

 Các tính chất của phép cộng, phép trừ, phép nhân vectơ với một số để thực hiện biến đổi tương đương các đẳng thức cần chứng minh

Ta thường lựa chọn một trong các hướng biến đổi sau:

Hướng 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại:

- Nếu xuất phát từ vế phức tạp hơn ta cần thực hiện đơn giản biểu thức

- Nếu xuất phát từ vế đơn giản hơn thì ta cần thực hiện việc phân tích vectơ

Hướng 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng

Hướng 3: Biến đổi đẳng thức đã biết là luôn đúng về đẳng thức cần chứng minh

Ví dụ 1: Cho ABC Gọi điểm G là trọng tâm của tam giác và M là điểm tuỳ

nên suy ra:

Ví dụ 2: Cho ABC có trọng tâm G, M là trung điểm của BC và H là điểm

đối xứng của B qua G Chứng minh rằng:

Ví dụ 4:Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) có G là trọng tâm Gọi F là giao điểm của AG với (O) và M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Chứng minh rằng:

3 AG.AF AB  AC

Giải:

Gọi E là điểm đối xứng của A

qua tâm O và I là trung điểm của BC

Ví dụ 5: Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H là trực tâm của tam giác, G là trọng tâm và D là điểm đối xứng của A qua tâm O Chứng minh rằng:

a) HA  HBHC 2HO

b) OA OB   OC OH

Giải:

a) Ta có:

BHDC (vì cùng vuông góc với AC)

CHDB (vì cùng vuông góc với AB)

Ví dụ 6: Cho C là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho CA m

k n

Bài tập 2: Cho ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB Chứng minh:   AM BNCP0

Hướng dẫn: Sử dụng tính chất đường trung tuyến

Bài tập 3: Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của ABC AN,

BM, CK là các đường phân giác của ABC Chứng minh rằng:

a bc AMb ac BNc ab CK

Hướng dẫn: Sử dụng tính chất đường phân giác

Bài tập 4: Gọi O là điểm bất kì nằm trong ABC Chứng minh rằng:

Hướng dẫn: Kẻ đường kính BA1, ta có A1 = A, trong tam giác vuông A1BC

có BC = a= A1BsinA1 = 2RsinA Tương tự, b = 2RsinB, c = 2RsinC

Bài tập 6: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh lần lượt đối diện với các đỉnh A, B, C là a, b, c Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại A1, B1, C1 Chứng minh rằng:

Hướng dẫn: Đẳng thức (1) dễ dàng chứng minh Lưu ý rằng n-giác nhận O

làm tâm đối xứng nên n phải là số chẵn

aIA bIB cIC

Từ đó: (aIA bIB cIC)20

Ví dụ 4: Cho ABC có AB = c, BC = a, CA = b, trên đoạn AB lấy điểm M

Ngược lại, nếu ta có: ACBD

suy luận ngược lại quá trình trên ta suy ra:

Bài tập 2: Cho ABC có các cạnh BC = a, AC = b, CA = c Gọi H và O

tương ứng là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh rằng:

Bài tập 3: Cho ABC Gọi I là trung điểm của trung tuyến AM Chứng minh

rằng:

2MA2+MB2+MC2=4MI2+2IA2+IB2+IC2

Hướng dẫn: Sử dụng tính chất đường trung tuyến

Bài tập 4: Cho ABC đều cạnh bằng a, gọi M là điểm tùy ý trên đường tròn

ngoại tiếp tam giác Chứng minh rằng:

a) cos cos cos 3

a) Lấy 3 vectơ đơn vị e e e  1, ,2 3

lần lượt trên 3 cạnh AB, AC và BC Ta có:

2

(e  e e ) 0

(1) Vì: e e 1, 2 B

b) Gọi I là tâm đường tròn

nội tiếp ABC , H là trực tâm

của tam giác Ta đã chứng

Trong ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB

AM+BN+CP<AB+BC+CA (đpcm)

Ví dụ 4: Cho ABC có độ dài các cạnh là BC = a, CA = b, AB = c và điểm M

tuỳ ý nằm trong tam giác Chứng minh rằng:

Ví dụ 5: Cho ABC Gọi G, H, I, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm

đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác Chứng minh rằng:

a) HI 2OI

b) IOOG

Giải:

a) Do aIA bIB cIC0

nên ta có: 2 pOIaOA bOB cOC

Từ (1) và (2) suy ra: OG2R22Rr.

Do hệ thức Ele: OI2R22Rr nên suy ra: OGOI (đpcm)

Ví dụ 6: Trên đường tròn tâm O bán kính bằng 1 lấy 2n+1 điểm Pi, (i1, 2n1) nằm về cùng một phía đối với một đường kính nào đó Chứng minh rằng:

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với n=0, bất đẳng thức (1) hiển nhiên đúng bởi vì OP 0 1

Giả sử (1) đúng với n=k, tức là:

và OP2k3

Đặt OM OP 1OP2k3

Theo giả thiết quy nạp, ta có:

2 2

2

k

i i

2 3 1

1

k i i

Hướng dẫn: Đưa bất đẳng thức về dạng vectơ rồi sử dụng tính chất trọng tâm

của tam giác và bất đẳng thức Cauchy để giải

Bài tập 4: Chứng minh rằng trong ABC có:

b) aMA2bMB2cMC2abc (2)

Hướng dẫn: b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC , ta có:

(2)

VT a MI IA b MI IB c MI IC

và từ aIA2bIB2cIC2abc ta có điểu phải chứng minh

Bài tập 5: Cho ABC Chứng minh rằng nếu hai đường trung tuyến tương

ứng với hai cạnh BA, BC mà vuông góc với nhau thì cos 4

5

B  Bài tập 6: Cho ABC Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có bất đẳng

thức:

2cos2

A

MAMBMC AB AC Hướng dẫn: Thực hiện biến đổi vế trái:

a) ACk BC

với k 

b) OCmOAnOB

với m + n = 1 và O là một điểm tùy ý

Hai điều kiện này là tương đương Thật vậy:

22

PM  AB AC

  

43

PM  PN M N P

 

thẳng hàng (đpcm) Cách khác:

Từ giả thiết ta xác định được vị trí các điểm M, N, P (hình vẽ)

Ví dụ 3: Cho ABC Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp,

trọng tâm, trực tâm của tam giác Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng

Giải:

Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua O Gọi E là trung điểm của BC Ta có:

BH // CA1 (1) (vì cùng vuông góc với AC)

CH // BA1 (2) (vì cùng vuông góc với AB)

Ví dụ 4: Ba đường thẳng song song đi qua ba đỉnh A, B, C của ABC cho

trước cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác lần lượt tại A1, B1, C1 Chứng minh rằng trọng tâm các tam giác ABC CAB BCA1, 1, 1 thẳng hàng

Theo giả thiết ta có:

AA1 // BB1 // CC1 Gọi G1, G2, G3 theo thứ tự là trọng tâm ABC , 1 BCA , 1 CAB 1

Ví dụ 5: (Định lí Ménélaus) Cho ABC Gọi M, N, P lần lượt là các điểm

chia các cạnh AB,BC, CA của tam giác theo các tỉ số m, n, p Khi đó M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi mnp=1

B1

O

CA mCB CM

Chứng minh rằng nếu ba điểm A, B, C không thẳng hàng thì trọng tâm các

tam giác ABC , A B C , 1 1 1 A B C thẳng hàng 2 2 2

 2 2 2

1AA

    

(1) Tương tự ta có:

1AA3

b) Sử dụng kết quả của câu a)

Bài tập 2: Cho ABC Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với AB, AC theo

thứ tự tại M, N Gọi E, F lần lượt là trung điểm của A, BC Tìm điểm P thuộc

EF sao cho M, N, P thẳng hàng

Hướng dẫn: Gọi P là giao điểm của EF và đường phân giác trong của góc B

Ta đi chứng minh M, N, P thẳng hàng

Bài tập 3: Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O Các đường thẳng song song

đi qua các đỉnh A, B, C cắt đường tròn tại giao điểm thứ hai theo thứ tự là A1,

B1, C1 Chứng minh rằng các trực tâm của các tam giác ABC , 1 BCA , 1

1

CAB nằm trên một đường thẳng

Hướng dẫn: Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh

Bài tập 4: Cho ABC đều ngoại tiếp đường tròn tâm I Điểm M bất kì nằm

trong tam giác có hình chiếu chiếu xuống các cạnh BC, CA, AB tương ứng là

P, Q, R Gọi K là trọng tâm PQR

a) Chứng minh rằng: M, I, K thẳng hàng

b) Cho N là điểm tùy ý trên BC Từ N hạ NE, NF tương ứng vuông góc với AB, AC Chứng minh rằng N, J, I thẳng hàng, với J là trung điểm của EF Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD Hai điểm M, N thay đổi trên AB và CD sao

cho AM CN

AB  CD Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC, BD

và I là trung điểm của MN Chứng minh rằng P, I, Q thẳng hàng

Bài tập 6: Cho ABC Đường tròn tâm I nội tiếp ABC tiếp xúc với cạnh BC

ở D Gọi J, K lần lượt là trung điểm của BC và AD Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng

Bài tập 7: Cho ABC , đường phân giác trong của góc B cắt đường trung bình

DE (DE//AB) tại P Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại M, N Chứng minh rằng: P, M, N thẳng hàng

2.5 Chứng minh hai điểm trùng nhau

Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng: ANP và CMQ cùng trọng tâm

Do N là trung điểm của BC nên ON 12OB OC

Và do P là trung điểm của CD nên OP12OC OD

OM OA OB 

12

OQ OA OD 

Từ (3) và (4) suy ra OG1OG2

Suy ra G1G2 (đpcm)

Ví dụ 3: Cho ABC Gọi H và O tương ứng là trực tâm và tâm đường tròn

ngoại tiếp của tam giác Giả sử I, J lần lượt là trung điểm của HA và BC Chứng minh rằng: OH và IJ có cùng trung điểm

Đẳng thức (2) chứng tỏ IHJO là hình bình hành Suy ra OH và IJ có cùng trung điểm (đpcm)

Ví dụ 4: Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm

của AB, C, CD, DE, EF, FA Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm

Hướng dẫn: Hai tam giác ABC và A B C1 1 1 có cùng trọng tâm khi và chỉ khi