Vectơ trong mặt phẳng với các bài toán đẳng thức bất đẳng thức ba điểm thẳng hàng hai điểm trùng nhau

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - NÔNG THỊ CHUẨN VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG VỚI CÁC BÀI TOÁN: ĐẲNG THỨC BẤT ĐẲNG THỨC BA ĐIỂM THẲNG HÀNG HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học: BÙI VĂN BÌNH Hà Nội – 2012 Nông Thị Chuẩn -4- Lớp k34 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CẢM ƠN Học tập nghiên cứu khoa học nhiệm vụ hàng đầu sinh viên Song đường tìm kiếm khám phá kho tàng kiến thức mà nhân loại tích lũy cần có bảo giúp đỡ người thầy Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Bùi Văn Bình tận tình bảo giúp đỡ em trình hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học Do lần đầu làm quen với nghiên cứu khoa học thời gian, lực thân hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn để đề tài nghiên cứu khoa học em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 07 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nông Thị Chuẩn Nông Thị Chuẩn -5- Lớp k34 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CAM ĐOAN Do nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân, giúp đỡ, hướng dẫn tận tình thầy Bùi Văn Bình trình hoàn thành khóa luận xin cam đoan khóa luận không trùng với kết tác giả khác Nếu trùng xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Rất mong nhận đóng góp ý kiến bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Sinh viên Nông Thị Chuẩn Nông Thị Chuẩn -6- Lớp k34 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG 10 CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN LIÊN QUAN 10 1.1 Vectơ 10 1.2 Các phép toán vectơ 12 1.3 Tích vô hướng vectơ 14 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG 16 2.1 Chứng minh đẳng thức vectơ 16 2.2 Chứng minh hệ thức hình học 24 2.3 Chứng minh bất đẳng thức 29 2.4 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 37 2.5 Chứng minh hai điểm trùng 44 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 Nông Thị Chuẩn -7- Lớp k34 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Hình học phận cấu thành nên toán học Đây môn học thú vị tương đối khó học sinh Trong chương trình toán THCS học sinh làm quen với đại lượng vô hướng, lên bậc THPT khái niệm tiếp tục mở rộng Trong vectơ ví dụ điển hình Khi mở rộng đoạn thẳng vô hướng sang đoạn thẳng có hướng ta có khái niệm vectơ Thông thường mở rộng khái niệm đồng thời ta có thêm phương pháp để giải toán Khái niệm vectơ cho ta cho ta phương pháp giải toán hiệu phương pháp vectơ,là phương thức phát triển lực sáng tạo giải toán Phương pháp vectơ ứng dụng rộng rãi toán chứng minh, sử dụng phương pháp vectơ để giải toán hình học phẳng ưu việt sử dụng phương pháp khác Với mong muốn với giúp động viên giúp đỡ thầy giáo Bùi Văn Bình em chọn đề tài “Vectơ hình học phẳng toán: đẳng thức, bất đẳng thức, điểm thẳng hàng trùng nhau” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nhằm rèn luyện khả phát ứng dụng đa dạng phương pháp vectơ giải toán hình học phẳng, đặc biệt chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,tính thẳng hàng trùng điểm Trình bày phương pháp giải giải đưa ví dụ mẫu để học sinh giải tập tương tự phần tập đề nghị Đối tượng phạm vi nghiên cứu Lấy vectơ làm sở để nghiên cứu ứng dụng vectơ vào giải tập hình học phẳng Nông Thị Chuẩn -8- Lớp k34 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Do thời gian có hạn khuôn khổ khoá luận tốt nghiệp nên đề tài em giới hạn toán: Chứng minh hệ thức hình học, đẳng thức vectơ, bất đẳng thức, chứng minh ba điểm thẳng hàng hai điểm trùng Nông Thị Chuẩn -9- Lớp k34 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội NỘI DUNG CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN LIÊN QUAN 1.1 Vectơ 1.1.1 Định nghĩa vectơ B Vectơ đoạn thẳng định hướng, nghĩa rõ điểm mút đoạn thẳng điểm đầu (điểm gốc) điểm mút đoạn thẳng điểm cuối (điểm ngọn) A  Vectơ có điểm đầu A điểm cuối B Kí hiệu là: AB Chú ý:    Cho hai điểm phân biệt A B ta có hai vectơ AB BA khác    Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng như: AA , BB ,… gọi vectơ–không 1.1.2 Độ dài vectơ   Độ dài vectơ AB độ dài đoạn thẳng AB Kí hiệu: AB Như vậy, ta có:   ) AB  AB  BA  ) Độ dài vectơ-không 1.1.3 Hai vectơ phương, hướng, ngược hướng   Hai vectơ AB CD gọi phương B chúng nằm hai đường thẳng A song song trùng   Hai vectơ phương AB CD gọi Nông Thị Chuẩn - 10 - Lớp k34 CN Toán C D Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội hướng chiều từ A đến B trùng B với chiều từ C đến D   Hai vectơ phương AB CD gọi ngược hướng chiều từ A đến A C B ngược với chiều từ C đến D Chú ý: +) Vectơ-không coi D hướng, ngược hướng với vectơ 1.1.4 Hai vectơ   Hai vectơ AB CD gọi chúng phương   hướng độ dài Kí hiệu: AB  CD Chú ý:  Quan hệ hai vectơ quan hệ tương đương Đại       diện cho lớp tương đương kí hiệu a, b, c, x, y, z ,   Nếu cho vectơ a điểm A có điểm B   cho AB  a   Mọi vectơ–không Kí hiệu 1.1.5 Góc hai vectơ      Cho hai vectơ a b khác vectơ Từ điểm O ta vẽ OA  a     OB  b Khi số đo góc AOB gọi số đo hai vectơ a b   A Kí hiệu: a, b    a  a  Nhận xét: Nông Thị Chuẩn  b - 11 - O  b Lớp k34 CN Toán B Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội    a, b   00 ,1800      a, b  00  a b hướng           a, b   180  a b ngược hướng       a, b   90 ta nói hai vectơ a b vuông góc với 0   Kí hiệu: a  b 1.2 Các phép toán vectơ 1.2.1 Phép cộng vectơ    Định nghĩa: Tổng hai vectơ a b vectơ c Kí hiệu:    c  a  b , xác định sau:     Từ điểm A dựng AB  a từ B dựng BC  b Khi vectơ     c  AC gọi tổng hai vectơ a b B  a  a  b  b C A Quy tắc tìm vectơ tổng gọi phép cộng hai vectơ Chú ý:      +) Nếu a  b  vectơ b gọi vectơ đối vectơ a  kí hiệu a     +) Vectơ a ngược hướng với vectơ a a  a Mỗi vectơ có vectơ đối Từ định nghĩa ta có quy tắc sau: Nông Thị Chuẩn - 12 - Lớp k34 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội  Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C ta có:    AB  BC  AC B A C + Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD hình bình hành ta    có: AB  AD  AC A D B C Tính chất:   Với a, b, c ta có:     i a  b  b  a    ii a   a       iii ( a  b)  c  a  (b  c) 1.2.2 Phép trừ vectơ     Định nghĩa: Hiệu hai vectơ a b , kí hiệu: a  b tổng vectơ       a vectơ đối vectơ b , tức là: a  b  a  (b) Quy tắc tìm vectơ hiệu gọi phép trừ hai vectơ Từ định nghĩa ta có quy tắc điểm cho phép trừ sau: với điểm    A, B, C Ta có: AB  AC  CB 1.2.3 Phép nhân vectơ với số Nông Thị Chuẩn - 13 - Lớp k34 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Từ (1) (2) suy ra: OG  R  Rr Do hệ thức Ele: OI  R  Rr nên suy ra: OG  OI (đpcm) Ví dụ 6: Trên đường tròn tâm O bán kính lấy 2n+1 điểm Pi, (i  1,2n  1) nằm phía đường kính Chứng  OP  i  (1) n 1 minh rằng: i 1 Giải: Ta chứng minh phương pháp quy nạp  Với n=0, bất đẳng thức (1) hiển nhiên OP0  Giả sử (1) với n=k, tức là:  OP  i  (2) k 1 n 1 Ta chứng minh (1) với n=k+1, tức là:  OP  i  (3) k 3 i 1 Thật vậy: 2k+3 vectơ ta chọn hai vectơ có góc tạo chúng   nhỏ nhất, không tổng quát ta giả sử hai vectơ OP1 OP2 k 3    Đặt OM  OP1  OP2 k 3 Theo giả thiết quy nạp, ta có:  k   ON   OP i i2   OM  k 2   OP i 1 i 2    Do ON nằm góc POP nên góc góc nhọn OM ON k 3 Suy ra: Nông Thị Chuẩn - 35 - Lớp k34 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp k 3 Trường ĐHSP Hà Nội   OP i    OM  ON  i 1 Suy (1) với n=k+1 giả thiết quy nạp (đpcm) 2.3.3 Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho ABC Chứng minh với điểm I (I khác A B) có: IC.AB[...]... 2 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG 2.1 Chứng minh các đẳng thức vectơ 2.1.1 Phương pháp Để chứng minh các đẳng thức vectơ ta sử dụng:  Quy tắc tam giác  Quy tắc hình bình hành  Quy tắc trung điểm  Các tính chất của phép cộng, phép trừ, phép nhân vectơ với một số để thực hiện biến đổi tương đương các đẳng thức cần chứng minh Ta thường lựa chọn một trong các hướng biến đổi sau:... 2.4 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 2.4.1 Phương pháp Dựa vào định nghĩa phép nhân vectơ với một số và định nghĩa hai vectơ cùng phương ta có điều kiện để ba điểm thẳng hàng tương đương với hai điều kiện sau: Nông Thị Chuẩn - 37 - Lớp k34 CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2   a) AC  k BC với k     b) OC  mOA  nOB với m + n = 1 và O là một điểm tùy ý Hai điều kiện... dài các cạnh lần lượt đối diện với các đỉnh A, B, C là a, b, c Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại A1, B1, C1 Chứng minh rằng:     a AA1  bBB1  cCC1  0 Hướng dẫn: Áp dụng kết quả ví dụ 6 Bài tập 7: Cho hình vuông ABCD tâm O Chứng minh rằng:     MA  MB  MC  4MO.(1) với M là điểm bất kì Từ đó suy ra cách giải bài toán: ... 2 VT (2)  a MI  IA  b MI  IB  c MI  IC       và từ aIA2  bIB 2  cIC 2  abc ta có điểu phải chứng minh Bài tập 5: Cho ABC Chứng minh rằng nếu hai đường trung tuyến tương ứng với hai cạnh BA, BC mà vuông góc với nhau thì cos B  Bài tập 6: Cho 4 5 ABC Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có bất đẳng thức: 2cos A MA  MB  MC  AB  AC 2 Hướng dẫn: Thực hiện biến đổi vế trái: A A MB AB...Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2  Định nghĩa: Tích của vectơ a với số thực k là một vectơ, kí hiệu là  k a được xác định như sau:    Nếu k  0 thì k a cùng hướng với a    Nếu k ... ) AB  AB  BA  ) Độ dài vect - không 1.1.3 Hai vectơ phương, hướng, ngược hướng   Hai vectơ AB CD gọi phương B chúng nằm hai đường thẳng A song song trùng   Hai vectơ phương...      a, b   90 ta nói hai vectơ a b vuông góc với 0   Kí hiệu: a  b 1.2 Các phép toán vectơ 1.2.1 Phép cộng vectơ    Định nghĩa: Tổng hai vectơ a b vectơ c Kí hiệu:    c  a... gọi ngược hướng chiều từ A đến A C B ngược với chiều từ C đến D Chú ý: +) Vect - không coi D hướng, ngược hướng với vectơ 1.1.4 Hai vectơ   Hai vectơ AB CD gọi chúng phương   hướng