Vectơ trong mặt phẳng với các bài toán

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - NÔNG THỊ CHUẨN VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG VỚI CÁC BÀI TOÁN: ĐẲNG THỨC BẤT ĐẲNG THỨC BA ĐIỂM THẲNG HÀNG HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học: BÙI VĂN BÌNH Hà Nội – 2012 Nơng Thị Chuẩn -1- Lớp k34 CN Tốn LỜI CẢM ƠN Học tập nghiên cứu khoa học nhiệm vụ hàng đầu sinh viên Song đường tìm kiếm khám phá kho tàng kiến thức mà nhân loại tích lũy cần có bảo giúp đỡ người thầy Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Bùi Văn Bình tận tình bảo giúp đỡ em q trình hồn thành đề tài nghiên cứu khoa học Do lần đầu làm quen với nghiên cứu khoa học thời gian, lực thân hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn để đề tài nghiên cứu khoa học em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 07 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nông Thị Chuẩn LỜI CAM ĐOAN Do nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân, giúp đỡ, hướng dẫn tận tình thầy Bùi Văn Bình q trình hồn thành khóa luận tơi xin cam đoan khóa luận khơng trùng với kết tác giả khác Nếu trùng tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Rất mong nhận đóng góp ý kiến bạn đọc để khóa luận hồn thiện Sinh viên Nơng Thị Chuẩn MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG 10 CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN LIÊN QUAN .10 1.1 Vectơ 10 1.2 Các phép toán vectơ 12 1.3 Tích vơ hướng vectơ 14 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG 16 2.1 Chứng minh đẳng thức vectơ 16 2.2 Chứng minh hệ thức hình học 24 2.3 Chứng minh bất đẳng thức 29 2.4 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 37 2.5 Chứng minh hai điểm trùng 44 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Hình học phận cấu thành nên toán học Đây mơn học thú vị tương đối khó học sinh Trong chương trình tốn THCS học sinh làm quen với đại lượng vô hướng, lên bậc THPT khái niệm tiếp tục mở rộng Trong vectơ ví dụ điển hình Khi mở rộng đoạn thẳng vơ hướng sang đoạn thẳng có hướng ta có khái niệm vectơ Thơng thường mở rộng khái niệm đồng thời ta có thêm phương pháp để giải toán Khái niệm vectơ cho ta cho ta phương pháp giải tốn hiệu phương pháp vectơ,là phương thức phát triển lực sáng tạo giải toán Phương pháp vectơ ứng dụng rộng rãi toán chứng minh, sử dụng phương pháp vectơ để giải tốn hình học phẳng ưu việt sử dụng phương pháp khác Với mong muốn với giúp động viên giúp đỡ thầy giáo Bùi Văn Bình em chọn đề tài “Vectơ hình học phẳng toán: đẳng thức, bất đẳng thức, điểm thẳng hàng trùng nhau” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nhằm rèn luyện khả phát ứng dụng đa dạng phương pháp vectơ giải tốn hình học phẳng, đặc biệt chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,tính thẳng hàng trùng điểm Trình bày phương pháp giải giải đưa ví dụ mẫu để học sinh giải tập tương tự phần tập đề nghị Đối tượng phạm vi nghiên cứu Lấy vectơ làm sở để nghiên cứu ứng dụng vectơ vào giải tập hình học phẳng Do thời gian có hạn khn khổ khố luận tốt nghiệp nên đề tài em giới hạn tốn: Chứng minh hệ thức hình học, đẳng thức vectơ, bất đẳng thức, chứng minh ba điểm thẳng hàng hai điểm trùng NỘI DUNG CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN LIÊN QUAN 1.1 Vectơ 1.1.1 Định nghĩa vectơ Vectơ đoạn thẳng định B hướng, nghĩa rõ điểm mút đoạn thẳng điểm đầu (điểm gốc) điểm mút đoạn thẳng điểm cuối (điểm ngọn) A  Vectơ có điểm đầu A điểm cuối B Kí hiệu là: AB Chú ý:  Cho hai điểm phân biệt A B ta có hai vectơ   A BA khác   Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng như:  AA , BB ,… gọi vectơ–không 1.1.2 Độ dài vectơ   Độ dài vectơ AB độ dài đoạn thẳng AB Kí hiệu: AB Như vậy, ta có:  A AB BA ) B ) Độ dài vectơ-không 1.1.3 Hai vectơ phương, hướng, ngược hướng   gọi phương Hai vectơ AB CD chúng nằm hai đường thẳng A song song trùng  CD  Hai vectơ phương AB B D gọi C hướng chiều từ A đến B trùng B với chiều từ C đến D   CD Hai vectơ phương AB gọi ngược hướng chiều từ A đến A C B ngược với chiều từ C đến D Chú ý: +) Vectơ-không coi D hướng, ngược hướng với vectơ 1.1.4 Hai vectơ   gọi chúng phương Hai vectơ AB   CD hướng độ dài Kí hiệu: AB CD Chú ý:  Quan hệ hai vectơ quan hệ tương đương Đại       diện cho lớp tương đương kí hiệu a,b, c, x, y, z,   Nếu cho vectơ điểm A có điểm B a    cho AB a  Mọi vectơ–khơng Kí hiệu 1.1.5 Góc hai vectơ      Cho hai vectơ b khác vectơ Từ điểm O ta vẽ OA a a     □ OB b Khi số đo góc AOB gọi số đo hai b vectơ a  A Kí hiệu: a,b    a  a  Nhận xét:  b O  b B  0  a,b 0 ,180      a,b 00 a b     hướng        a,b  ta nói hai vectơ a v b vng góc với   a Kí hiệu:  b 1.2 Các phép tốn vectơ    1.2.1 Phép cộng vectơ    Định nghĩa: Tổng hai vectơ a vectơ c Kí hiệu:    b c a b , xác định sau:     Từ điểm A dựng AB a từ B dựng BC b Khi vectơ     c  gọi tổng hai vectơ a b AC B    a b a  C b A Quy tắc tìm vectơ tổng gọi phép cộng hai vectơ Chú ý:      +) Nếu a b 0 vectơ b gọi vectơ đối  vectơ a    kí hiệu a  +) Vectơ a ngược hướng với vectơ a a a Mỗi vectơ có vectơ đối Từ định nghĩa ta có quy tắc sau: chia cạnh AB,BC, CA tam giác theo tỉ số m, n, p Khi M, N, P thẳng hàng mnp=1 Giải: Từ giả thiết ta có:    CA  (1) CM  mCB m     BC CB  CN  n nCC  n M     CC pCA pCA CP 1  p  Suy ra: p   CB (1  B n)CN   CA  p A P C N 1 C p P Thế vào (1), ta được:    ( p 1)CP m (1 CM   n)CNp(1 m) m Vậy M, N, P thẳng hàng  (p m(1 n) 1)  1 p(1 m) m mnp 1 (đpcm) Ví dụ 6: Cho hai tam giác chia đoạn □ A1B1 C1 A1 A2 , B1B2 ,C1C2 A1 A □ A2 B2C2 Ba điểm A, B, C theo thứ tự theo tỉ số: B1B  C 1C   AA2 BB CC2 Chứng minh ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng trọng tâm tam giác □ ABC , □ A1B1C1 , □ A2 B2C2 thẳng hàng Giải: Gọi M, M1, M2 theo thứ tự trọng tâm tam giác ABC, A1B1C1, A2B2C2 Ta có:     M1M  A1 A B1B C1C    AA  Tương tự ta có:    B C (1) B C 1 AA  MM  Từ (1) (2) suy ra:     B C (2) B C 2    M1M MM Tức ba trọng tâm M, M1, M2 thẳng hàng (đpcm) 2.4.3 Bài tập đề nghị Bài tập 1:Cho tứ giác ABCD Lấy điểm M, N theo thứ tự thuộc AB, AC cho:     AM k AB DN k DC   a) Chứng minh rằng:  MN 1 k AD   k BC   b) Gọi điểm E, F, I theo thứ tự thuộc AD, BC, MN cho AE l AD ,     BF l BC , MI l MN Chứng minh E, F, I thẳng hàng Hướng dẫn: a) Với điểm O bất kì, ta có:       (1) AM k AB OM    OA k OB OA      DN k DC ON OD  k OC OD  (2) Trừ vế với vế (2) cho (1) ta điều phải chứng minh b) Sử dụng kết câu a) Bài tập 2: Cho □ABC Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự M, N Gọi E, F trung điểm A, BC Tìm điểm P thuộc EF cho M, N, P thẳng hàng Hướng dẫn: Gọi P giao điểm EF đường phân giác góc B Ta chứng minh M, N, P thẳng hàng Bài tập 3: Cho □ ABC nội tiếp đường tròn tâm O Các đường thẳng song song qua đỉnh A, B, C cắt đường tròn giao điểm thứ hai theo thứ tự A1, B1, C1 Chứng minh trực tâm tam giác □CAB1 nằm đường thẳng □ABC1 □ BCA1 , , Hướng dẫn: Sử dụng tính chất trực tâm tam giác để chứng minh Bài tập 4: Cho □AB C ngoại tiếp đường tròn tâm I Điểm M nằm tam giác có hình chiếu chiếu xuống cạnh BC, CA, AB tương ứng P, Q, R Gọi K trọng tâm □ PQR a) Chứng minh rằng: M, I, K thẳng hàng b) Cho N điểm tùy ý BC Từ N hạ NE, NF tương ứng vng góc với AB, AC Chứng minh N, J, I thẳng hàng, với J trung điểm EF Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD Hai điểm M, N thay đổi AB CD CN cho  Gọi P, Q trung điểm hai đường chéo AC, AM BD AB CD I trung điểm MN Chứng minh P, I, Q thẳng hàng Bài tập 6: Cho □ ABC Đường tròn tâm I nội tiếp □ ABC tiếp xúc với cạnh BC D Gọi J, K trung điểm BC AD Chứng minh I, J, K thẳng hàng Bài tập 7: Cho □ ABC , đường phân giác góc B cắt đường trung bình DE (DE//AB) P Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với AB, AC M, N Chứng minh rằng: P, M, N thẳng hàng 2.5 Chứng minh hai điểm trùng 2.5.1 Phương pháp Muốn chứng minh hai điểm A1, A2 trùng ta lựa chọn hai hướng sau: Hướng 1: Chứng minh   A1 A2 0   Hướng 2: Chứng minh OA1 OA2 , với O điểm tùy ý 2.5.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho □ ABC Trên cạnh BC, CA, AB lấy điểm A1, B1, C1 cho:     AA1 BB1 CC1 0 (1) Chứng minh hai tam giác □ ABC □ A1B1C1 có trọng tâm Giải: Gọi G, G1, trọng tâm tam giác □ ABC , □ A1B1C1 Ta có:     AA1 BB1 CC1          AG GG1 G1 A1 BG GG1 G1B1 CG GG1  G1C1         GA GB GC G1 A1 3GG1 G1B1  G1C1 3GG1   Vậy G G1 (đpcm)         Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng: □ ANP □CMQ trọng tâm Giải: Gọi G1, G2 trọng tâm □ ANP , □CMQ Với điểm O tùy ý, ta có:     OA ON OP 3OG1     OC OM OQ 3OG2 Suy ra:  OG1   D P Q G1  G2 OG2  M C N B    OA ON OP (1)    OC OM OQ (2)  A    Do N trung điểm BC nên ON  OB OC    Và P trung điểm CD nên OP  OC OD   Ta có:  1 OG     2 OG2        OA OB OC O (3) D    6     OA OB OC O D    6 (4) Do M trung điểm AB Q trung điểm AD nên ta có:    OM  OA OB    OQ  OA OD   Từ (3) (4) suy OG1 OG2 Suy G1 G2 (đpcm)   Ví dụ 3: Cho □ABC Gọi H O tương ứng trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Giả sử I, J trung điểm HA BC Chứng minh rằng: OH IJ có trung điểm Giải: A Ta có:     OH OA OB OC I    IH OH H O OI      B IH OA OB OC OI    J IH  IA 2OJ C   (1) Lại có: IH IA     Vậy từ (1) suy ra: 2IH IA IH 2OJ   IH OJ (2) Đẳng thức (2) chứng tỏ IHJO hình bình hành Suy OH IJ có trung điểm (đpcm) Ví dụ 4: Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm AB, C, CD, DE, EF, FA Chứng minh hai tam giác □ NQS □ MPR có trọng tâm Giải: Gọi G trọng tâm □ MPR , ta có:     GM GP GR 0 Để G trọng tâm □ ta cần chứng minh: NQS     GN GQ GS 0 Thật vậy:          GM GP GR  GA GB  GC GD  GE  GF 2  2.5.3 Bài tập đề nghị      Bài tập 1: Cho □ ABC Gọi A1, B1, C1 nằm cạnh BC, CA, AB cho: BA1 CB1 AC1 A C B 1 A C1B Chứng minh □ ABC □ A1B1C1 có trọng tâm Hướng dẫn: Hai tam giác □ □ A1B1C1 có trọng tâm ABC     AA1 BB1 CC1 0   AD BC trùng Bài tập 2: Chứng minh AB  CD trung điểm hai đoạn KẾT LUẬN Như vậy, đề tài củng cố lại kiến thức vectơ Đặc biệt ứng dụng vectơ để giải số tốn hình học phẳng: Bài tốn chứng minh hệ thức hình học, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, chứng minh ba điểm thẳng hàng hai điểm trùng Do thời gian hạn hẹp nên đề tài trình bày toán nên em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn bè để đề tài hoàn thiện mở rộng Một lần em xin chân thành cảm ơn bảo hướng dẫn thầy Bùi Văn Bình giúp đỡ em hoàn thành đề tài TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Lộc (2007), Phương pháp vectơ giải tốn hình học phẳng, NXBGD Nguyễn Mộng Hy (2007), Các toán phương pháp vectơ phương pháp tọa độ, NXBGD Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2003), Phương pháp giải tốn vectơ, NXB Hà Nội Phan Huy Khải, Toán bồi dưỡng Hình học 10, NXB Hà Nội Các tốn chọn lọc 45 năm tạp chí tốn học tuổi trẻ (2009), NXBGD Việt Nam Bộ sách giáo khoa hình học 10, NXBGD ... 1.1 Vectơ 10 1.2 Các phép toán vectơ 12 1.3 Tích vơ hướng vectơ 14 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG 16 2.1 Chứng minh đẳng thức vectơ. .. lực sáng tạo giải toán Phương pháp vectơ ứng dụng rộng rãi toán chứng minh, sử dụng phương pháp vectơ để giải toán hình học phẳng ưu việt sử dụng phương pháp khác Với mong muốn với giúp động viên... trùng B với chiều từ C đến D   CD Hai vectơ phương AB gọi ngược hướng chiều từ A đến A C B ngược với chiều từ C đến D Chú ý: +) Vectơ- không coi D hướng, ngược hướng với vectơ 1.1.4 Hai vectơ