Khai thác bài toán tiếp tuyến và bài toán liên quan

A PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong giảng dạy mơn Tốn, ngồi việc giúp học sinh nắm kiến thức việc phát huy tính tích cực học sinh để mở rộng khai thác thêm toán điều cần thiết cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Mặt khác, từ kinh nghiệm để giải toán ta thường phải hình thành mối liên hệ từ điều chưa biết đến điều biết, tốn có cách giải (bài tốn gốc) Nên việc thường xun khai thác, phân tích tốn ban đầu cách nâng cao khả suy luận, tư cho học sinh Chủ đề hàm số nội dung toán học, giữ vị trí trung tâm chương trình mơn Tốn phổ thơng, tồn việc dạy học tốn trường phổ thơng xoay quanh chủ đề Khi dạy học khái niệm hàm số phải dạy học sinh biết khảo sát, vẽ đồ thị hàm số đặc biệt toán liên quan, hàm số khái niêm trừu tượng phải thơng qua tốn liên quan mà học sinh hiểu sâu sắc khái niệm Bài tốn tiếp tuyến đồ thị hàm số toán liên quan chủ đề hàm số thường thấy đề thi Cao đẳng – Đại học mà thầy cô học sinh quan tâm đến nhiều Mặc dù dạng tập tiếp tuyến dạng toán đơn giản nghiên cứu kĩ tơi thấy chứa đựng nhiều điều thú vị Cụ thể hướng dẫn học sinh khai thác phát triển thành tập hay hơn, khó hơn… làm góp phần quan trọng việc nâng cao lực tư duy, kích thích tìm tòi sáng tạo cho học sinh Với suy nghĩ đó, tơi định chọn đề tài: -1- “Khai thác toán tiếp tuyến toán liên quan” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số cách khai thác toán - Nghiên cứu toán tiếp tuyến toán liên quan sở giúp học sinh viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giải toán liên quan - Đề xuất hệ thống tập khai thác toán tiếp tuyến toán liên quan góp phần rèn luyện nâng cao kĩ giải toán học sinh THPT Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu số cách khai thác toán dựa sở toán ban đầu - Nghiên cứu sở lí luận chủ đề tiếp tuyến hàm số chương trình tốn THPT - Tìm hiểu khó khăn sai lầm thường gặp giải tập tiếp tuyến hàm số chương trình tốn THPT - Xây dựng hệ thống tập chủ đề tiếp tuyến Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán tiếp tuyến tốn liên quan chương trình tốn THPT Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Cấu trúc khóa luận Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục A Phần mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận B Phần nội dung Chương 1: Cơ sở lí luận Chương 2: Hệ thống tập tiếp tuyến với đồ thị hàm số toán liên quan C Phần kết luận D Tài liệu tham khảo B PHẦN NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lí luận 1.1 Tiếp tuyến hàm số điểm Cho hàm số y = ƒ(x) có đồ thị y (C), (C) điểm MO cố định thuộc (C) có hồnh độ xO Với f (xM ) điểm M thuộc (C) khác MO, ta kí hiệu xM hồnh độ kO hệ số f (x0 ) góc cát tuyến MOM Giả sử tồn T M0 Hình giới hạn hữu hạn k0  lim kM xM x0 Khi đó, ta coi đường thẳng MOT O x0 qua MO có hệ số góc kO vị trí giới hạn cát tuyến MOM M di chuyển dọc theo (C) dần đến MO Đường thẳng MOT gọi tiếp tuyến (C) điểm MO, MO gọi tiếp điểm Bây giả sử hàm số ƒ có đạo hàm điểm xO Chú ý vị trí M (C), ta ln có kM = ƒ(sM )–ƒ(so) sM –so (Hình 1) Vì hàm số ƒ có đạo hàm điểm xO nên = lim lim k k  f f (x ) r   ƒ (xO ) = xM xM x0 xM  x0 xM x0 M Từ ta phát biểu ý nghĩa hình học đạo hàm sau: Đạo hàm hàm số y = ƒ(x) điểm xO hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm MO (xO ;ƒ(xO )) xM x Kết luận: Nếu hàm số y = ƒ(x) có đạo hàm điểm xO tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm MO (xO ;ƒ(xO ) có phương trình là: y = ƒr(xO )ƒ(x − xO ) 1.2 Sự tiếp xúc hai đường cong Định nghĩa: Giả sử hai hàm số ƒ g có đạo hàm điểm xO Ta nói hai đường cong y = ƒ(x) y = g(x) tiếp xúc với điểm M(xO ;yO ) M điểm chung chúng hai đường cong có tiếp tuyến chung điểm M Điểm M gọi tiếp điểm hai đường cong cho Hiển nhiên đồ thị hai hàm số y y  g(x) cho tiếp xúc với điểm M(xO ;yO ) yO = ƒ(xO), yO = T g (xO ) ƒ r(xO ) = g r(xO ) Từ dễ dàng suy rằng: y0 M Hai đường cong cong y = ƒ(x) y = g(x) tiếp xúc hệ ƒ(x) = có nghiệm phương trình { g(x) ƒrr(x) g (x) Hình O x0 = hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm hai đường cong Trường hợp đặc biệt: Cho đường cong (C): y = ƒ(x) đường thẳng (d) có phương trình y = kx + b Đường thẳng (d) tiếp xúc đường cong (C) hệ sau có ƒ(x) = kx + b nghiệm: { r ƒ (x) = k Khi hệ có nghiệm đường thẳng (d) gọi tiếp tuyến đường cong (C) y  f (x) x 1.3 Một số toán tiếp tuyến thường gặp 1.3.1 Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị Bài toán: Cho đồ thị (C): y = ƒ(x) điểm MO (xO ;yO ) ∈ (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm MO (xO ;yO ) Phương pháp: Theo ý nghĩa hình học đạo hàm tiếp tuyến MO (xO ;yO ) ∈ (C): y = ƒ(x) có hệ số góc ƒ′(xO ) Phương trình tiếp tuyến MO (xO ;yO ) (C) : y − yO = ƒ r(xO )ƒ(x − xO ) Û y = ƒ r(xO )ƒ(x − xO ) + yO Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x điểm có hoành độ xO = − Giải: Đạo hàm hàm số ƒ(x ) = x là: ƒr(x ) = 3x Þ ƒ r(− 1) = 3.(− 1)2 = Tại xO = − ta có: ƒ(− 1) = (− 1)3 = − Vậy tiếp tuyến điểm có hồnh độ xO = − là: y = ƒ r(− 1)(x + 1) + ƒ(− 1) = 3(x + 1) − hay y = 3x + 1.3.2 Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước Bài tốn: Cho đồ thị (C): y = ƒ(x) số k ∈ R Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k Phương pháp: Cách 1: Phương pháp tìm tiếp điểm Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với (C): y = ƒ(x) điểm có hồnh độ xi Þ ƒ r(xi ) = k Þ x = xi nghiệm ƒ r(x) = k Giải phương trình: ƒ r(x) = k Þ Nghiệm x ∈ {xO ,x1 ,… ,xn } Phương trình tiếp tuyến xi là: y = k(x − xi) + ƒ(xi) Cách 2: Phương pháp sử dụng điều kiện nghiệm kép Xét đường thẳng với hệ số góc k có phương trình: y = kx + m (ẩn m) tiếp xúc (C): y = ƒ(x) Û Phương trình: kx + m = ƒ(x) có nghiệm kép Û u.x + r(m).x + w (m) = có nghiệm kép Û ∆= r2 (m) − 4u.w (m) = = g(m) Giải phương trình: ∆= g(m) = Þ Các giá trị m Þ Phương trình tiếp tuyến Chú ý: Cách sử dụng cho dạng hàm số ƒ(x) mà phương trình tương giao kx + m = ƒ(x) biến đổi tương đương với phương trình bậc  Các dạng biểu diễn hệ số góc k: Dạng trực tiếp:k = ± 1,± 2,… ,± ,± ,… ,± √ 2,± √ 3,…  Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc Þ k = tanα  Tiếp tuyến song song với đường thẳng (∆):y = ax + b Þ k = a  Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (∆):y = ax + b Þ k = − a (a ≠ 0)  Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (∆):y = ax + b góc α Þ | k–a 1+ka | = tanα Ví dụ: Cho hàm số: y = 2s–3 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp 5s–4 tuyến (C) vng góc với (∆):y = − 2x Giải: Điều kiện x ≠ ∙ Cách 1: Vì tiếp tuyến (d) (C) vng góc với (∆):y = − 2x nên có hệ số góc ∙ Ta có y′= 4) = (5s–4)2 ƒ14+ 2 Û (5x − = 14 Û[x = (thỏa mãn x ≠ ) − ƒ14+ x= 5 Phương trình tiếp tuyến x = ƒ14+ là: y= (x − ƒ 14+ ) + y (ƒ 14+ ) hay y = 5 (x − − ƒ14+ − ƒ14+ )+ y( √14 ∙ − ƒ14+ x− Phương trình tiếp tuyến x = y= là: ) hay y = x + √ 14 ∙ Cách 2: Vì tiếp tuyến (d) (C) vng góc với (∆):y = − 2x nên có hệ số góc ∙ Ta có phương trình tiếp tuyến (d) (C) là: = (d) tiếp xúc (C) Û x+m= 2s– x + m có nghiệm kép x ≠ 5s–4 Û (x + 2m)(5x − 4) = 2(2x − 3) có nghiệm kép x ≠ Û g(x) = 5x2 + 2(5m − 4)x − (8m − 6) = có nghiệm kép x ≠ ∆= (5m − 4) + 5(8m − 6) = Û { g( ) Û { 25m 14 − 14 = Û m=± ≠ √14 5 ≠ ∙ Vậy có hai tiếp tuyến vng góc ∆:y = − 2x y = x± √ 14 ∙ Þ Tiệm cận xiên hàm số là: = mx + − m2 (m ≠ 0) Gọi parabol mà tiệm cận xiên tiếp xúc là: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) u cầu tốn Û Phương trình: mx + − m2 = ax2 + bx + c có nghiệm kép x ≠ − m,∀ m ≠ Û ƒ(x) = ax2 + (b − m)x + m2 + c − = có nghiệm kép x ≠ − m, ∀ m ≠ a≠ Û { ƒ(− m) ≠ ∀m≠ 0 ∆= a≠ ∀m≠ Û { m (a − 1) + bm + c − ≠ (b − m)2 − 4a(m2 + c − 1) = a≠ Û { m (a − 1) + bm + c − ≠ m2(1 − 4a) − 2mb + b2 − 4ac + 4a = a≠ ⎧ ⎪ m (a − 1) + bm + c − ≠ Û − 4a = ⎨− 2b = ⎪ ⎩ b2 − 4ac + 4a = Vậy parabol cố định là: y = x2 + ∀m≠ Û ⎧a = ⎪ b=0 c=1 ⎨ ⎪ ⎩− m ≠ (m ≠ 0) Khai thác: Thực chất tốn u cầu ta tìm parabol cố định điều kiện tiếp xúc giả thiết toán Nếu từ kết ta yêu cầu học sinh kiểm tra lại kết tốn ta tốn mới, với tốn kết giả thiết yêu cầu phải làm kiểm tra điều kiện tiếp xúc Cụ thể nội dung toán sau:  Cho hàm số y = mx + x+ m x+ m , m tham số CMR: tiệm cận xiên hàm số tiếp xúc với parabol (P): y = x2 + Giải: Xét phương trình: mx + − m2 = x + (x ≠ − m ,m ≠ 0) Û ƒ(x) = 4 x − mx + m2 = ( x ≠ − m ,m ≠ 0) ƒ(− m) = m2 ≠ 0, ∀ m ≠ 41 Þ { ∆= m − .m2 = 0, ∀ m ≠ Þ ƒ(x ) = có nghiệm kép x ≠ m,∀ m ≠ Þ Tiệm cận xiên hàm số tiếp xúc với parabol (p): y= x + (đpcm) Bài 3: CMR: Đồ thị hàm số y = x3 + 4x2 + mx + m tiếp xúc với đường cong cố định Giải: Xét hệ: {y = x + 4x2 + mx + m2 Û {y = x3 + x+ m=0 x2 m = − x Ta ẽs chứng minh đồ thị hàm số tiếp xúc với đường cong: y = x3 + x2 ∀ m x + 4x + mx Thật vậy, xét hệ: { + m2 = x3 + x 2 3x2 + 8x + m = 3x2 + 7x x + 2mx + m2 = Û {x+ m=0 (x + m)2 = Û { hệ ln có nghiệm ∀ m x+ m= Khai thác: Lập toán tương tự để học sinh hiểu rõ dạng toán CMR: Đồ thị hàm số y = x + 2mx2 − m (m ≠ 0) tiếp xúc với đường cong cố định Giải: Xét hệ: { m3 y = x + 2mx − 2x2 − m2 = Với m = x√ Þ y = x4 + x3 y= + 2mx2 − m 3 Û { x m = x √ Ú m = − x√2 4ƒ ƒ2 Với m = − x √ Þ y = x4 − x Ta chứng minh đồ thị hàm số tiếp xúc với hai đường cong: 4ƒ2 y = x4 + x3 y = x − ƒ2 x3 m 4ƒ2 x + 2mx2 − = x4 + x3 TH1: Xét hệ { 3 3 4x + 4mx = 4x + 4√2x2 4ƒ2 3 Û x { − 2mx + m3 x=0 Úx= m ƒ2 =0 Với x = Þ Hệ phương trình khơng thỏa mãn với ∀ m m ≠ Với x = m Þ ƒ2 √ m3 3 − 2m.m + m = Û 0m = ∀ m ≠ √8 Þ Hệ có nghiệm với x = m ƒ2 Þ Họ đồ thị tiếp xúc với = x4 + 4ƒ m x3 4ƒ2 x + 2mx2 − = x − x3 TH2: Xét hệ: { 3 3 4x + 4mx = 4x − 4√2x2 4√2x3 + 6mx2 − m3 = Û { m x=0 Úx=− ƒ2 Với x = Þ Hệ phương trình khơng thỏa mãn với ∀ m m ≠ Với x = − m ƒ2 Þ 4√2 ∙ −3 m ƒ8 Û 0m3 = ∀ m ≠ + 6m ∙ m2 − m3 = Þ Hệ có nghiệm với x = − m ƒ2 Þ Họ đồ thị ln tiếp xúc với y = x − 4ƒ x3 Bài tập 4: Cho đồ thị (C): y = x − 4x3 + Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hai điểm phân biệt tìm hồnh độ hai tiếp điểm Giải: Đường thẳng y = kx + m tiếp xúc với đồ thị hai điểm phân biệt Û x − 4x + = kx + m có hai nghiệm x1 ,x2 phân biệt Û x − 4x − kx + − m = có hai nghiệm x1 ,x2 phân biệt Û x4 − 4x3 − x + − m = (x − x1)2(x − x2)2 , ∀ x Û x4 − 4x3 − kx + − m = (x2 − Sx + P)2 , ∀ x (S = x1 + x2 ,P = x1 x2 ) Û x4 − 4x3 − kx + − m = x4 − 2Sx3 + (S2 + 2P)x2 − 2SPx + P2, ∀x 2S = S = x1 + x2 S + 2P = { Û P = x1 x2 x =1− 2SP = k Û { k = 2SP = − Û {√13 x = 2 P =3− m m = − P2 = − + √3 Þ Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = − 8x − Khai thác: Lập toán tương tự toán trên: Cho (C): y = x4 − 2x3 − 2x2 + Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc (C) hai điểm phân biệt tìm hồnh độ tiếp điểm Giải: Đường thẳng y = kx + m tiếp xúc với đồ thị (C) hai điểm phân biệt Û x4 − 2x3 − 2x2 + x − m = (x − )2(x − x )2, ∀ x Û x4 − 4x3 − kx + − m = (x2 − Sx + P)2, ∀ x (S = x1 + x2 ,P = x1 x2 ) Û x4 − 4x3 − kx + − m = x4 − 2Sx3 + (S2 + 2P)x2 − 2SPx + P2 , ∀ x S = x1 + x2 = 2S = ⎧ S2 + 2P = − x1 ⎧ ⎪ Û 2SP = k = ⎪ P = x1 x2 = − Û { ⎨ Û 1− ƒ7 2 ⎪ P2 = − m k=− ⎨ 53 ⎪ 1+ ƒ7 x2 = ⎩m = − P = − Þ Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = − 3x − ⎩ Bài tập luyện tập Bài 1: Cho (C): y = x4 − x3 − 2x2 + Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc (C) hai điểm phân biệt tìm tọa độ tiếp điểm 2m2s2+(2–m2)(ms+1) Bài 2: Cho hàm số: y = ms+1 CMR: tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với parabol cố định Bài 3: Cho hàm số y = (3m+1)s–(m2–m) , m tham số CMR: s+m đường cong đồ thị hàm số tiếp xúc với hai đường thẳng cố định Hướng dẫn: Gọi y = ax + b thỏa mãn yêu cầu Þ ax + b = (3m+ m) 1)x− (m2− [a = có nghiệm kép ∀ x ≠ − m Û { a = b=1 x+ m Þ y = x + 1, y = 9x + Bài 4: Cho hàm số: y = x3 − (m − 1)x2 − (2m2 − 3m + 2)x + 2m(2m − 1) Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với Ox Hướng dẫn: (Cm) tiếp xúc Ox Û x3 − (m − 1)x2 − (2m2 − 3m + 2)x + 2m(2m − 1) = Đáp số: = , m = − 2, m = ∙ Bài 5: CMR: đường thẳng d(α) :(x − 1) cos α + (y − 1) sin α − = tiếp xúc đường cong cố định Hướng dẫn: Giả sử MO (xO ;yO ) điểm mà d(α) không qua Û (xO − 1) cos α + (yO − 1) sin α = vô nghiệm Û (xO − 1)2 + (yO − 1)2 < 16 Ta chứng minh d(α) ln tiếp xúc với đường tròn (C): (x − 1)2 + (y − 1)2 = 16 tâm I(1;1),R = |4| =4=R Tht vy: d(I;d() ) cos2 +sin2 = ỵ Þ d(α) ln tiếp xúc với đường tròn (C) có phương trình: (x − 1)2 + (y − 1)2 = 16 Kết luận chương Chương khóa luận trình bày nội dung sau: Đưa hệ thống dạng tập tiếp tuyến nhằm giúp học sinh nắm cách viết phương trình tiếp tuyến hàm số ba toán bản, giải toán liên quan cách thành thạo; sau toán số toán khai thác từ toán đầu theo cách tương tự, khái quát hóa tốn đầu, lập tốn đảo, thêm câu hỏi, thay đổi câu hỏi… thơng qua rèn luyện khả vận dụng cơng thức để viết phương trình tiếp tuyến, khả tư logic, tư toán học góp phần phát huy tính chủ động, sáng tạo, tích cực học tập học sinh C KẾT LUẬN Khóa luận trình bày cụ thể chi tiết dạng toán tiếp tuyến chương trình tốn phổ thơng Thơng qua việc nghiên cứu đề tài đạt số kết quả: Thứ nhất, trình bày số cách thức khai thác tốn Thứ hai, tìm hiểu đưa số khó khăn sai lầm học sinh thường mắc phải học sinh gặp toán tiếp tuyến đồng thời đưa biện pháp khắc phục sai lầm Thứ ba, đề xuất hệ thống tập từ cụ thể đến tổng quát dạng toán tiếp tuyến Tuy nhiên với vốn kiến thức hạn chế, kinh nghiệm chưa nhiều nên khóa luận chưa đưa hết cách khai thác tốn, khó khăn sai lầm học sinh chưa đưa nhiều dạng toán tiếp tuyến Hi vọng khóa luận tơi phần giúp giáo viên dễ dàng việc hướng dẫn học sinh tiếp cận dạng toán tiếp tuyến đồ thị hàm số, làm rõ cách giải toán Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, cố gắng nhiều việc tìm hiểu đề tài song thời gian có hạn, kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót mang tính chủ quan kính mong góp ý q thầy cô bạn sinh viên Tôi xin chân thành cảm ơn D TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Đức Huyền, Phạm Thành Luân, Lê Mậu Thống, Các vấn đề giải tích 12 luyện thi đại học, NXB trẻ 2.Lê Thống Nhất, Phan Huy Khải, Nguyễn Đạo Phương, Các phương pháp giải tốn giải tích 12, NXB Hà Nội Trần Văn Kỷ, Tốn chọn lọc giải tích 12, NXB Tp.HCM 4.Trần Phương, Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn tốn – hàm số, NXB đại học Quốc Gia Vương Thông, Bài tập đại số sơ cấp, đại học Sư Phạm Hà Nội 6.Bộ giáo dục đạo tạo NXB giáo dục Việt Nam, Đại số giải tích 11 nâng cao 7.Bộ giáo dục đào tạo NXB giáo dục Việt Nam, Giải tích 12 nângcao ... Khai thác toán tiếp tuyến toán liên quan làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số cách khai thác toán - Nghiên cứu toán tiếp tuyến tốn liên quan sở giúp học... học sinh viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giải toán liên quan - Đề xuất hệ thống tập khai thác tốn tiếp tuyến tốn liên quan góp phần rèn luyện nâng cao kĩ giải toán học sinh THPT Nhiệm... − Þ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 1.4 Một số cách thức khai thác bài toán tiếp tuyến 1.4.1 Lập toán tương tự toán ban đầu Sau học sinh giải xong tập, giáo viên dựa vào tập mà nghĩ tập