Khai thác bài tập toán trong dạy học quan hệ song song trong không gian

Khoá luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giáo Dương Thị Hà, người hướng dẫn bảo em tận tình suốt q trình em hồn thành khố luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ phương pháp thầy giáo khoa Tốn, Ban chủ nhiệm khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện cho em hồn thành tốt khố luận Do lần đầu làm quen với nghiên cứu khoa học nên khố luận em khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận bảo đóng góp thầy giáo bạn để khố luận em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn Xuân Hoà, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Huyền Nguyễn Thị Thanh Huyền K32G – Tốn Lời cam đoan Tơi xin cam đoan khố luận cơng trình nghiên cứu riêng Trong nghiên cứu, kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Những kết nêu khố luận chưa cơng bố cơng trình Xn hồ, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Huyền Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Nhiệm vụ nghiên cứu IV Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu V Phương pháp nghiên cứu VI Cấu trúc khoá luận Nội dung Chương I: Cơ sở lý luận 1.1.Tìm hiểu chung HHKG 1.1.1.Đặc điểm môn HHKG 1.1.2 Những thuận lợi khó khăn học khai thác tập toán HHKG 1.2 Khai thác tập toán 1.2.1 Bài tập toán phát triển tư 1.2.2 hoạt động khai thác tập toán HHKG 1.2.3 Vai trò tập tốn q trình dạy học 19 1.2.4 yêu cầu lời giải 20 1.2.5 ơng pháp chung để giải tập toán 21 1.3 Kết luận 25 Chương II:Khai thác tập toán dạy học quan hệ song song 26 không gian Đ1 Đại cương đường thẳng mặt phẳng 26 Đ2 Hai đường thẳng chéo hai đường thẳng song song 47 Đ3 Đường thẳng mặt phẳng song song 57 Đ4 Hai mặt phẳng song song 67 Đ5 Phép chiếu song song.Hình biểu diễn hình không gian 78 Kết luận 84 tài liệu tham khảo 85 mở đầu I Lý chọn đề tài Luật Giáo dục nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam qui định: “Phương pháp giáo dục phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học, bồi dưỡng lực tự học, lòng say mê học tập ý chí vươn lên” (Luật giáo dục 1998, chương I điều 4) “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo học sinh;phù hợp với đặc điểm lớp học môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập học sinh”(Luật giáo dục 1998, chương I điều 24) Trong chương trình đổi SGK phương thức giảng dạy việc kích thích tính chủ động học tập lĩnh hội tri thức học sinh cần thiết Trong tiết dạy lý thuyết đặc biệt tiết luyện tập ơn tập đòi hỏi người giáo viên phải luôn sáng tạo để học sinh thấy hứng thú với việc học, từ phát huy tính tự giác, tích cực, sáng tạo học sinh học tập Để làm điều người giáo viên phải tạo từ có việc đào sâu, mở rộng, khai thác cách triệt để từ ban đầu, khó ta làm dễ để đơn giản từ dễ ta tổng hợp lên để thích ứng với đối tượng tạo tốn có nhiều tình gắn liền với thực tế Mặc dù làm quen với kiến thức ban đầu hình học khơng gian lớp bước vào chương trình hình học khơng gian lớp 11 em gặp khơng khó khăn bỡ ngỡ, học chương “Quan hệ song song”, từ dẫn đến thực tế học sinh ngại học khơng có hứng thú học,dẫn đến khả khai thác tập toán giảm sút Vì nhằm tạo điều kiện tốt cho việc giảng dạy sau mong muốn làm giảm bớt khó khăn cho học sinh, phát huy trí tưởng tượng khơng gian, tư logic, tính linh hoạt sáng tạo học hình học khơng gian, phù hợp với xu hướng đổi phương pháp dạy học, tơi chọn cho đề tài: “Khai thác tập toán dạy học quan hệ song song khơng gian” II Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm sâu tìm hiểu sở lý luận hình học khơng gian(HHKG),cơ sở lý luận hoạt động khai thác tập toán HHKG,đề xuất hệ thống tập khai thác chủ đề quan hệ song song khơng gian nhằm kích thích tư linh hoạt sáng tạo học sinh, bồi dưỡng lực tích cực tự giác chủ động tìm tòi kiến thức, góp phần tăng hứng thú học tập khả khai thác tập toán học sinh học tập III Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu sở lí luận thực tiễn khai thác tập toán dạy học quan hệ song song không gian - Xây dựng hoạt động khai thác tập toán dạy học quan hệ song song không gian IV Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu quan hệ song song khơng gian hình học 11 V.Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu lí luận,quan sát điều tra, tổng kết kinh nghiệm thực nghiệm giáo dục VI Cấu trúc khố luận Ngồi mục lục, mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khoá luận gồm chương nội dung Chương I: Cở sở lí luận I.Tìm hiểu chung HHKG II.Khai thác tập toán III.Kết luận Chương II: Khai thác tập toán dạy học quan hệ song song không gian Đ1 Đại cương đường thẳng mặt phẳng Đ2 Hai đường thẳng chéo hai đường thẳng song song Đ3 Đường thẳng mặt phẳng song song Đ4 Hai mặt phẳng song song Đ5 Phép chiếu song song.Hình biểu diễn hình khơng gian nội dung Chương I: Cơ sở lý luận 1.1 Tìm hiểu chung HHKG 1.1.1 Đặc điểm môn HHKG a HHKG mang đầy đủ đặc điểm chung Tốn học - Tính trừu tượng cao độ + Tính trừu tượng tốn học thể đối tượng :“Đối tượng nghiên cứu tốn học hình dạng khơng gian giới khách quan với quan hệ số lượng chúng” Hình dạng khơng gian khơng bó hẹp khơng gian hai chiều, ba chiều thơng thường, mà khơng gian tổng qt n nhiều, vô hạn chiều Quan hệ số lượng khơng bó hẹp phạm vi tập hợp số mà biểu phép toán chúng quan hệ tập hợp đối tượng tuỳ ý + Tính trừu tượng tốn học tách khỏi chất liệu đối tượng, giữ lại quan hệ số lượng hình dạng mà thơi điểm khơng có bề dày chiều rộng chiều dài, đường thẳng khơng có bề dày, chiều rộng có chiều dài - Tính thực tiễn phổ dụng + Tốn học ln ln bắt nguồn từ thực tiễn: Số tự nhiên đời nhu cầu đếm Phân số đời nhu cầu phân chia đơn vị thành nhiều phần Hình học đời nhu cầu đo đạc lại ruộng đất bên bờ sông Nin người Ai Cập cổ đại sau trận lụt + Tốn học nói chung hình học nói riêng có nhiều ứng dụng thực tiễn ngành khoa học khác như: vật lí, hoá học, thiên văn học… + HHKG nghiên cứu hình dạng khơng gian quan hệ số lượng khơng gian ba chiều thơng thường Các hình dạng khơng gian quan hệ phát nảy sinh đời sống phát triển xã hội loài người - Tính logic chặt chẽ + Tính logic thể phương pháp tiên đề Cụ thể:chọn số đối tượng số quan hệ thừa nhận chúng gọi tiên đề Từ người ta định nghĩa tất khái niệm khác, chứng minh tất tính chất khác suy diễn + Tốn học nói chung hình học nói riêng quán triệt chặt chẽ phương pháp tiên đề, cụ thể thừa nhận số tính chất + Các đối tượng phương pháp tiên đề HHKG: điểm, đường thẳng, mặt phẳng + Các quan hệ phương pháp tiên đề: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước Có mặt phẳng qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng cho trước Tồn bốn điểm không nằm mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Trong mặt phẳng kết biết - Tính thực nghiệm: + Tốn học trình hình thành phát triển tìm tòi dự đốn + Mơn HHKG có nhiều hội rèn luyện cho học sinh phép suy luận quy nạp, dự đoán thực nghiệm b Ngồi ra, HHKG có đặc điểm riêng sau: - HHKG có tác dụng trực tiếp việc bồi dưỡng phát triển trí tưởng tượng khơng gian cho học sinh Trong hình học phẳng(HHP) hình vẽ thực dễ dàng biểu diễn hình cần nghiên cứu nên học sinh có quan niệm hình vẽ cách cụ thể đầy đủ Nhưng HHKG hình vẽ hình chiếu nguyên vật thể xuống mặt phẳng theo phương chiếu xác định nên hình vẽ biến đổi theo quy luật phép chiếu, khơng thể hình học thật nó, đòi hỏi học sinh phải tưởng tượng suy luận tìm mối quan hệ đích thực đối tượng - HHKG xây dựng sở HHP có mối liên hệ chặt chẽ với HHP - HHKG người ta đưa khái niệm bản: điểm, đường thẳng; bổ sung thêm khái niệm mặt phẳng.Thực chất vấn đề mở rộng từ không gian hai chiều sang không gian ba chiều nên nội dung phương pháp nghiên cứu có nhiều vấn đề tương tự hình học phẳng Do việc dạy học tốt HHP tạo sở thuận lợi cho việc dạy học tốt HHKG 1.1.2 Những thuận lợi khó khăn học khai thác tập tốn HHKG a Những thuận lợi b Theo câu a mp (ACB1) mp (EAC) Do (P) mặt phẳng qua K song song với mp (ACB1) Từ K kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, AB, BC K1 , J , H Từ J kẻ đường thẳng song song với AB cắt AA1 , A1B1 , BB1 K2, K3, I Nối I H cắt B1C1 ,C1C K4 , K5 Dễ thấy thiết diện lục giác KK1K2K3K4K5 có cạnh đối song song với Bài toán thay đổi số yếu tố Bài 55: SBTNC T61 Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ Điểm M thuộc cạnh AD, điểm N thuộc cạnh D’C’ cho AM D'N = MD NC ' a Chứng minh MN / /(C ' BD) b Xác định thiết diện hình hộp cắt mp (P) qua MN song song với mp (C’BD) Giải: A a Theo giả thiết ta có AM = D ' N ⇒ AM = MD = AD MD NC D ' N NC D 'C ' ' ' E Theo định lý Ta - lét B đảo ta có MN, AD’, DC’ song song với mặt phẳng (P) Mặt phẳng (P) song song với F M C D J AD' A’ DC ' Nhưng D’ AD '/ / BC ' N nên mặt phẳng (P) song B’ I C’ song với mp (C ' BD) Từ đó, ta có MN / /(C ' BD) b Từ M kẻ ME / / BD cắt AB E; từ E kẻ đường EF / / AB ' , cắt BB’ thẳng F; từ F kẻ đường thẳng FI / / BC ' , cắt NJ / /C ' D cắt B 'C ' I; từ N kẻ đường thẳng D ' D J Dễ thấy thiết diện lục giác MEFINJ có cạnh đối song song với ba cạnh tam giác C ' BD Bài tập luyện tập Bài 2.28: SBT CB.T74 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo, AC = a, BD = b, tam giác SBD Gọi I điểm di động đoạn AC với AI = x (0 < x < a) Lấy (α ) mặt phẳng qua I song song với mặt phẳng (SBD) a Xác định thiết diện mặt phẳng (α ) với hình chóp S ABCD b Tìm diện tích S thiết diện câu a, theo a, b, x Tìm x để S lớn Đ5.Phép chiếu song song hình biểu diễn hình khơng gian a Các kiến thức cần nhớ I Phép chiếu song song Cho mặt phẳng (α ) đường thẳng ∆ cắt (α ) Với điểm M không gian, đường thẳng qua M song song trùng với ∆ cắt (α ) điểm M’ xác định Điểm M’ gọi hình chiếu song song điểm M mặt phẳng ( theo phương α ) ∆ Mặt phẳng (α ) gọi mặt phẳng chiếu, phương đường thẳng ∆ gọi phương chiếu Phép đặt tương ứng điểm M không gian với hình chiếu mặt phẳng (α ) M ' gọi phép chiếu song song lên theo phương (α ) ∆ II.Các tính chất phép chiếu song song Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song trùng Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài hai đoạn thẳng nằm hai đường thẳng song song nằm đường thẳng III Hình biểu diễn số hình khơng gian mặt phẳng Một tam giác coi hình biểu diễn tam giác tuỳ ý cho trước (có thể tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông…) Một hình bình hành coi hình biểu diễn hình bình hành tuỳ ý cho trước (có thể hình bình hành, hình vng, hình chữ nhật, hình thoi ) Một hình thang coi hình biểu diễn hình thang tuỳ ý cho trước, miễn tỉ số độ dài hai đáy hình biểu diễn phải tỉ số độ dài hai đáy hình cho Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn hình tròn b khai thác dạng toán Dạng Tìm phép chiếu song song hình cho trước thoả mãn số điều kiện cho trước Phương pháp giải Sử dụng tính chất phép chiếu song song Ví dụ Hãy chọn phép chiếu song song để hình chiếu song song hai đường thẳng chéo hai đường thẳng song song  Giải: Cho a b hai đường thẳng chéo Gọi (α ) a d mặt a’ phẳng chứa a song song với b, ( β mặt phẳng chứa b song P  b b’ ) song với a Gọi (P) mặt phẳng cắt (α ) ( β ) theo hai giao tuyến a’, b’ Vì (α ) / / ( β ) nên a’//b’ Gọi d đường thẳng nằm (α ) không song song với a b cắt (P) Khi phép chiếu song song chiếu lên mặt phẳng (P) theo phương d, hai đường thẳng chéo a b có hình chiếu a’ b’ song song với Bài toán tương tự Hãy chứng tỏ chọn phương chiếu mặt phẳng chiếu thích hợp để hình chiếu song song tứ diện hình bình hành, hình tam giác Giải A' B 'C ' : Giả D' A hình P B chiếu song song tứ diện ABCD Gọi P trung điểm cạnh AB Q trung B’ hình bình hành ta cần chọn phương chiếu ∆ Q C điểm cạnh CD Muốn cho A' B 'C ' D' D D’ O C’ A’ cho P’ Q’ hình chiếu P, Q chúng trùng Như vậy, chọn phương chiếu ∆ phương đường thẳng PQ mặt phẳng chiếu (α ) cắt ∆ hình chiếu song song tứ diện ABCD hình bình hành A' B 'C ' D ' Tóm lại ta chọn : - Phương chiếu ∆ phương ba đường thẳng qua trung điểm hai cạnh đối diện hình tứ diện - Mặt phẳng chiếu (α ) mặt phẳng tuỳ ý cắt đường thẳng ∆ Muốn có hình chiếu song song tứ diện tam giác ta cần chọn phương chiếu cho trùng với phương cạnh tứ diện Như vậy, ta có cách lựa chọn khác ta có hai đỉnh tứ diện có chung hình chiếu Dạng Vẽ hình chiếu hình khơng gian Phương pháp giải Chọn phương chiếu mặt phẳng chiếu thích hợp đồng thời bảo đảm tính chất thay đổi khơng thay đổi phép chiếu song song Ví dụ Hãy vẽ dạng hình biểu diễn có hình tứ diện ABCD Gợi ý: D’ A’ D’ B’ A’ A’ D’ B’ B’ C’ C’ A’B’ C’ B’ A’ C’ Bài toán tương tự C’ D’ A’ D’ D’ B’ C’ Hãy vẽ hình biểu diễn hình thang ABCD vng A B, có cạnh AB = BC = a, AD = 2a Hãy vẽ hình biểu diễn đường phân giác góc ACD Gợi ý: Hình biểu diễn hình A thang biểu thị hình a a B D a vẽ bên Hình biểu diễn phải thoả mãn yêu cầu sau a a C đây: BC // AD AD =2 BC Chú ý: - Các góc A B khơng cần hình thức chúng góc góc vng - Các độ dài AB BC vẽ khơng cần Hình biểu diễn đường phân giác góc ACD CI phải qua trung điểm I cạnh AD ACD tam giác vuông cân C (CA = CD) Do CI biểu diễn cho đường cao phát xuất từ đỉnh C tam giác ACD đồng thời đường trung tuyến phát xuất từ đỉnh C Kết luận Bài tập toán chương “Quan hệ song song không gian” tập hay khó tốn học Trong luận văn : “Khai thác tập toán dạy học quan hệ song song không gian” đạt số kết sau: - Nghiên cứu sở lý luận HHKG - Nghiên cứu sở lý luận hoạt động khai thác tập toán HHKG - Đề xuất hệ thống tập khai thác chủ đề quan hệ song song không gian Với kết thu luận văn, em hi vọng đóng góp phần vào việc rèn luyện cho học sinh hoạt động khai thác tập toán dạy học quan hệ song song không gian lớp 11 Đồng thời em mong muốn luận văn trở thành tư liệu giúp ích cho bạn đồng nghiệp muốn tìm hiểu vấn đề khai thác tập toán Và muốn tạo cho em học sinh cảm thấy dễ dàng học tập HHKG lớp 11, tạo cho em niềm đam mê hứng thú học tập, nâng cao trí tuệ khả nhận thức em Tuy nhiên em chưa có nhiều kinh nghệm việc giảng dạy bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học nên luận văn khó tránh hỏi thiếu sót, em kính mong nhận bảo góp ý thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn Tài liệu tham khảo Nguyễn Bá Kim - Phương pháp dạy học mơn Tốn - NXB Đại học Sư phạm Lê Duy Ninh - Suy luận chứng minh - NXB Đại học Sư phạm Hà Nội Phạm Đình Thực - Phương pháp sáng tác đề toán tiểu học - NXB Giáo dục Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện - Hình học 11-NXB Giáo dục Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh - Bài tập hình học 11 - NXB Giáo dục Đồn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân - Hình học nâng cao 11 - NXB Giáo dục Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân - Bài tập hình học nâng cao 11 - NXB Giáo dục Trần Văn Hạo, Nguyễn Cam, Nguyễn Mộng Hy, Trần Đức Huyên, Cam Duy Lễ, Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Vũ Thanh - Chuyên đề luyện thi vào đại học hình học không gian -NXB Giáo dục Việt Nam Nguyễn Vĩnh Cận - Tốn nâng cao hình học 11 - NXB Đại học Sư phạm 10 Nguyễn Tiến Quang-Bài tập nâng cao hình học 11 - NXB Đại học Sư phạm 11 12 Phan Huy Khải - Hình học không gian - NXB Giáo dục Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc-Tốn nâng cao tự luận trắc nghiệm hình học 11 - NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 13 ThS.Lê Hồnh Phò- Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn hình học 11 - NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 14 ThS Nguyễn Kiếm, Ths Lê Thị Hương, ThS.Hồ Xuân Thắng - Phân loại phương pháp giải dạng tập toán 11-NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 15 Vũ Quốc Anh - Tuyển tập 320 tốn hình khơng gian chọn lọc - NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ... học tập khả khai thác tập toán học sinh học tập III Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu sở lí luận thực tiễn khai thác tập tốn dạy học quan hệ song song khơng gian - Xây dựng hoạt động khai thác tập. .. thuận lợi khó khăn học khai thác tập toán HHKG 1.2 Khai thác tập toán 1.2.1 Bài tập toán phát triển tư 1.2.2 hoạt động khai thác tập tốn HHKG 1.2.3 Vai trò tập tốn q trình dạy học 19 1.2.4 u cầu... HHKG II .Khai thác tập toán III.Kết luận Chương II: Khai thác tập toán dạy học quan hệ song song không gian Đ1 Đại cương đường thẳng mặt phẳng Đ2 Hai đường thẳng chéo hai đường thẳng song song Đ3