Vectơ trong mặt phẳng và các bài toán

Khóa luận tốt nghiệp đại học TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN  -VŨ THỊ VUI [ VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TỐN • BÀI TỐN QUỸ TÍCH • BÀI TỐN ĐỊNH LƯỢNG • BÀI TỐN ĐỊNH TÍNH TĨM TẮT KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học GV BÙI VĂN BÌNH HÀ NỘI - 2012 SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo khoa Tốn trường ĐHSP Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt q trình làm khóa luận Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Văn Bình tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hồn thành khóa luận Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 10 tháng năm 2012 Sinh viên VŨ THỊ VUI LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hồn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo Bùi Văn Bình với cố gắng thân em Trong trình nghiên cứu em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân em, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, Ngày 10 tháng năm 2012 Sinh viên VŨ THỊ VUI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài tốn “Tìm tập hợp điểm” hay “Bài tốn quỹ tích” tốn hay gặp đề thi học sinh giỏi hay thi tuyển vào trường chuyên, trường ĐH, CĐ,…một đề tài làm say mê bao người, góp phần khơng nhỏ làm cho người học u thích mơn hình học Khơng thể phủ nhận ý nghĩa tác dụng toán quỹ tích việc rèn luyện tư tốn học nói riêng việc rèn luyện tư linh hoạt nói chung, phẩm chất cần thiết cho hoạt động sáng tạo người Đây phần kiến thức khó học sinh việc tiếp nhận kiến thức phương pháp, khó việc vận dụng kiến thức phương pháp việc giải tập Có nhiều phương pháp để giải tốn hình học phương pháp vectơ phương pháp có hiệu Nó cho ta lời giải cách xác tránh yếu tố trực quan, suy diễn phức tạp phương pháp tổng hợp phương tiện hiệu để giải tốn hình học Xuất phát từ say mê giúp đỡ tận tình thầy Bùi Văn Bình em chọ đề tài: “Vectơ mặt phẳng tốn” Khóa luận gồm chương: Chương Kiến thức vectơ Chương Phương pháp vectơ để giải tốn quỹ tích Chương Sử dụng tích vơ hướng giải tốn định lượng-định tính Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đưa hệ thống lý thuyết phù hợp, số dạng tốn thường gặp thơng qua phương pháp chung ví dụ minh họa Giúp học sinh bước đầu thấy tầm quan trọng ứng dụng vectơ giải tốn, coi cơng cụ nhằm giải tốn cách có hiệu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Với khuôn khổ, phạm vi khóa luận, tác giả tập trung sâu tìm hiểu phương pháp vectơ để giải tốn quỹ tích sử dụng tích vơ hướng giải tốn định lượng- định tính NỘI DUNG CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ 1.1 VECTƠ 1.1.1 Định nghĩa Cho đoạn thẳng AB Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B Khi ta nói AB đoạn thẳng có hướng Vectơ đoạn thẳng có hướng  Vectơ có điểm đầu A , điểm cuối B kí hiệu AB đọc “vectơ AB ” B A   Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng AA , BB ,… gọi vectơ-không 1.1.2 Hai vectơ phương, hướng Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng   gọi hướng, chiều Hai vectơ phương AB   CD từ A đến B trùng với chiều từ C đến D Kí hiệu AB ↑↑ CD Khóa luận tốt nghiệp đại học  Hai vectơ phương AB RS  gọi ngược hướng,    chiều từ A đến B ngược với chiều từ R đến S Kí hiệu AB ↑↓ RS Như vậy, hai vectơ phương chúng hướng ngược hướng B A R S D C Chú ý : + Ta quy ước vectơ-không hướng với vectơ + Hai vectơ hướng với vectơ thứ ba khác vectơ-khơng hướng + Ta nói hai vectơ hướng hay ngược hướng có hai vectơ phương 1.1.3 Độ dài vectơ Mỗi vectơ có độ dài, khoảng cách điểm đầu điểm   cuối vectơ Độ dài vectơ AB kí hiệu AB   Như vậy, vectơ AB , PQ ,… ta có:   AB = AB = BA , PQ = PQ = QP ,… Theo đó, độ dài vectơ-khơng Khóa luận tốt nghiệp đại học 1.1.4 Hai vectơ Hai vectơ gọi chúng hướng độ dài Nếu hai vectơ AB     ta viết AB = CD CD Chú ý: + Quan hệ hai vectơ quan hệ tương đương tập vectơ Tập hợp vectơ tạo thành lớp tương đương   kí hiệu chữ thường có mũi tên đầu như: a , b ,…  + Mọi vectơ-không kí hiệu chung  + Khi cho trước vectơ điểm O , ta ln tìm điểm A a   cho OA = a 1.1.5 Góc hai vectơ    Cho hai vectơ a b khác Từ     vectơ OA OB = b Khi A□OB =a góc   gọi góc hai vectơ a b   Ta kí hiệu góc hai vectơ a b là: điểm O đó, ta vẽ với số đo từ đến 180  ( a,b ) A O  Nếu a,b ( )= 90     a b ⊥ a ⊥ b  ta nói a B  vng góc với nhau, kí hiệu b  MA = AM =   (MO + ) = MO ( 2   MC = MC MO + = OC ( Thay lên (1) 2   2 = MO + OB + 2MO.OB   = MO + OC + 2MO.OC ta có:     β + γ ) MO2 + α.OA2 + β OB2 + γ OC + 2MO(αOA + βOB + γ OC) k= (α + OA + 2MO.OA OA    MB = MB MO + = OB   +       = (α + β + γ ) R + 2MO α OA + β OA + AB + γ OA + AC ( ( ) (     = 2MO OA ( α +) β + γ + β AB + γ AC    = 2MO β AB + γ AC    theo thứ tự hình chiếu Dựng vectơ v = β AB gọi M ,  + γ AC O0 vng góc M , O lên đường thẳng chứa vectơ v ta được:   k k = 2MO.v = 2M 0O0.v ⇔ M 0O0 = 2v ( ( ) Do A , B , C cố định nên vế phải có giá trị khơng đổi O0 cố định nên M cố định Vậy M thuộc đường thẳng qua M  vng góc với v ii α + β + γ≠ Gọi I điểm thỏa mãn:     α + β IA IB IC       ⇔ α.IA + β IA + IB + γ IA + AC =    ⇔ (α + β + γ ) IA = β.BA + γ CA    β BA + γ CA ⇔αIA+ =β + γ ( ) ( ) Do A , B , C cố định α , tìm β , γ số cho trước nên ta ln I Ta biến đổi (1) dạng:   2 k= + β + γ MC α.MA MB       = α MI + γ MI + IC + IA + β MI + IB         = (α + β + γ ) MI + α.IA + β.IB + γ IC + 2MI α IA + β IB + γ IC ( ( ( ( = (α + + γ IC β + γ ) MI + α IA2 + β IB2 2 ⇔ MI = k − (α IA + β IB + γ IC ) Đặt m = α + β + γ  k − (α IA2 2 + β IB + γ IC ) α + β + γ ta có nhận xét sau:  • Nếu m < quỹ tích điểm M tập rỗng • Nếu m = quỹ tích điểm M điểm I • Nếu m quỹ tích điểm M đường tròn tâm I bán kính >0 Khóa luận tốt nghiệp đại học m 2.3.3 Bài tập đề nghị Bài tập 1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho: 2 a 3MA − 2MB − MC = 2l 2 2 b MA + MB + MC = AB + BC Hướng dẫn: a - Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC    - Dựng vectơ v = AB + AC - Gọi M0 theo thứ tự hình chiếu vng góc M , O lên  ,O0  đường thẳng chứa vectơ v vng góc với v - M thuộc đường thẳng qua M Bài tập 2: Cho tam giác ABC có góc A nhọn, trung tuyến AI Tìm tập hợp điểm M di động góc BAC cho: AB.AK + AC.AH = AI với K , H hình chiếu M lên AB AC CHƯƠNG SỬ DỤNG TÍCH VƠ HƯỚNG GIẢI CÁC BÀI TỐN ĐỊNH LƯỢNG – ĐỊNH TÍNH 3.1 Phương pháp chung a, với toán định lượng, ta sử dụng kết sau:   - Gọi α góc a b , ta có:  a.b cosα = a.b    thực - Để tính độ dài đoạn AB , ta thực hiện: AB2 = =  AB AB.AB phép phân tích vectơ AB thành tổ hợp vectơ sở Lưu ý: + Việc tính góc hai đường thẳng ta quy tính góc hai vectơ phương hai đường thẳng + Việc tính góc hai mặt phẳng ta quy tính góc hai vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng + Việc tính góc đường thẳng mặt phẳng ta quy tính góc hai vectơ vectơ phương đường thẳng vectơ pháp tuyến mặt phẳng b, Với tốn định tính, ta biến đổi điều kiện ban đầu thành biểu   a b thức tích vơ hướng, từ dẫn tới:    a / /b từ đưa lời kết luận cho tốn 3.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng cân A Tính góc trung tuyến BE , CF Giải Gọi α ( ≤ α ≤ 900 ) góc BE CF , ta có:   BE.CF cosα =   BE CF (1) A E F B Trong đó:   C             BE.CF = (BA + AE)(CA + AF) = BA.CA + BA.AF + AE.CA + AE.AF     = BA.AF + AE.CA AB = − − AC = − AB AC AB 2   AB AB = AB BE = CF = AB2  AE2 4 = Thay ( ) , (3) vào (1) , ta được: AB = cosα = 5 AB (2) (3 ) Vậy góc hai đường trung tuyến BE CF ≤ 90 ) thỏa mãn: cosα = Ví dụ 2: α ( 00 ≤ α Cho hình bình hành ABCD , biết với điểm M ln có: MA + MC (1) = MB + MD Chứng ABCD hình chữ nhật minh Giải: rằng: Gọi O giao điểm BD , ta hai đường chéo AB  được: (2)     2MO = M A + M C = M B + M D Bình phương vế (2) ta được:   MA + MC ( SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 68 ( = MB + MD     ⇔ MA        + 2MB.MD   3.3 2  + 2M + M A.+ M C M D C = M B     ⇔ MA.M C = MB.MD         ⇔ MO + OA ( )( ) i t ậ p đ ) ( )( ) ( )( ề h MO − OA = MO + OB i ⇔ = OB AC = BD MO + OD         ⇔ MO + OA MO − OB ⇔ B n )( OA = OB ⇔ ABCD hình chữ nhật MO + OC = MO + OB ( ) ⇔ g ị B t OA SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán ậ p 69 (1) : Cho ∆vuông, B , M trung A có cạnh C huyền điểm B = BC , C a Tính độ dài AB  b  aAM AC i BC = ế t r ằ n g : Hướn g dẫn: - T AB − A C = a g i ả t h i ế t , t SVTH : Vũ Thị Vui Lớp : k34 cử nhân Toán 70 - Theo định lý Pitago ta AB + AC 2 = 3a (2) - Gi ải ph ươ ng trì nh (1 ) (2 ) ta đư ợc độ dà i củ a A B A C B i t ậ p : Cho hình A than B gC v D ng, đ n g cao AB Biết rằng:       AB.AC = ,       CA.CB = , CB.CD = a Tính độ dài cạnh hình thang b Gọi EF đường trung bình hình thang Tính độ dài hình chiếu EF lên BD b E , F hình chiếu E G1 ọ, F lên BD E1 F1 =5 Bài tập 3: ABCD , biết:       C  h AB.AD + BA.BC o + CB.CD + DC.DA = g i c H n g d ẫ n : ề ng     ( A B − D - T C ) ( a Hướng dẫn: t ứ Chứ ABCD ng hình bình hành h bi ế A n D đ − ổi đ B ẳ C n ) g = th ứ c v - ABCD hình bình hành KẾT LUẬN Việc sử dụng vectơ để giải toán cung cấp cho học sinh số kiến thức mới, cách nhìn Tốn học Nó giúp phát triển tư toàn diện cho học sinh, tạo cho học sinh đứng trước tốn hình thành cho hướng tư đắn phù hợp để giải tốn Nhằm góp phần hồn thiện cho học sinh cách nhìn hình học nói chung vectơ nói riêng Luận văn đưa hệ thống lý thuyết phù hợp, số dạng toán thường gặp thơng qua phương pháp chung ví dụ minh họa dạng toán bước đầu thấy tầm quan trọng ứng dụng vectơ, coi cơng cụ nhằm giải tốn cách có hiệu TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí (2002), Các phương pháp giải tốn hình học giải tích mặt phẳng, NXBHN Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2003), Phương pháp giải tốn vectơ, NXBHN Nguyễn Mộng Hy, Các toán phương pháp vectơ phương pháp tọa độ, NXBGD Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đồnh, Trần Đức Hun (2007), Hình học 10, NXBGD Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy (2006), Hình học 11, NXBGD ... Ta quy ước vectơ- không hướng với vectơ + Hai vectơ hướng với vectơ thứ ba khác vectơ- khơng hướng + Ta nói hai vectơ hướng hay ngược hướng có hai vectơ phương 1.1.3 Độ dài vectơ Mỗi vectơ có độ... hai vectơ gọi phép cộng hai vectơ  a B  b A Chú ý : C    + Nếu tổng hai vectơ vec tơ khơng ta nói vectơ a b a    đối b b vectơ đối a   Vectơ đối vectơ a kí hiệu −a   + Vectơ đối vectơ. .. hiệu −a   + Vectơ đối vectơ a vectơ ngược hướng với vectơ a có    độ dài với vectơ a Đặc biệt, vectơ đối vectơ vectơ 1.2.1.2 Các tính chất    Với ba vectơ a , b , tùy ý ta có:   