SKKN Ứng dụng phép biến hình trong mặt phẳng giải các bài toán tìm tập hợp điểm

30 3.1K 2
SKKN Ứng dụng phép biến hình trong mặt phẳng giải các bài toán tìm tập hợp điểm

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM” PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong chương trình hình học ở bậc THPT chúng ta đã biết các phép biến hình trong mặt phẳng như phép đối xứng qua một đường thẳng, phép đối xứng qua một điểm,phép tịnh tiến,phép vị tự ,phép đồng dạng ,việc làm quen ,sử dụng và lại ứng dụng được nó là một điều hết sức khó khăn và học sinh rất ngại học phần này. Trong khi dạy học sinh ôn tập tôi đã chú trọng phân dạng và dạy cho học sinh những dạng toán cơ bản về phép biến hình,với những đối tượng học sinh học giỏi tôi mạnh dạn đưa và dạng toán ứng dụng phép biến hình trong mặt phẳng giải các bài toán tìm tập hợp điểm. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài “ứng dụng phép biến hình trong mặt phẳng giải các bài toán tìm tập hợp điểm " nhằm giúp học sinh có thêm cách giải các bài toán về tập hợp điểm trong hình học.Có nhiều bài toán về tập hợp điểm khó khăn ( thậm chí cảm giác không tìm ra cách giải) dặc biệt là lời giải một cách tự nhiên nhất ,thì lại giải quyết một cách đơn giản bằng cách áp dụng phép biến hình .Phát huy kĩ năng giải toán ,phát triển tư duy lôgic cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng học tập của học sinh ,tạo được hứng thú học tập môn toán. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Phép biến hình trong mặt phẳng là khái niệm mới và khó nên học sinh ngại nghiên cứu tuy ứng dụng của nó rất lớn nhưng học sinh học trong thời gian ngắn nên việc áp dụng thành thạo các bài tập cơ bản đối với nhiều học sinh chưa được tốt. - Vì học sinh học phép biến hình chỉ nghĩ đơn thuần là nắm được định nghĩa và tính chất nên khi áp dụng phép biến hình trong mặt phẳng vào giải các bài toán tập hợp điểm, học sinh gặp nhiều khó khăn. Vậy áp dụng như thế nào và có phổ biến trong mọi dạng toán hay không? Để giải quyết hết mọi vấn đề thì khó nhưng trong những dạng tôi đã dạy các em đã phần nào trả lời được các câu hỏi đó. 4. Đối tượng nghiên cứu Ứng phép biến hình trong mặt phẳng để giải các bài toán tìm tập hợp điểm trong chương trình toán học THPT. 5. Phạm vi nghiên cứu Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức của bộ môn toán trung học phổ thông, các tài liệu về phương pháp giảng dạy, các tài liệu bồi dưỡng học sinh luyện thi đại học ,cao đẳng và học sinh giỏi. 6. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khao, sách tham khảo, các tài liệu liên quan khác, - Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường PTTH Tiên Lữ - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy. PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN, THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ I.1 Cơ sở lý luận của vấn đề Việc đưa các phép biến hình trong mặt phẳng vào giải các bài toán tìm tập hợp điểm không chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những công cụ mới để giải toán à cong tập cho học sinh làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc và các hiện tượng xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá,tạo cơ sở cho sự ra đời của những phát minh và sáng tạo trong tương lai. Ngoài ra có thể dựa vào một bài toán hình học cụ thể về tìm tập hợp điểm bằng phép biến hình ta còn có thể sáng tạo ra các bài toán khác nhau và đây là một việc làm mang lại nhiều hứng thú trong việc tìm tòi, nghiên cứu hình học. Hơn nữa việc lựa chọn các công cụ thích hợp cho mỗi loại toán hình học khác nhau là một việc làm cần thiết giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian và công sức để giải các bài toán đó một cách có hiệu quả nhất. I.2 Thực trạng của vấn đề. Phép biến hình là khái niệm mới và khó nên học sinh lười nghiên cứu, tuy ứng dụng của nó rất lớn nhưng học sinh học trong thời gian ngắn nên việc áp dụng thành thạo các bài tập cơ bản đối với nhiều học sinh chưa được tốt. Trong quá trình ôn tập cho học sinh tôi luôn quan tâm đến vấn đề này dạy cho học sinh hiểu bài không chỉ dạy lý thuyết mà phải có áp dụng đi cùng. Khi chọn đề tài này đã phần nào giúp học sinh tháo gỡ việc nhận thức học phần phép biến hình và có công cụ giải quyết được dạng bài tập về tập hợp điểm. CHƯƠNG II DÙNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM I. Phép biến hình - Phép tịnh tiến và phép dời hình: 1. Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M trên mặt phẳng có thể xác định được một điểm duy nhất M' thuộc mặt phẳng 2. Phép tịnh tiến theo vectơ u r là phép biến hình biến điểm M thành điểm M' sao cho 'MM u= uuuuur r 3. Tính chất cơ bản của phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa hai chất điểm bất kì. 4. Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Phép tịnh tiến là một phép dời hình. 5. Phép dời hình có tính chất: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tia thành tia, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. 6. Cho hai phép dời hình F và G, giả sử M là điểm phép biến hình F biến điểm M thành điểm M' và phép biến hình G biến M' thành M". Khi đó phép biến hình biến điểm M thành điểm M" được gọi là hợp thành của phép F và phép G. II. Phép đối xứng trục: 1. Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' đối xứng với M qua đường thẳng a. Phép đối xứng qua đường thẳng a còn gọi là phép đối xứng trục. Đường thẳng a gọi là trục của phép đối xứng. 2. Phép đối xứng trục là một phép dời hình. 3. Trục đối xứng của hình H là đường thẳng mà phép đối xứng qua đường thẳng đó biến hình H thành hình H. III. Phép quay và phép đối xứng tâm: 1. Trong mặt phẳng, cho điểm O và góc lượng giác ϕ . Phép quay Q ( ) 0; ϕ tâm O góc quay ϕ là phép dời hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác O thành điểm M' sao cho OM=OM' và (OM, OM')= ϕ 2. Phép quay là một phép dời hình 3. Khi ϕ = π thì phép quay Q(O, π ) gọi là phép đối xứng qua điểm O, kí hiệu Đ 0 . Phép đối xứng qua điểm O còn gọi là phép đối xứng tâm. Phép đối xứng qua điểm O biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho ' 0OM OM+ = uuuur uuuuur r IV. Hai hình bằng nhau: 1. Nếu ABC và A'B'C' là hai tam giác bằng nhau thì có phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia 2. Hai hình H và H' gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia. V. Phép vị tự - Phép đồng dạng: 1. Phép vị tự V(O;k) với tâm O, tỉ số k (k ≠ 0) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho 'OM kOM= uuuuur uuuur 2. Phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng song song ( hoặc trùng) với đường thẳng đó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với |k|, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là |k|, biến góc thành góc bằng nó. 3. Phép vị tự biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|R. 4. Tâm vị tự của hai đường tròn: đó là tâm của phép vị tự V biến đường tròn này thành đường tròn kia. Tâm vị tự đó gọi là tâm vị tự ngoài hay tâm vị tự trong tùy theo tỉ số của phép vị tự là dương hay âm. Hai đường tròn có bán kính khác nhau thì có một tâm vị từ ngoài và một tâm vị tự trong. Hai đường tròn có bán kính bằng nhau ( tâm khác nhau) thì chỉ có tâm vị tự trong, đó chính là trung điểm đoạn thẳng nối tâm hai đường tròn. 5. Phép đồng dạng tỉ số k ( k>0) là phép biến hình biến hai điểm tùy ý M, N thành hai điểm M’, N’ sao cho M’N’=kMN 6. Mọi phép đồng dạng F tỉ số k là hợp thành của một phép vị tự V tỉ số k và một phép dời hình D. 7. Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia. CHƯƠNG III ÁP DỤNG A. Tìm tập hợp điểm bằng phép tịnh tiến u T r Phương pháp: 1. Xác định phép tịnh tiến u T r biến điểm M thành M' 2. Tìm quỹ tích điểm M 3. Từ quỹ tích của điểm M, dựa vào tính chất của phép tịnh tiến để suy ra quỹ tích của điểm M' Bài toán 1: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho: 'MM MA MB+ = uuuuur uuur uuur Giải: Ta có 'MM MB MA AB= − = uuuuur uuur uuur uuur Phép tịnh tiến T theo vecto AB uuur biến M thành M’ Gọi O’ là ảnh của O qua phép tịnh tiến T, tức là OO' AB= uuuur uuur thì quỹ tích M' là đường tròn O' có bán kính bằng bán kính đường tròn (O). Bài toán 2: Cho đường tròn (O) với đường kính AB cố định, một đường kính MN thay đổi. Các đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q. Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ? Giải MPQV có QA là một đường cao ( vì QA MP⊥ ). Kẻ MM' ⊥ PQ thì MM' cắt QA tại trực tâm H của MPQV , đoạn đường thẳng OA là đường trung bình của NMH∆ nên 2MH OA BA= = uuuur uuur uuur Vậy phép tịnh tiến T theo BA uuur biến M thành H. ( M không trùng A; M không trùng B) ⇒ Quỹ tích H là ảnh của đường tròn (O) ( không kể hai điểm A và B) qua phép tịnh tiến đó. Làm tương tự đối với trực tâm H' của NPQ∆ Bài toán 3: Cho ABC∆ , với mỗi điểm M ta dựng điểm N thỏa mãn: 2 3MN MA MB MC= + − uuuur uuur uuur uuuur . Tìm tập hợp điểm N, khi M thay đổi trên một đường thẳng d. Giải 2 3 2 3MN MA MB MC MN AB AC AE= + − ⇔ = − = uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur Ta có AE uuur là một vecto xác định → N là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo AE uuur . Vì M thuộc d, nên N thuộc d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến đó. Tập hợp N là cả đường thẳng d’. Bài toán 4: Cho ABC∆ cố định có trực tâm H. Vẽ hình thoi BCDE, từ D và E vẽ các đường thẳng vuông góc với AB và AC. Các đường thẳng này cắt nhau tại điểm M. Tìm quỹ tích của điểm M. Giải Tứ giác BCDE là hình thoi nên BC=CD, BC//ED. H là trực tâm ABC ∆ nên , ME ACBH AC⊥ ⊥ BH⇒ // ME. Suy ra · · HBC MED= Tương tự: HC//DM và BC//ED · · HCB MDE⇒ = Suy ra: HBC MDE CH DM∆ = ∆ ⇒ = uuur uuuur ⇒ Phép tịnh tiến ( ) CH T D M= uuuur Ta có BC=CD nên điểm D chạy trên đường tròn (C) tâm C, bán kính R=BC ⇒ điểm M thuộc đường tròn tâm H, bán kính R=BC là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến CH T uuuur Bài toàn 5 ABC∆ có µ 0 90A = . Từ điểm P thay đổi trên cạnh huyền BC của ABC∆ vẽ các đường vuông góc PR, PQ với các cạnh vuông AB, AC ( R ∈ AB, Q ∈ AC). Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng RQ. Giải Dựng hình chữ nhật ABSQ Ta có PR ⊥ AB, PQ ⊥ AC và RA ⊥ AQ ⇒ ARPQ là hình chữ nhật. Suy ra RBSP là hình chữ nhật. Gọi N là trung điểm cạnh BP thì MN//SQ và MN= 1 2 SQ ⇒ MN//BA và MN= 1 2 BA Đặt 1 2 u BA NM u= ⇒ = r uuur uuuur r . Phép tịnh tiến : N M u T → r Khi P ≡ C thì N ≡ D là trung điểm cạnh BC Khi P thay đổi trên cạnh huyền BC thì N cũng thay đổi trên đoạn thẳng BD thuộc cạnh huyền BC. 1 : B u T B→ r và 1 : D u T N→ r thì B 1 và N 1 là trung điểm cạnh AB, AC. Suy ra quỹ tích của điểm M là đoạn thẳng B 1 N 1 . B. Tìm tập hợp điểm bằng phép đối xứng Đ a Phương pháp: 1. Xác định phép đối xứng Đ a biến điểm M thành M' 2. Tìm quỹ tích điểm M 3. Từ quỹ tích của ddierm M, dựa vào tính chất của phép đối xứng trục để suy ra quỹ tích điểm M' Bài toán 6: Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A, B cố định. Với mỗi điểm M ta xác định điểm M' sao cho 'MM MA MB= + uuuuur uuur uuur . Tìm quỹ tích điểm M' sao cho M chạy trên (O;R). Giải Gọi I là trung điểm của AB thi I cố định và 2MA MB MI+ = uuur uuur uuur , 'MM MA MB= + uuuuur uuur uuur ' 2MM MI⇔ = uuuuur uuur 'MM ⇒ nhận I làm trung điểm hay phép đối xứng tâm Đ I biến điểm M thành M'. Vậy khi M chạy trên đường tròn (O;R) thì quỹ tích điểm M' là ảnh của đường tròn qua Đ I . Nếu ta gọi O' là điểm đối xứng của O qua điểm I thì quỹ tích của M' là đường tròn (O';R). Bài toán 7: Cho đường tròn (O) và ABC ∆ . Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Gọi M 1 là điểm đối xứng của M qua A. M 2 là điểm đối xứng của M 1 qua B, M 3 là điểm đối xứng của M 2 qua C. Tìm quỹ tích điểm M3. Giải Gọi D là trung điểm của MM 3 thì ABCD là hình bình hành ⇒ điểm D cố định. Vì phép đối xứng qua điểm D biến M thành M 3 nên quỹ tích M 3 là ảnh của đường tòn (O) qua phép đối xứng đó. Bài toán 8 Cho đoạn thẳng BC cố định và số k>0. Với mỗi điểm A ta xác định điểm D sao cho AD AB AC= + uuur uuur uuur . Tìm tập hợp điểm D khi A thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2 AB AC k+ = Giải Gọi I là trung điểm của BC, khi đó 2AI AB AC AD= + = uur uuur uuur uuur ⇒ I là trung điểm của AD. Phép đối xứng qua I biến A thành D. Tập hợp điểm A thỏa mãn điều kiện đã cho là một đường tròn hoặc một điểm hoặc rỗng. Vậy tập hợp điểm D là đường tròn hoặc một điểm hoặc tập rỗng. Bài toán 9 Cho hai điểm cố định A, B và số a>0. Xét các đường elip (E) đi qua A, nhận B là tâm đối xứng và có độ dài trục lớn là 2a. Tìm tập hợp các tiêu điểm của (E). Giải Gọi F 1 , F 2 là hai tiêu điểm của (E). Với A’ đối xứng với A qua B, khi đó ta có: 1 1 1 1 A'F AF A'F AF 2a+ = + = . Vậy tập hợp các tiêu điểm là một elip nhận A, A’ làm các tiêu điểm và có độ dài trục lớn là 2a. Bài toán 10 Cho ba điểm A, B, C cố định trên đường tròn (O) và điểm M thay đổi trên (O). Gọi M 1 đối xứng với M qua A, M 2 đối xứng M 1 qua B, M 3 đối xứng với M 2 qua C. Tìm quỹ tích của điểm M 3 . [...]... và ý thức tìm tòi Thực tế phần ứng dụng phép biến hình trong không gian để giải các bài toán tìm tập hợp điểm tôi vẫn để ngỏ và tìm hiểu thêm Rất mong được sự góp ý của các đồng nghiệp để đề tài của tôi được áp dụng rộng hơn TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Sách giáo khoa và sách bài tập hình học 11 (Nhà xuất bản giáo dục) 2 Các phép biến hình trong mặt phẳng (Nguyễn Mộng Hy) 3 Phép biến hình trong mặt phẳng (Đỗ... trường - Những sáng kiến đạt giải cao nên được phổ biến rộng rãi đề đồng nghiệp học tập 4 Một số vấn đề còn bỏ ngỏ - Ứng dụng của phép biến hình rất đa dạng và áp dụng trong nhiều dạng của toán học, nhưng với khả năng của học sinh lớp 11 các em vẫn bỡ ngỡ và chưa thành thạo nên tôi mới đưa vào phần ứng dụng phép biến hình trong mặt phẳng để giải các bài toán tìm tập hợp điểm để học sinh nắm được và... kiện bài toán ta suy ra C là ảnh của B qua phép quay tâm A với góc quay 60 Tập hợp điểm C là ảnh của d qua phép quay đó 0 Bài toán 18 Cho điểm I cố định Mọi M, M' là hai điểm sao cho ∆ IMM' vuông cân tại I a) Cho điểm M chạy trên đường tròn (O) Tìm quỹ tích các điểm M' b) Cho điểm M chạy trên đường thẳng d Tìm quỹ tích các điểm M' Gọi H là hình chiếu của I xuống MM' Tìm quỹ tích các điểm H Giải ∆... qua phép đối xứng trục BC C Tìm tập hợp điểm bằng phương pháp quay Q ( O; ϕ ) : Phương pháp: 1 Xác định phép quay biến điểm M thành M' 2 Xác định quỹ tích của điểm M 3 Dựa vào tính chất phép quay để tìm quỹ tích của điểm M' Bài toán 15 Cho đường tròn (O) và một điểm I không nằm trên đường tròn Với mỗi điểm A thay đổi trên đường tròn, ta xét hình vuông ABCD có tâm là I Tìm quỹ tích các điểm B, C, D Giải. .. trung điểm của AA’ là trục đối xứng của hai điểm A và A’ Bài toán 12: Cho elip có hai tiêu điểm F1 và F2 Xét đường thẳng d có một điểm chung duy nhất M với elip và F’ là điểm đối xứng với F2 qua d Tìm tập hợp F khi d thay đổi Giải Kí hiệu 2a là độ dài trục lớn của (E), theo định nghĩa MF 1+MF2=2a Vì F’ đối xứng với F2 qua d khi đó MF1+MF’= MF1+MF2=2a Điều đó chứng tỏ M nằm trên đường thẳng F1F’ và tập hợp. .. pháp: 1 Xác định phép vị tự biến điểm M thành điểm M' 2 Tìm quỹ tích của điểm M 3 Dựa vào tính chất của phép vị tự để tìm quỹ tích của điểm M' Bài toán 19 Tam giác ABC có bán kính B, C cố định còn đỉnh A chạy trên một đường tròn (O;R) cố định không có điểm chung với đường thẳng BC Tìm quỹ tích trọng tâm G của ∆ABC Giải Gọi I là trung điểm của BC thì I cố định ∆ABC Điểm G là trọng tâm Phép vị tự tâm I... qua phép đối xứng tâm D Vậy quỹ tích các điểm M 3 là đường tròn (O') Bài toán 11 Cho hai điểm A, B cố định Với mỗi đường thẳng đi qua B ta dựng điểm A’ đối xứng với A qua d Tìm tập hợp A’ đi qua d quay quanh B Giải Gọi H là giao điểm của d với AA’, ta có BH ⊥ AA' Gọi C là điểm đối xứng với A qua B, khi đó A ' C //d, C cố định và A ' C ⊥ A ' A ⇒ A’ nằm trên đường tròn đường kính AC Đảo lại nếu A’ là điểm. .. là G Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a Giải Phép quay tâm G góc quay 1200 biến A thành B ( hoặc C) Phép quay tâm G góc quay 2400 biến A thành C ( hoặc B) Vậy quỹ tích B và C là ảnh của đường thẳng a qua hai phép quay nói trên Bài toán 17 Cho đường thẳng d, điểm A cố định không nằm trên d Với mỗi điểm B ∈ d ta dựng tam giác đều ABC Tìm tập hợp điểm C khi B thay đổi trên đường thẳng d Giải. .. ra I là trung điểm các đoạn thẳng AP, BQ, CR b) Ta có G, M và I thẳng hàng ⇒ MI cắt AJ tại G ⇒G là trọng tâm uur r 1 uuuu ∆AMP ⇒ GI = − GM 2 1  ⇒ V  G; − ÷: M → I 2  M thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp tiếp ∆JKL ∆ABC nên quỹ tích các điểm I là đường tròn (O) ngoại E Tìm tập hợp điểm bằng phương pháp đồng dạng: Phương pháp: Tìm tập hợp điểm bằng phương pháp đối xứng tâm Bài toán 28 Cho điểm A cố định... d Giải uu uu uu r r r r IA + 2 IB + 3IC = 0 uuuu r uuu uur r uuu r vậy MN = 6MI ⇒ IN = −5IM Gọi I là điểm có tính chất: ⇒ I là điểm cố định Vì ⇒ N là ảnh của M qua phép vị tự tâm I, tỉ số k=-5 Vậy tập hợp N là đường thẳng d’ nhận được từ d qua phép vị tự đó Bài toán 26 ∆ABC và điểm M thuộc cạnh AB Qua M vẽ các đường thẳng song song với trung tuyến AA1 và BB1 cắt BC, CA tại P và Q Tìm quỹ tích các điểm . ứng dụng phép biến hình trong mặt phẳng giải các bài toán tìm tập hợp điểm. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài ứng dụng phép biến hình trong mặt phẳng giải các bài toán tìm tập hợp điểm. PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM I. Phép biến hình - Phép tịnh tiến và phép dời hình: 1. Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M trên mặt phẳng có thể. TÀI: ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM” PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong chương trình hình học ở bậc THPT chúng ta đã biết các phép biến hình trong

Ngày đăng: 17/04/2015, 14:42

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan