Chuyên đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

a Định nghĩa Một song ánh :f P →P từ tập điểm của P lên chính nó được gọi là một phép biến hình trong mặt phẳng.. Muốn xác định một phép biến hình :f P →P ta cần nêu rõ quy tắc f đó bằng

TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG

CHUYÊN ĐỀ:

TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG

MẶT PHẲNG

Người thực hiện: GV Phan Thị Thanh Huyền

Krông Năng, tháng 04/2010

MỤC LỤC

Chương 1: Mở đầu

1.1 – Lý do chọn đề tài

1.2 – Sơ lược về các phép biến hình trong mặt phẳng

1.2.1 – Phép biến hình

1.2.2 – Phép dời hình

1.2.3 – Phép đồng dạng

Chương 2: Tích các phép biến hình trong mặt phẳng.

2.1 – Tích của hai phép tịnh tiến

2.2 – Tích của hai phép đối xứng trục

2.3 – Tích của hai phép đối xứng tâm

2.4 – Tích của hai phép quay

2.5 – Tích của hai phép vị tự

2.6 – Tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến

2.7 – Tích của phép quay và phép đối xứng trục

2.8 – Mở rộng

Chương 3: Bài tập áp dụng.

Tài liệu tham khảo

Chương 1: MỞ ĐẦU

1.1 – Lý do chọn đề tài

Phép biến hình là một khái niệm có thể nói là mới và khó đối với học sinh trung học phổ thông Mục đích của việc đưa nội dung các phép biến hình vào chương trình toán phổ thông là nhằm cung cấp cho học sinh một công cụ mới để giải toán đồng thời tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư duy và suy luận mới Tuy nhiên, việc dạy học các chủ đề về phép biến hình ở trường trung học phổ thông người ta chỉ nhắm đến ba cấp độ:

Cấp độ 1: Phép biến hình gắn liền với mối liên hệ giữa hai hình hoặc giữa hai phần của một hình ( đặc trưng hàm hoàn toàn vắng mặt)

Cấp độ 2: Phép biến hình được hiểu là ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng quát hơn , từ không gian lên chính nó, ở đó mặt phẳng và không gian được nghiên cứu với tư cách là các tập hợp điểm

Cấp độ 3: Phép biến hình được xem như một công cụ giải toán hình học Trong đó, cấp độ 2 là một trọng tâm, còn cấp độ 3 được đòi hỏi cao thấp thế nào là tùy vào từng thể chế dạy học

Trong chuyên đề này, tôi chỉ đề cập đến các phép biến hình trong mặt phẳng, tích các phép biến hình trong mặt phẳng và một vài ứng dụng của chúng vào việc giải toán hình học

Trên thực tế, sách giáo khoa Hình học 11 (cơ bản và nâng cao) đều không nói đến tích các phép biến hình trong mặt phẳng nhưng lại đề cập đến việc “thực hiện liên tiếp các phép biến hình” Chính vì vậy, với chuyên đề nhỏ này, tôi hi vọng có thể giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về “ Tích các phép biến hình trong mặt phẳng” và ứng dụng nó vào giải toán

1.2 – Sơ lược về các phép biến hình trong mặt phẳng.

1.2.1 – Phép biến hình.

Ta kí hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là P Khi đó mỗi hình

H bất kì của mặt phẳng đều là một tập con của P và được kí hiệu H ⊂ P

a) Định nghĩa

Một song ánh :f P →P từ tập điểm của P lên chính nó được gọi là một phép biến hình trong mặt phẳng

:

→

a

Điểm M' = f M( ) gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f Ngược lại điểm M gọi là tạo ảnh của điểm M' qua phép biến hình f nói trên

Nếu H là một hình nào đó của P thì ta có thể xác định tập hợp

H = M = f M M∈H Khi đó H' gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình

f và hình H được gọi là tạo ảnh của hình H ' qua phép biến hình f đó

b) Sự xác định phép biến hình.

Muốn xác định một phép biến hình :f P →P ta cần nêu rõ quy tắc f đó bằng các cách sau đây:

_ Quy tắc f được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong mặt phẳng như: Tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định nào đó, dựng đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước, dựng đường tròn với tâm và bán kính đã cho,

_ Quy tắc f còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ ( ; )x y

của điểm M với tọa độ ( '; ')x y của điểm M' = f M( ) đối với hệ tọa độ Oxy nào đó

c) Phép đồng nhất

Phép biến hình :f P →P, biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất

Kí hiệu:

:

→

a

d) Điểm bất động của phép biến hình.

Một điểm M∈P là điểm bất động (hoặc là điểm kép) đối với phép biến hình f nếu ( ) =M .

e) Phép biến hình đảo ngược.

Trong mặt phẳng, cho phép biến hình f M: a M' Khi đó phép biến hình biến M' a M được gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f

Kí hiệu: f−1

Mỗi phép biến hình f có duy nhất một phép biến hình đảo ngược f−1 Nếu f = f−1 thì phép biến hình f gọi là phép biến hình đối hợp

f) Tích các phép biến hình

Dễ dàng chứng minh được:

Tích của hai phép biến hình là một phép biến hình

Tích các phép biến hình có tính chất kết hợp

Tích của hai phép biến hình đảo ngược nhau là phép đồng nhất

1.2.2 – Phép dời hình

a) Định nghĩa

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Nhận xét: i) Phép đồng nhất là phép dời hình.

ii) Đảo ngược của phép dời hình là phép dời hình

b) Các phép dời hình

i) Phép tịnh tiến

ĐỊNH NGHĨA:

Trong mặt phẳng P cho vectơ vr,

phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’

sao cho MMuuuuur r' =v gọi là phép tịnh tiến theo vectơ vr

Kí hiệu: T vr , vectơ vr gọi là vectơ tịnh tiến

ii) Phép đối xứng trục

ĐỊNH NGHĨA:

Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định,

phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’

sao cho đoạn thẳng MM’ nhận d làm đường trung trực

thì phép biến hình đó gọi là phép đối xứng trục d

Kí hiệu: Đd, với d là trục đối xứng

Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thì ta lấy M’ trùng với M

iii) Phép đối xứng tâm

ĐỊNH NGHĨA:

Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định,

phép biến hình biến mỗi điểm M thành một điểm M’

sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM’

gọi là phép đối xứng tâm O

Kí hiệu: ĐO, điểm O gọi là tâm đối xứng

iv) Phép quay

ĐỊNH NGHĨA:

Trong mặt phẳng P, cho một điểm O cố định

và góc lượng giác α Phép quay tâm O, góc quay α

là phép biến hình biến điểm O thành chính nó,

biến mỗi điểm M thành điểm M’

sao cho OM =OM' và (OM OMuuuur uuuuur, ') = α

Kí hiệu: Q(O;α) , O là tâm quay, α là góc quay.

Nhận xét : - Phép quay tâm O, góc quay 0o là phép đồng nhất

- Phép quay tâm O, góc quay π π;− là phép đối xứng tâm O.

1.2.3 Phép đồng dạng

a) Phép vị tự

ĐỊNH NGHĨA :

Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và một số k ≠ 0 Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OMuuuuur' =kOMuuuur được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ

số k

Kí hiệu : V(O k; ) , O gọi là tâm vị tự, k gọi là tỉ số vị tự.

Nhận xét : - Phép vị tự tỉ số 1 là phép đồng nhất

- Phép vị tự tỉ số -1 là phép đối xứng tâm

b) Phép đồng dạng

ĐỊNH NGHĨA :

Một phép biến hình f P: →P gọi là một phép đồng dạng nếu nó biến hai

điểm A, B bất kì của mặt phẳng thành hai điểm A’=f(A) và B’=f(B) sao cho luôn

có A’B’=kAB, trong đó k là số thực dương xác định Số k được gọi là tỉ số đồng dạng

Nhận xét : - Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1

- Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số /k/

- Phép đảo ngược của phép đồng dạng tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số 1/k

- Tích của một phép đồng dạng tỉ số k1 với phép đồng dạng tỉ

số k2 là một phép đồng dạng với tỉ số k1 k2

Chương 2 : TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 2.1 – Tích của hai phép tịnh tiến.

Tích của hai phép tịnh tiến theo vectơ ur và vr là một phép tịnh tiến theo vectơ u v r r + .

Chứng minh :

Trong mặt phẳng lấy điểm M bất kì

Giả sử:

'

( )

( )

u

v

T M M

T M M

=

=

r

r

Ta có:

'

' ''

=

=

uuuuur r

uuuuuur r

Suy ra MMuuuuur uuuuur uuuuuur r r'' =MM' +M M' '' = +u v

Vậy T u vr r+ ( )M =M''

* Nhận xét: Tích của hai phép tịnh tiến có tính chất giao hoán

(Bạn đọc tự kiểm chứng)

2.2 - Tích của hai phép đối xứng trục.

a Tích của hai phép đối xứng có trục song.

Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có trục là a và b song song với nhau là một phép tịnh tiến theo vectơ vr

có phương vuông góc với hai trục,

có hướng từ a và b và có môđun bằng hai lần khoảng cách giữa hai trục đó.

Chứng minh:

Gọi Đa và Đb là hai phép đối xứng trục có hai trục a và b song song

Với điểm M bất kì ta có M’= Đa(M), M’’= Đb(M’)

Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn MM’ và nếu gọi H là trung điểm của MM’ thì MMuuuuur' 2= HMuuuuur' và uuuuurHM' ⊥a

Tương tự, nếu gọi H’là trung điểm của M’M” thì M Muuuuuuur' '' 2 = M Huuuuuur' ' và M Huuuuuur' ' ⊥b Vậy MMuuuuur uuuuur uuuuuuur'' =MM' +M M' ''

= 2(HMuuuuur uuuuuur' +M H' ') 2 = uuuurHH'

Mặt khác ta nhận thấy rằng ba điểm M, M’, M’’ nằm trên một đường thẳng vuông góc với a và b, đồng thời vectơ uuuurHH'

không phụ thuộc vào vị trí điểm M và vectơ này có hướng từ a đến b, có phương vuông góc với a và b, có độ dài bằng khoảng cách giữa hai trục đó Do đó phương của đường thẳng MM’ không đổi vì

nó luôn vuông góc với a và b Như vậy tích của hai phép đối xứng trục Đa và Đb

biến điểm M thành điểm M’’ với MMuuuuur'' 2 = HHuuuur' chính là phép tịnh tiến theo vectơ

2 uuuurHH'

Do đó: ĐbĐa= T2HHuuuuur '

M

M’

M’’

a

b

* Chú ý: Tích của hai phép đối xứng này không có tính chất giao hoán.

Nhận xét: Mỗi phép tịnh tiến đều có thể phân tích thành tích của hai phép đối xứng có trục song song

b Tích của hai phép đối xứng có trục cắt nhau:

Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có 2 trục a và b cắt nhau tại O là một phép quay tâm O góc quay α bằng 2 lần góc giữa hai đường

thẳng a và b.

Chứng minh:

Gọi Đa và Đb là 2 phép đối xứng trục với hai trục là a và b cắt nhau tại O Với một điểm M bất kỳ khác O, ta gọi

M’ = Đa(M),

M’’ = Đa(M’)

Như vậy tích ĐbĐa biến điểm M thành M’’

Gọi H và H’ lần lượt là trung điểm của MM’ và M’M’’ thì H’∈b

=

=

uuuur uuuuur uuuuruuuuur uuuuruuuuur uuuuur uuuur

Do đó (OM OM, '')=(OM OM, ') (+ OM OM', '')

uuuuruuuuur uuuuruuuuu r uuuuu r uuuuur

2 (=  OH OMuuur uuuuur, ') (+ OM OHuuuuur uuur', ) 

= (OH OHuuur uuuur, ') 2( , ) = a b

Trong đó (a,b) là góc định hướng tạo bởi a và b Góc này xác định sai khác một bội số của π Dó đó nếu ( , )a b = + α kπ thì (OM OMuuuur uuuuur, ') 2 = α +k2 π

Ngoài ra OM = OM’ = OM’’

Nếu M ≡ O thì tích ĐbĐa biến O thành O.

Vậy tích của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau tại O tạo thành một góc α là một phép quay tâm O với góc 2 α

Nhận xét:

i Tích của 2 phép đối xứng có trục vuông góc tại O là phép đối xứng tâm O

ii Mỗi phép quay ta có thể phân tích thành tích của hai phép đối xứng có trục cắt nhau

(Bạn đọc tự kiểm chứng)

2.3 – Tích của hai phép đối xứng tâm:

Tích của hai phép đối xứng tâm I 1 , I 2 (I 1≠I 2 ) theo thứ tự là phép tịnh tiến theo véctơ 2 uuuurI I1 2

Chứng minh:

Gọi ĐI1 và ĐI2 là hai phép đối xứng tâm I1, I2.

Với điểm M bất kỳ

Giả sử ĐI1(M) = M’

ĐI2(M’) = M’’

Ta có

1 2

' 2 '' 2 '

=

=

uuuuur uuur uuuuur uuuuur

0

1 2

MI M I I I

I I

=

r

uuuuur uuuuur uuuuuuur uuur uuuuur

uuur uuuuur uuur

1 4 2 4 3

uuuur

Vậy T2I Iuuuur 1 2 ( )M =M''

2.4 – Tích của hai phép quay:

a Tích của hai phép quay cùng tâm.

Tích của hai phép quay Q( ; )Oα1 v Q à ( ;Oα2)là một phép quay

1 2

( ;O ).

Q α α+

Chứng minh:

Gọi Q( ; )Oα1 à v Q( ;Oα2 )là hai phép tâm O góc quay α 1 và phép quay tâm O góc quay 2

α với mỗi điểm M bất kì

Giả sử 1

2

( ; )

( ; )

O

O

α

α

=

=

Ta có

1

'

=





Và

1 2

=





Vậy Q( ;Oα α1+ 2)( ) M = M ''.

b Tích của hai phép quay khác tâm:

Phân tích:

2 2

( ; ) ( ; ).

O O

Q Q

α α

Qua O1,O2 lần lượt kẻ đường thẳng d1, d2 sao cho ( ) 1 ( ) 2

1 ; 1 2 và O O ; 1 2 2

Đặt f = Q(O2;α2)Q( ; ).O1α1

= (Đd2ĐO O1 2)(ĐO O1 2Đd1)

= Đd2(ĐO O1 2ĐO O1 2)Đd1

= Đd2 Đd1

(Vì tích ĐO O1 2ĐO O1 2 là phép đồng nhất)

Nếu d1 // d2 thì f là một phép tịnh tiến

Nếu d1 cắt d2 thì f là một phép quay

Tóm lại:

Tích của hai phép quay Q(O1; )α1 à v Q(O2;α2) hoặc là một phép quay hoặc là một phép tịnh tiến.

2.5 – Tích của hai phép vị tự.

a Tích của hai phép vị tự cùng tâm.

Tích của hai phép vị tự V( ; )O k1 à v V( ; )O k2 là một phép vị tự V( ; )O k2 ,k =k k1 2

Chứng minh

Giả sử:

1 ( ; )(O k M) M'

2

( ; )(O k M') M''

'

=

uuuuur uuuur

Vậy OM uuuuur '' = kOM k k k uuuur , = 2. 1

Nhận xét: Nếu k k1 2 = 1 thì tích đó là một phép đồng nhất.

b Tích của hai phép vị tự khác tâm.

Tích của hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự có tâm thẳng hàng với hai tâm của hai phép vị tự đã cho hoặc đặc biệt là một phép tịnh tiến hay phép đồng nhất.

Chứng minh:

Giả sử có hai phép vị tự

1 1 2 2

(O k; ) à (O k; ).

Với hai điểm bất kỳ A, B ta có

1 1

(O k; )( ) ' '

V uuur AB = uuuuur A B vớiuuuuur A B ' ' = k AB1uuur

2 2

(O k; )( ' ') '' ''

V uuuuurA B = uuuuurA B với uuuuur A B '' '' = k A B2uuuuur ' '

Do đó uuuuur A B '' '' = k k AB2 1uuur

Vậy tích V(O k2; ) ( ; )2 VO k1 1 là

Phép vị tự nếu k k2 1 =1

Phép tịnh tiến hoặc phép đồng nhất nếu k k2 1 =1

* Cách xác định tâm vị tự O của tích

2 2 1 1

(O k; ) (O k; )

V V

Ta thấy tâm O phải nằm trên đường thẳng O1O2

Giả sử V( ; )O k1 1 ( ) O = O ' ta có O O 'uuuuur1 = k1O Ouuuur1 (1)

Khi đó V(O k2; )2 ( ') O = O (vì O O ≡ '' = V(O k2; )2 )

Nên O O kO O uuuur2 = uuuuur2 ' (2)

Nhưng O Ouuuuur uuuuur uuuur2 '=O O O O2 1+ 1 '

Do đó O Ouuuuur uuuur2 "=O O k O O O O2 = 2(uuuuur uuuur2 1+ 1 ')=k O O2(uuuuur2 1+kO Ouuuur1 )

Theo (1)

2 1 1 2 2 1 2 1 1

O O O O k O O uuuuur uuuur + = uuuuur + k k O O uuuur

1 (1 2 1) 1 2(1 2)

O O uuuur − k k = O O uuuuur − k với 1 − k k2 1 ≠ 0

2 1

1 1

k

k k

−

=

−

(*)

Vì O O đã cho nên điểm O hoàn toàn xác định nhờ (*)1, 2

Vậy:

Nếu k k1 2 ≠1thì

(O k; ) (O k; )

V V là một phép vị tự tâm O được xác định bởi

hệ thức (*), tỉ số k k k= 1 2

Nếu k k1 2 = 1 thì uuuuuur uuur A B " " = AB, do đó V(O k2; ) (2 VO k1 1; )là một phép tịnh tiến nếu O1 ≠O2 và là phép đồng nhất nếu O1 ≡ O2

2.6 – Tích của phép đối xứng trục Đ d và phép tịnh tiến Tar.

Đặt f = ĐdTar .

a) Nếu a d r ⊥

Kẻ đường thẳng d1 thỏa

1

( , )

2

d d

a

ur uuuuur

Khi đó Tar = ĐdĐd 1

Suy ra f = Đd aTr

=Đd(ĐdĐd1) = Đd1

Vậy tích của phép đối xứng trục Đd và phép tịnh tiến Tar , a r

vuông góc với trục đối xứng d là một phép đối xứng trục

b) Nếu ar

không vuông góc với d

Phân tích a a r ur uur = +1 a2

Trong đó aur1 ⊥d a,uur2 Pd

f = ĐdT ar = Đd(T T auur uur 1 a2)

= (ĐdT T auur1) auur2 (với d1 được xác định như trường hợp a)

Ta gọi tích của một phép tịnh tiến T ar và phép đối xứng trục Đd , với a dr

P là một phép đối xứng trượt

Kí hiệu: ĐT d a, r

Nhận xét: Phép đối xứng trượt có tính chất giao hoán nghĩa là:

ĐdT ar =T arĐd

2.7 – Tích của một phép quay và một phép đối xứng trục.

Giả sử g =Đd Q( ; )Oα

Kẻ d1, d2 thỏa:

• d1 cắt d2 tại O

• d2 P d

• ( , )1 2

2

d d =α

Khi đó: g = ĐdQ( ; )Oα

= Đd(Đd2Đd1)

= (ĐdĐd2Đd1)

= T 2ar Đd1

Nếu ar ⊥d1thì g là phép đối xứng trục.

Nếu a r

không vuông góc với d 1 thì g là phép đối xứng trượt.

2.8 – Mở rộng.

a Tích của một số chẵn các phép đối xứng có trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến.

b Tích của một số lẻ các phép đối xứng trục có trục đối xứng song song là một phép đối xứng trục.

c Tích của một số chẵn các phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy

là một phép quay.

d Tích của một số lẻ các phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy là một phép đối xứng trục.

e Tích của hai phép đối xứng trượt có trục song song là một phép tịnh tiến

f tích của ba phép đối xứng trục bất kì là một phép đối xứng trượt.

* Tích của một phép dời hình và một phép vị tự là phép đồng dạng.

Chương 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho hai điểm A, B cố định trên đường tròn (O; R) cho trước Một điểm M

di động trên (O; R) Gọi N là trung điểm của đoạn AM Dựng hình bình hành ABCN Xác định phép biến hình điểm M thành C và chứng tỏ rằng tập hợp các điểm C là một đường tròn có bán kính xác định

Giải.

2

Vậy 1

( ; ) 2

( )

A

Mặt khác: uuur uuurNC = AB

Vậy TuuurAB( )N =C

Do đó : 1

( ; ) 2

AB A

Vậy phép đồng dạng là tích của một phép vị tự và một phép tịnh tiến biến M thành C

Vì N chạy trên đường tròn bán kính

2

R

nên C cũng chạy trên đường tròn bán kính

2

R

Bài 2 : Tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB S∈

(ABC), thay đổi I, J, K lần lượt là đối xứng của S qua M, N, P

a) Chứng minh rằng AI, BJ, CK đồng quy tại một điểm S’

b) Tìm quỹ tích điểm S’

Giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Xét tích ( ; 1) 1

( ; ) 2

f V − V

−

( ;G 12) ( ; 1)S

V

V

Suy ra I, J, K lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự f tâm S’, tỉ số ( )

1