Một số dạng toán chuyên đề về phép biến hình tổng hợp

http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 0987708400 ÔN TẬP PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1. Biểu thức tọa độ của phép dời hình: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho véctơ ( , ) v a b  , các điểm:     ; , ; , M x y M x y      ; M x y    ,   0 0 ; I x y và đường thẳng : 0 ax by c     . Tên Định nghĩa Biểu thức tọa độ Phép tịnh tiến   0 v T v       v T M M MM v         v x x a M T M y y b              ( ) Phép đối xứng trục d § Phép đối xứng trục d §   0 0 0 § ( )            d M M M M M M M d MM § ( ) ( ) .                    by c x a M M I ax c y b § ( ) ; § ( ) .                       Ox Oy x x M M y y x x M M y y Phép đối xứng tâm I § I M M IM IM         § ( ) 0 0 2 2 O I x x M M y y x x x M M y y y                         § ( ) § ( ) Phép quay   , I Q      ,   I Q M M   , IM IM IM IM                0 0 0 90 0 0 ; ( ) .                    I x y y x M Q M y x x y         2 0 2 ; ( ) tan / ; tan /                                   O y x M Q M II k y k x y x k x y Phép đồng nhất I   I M M  Phép dời hình F     F M M M N MN F N N              http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 0987708400 - Nếu có phép dời hình biến một hình H thành hình H’ thì H và H’ là hai hình bằng nhau. - Thực hiện liên tiếp hai ( hay nhiều ) phép dời hình ta được một phép dời hình. Bổ đề 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng : 0 ax by c     , điểm   , M x y . Gọi   , § ( ) M x y M      . Khi đó, biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục: § ( ) ( ) .                    by c x a M M I ax c y b Chứng minh: Gọi   0 0 0 sao cho ,        M x y MM MM .     0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 ax by c x ax by c a a x x b y y by ax c y b                            Mà M  là điểm trên đoạn MM  sao cho 0 M là trung điểm. 0 0 2 2 . by c x x x x a y y y ax c y b                           Vậy (I ) được chứng minh. Bổ đề 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm   , M x y và số thực 0 0 90    . Gọi       ; , O M x y Q M       . Khi đó, biểu thức tọa độ của phép quay   ;O Q   :     2 trong đó 2 ; tan ( ) tan ,                         O y y x x M Q M k II k x y y k x Chứng minh: Gọi  là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và qua điểm   , M x y . + Khi 0 M x    có hệ số góc   tan ; M M y y k Ox x x     và : 0 M M y x x y    http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 0987708400 Gọi : 0 ax by     là đường thẳng thỏa       0 0 , , , 0 ;90 2 Ox          ,   có hệ số góc       tan , tan tan tan 2 2 2 tan , 2 1 tan , .tan 1 tan tan 2 2 2 y Ox y x a x k Ox y b Ox x y x                               0   : 0   : + Khi   0 : 0 tan , tan 2 M x Ox y k Ox              . Gọi         Đ ; , O M x y Q M M M            . Áp dụng bổ đề 1, ta có by c b y x x y x a a k ax c a y kx y y x b b                                          *) Trường hợp suy biến: - Nếu     Đ 0 , 0 : 0 Ox Ox Ox y M M            . - Nếu     Đ 0 , 90 : 0 Oy Ox Oy x M M            . Vậy (II ) được chứng minh. 2. Một số tính chất của phép dời hình: - Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó. - Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. - Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó. - Biến đường tròn bán kính thành đường tròn có cùng bán kính. 3. Các dạng bài tập cơ bản: Dạng 1: Xác định trên hình vẽ ảnh của một hình qua phép dời hình Phương pháp chung: M O x y    M  / 2  x O y    M  / 2   M http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 0987708400 - Dùng định nghĩa. - Dùng các tính chất của phép biến hình. Dạng 2: Xác định trong mặt phẳng tọa độ Oxy ảnh của một hình qua phép dời hình Phương pháp chung: - Dùng định nghĩa. - Dùng biểu thức toạ độ của phép biến hình. - Dùng các tính chất của phép biến hình. Dạng 3: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán chứng minh, dựng hình Phương pháp chung: - Dùng định nghĩa, tính chất các phép dời hình để chứng minh. - Để dựng điểm M ta làm như sau: Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép dời hình. Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép dời hình. Dạng 4: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán quỹ tích Phương pháp: Chứng minh tập hợp điểm cần tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép dời hình. Bài 1: Cho hình thoi ABCD có tâm O. Xác định ảnh của các đỉnh , , , A B C D qua 1) Phép tịnh tiến AB T  ; 2) Phép đối xứng trục § AB ; 3) Phép đối xứng tâm § O ; 4) Phép quay   0 ;90 O Q . Hướng dẫn giải 1)     ; AB AB T A B T B B BB AB               ; . AB AB T C C CC AB T B B BB AB                 2)    § ; AB AB AB                 1 1 1 1 § ; § . AB AB C C BC BC D D AD AD A O C D 1 C B 1 D A B O C D C’ B’ http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 0987708400 3)     § ;§ O O A C B D   . 4)       0 2 2 0 ;90 2 ; 90          O OA OA Q A A OA OA       0 2 2 0 ;90 2 ; 90          O OB OB Q B B OB OB       0 2 2 0 ;90 2 ; 90          O OC OC Q C C OC OC       0 2 2 0 ;90 2 ; 90          O OD OD Q D D OD OD Bài 2: Cho hai hình vuông và     ABCD A B C D ( như hình vẽ ) có    AB A B . Tìm một phép dời hình biến hình vuông thành     ABCD A B C D . Hướng dẫn giải - Thực hiện phép tịnh tiến cho hình vuông ABCD theo     v AA ( như hình vẽ ) ta được ảnh của nó là hình vuông 1 1 1  A BC D . - Thực hiện quay hình vuông 1 1 1  A BC D tâm  A , góc quay   1 ;      A D A D ta được hình vuông     A B C D . Vậy thực hiện liên tiếp 2 phép dời hình nói trên ta được một phép dời hình biến hình vuông thành     ABCD A B C D . Bài 3: Cho hai đường tròn bằng nhau     và 1 2 O O . Tìm tất cả các phép dời hình biến đường tròn này thành đường tròn kia. A B D C  B  A  C D  D A B C A’ B’ C’ D’ 1 B 1 C 1 D  2 A A B C D O 2 D 2 B 2 C http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 0987708400 Hướng dẫn giải Các phép dời hình biến đường tròn này thành đường tròn kia: - phép tịnh tiến 1 2 O O T   , - phép đối xứng tâm O Đ (O là trung điểm của 1 2 OO ), - phép quay I, với  I , - phép đối xứng trục  Đ . Bài 1: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm   1 ;4 , 3;5 2          M v . Tìm tọa độ điểm ảnh của M qua các phép dời hình a)  v T ; b) § Ox ; c) § Oy ; d) § O . 2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(3;4). Hãy tìm toạ độ điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay 90 0 . Hướng dẫn giải 1/ a) Gọi       1 1 1 , , , v M x y M x y T M   . Theo biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến   1 1 1           v x x a T M M y y b , ta có:   1 1 1 5 3 2 2 4 5 9              x y Vậy điểm ảnh của M qua  v T là 1 5 ;9 2        M . b) Gọi     2 2 2 , § Ox M x y M  . Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Ox Đ :   2 2 2 2 2 1 § 2 4 Ox x x x M M y y y                  Vậy điểm ảnh của M qua § Ox là 2 1 ; 4 2        M . c) Gọi     3 3 3 , § Oy M x y M  . Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Oy Đ : 2 O 1 O  O http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 0987708400   3 3 3 3 3 1 § 2 4 Oy x x x M M y y y                  Vậy điểm ảnh của M qua § Oy là 3 1 ; 4 2        M . d) Gọi     4 4 4 , § O M x y M  . Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O Đ :   4 4 4 4 4 1 § 2 4 O x x x M M y y y                    Vậy điểm ảnh của M qua § O là 4 1 ; 4 2         M . 2/ Cách 1: Gọi     0 ;90   O A Q A . Gọi     3;0 , 0;4 B C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các trục Ox, Oy. Phép   0 ;90 O Q biến hình chữ nhật OBAC thành hình chữ nhật OB A C    . Ta thấy     0;3 , 4;0 B C    . Vậy điểm ảnh của A qua   0 ;90 O Q là   4;3  A . Cách 2: Theo biểu thức tọa độ phép quay       0 0 0 90 0 0 ; ( ) .                  I x y y x M Q M y x x y Suy ra       0 ;90 4;3 . O Q A A    Bài 2: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho véctơ ( 2;3)   v , đường thẳng d có phương trình: 3 5 3 0 x y    . Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép  v T . http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 0987708400 2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho   1;5 M , đường tròn (C) có phương trình 2 2 2 4 4 0 x y x y      , đường thẳng d có phương trình 2 4 0. x y    a) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox. b) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục : 1 0 x y     . Hướng dẫn giải 1/ Gọi       , ; v v M x y T M d T d         . Cách 1: Chọn       1;0 3;3          v M d T M M d . Vì d’//d nên :3 5 0     d x y C , M d     C = 24. Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là: 3 5 24 0. x y    Cách 2: Từ biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến  v T : ' 2 ' 3        x x y y ' 2 ' 3         x x y y Thay vào phương trình của d ta được: 3 5 24 0. x y      Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là: 3 5 24 0. x y    Cách 3: Lấy , M N bất kì thuộc d, tìm ảnh M’,N’ tương ứng của M và N qua phép tịnh tiến theo vectơ v  . Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng M’N’. 2/ a) Gọi   1 1 1 , , M C d lần lượt là ảnh của   , , M C d qua phép đối xứng trục Đ Ox . + Ta có   1 1; 5 . M  + Đường tròn (C) có tâm   1; 2 , I  bán kính 3 R  . Đường tròn ảnh ( 1 C ) của (C) có tâm là     ’ 1;2 Ox I Đ I  và bán kính 3 R  . Vậy phương trình ( 1 C ) là:     2 2 1 2 9. x y     + Từ biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Đ Ox : ' ' ' ' x x x x y y y y              Thay vào phương trình của d ta được: ’ 2 ’ 4 0. x y    Vậy phương trình của 1 d là 2 4 0. x y    http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 0987708400 b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục: § ( ) .                    by c x a M M ax c y b Thay tọa độ điểm M và hệ số của đường thẳng  vào ta có                  1.5 1 4 1 1.1 1 2 1 x y Vậy     2 Đ 4;2 M M   . Từ biểu thức tọa độ , ta có by c c by x x a a M M ax c c ax y y b b                                 § ( ) + Pt đường thẳng 2 d ảnh của d qua Đ  là 2 4 0 2 7 0              c by c ax x y a b Vậy    2 :2 7 0. d x y + Pt đường tròn   2 C ảnh của (C) qua Đ  là   2 2 2 2 1 2 9 1 9                           c by c ax x y a b Vậy        2 2 2 : 1 9 C x y . Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho       1; 1 , 3;1 , 2;3 . A B C  Tìm toạ độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. Hướng dẫn giải Giả sử điểm   ; . D x y Để ABCD là hình bình hành thì BA CD    . Nên ( )   BA T D C . Với     4; 2 , 2; 3 BA CD x y         . Do đó: 2 4 2 3 2 1 x x y y               . Vậy   2;1 . D  http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 0987708400 Bài 1: 1) Hai thôn nằm ở vị trí A, B cách nhau một con sông (Xem hai bờ sông là hai đường thẳng song song). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông (cầu vuông góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường AM, NB (như hình vẽ). Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN sao cho AM+NB ngắn nhất. 2) Có ba thành phố , , A B C tạo thành một tam giác nhọn trên một vùng đồng bằng. Tìm vị trí I trong ABC  sao cho có thể xây dựng một bến xe mà tổng khoảng cách từ I tới các trung tâm thành phố đó là ngắn nhất. Hướng dẫn giải 1) + Giả sử coi con sông rất hẹp: a b  Bài toán trở thành: Cho hai điểm A, B nằm ở hai phía khác nhau so với đường thẳng a. Tìm vị trí M trên A để AM+AN nhỏ nhất. Khi đó M là giao điểm của AB với a. + Thực tế: a song song với b Các đường thẳng a, b cố định MN   cố định. Nên   ’ ’ MN T A A A N AM     . Ta có ’ ’ AM BN A N NB A B     Cách dựng: - Dựng   MN A T A    . Nối A’, B có A B b N    . - Từ N hạ đường thẳng d  a tại M. Khi đó MN là vị trí xây cầu. 2) Thực hiện phép   0 ;60 : ; B Q I J A A    . Ta có         0 0 ; 60 ; ; 60 . BI BJ BA BA            0 ; ; 60 ; BI BA BI BA BJ BA A  J A C B I [...]... H của   H qua phép quay này Vẽ được đường thẳng a qua H và a  CH - Gọi B  a  b , lấy điểm A là tạo ảnh của B qua phép quay nói trên, ta có A  a Trung tâm luyện thi EDUFLY Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 0987708400 http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng Rõ ràng ABC là tam giác đều Với phép quay này bài toán có thêm nghiệm... và  O2  , R  R  song song với d Bài toán có một hoặc hai nghiệm hình (tùy thuộc l  R  R ) 2 Bài 3: Cho hai đường thẳng song song a và b Với một điểm C không nằm trên hai đường thẳng đó, hãy tìm các điểm A  a, B  b sao cho ABC là tam giác đều Hướng dẫn giải a’ a A H H’ A’ b C B B’ Giả sử đã dựng được ABC đều thỏa mãn các điều kiện của bài toán Với phép quay Q C;600 điểm A có ảnh là B, đường...  Q    GM = GQ  GMQ cân N P Tương tự: G Q Trung tâm luyện thi EDUFLY Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 0987708400 C B M http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng GNP cân  MQ // NP và NQ = MP Vậy MPNQ là hình thang cân Bài 1: Cho đường tròn (O) và tam giác ABC Một điểm M thay đổi trên đường tròn(O) Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua A,... EDUFLY Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 0987708400 http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng A D O H C M B  Ta có BCD =900 nên DC//AH, AD//CH      ADCH là hình bình hành  AH  DC  2OM    Vì OM không đổi  T2 O M (A) =H Vậy khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì H di chuyển trên đtròn (O’) là ảnh của  (O) qua phép. .. ra khi A di động trên (O) thì trực tâm ABC di động trên một đtròn là ảnh của (O) qua phép ĐBC Cách 3: Áp dụng phép đối xứng tâm Trung tâm luyện thi EDUFLY Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 0987708400 http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng A D O H C I B M Gọi H là trực tâm tam giác ABC, I là trung điểm của BC Tia AO và BO cắt (O) lần lượt... Trung tâm luyện thi EDUFLY Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 0987708400 http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng Từ (1) suy ra quỹ tích của B là đường tròn tâm tại điểm I  1;0 bán kính 2 , với I  Đ A  D Rõ ràng T  B  C AD   Vậy quỹ tích điểm C là đường tròn C; AD 2 Hết Trung tâm luyện thi EDUFLY Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn... của MM3 thì ABCD là hình bình hành Do đó điểm D cố định; ĐD  M   M 3 Do đó quỹ tích điểm M3 là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm D Bài 2: Cho hai điểm phân biệt B,C cố định (BC không phải là đường kính) trên đường tròn (O), điểm A di động trên (O) Chứng minh rằng khi A di động trên (O) thì trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn Hướng dẫn giải Cách 1: Áp dụng phép tịnh tiến Gọi...http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng  BIA  BJA  AI  AJ  IA  IB  IC  JA  IJ  IC ngắn nhất khi A, I , J, C thẳng hàng và J ở giữa A’ và I, I ở giữa J và C Thì   1200 ;   BJA  1200 BIC AIB  Vậy I nhìn AB, BC, CA dưới góc 1200 Cách dựng: - Dựng ảnh A’ của A qua Q B;600   - Trên A’C dựng các điểm I, J sao cho BIJ là tam giác đều Nên I chính là điểm cần... cắt nhau và đường thẳng d Hãy dựng một đường thẳng song với d cắt (O) và (O’) sao cho tổng độ dài các dây cung của chúng định bởi đoạn thẳng có một độ dài l cho trước Hướng dẫn giải M1 N M O2 O1  l N M  v O O Giả sử đã dựng được cát tuyến  / /d cắt (O) và (O’) theo 2 dây cung tương ứng là MN và M’N’ sao cho MN  M N   l cho trước Trung tâm luyện thi EDUFLY Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh... Gọi H   Đ  H  , và theo giả thiết thì H    O  - đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A P H O  B C H Trung tâm luyện thi EDUFLY Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 0987708400 http://baigiangtoanhoc.com Ứng dụng của phép dời hình trong hình học phẳng Vì Đ  H   H  , mà H ,  cố định  H  cố định Rõ ràng do P, H  cùng nằm trên đường tròn  O  , suy ra tâm O nằm trên . của một điểm đã biết qua một phép dời hình. Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép dời hình. Dạng 4: Dùng phép dời hình để giải một số. Dùng các tính chất của phép biến hình. Dạng 3: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán chứng minh, dựng hình Phương pháp chung: - Dùng định nghĩa, tính chất các phép dời hình để chứng minh chất của phép biến hình. Dạng 2: Xác định trong mặt phẳng tọa độ Oxy ảnh của một hình qua phép dời hình Phương pháp chung: - Dùng định nghĩa. - Dùng biểu thức toạ độ của phép biến hình. - Dùng