Một số dạng toán nâng cao về phép chia ở tiểu học

Đó là một số kiến thức cơ bản về phép chia ở Tiểu học; các bài toán về phép chia hết ở Tiểu học; líthuyết về việc bồi dưỡng học sinh giỏi; các dạng toán về phép chia ởTiểu học.. Một số d

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

MẪN THỊ HẰNG

MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO

VỀ PHÉP CHIA Ở TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Chuyên ngành: Toán Tiểu học

Hà Nội - 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Lần đầu tiên thực hiện công tác nghiên cứu khoa học, nên khóa luậnkhông tránh khỏi những hạn chế và còn những thiếu sót nhất định Emxin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của các giảng viên và cácbạn sinh viên.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Mẫn Thị Hằng

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, khóaluận tốt nghiệp “Một số dạng toán nâng cao về phép chia ở Tiểuhọc” được hoàn thành theo quan điểm riêng của tác giả và sự địnhhướng của người hướng dẫn, không trùng với bất kì khóa luận nào khác.Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Mẫn Thị Hằng

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Một số kiến thức cơ bản về phép chia ở Tiểu học 5

1.1.1 Một số khái niệm đơn giản 5

1.1.2 Một số dấu hiệu chia hết 6

1.2 Các bài toán về phép chia hết ở Tiểu học 6

1.3 Bồi dưỡng học sinh giỏi 9

1.3.1 Mục đích của việc bồi dưỡng học sinh giỏi 9

1.3.2 Các biểu hiện của học sinh giỏi Toán 9

1.3.3 Một số biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 10

1.4 Các dạng toán về phép chia ở Tiểu học 10

Chương 2 Một số dạng toán nâng cao về phép chia ở Tiểu học 12

2.1 Vận dụng dấu hiệu chia hết để tìm các số tự nhiên 12

2.1.1 Kiến thức cần lưu ý 12

2.1.2 Một số ví dụ 15

2.1.3 Bài tập tham khảo 19

2.2 Vận dụng dấu hiệu chia hết để xác định các chữ số chưa biết của một số tự nhiên 20

2.2.1 Kiến thức cần lưu ý 20

2.2.2 Một số ví dụ 20

2.2.3 Bài tập tham khảo 26

2.3 Các bài toán vận dụng tính chất chia hết của một tổng hoặc một

hiệu 27

2.3.1 Kiến thức cần lưu ý 27

2.3.2 Một số ví dụ 28

2.3.3 Bài tập tham khảo 30

2.4 Các bài toán về phép chia có dư 31

2.4.1 Kiến thức cần lưu ý 31

2.4.2 Một số ví dụ 32

2.4.3 Bài tập tham khảo 37

2.5 Vận dụng tính chất chia hết và phép chia có dư để giải các bài toán có lời văn 38

2.5.1 Kiến thức cần lưu ý 38

2.5.2 Một số ví dụ 38

2.5.3 Bài tập tham khảo 45

2.6 Bài toán chứng minh, giải thích 46

2.6.1 Kiến thức cần lưu ý 46

2.6.2 Một số ví dụ 46

2.6.3 Bài tập tham khảo 50

Kết luận 52

Tài liệu tham khảo 54

Các kiến thức và kĩ năng số học có thể nói là trọng tâm và đồng thờicũng là hạt nhân của môn Toán thuộc bậc Tiểu học Các kiến thức khácđều gắn chặt và phát triển song song cùng với sự phát triển của hệ thốngkiến thức về số học Trong nội dung của số học có các phép toán cănbản: cộng, trừ, nhân và chia.

Một trong bốn phép tính đó là phép chia Nó góp một phần quan trọngtrong việc phát triển kỹ năng và tư duy toán học cho học sinh bậc Tiểuhọc Phép chia bắt đầu xuất hiện từ lớp 2 và đến lớp 4 thì các dấu hiệuchia hết về căn bản lần lượt được giới thiệu cho học sinh Việc dạy cáckiến thức về phép chia ở Tiểu học là một vấn đề khá phức tạp nên các

em chỉ được trang bị những kiến thức căn bản nhất Tuy nhiên, việcnâng cao phần kiến thức này lại có tầm quan trọng trong việc nâng caonăng lực tư duy cho các em học sinh khá, giỏi Được sự định hướng của

TS Nguyễn Văn Hào, em chọn đề tài “Một số dạng toán nâng cao

về phép chia ở Tiểu học” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.

Để có thể giải quyết được vấn đề đặt ra, chúng tôi bố cục khóa luậnthành hai chương

Chương 1 Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số kiến thức chuẩn

bị cần thiết cho mục đích của khóa luận Đó là một số kiến thức cơ bản

về phép chia ở Tiểu học; các bài toán về phép chia hết ở Tiểu học; líthuyết về việc bồi dưỡng học sinh giỏi; các dạng toán về phép chia ởTiểu học

Chương 2 Đây là phần chính của khóa luận, chúng tôi trình bày một

số dạng toán nâng cao về phép chia ở Tiểu học

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Phân loại các dạng bài tập và xây dựng các dạng toán về phép chia hếtbồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở Tiểu học

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các bài toán về phép chia hết trong chương trình môn Toán

ở Tiểu học

4 Phương pháp nghiên cứu

Tra mạng, tìm kiếm tài liệu, phân tích, tổng hợp và xin ý kiến địnhhướng của người hướng dẫn

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số kiến thức cơ bản về phép chia ở Tiểu học

1.1.1 Một số khái niệm đơn giản

Ở Tiểu học, ngay từ lớp 2 học sinh đã được học về bảng nhân, bảng chia.Trước tiên, học sinh được học giới thiệu về phép nhân và được học cácbảng nhân 2, 3, 4, 5 Sau khi học bảng nhân 2, 3, 4, 5 thì học sinh đượcgiới thiệu về phép chia và được học bảng chia 2, 3, 4, 5 Học sinh đượctiếp nhận những khái niệm ban đầu về phép chia Phép chia chính làphép toán ngược của phép nhân

Ví dụ

Đến đầu kì I của lớp 3, học sinh được học bảng nhân, bảng chia 6, 7, 8, 9

và được học bài “Phép chia hết và phép chia có dư” Phép chia hết làphép chia có số dư bằng 0 và bé hơn số chia Thực chất, các bài toán vềphép chia có số dư bằng 0 chính là phép chia hết

1.1.2 Một số dấu hiệu chia hết

Sách giáo khoa Toán 4, chương 3 đã giới thiệu cho các em học sinh một

số dấu hiệu chia hết Cụ thể như sau

Dấu hiệu chia hết cho 2

- Các số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8 thì chia hết cho 2

- Các số chia hết cho 2 thì có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8

Dấu hiệu chia hết cho 5

- Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5

- Các số chia hết cho 5 thì có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5

Dấu hiệu chia hết cho 9

- Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9

- Các số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.Dấu hiệu chia hết cho 3

- Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3

- Các số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3

1.2 Các bài toán về phép chia hết ở Tiểu học

Trong sách giáo khoa Toán có đưa ra một số bài toán về phép chia hếtnhưng ở mức độ đơn giản Dựa vào các dấu hiệu chia hết đã học, họcsinh có thể tìm hoặc điền thêm vào các số cần lập hoặc có thể tìm nhanhkết quả của bài toán

Ví dụ 1 ([3] - trang 96, bài tập 2) Viết số chia hết cho 5 thích hợp vàochỗ chấm

a) 150 < < 160;

b) 3 575 < < 3 585;

c) 335; 340; 345; ; ; 360

Ví dụ 2 ([4] - trang 96, bài tập 2) Viết chữ số thích hợp vào dấu (*)

để được số chia hết cho 9

a) Số nào chia hết cho 2?

b) Số nào chia hết cho 9?

Ở ví dụ này, học sinh dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2; 9 để làm bài Các

số chia hết cho 2 là những số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8 và các sốchia hết cho 9 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 9

Ví dụ 4 ([3] - trang 99, bài tập 2) Trong các số 57 234; 64 620; 5 270; 77 285a) Số nào chia hết cho cả 2 và 5?

b) Số nào chia hết cho cả 2 và 3?

c) Số nào chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9?

Ở các ví dụ này, học sinh dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5 và 9 đểlàm bài

Đối với học sinh khá, giỏi thì độ khó của bài toán sẽ được nâng lên.Cũng vẫn sử dụng các dấu hiệu chia hết nhưng phải kết hợp với tư duy

linh hoạt, sáng tạo, tìm ra mấu chốt của bài toán để lập luận và thựchiện lời giải để tìm ra kết quả.

Ví dụ 5 Tìm các chữ số a, b biết rằng số 283ab cùng chia hết cho 2; 3; 5.Lời giải Vì 283ab cùng chia hết cho 2 và 5 nên b = 0

Vậy số cần tìm phải có dạng 283a0

Vì số này chia hết cho 3 nên theo dấu hiệu chia hết cho 3 ta phải cótổng các chữ số của nó

Trong chương trình Toán Tiểu học, các bài toán về phép chia hết chỉđược đưa ra ở mức độ đơn giản Chủ đề phép chia hết chủ yếu xuất hiệntrong các sách tham khảo, sách nâng cao bồi dưỡng học sinh khá, giỏi

1.3 Bồi dưỡng học sinh giỏi

1.3.1 Mục đích của việc bồi dưỡng học sinh giỏi

Bồi dưỡng học sinh giỏi là hoạt động cần thiết trong quá trình dạy họccác bộ môn Với việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán nhằm các mục đíchsau

- Nâng cao hứng thú học tập, phát triển năng lực toán học của nhữnghọc sinh có năng khiếu về môn Toán

- Giúp học sinh thấy rõ hơn vai trò, tầm quan trọng của môn Toántrong đời sống và sản xuất

- Phát triển tư duy logic, tác phong nghiên cứu, thói quen tự học củahọc sinh

1.3.2 Các biểu hiện của học sinh giỏi Toán

Ở cùng lứa tuổi có những học sinh trong hoạt động nhận thức, tư duythể hiện tính linh hoạt và mềm dẻo hơn Trong học tập bộ môn Toán,các học sinh này có một số biểu hiện như sau

- Tiếp thu bài mới nhanh hơn những học sinh khác

- Có cách suy nghĩ độc đáo để giải quyết các vấn đề không quen thuộc

- Có thái độ không muốn dừng lại với những cái đã biết, các mẫu đãhọc, với những điều vẫn còn thắc mắc, hoài nghi

- Tích cực và độc lập nhận thức khi giải toán

1.3.3 Một số biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán

Để bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, giáo viên có thể áp dụng các biện phápsau

- Củng cố vững chắc và hướng dẫn đào sâu các kiến thức đã học thôngqua những gợi ý hay câu hỏi hướng dẫn đi sâu vào nội dung bài học

- Ra thêm một số bài toán khó hơn trình độ chung đòi hỏi việc vậndụng sâu khái niệm đã học hoặc vận dụng những phương pháp giải mộtcách linh hoạt, sáng tạo hơn

- Yêu cầu giải toán bằng nhiều cách, phân tích, so sánh tìm ra cáchgiải quyết hay, hợp lí và ngắn gọn nhất

- Sử dụng một số bài toán có yếu tố chứng minh, suy diễn để bồidưỡng, phát triển khả năng tư duy cho học sinh

- Rèn luyện cho học sinh khả năng tự lập đề toán và giải

- Tổ chức một số cuộc thi về toán học

- Giới thiệu tiểu sử của một số nhà toán học xuất sắc để giáo dụctình cảm yêu thích môn Toán và kính trọng các nhà toán học

1.4 Các dạng toán về phép chia ở Tiểu học

Dựa vào nội dung của bài toán được đưa ra, ta có các dạng toán sauDạng 1 Vận dụng dấu hiệu chia hết để tìm các số tự nhiên

Dạng 2 Vận dụng dấu hiệu chia hết để xác định các chữ số chưa biếtcủa một số tự nhiên

Dạng 3 Các bài toán vận dụng tính chất chia hết của một tổng hoặc

một hiệu

Dạng 4 Các bài toán về phép chia có dư

Dạng 5 Vận dụng tính chất chia hết và phép chia có dư để giải các bàitoán có lời văn

Dạng 6 Bài toán chứng minh, giải thích

Trong quá trình nghiên cứu một số sách tham khảo, sách toán nâng caobồi dưỡng học sinh khá, giỏi, tôi đã phân ra thành 6 dạng toán về phépchia hết dựa vào nội dung của bài toán được đưa ra

Trình độ, khả năng nhận thức của học sinh không đồng đều, có nhữnghọc sinh có khả năng về mặt này nhưng lại yếu về mặt khác Mỗi giáoviên cần tạo điều kiện thuận lợi để các khả năng vượt trội đó của họcsinh được phát triển một cách tốt nhất Chính vì vậy, việc xây dựng hệthống các dạng toán về phép chia là một việc rất cần thiết mà chúng tôi

đã thực hiện ở chương tiếp theo

Chương 2 Một số dạng toán nâng cao về phép

về chia hết

Dấu hiệu chia hết cho 4

- Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 thì chiahết cho 4

- Các số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của nó tạo thành sốchia hết cho 4

Dấu hiệu chia hết cho 25

- Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 25 thì chiahết cho 25

- Các số chia hết cho 25 thì hai chữ số tận cùng của nó tạo thành sốchia hết cho 25.

Dấu hiệu chia hết cho 8

- Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8 thì chiahết cho 8

- Các số chia hết cho 8 thì ba chữ số tận cùng của nó tạo thành sốchia hết cho 8

Dấu hiệu chia hết cho 125

- Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 125 thì chiahết cho 125

- Các số chia hết cho 125 thì ba chữ số tận cùng của nó tạo thành sốchia hết cho 125

Dấu hiệu chia hết cho 11

- Các số có hiệu giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ sốhàng lẻ chia hết cho 11 thì chia hết cho 11

- Các số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng chẵn vàtổng các chữ số hàng lẻ của nó chia hết cho 11

Trong các bài toán nâng cao về chia hết, học sinh Tiểu học không chỉgặp các bài toán về các dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 3; 9; 4; 25; 8; 125; 11

mà các em còn thường gặp các bài toán liên quan đến chia hết cho6; 12; 15; 18; 24; 36; 45; 99 Đối với các bài toán này, đầu tiên học sinhcần đi tìm điều kiện chia hết cho các số trên Khi tìm điều kiện chia hếtcho một số, ta phải phân tích số đó thành tích của các số, sao cho các

số này chỉ chia hết cho 1 và chính nó Khi đó, ta có

6 = 2 × 3; 12 = 3 × 4; 15 = 3 × 5; 18 = 2 × 9;

24 = 3 × 8; 36 = 4 × 9; 45 = 5 × 9; 99 = 9 × 11.Như vậy, ta có điều kiện chia hết cho 6; 12; 15; 18; 24; 36; 45; 99 cụ thểnhư sau

Điều kiện chia hết cho 6

Một số tự nhiên chia hết cho 6 khi số đó chia hết cho cả 2 và 3.Điều kiện chia hết cho 12

Một số tự nhiên chia hết cho 12 khi số đó chia hết cho cả 3 và 4.Điều kiện chia hết cho 15

Một số tự nhiên chia hết cho 15 khi số đó chia hết cho cả 3 và 5.Điều kiện chia hết cho 18

Một số tự nhiên chia hết cho 18 khi số đó chia hết cho cả 3 và 6.Điều kiện chia hết cho 24

Một số tự nhiên chia hết cho 24 khi số đó chia hết cho cả 3 và 8.Điều kiện chia hết cho 36

Một số tự nhiên chia hết cho 36 khi số đó chia hết cho cả 4 và 9.Điều kiện chia hết cho 45

Một số tự nhiên chia hết cho 45 khi số đó chia hết cho cả 5 và 9.Điều kiện chia hết cho 99

Một số tự nhiên chia hết cho 99 khi số đó chia hết cho cả 9 và 11

Hãy liệt kê các số đó.

a) Phân tích Để giải được bài toán này cần dựa vào dấu hiệu chia hếtcho 2 và 5

+ Các số chia hết cho 2 thì có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8

+ Các số chia hết cho 5 thì có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5

Mà số cần lập chia hết cho cả 2 và 5 nên ta tìm được chữ số tận cùngchỉ có thể là 0 Như vậy, chữ số tận cùng có 1 cách chọn từ các chữ số

đã cho Tiếp theo, dựa vào điều kiện các chữ số phải khác nhau, ta cóthể tìm được số cách chọn cho chữ số hàng chục và hàng trăm Từ đây,

Khi đó, chữ số b chỉ còn hai cách chọn trong ba chữ số còn lại Như thế,

b) Phân tích Để giải được bài toán cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho

9 Như vậy, tổng các chữ số của số cần lập là số chia hết cho 9 Từ bốnchữ số 0; 4; 5 và 9 mà đề bài cho, ta sẽ chia thành hai nhóm có tổng cácchữ số chia hết cho 9 để lập thành các số có ba chữ số khác nhau chiahết cho 9

+ Nhóm gồm các chữ số 0; 4; 5

+ Nhóm gồm các chữ số 4; 5; 9

Đối với mỗi nhóm, ta lập luận để tìm được số cách chọn cho từng chữ

số của số cần lập Sau đó, dễ dàng kể tên và tìm được số các số cần lập.Lời giải Gọi số cần lập có dạng abc (a 6= 0; a, b, c là các chữ số khácnhau) Để abc chia hết cho 9 thì thì tổng các chữ số của nó

(a + b + c) phải chia hết cho 9

Ta có

0 + 4 + 5 = 9;

4 + 5 + 9 = 18

Mà 9; 18 là những số chia hết cho 9 và (0; 4; 5) hay (4; 5; 9) là những cặp

số có các chữ số khác nhau nên các số có ba chữ số khác nhau chia hếtcho 9 được lập từ hai nhóm chữ số trên Cụ thể như sau

+ Nhóm gồm các chữ số 0; 4; 5 Vì a 6= 0 nên khi chọn a thì a có haicách chọn Mặt khác, các số đều có ba chữ số khác nhau nên khi đã chọn

c) Phân tích Bởi vì 36 = 4 × 9 nên số cần lập chia hết cho cả 4 và

9 Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 4 “Các số chia hết cho 4 thì hai chữ

số tận cùng của số đó tạo thành số chia hết cho 4”, ta tìm được chữ sốhàng chục và hàng đơn vị Tiếp theo, dựa vào yêu cầu của đề bài số đó

là số có ba chữ số khác nhau, ta sẽ tìm được chữ số hàng trăm dựa vàochữ số hàng chục và hàng đơn vị đã tìm được Cuối cùng, dựa vào dấu

hiệu chia hết cho 9 ta loại đi các trường hợp không thỏa mãn.

Lời giải Gọi số cần lập có dạng abc (a 6= 0; a, b, c là các chữ số khácnhau) Bởi vì 36 = 4 × 9 nên số cần lập chia hết cho cả 4 và 9

Để số lập được chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của số đó phải tạothành số chia hết cho 4 Do đó, bc chỉ có thể là 04 hoặc 40

Do số phải tìm chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó là (a + 4 + 0)phải chia hết cho 9 Khi đó a chỉ có thể là 5

Vậy có 2 số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 36 được lập từ bốnchữ số đã cho là

Lời giải Bởi vì 6 = 2 × 3 nên các số chia hết cho 6 sẽ chia hết cho cả 2

và 3 Dựa vào bốn chữ số đã cho là 0; 1; 5; 8, ta có thể lập được

+ Các số chia hết cho 2 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 8

+ Các số chia hết cho 3 có tổng các chữ số chia hết cho 3

Ta có

0 + 1 + 5 = 6;

0 + 1 + 8 = 9

Mà 6 3; 9 3 và (0; 1; 5) và (0; 1; 8) là những cặp số có các chữ số khácnhau nên các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 6 có chữ số tậncùng là 0 hoặc 8 sẽ được lập từ hai nhóm chữ số trên.

Vậy các số đó là

150; 510; 108; 180; 810

2.1.3 Bài tập tham khảo

Bài 1 Tìm số các số có ba chữ số được lập từ các chữ số 3; 4; 5 và chiahết cho 5

Bài 2 Cho các chữ số 0; 1; 3; 5; 6 Hãy lập tất cả các số có ba chữ sốkhác nhau từ các chữ số đã cho, sao cho mỗi số đó đều chia hết cho 9.Bài 3 Cho các chữ số 0; 3; 5; 6; 7 Từ các chữ số trên hãy lập thành số

có bốn chữ số khác nhau sao cho

a) Số lập được chia hết cho 2 và 5

b) Các số lập được chia hết cho 15

Bài 4 Tìm các số có hai chữ số, biết rằng các số này đều chia hết chotích các chữ số của chúng

Bài 5 Tìm số có năm chữ số sao cho khi đọc các chữ số của số đó theothứ tự ngược lại hoặc đổi chỗ chữ số hàng đơn vị với hàng trăm thì số

đó không thay đổi giá trị Biết rằng số này chia hết cho 25

2.2 Vận dụng dấu hiệu chia hết để xác định các chữ

số chưa biết của một số tự nhiên

2.2.1 Kiến thức cần lưu ý

Khi giải các bài toán dạng này ta thường làm như sau

- Trước tiên, dùng các dấu hiệu chia hết để xác định chữ số tận cùng

- Sau đó, dùng phương pháp thử chọn kết hợp với các dấu hiệu chiahết còn lại của số phải tìm để xác định các chữ số còn lại

2.2.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1 Tìm giá trị của a và b để số 37a8b chia biết cho 2; 3 và 5.Phân tích Đầu tiên, sử dụng kết hợp dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 tatìm được giá trị của b là 0

Sau đó, dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 “Các số chia hết cho 3 thì tổngcác chữ số của nó chia hết cho 3” để tìm được giá trị của a

Lời giải Từ các dấu hiệu chia hết cho 2 và cho 5 ta thấy

37a8b chia hết cho 2 nên b = 0; 2; 4; 6 hoặc 8

37a8b chia hết cho 5 nên b = 0 hoặc 5

Số 37a8b chia hết cho cả 2 và 5 nên b = 0 Như vậy, ta nhận được số cầntìm là 37a80

Ta có 37a80 chia hết cho 3 nên tổng các chữ số của nó

(3 + 7 + a + 8 + 0 = 18 + a) chia hết cho 3

Bởi vì 18 3 nên a 3 Do a là chữ số nên suy ra a = 0; 3; 6; 9 Ta xét từng

trường hợp

(i) Với a = 0, ta có số 37 080 chia hết cho 2; 3; 5

(ii) Với a = 3, ta có số 37 380 chia hết cho 2; 3; 5

(iii) Với a = 6, ta có số 37 680 chia hết cho 2; 3; 5

(iiii) Với a = 9, ta có số 37 980 chia hết cho 2; 3; 5

Như vậy với các chữ số a = {0; 3; 6; 9}; b = 0 thì số 37a8b chia hết cho2; 3 và 5

Ví dụ 2 ([7] - trang 64, ví dụ 6) Hãy viết thêm vào bên trái số 123 mộtchữ số và bên phải hai chữ số để nhận được số bé nhất có sáu chữ sốkhác nhau chia hết cho 45

Phân tích Bởi vì 45 = 5 × 9 nên số phải tìm chia hết cho cả 5 và 9

- Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 5, ta tìm được giá trị của chữ số hàngđơn vị là 0 hoặc 5

- Tiếp theo, dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9, ta tìm được tổng củahai chữ số còn lại

- Sau đó, dựa vào điều kiện các chữ số phải khác nhau mà ta loạiđược một số trường hợp không hợp lí

- Cuối cùng, dựa vào yêu cầu số đó là số bé nhất, ta tìm được số cầntìm

Lời giải Gọi chữ số cần viết thêm vào bên trái là a; bên phải là bc.Tức là số cần tìm có dạng N = a123bc

Bởi vì 45 = 5 × 9 nên N chia hết cho cả 5 và 9 N chia hết cho 5 nên cbằng 0 hoặc 5 Ta xét hai trường hợp

(i) Nếu c = 0 thì N = a123b0 Bởi vì N chia hết cho 9 nên tổng các

chữ số của nó

(a + 1 + 2 + 3 + b + 0 = a + b + 6) chia hết cho 9

Từ đó, suy ra

a + b = 3; hoặc a + b = 12

+ Nếu a + b = 3 Số 3 có thể phân tích thành tổng của 0 và 3; 1 và

2 Vì N có sáu chữ số khác nhau nên ta loại trường hợp này

+ Nếu a + b = 12 Số 12 có thể phân tích thành tổng của 3 và 9; 4 và8; 5 và 7; 6 và 6 Kết hợp với điều kiện N có sáu chữ số khác nhau tađược các số

8 Vì N có sáu chữ số khác nhau nên ta được các số

712 395; 912 375

So sánh tất cả các số nhận được ta thấy số bé nhất nhận được thỏa mãnđầu bài là 412 380.

Ví dụ 3 Cho số X35Y Tìm giá trị của X; Y để X35Y chia hết cho 99.Phân tích Vì 99 = 9 × 11 nên bài toán sẽ chuyển về việc tìm giá trịcủa X; Y để X35Y chia hết cho 9 và 11

Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 11 “Các số chia hết cho 11 khi hiệu giữatổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ của nó chia hếtcho 11”, ta tìm được hiệu của X và Y

Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9, ta tìm được tổng của X và Y

Như vậy, ta tìm được X và Y dựa vào tổng và hiệu đã biết

Do 8 chia cho 9 dư 8 nên (X + Y ) chia cho 9 dư 1.

Thay X = 4, Y = 6 ta có số 4 356 chia hết cho 99

(iiii) X + Y = 10 và X − Y = 9 Trường hợp này loại vì không tìmđược giá trị thỏa mãn

Vậy với các chữ số X = 4, Y = 6 thì số X35Y chia hết cho 99

Ví dụ 4 Tìm giá trị của a, b để số a 965b chia hết cho 24

Phân tích Bởi vì 24 = 3 × 8 nên số phải tìm chia hết cho 3 và 8.Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 8 “Các số chia hết cho 8 có ba chữ số tậncùng tạo thành số chia hết cho 8”, ta tìm được giá trị của b

Tiếp theo, dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3, ta tìm được giá trị của a.Lời giải Bởi vì 24 = 3 × 8 nên số phải tìm chia hết cho 3 và 8

Để số phải tìm chia hết cho 8 thì ba chữ số tận cùng của số đó phải tạo

thành số chia hết cho 8 Hay 65b chia hết cho 8 Do đó, b chỉ có thể là 6

Ví dụ 5 Tìm a, b, c biết a4b5c3 chia hết cho 1001

Phân tích Đối với bài toán này, ta không thể sử dụng dấu hiệu chia hết

Để làm được, ta dựa vào tính chất của phép chia để biết được thương

là số có ba chữ số (vì a4b5 > 1 001) Gọi dạng tổng quát của thương làxyz Vì a4b5 chia hết cho 1 001 nên ta có

a4b5c3 = xyz × 1 001

Hay a4b5c3 = xyzxyz Từ đẳng thức này, ta đối chiếu các chữ số để tìmđược các giá trị của a, b, c

Lời giải Ta thấy a4b5 > 1 001 nên phép chia a4b5c3 cho 1001 chắc chắn

có thương là số có ba chữ số Gọi thương này là xyz