Một số dạng toán số học quy về phương trình nghiệm nguyên

z BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI  ĐẶNG THANH HẰNG MỘT SỐ DẠNG TỐN SỐ HỌC QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Hà Nội, 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - ĐẶNG THANH HẰNG MỘT SỐ DẠNG TỐN SỐ HỌC QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ KIỀU NGA Hà Nội, 2019 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô giáo khoa Tốn giúp đỡ em q trình học tập trường tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giáo -TS Nguyễn Thị Kiều Nga, người thầy truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ, hướng dẫn em suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thiện khóa luận Trong q trình nghiên cứu, lực thân hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, giáo tồn thể bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2019 Đặng Thanh Hằng i LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan hướng dẫn giáo Nguyễn Thị Kiều Nga khóa luận em hồn thành khơng trùng với đề tài khác Trong làm khóa luận này, em tham khảo số kiến thức có ghi tài liệu tham khảo Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Đặng Thanh Hằng Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức 1.1 Đồng dư thức 1.2 Một số kiến thức số học 1.2.1 Các định lí 1.2.2 Một số tính chất số học Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 1.3.1 Phương pháp 1: Phương pháp xét tính chia hết 1.3.2 Phương pháp 2: Phương pháp dùng bất đẳng thức 11 1.3.3 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất số 1.3 phương 1.3.4 1.3.5 17 Phương pháp 4: Xét số dư vế chia cho số 19 Phương pháp 5: Phương pháp lùi vô hạn 22 Một số dạng toán số học quy phương trình nghiệm ngun 24 2.1 Dạng tốn số tự nhiên chữ số 24 2.1.1 Phương pháp chung 24 2.1.2 Ví dụ 25 2.1.3 Một số tập tương tự 27 iii 2.1.4 2.2 2.3 Bài tập tự giải 29 Dạng toán tính chia hết số nguyên tố 30 2.2.1 Phương pháp chung 30 2.2.2 Ví dụ 30 2.2.3 Một số tập tương tự 32 2.2.4 Bài tập tự giải 34 Dạng toán thực tế 35 2.3.1 Phương pháp chung 35 2.3.2 Ví dụ 35 2.3.3 Một số tập tương tự 37 2.3.4 Bài tập tự giải 40 Tài liệu tham khảo 42 iv Lời mở đầu Số học lĩnh vực xuất sớm lịch sử toán học người bắt đầu làm việc với số ấy, Số học đời Trải qua hàng nghìn năm phát triển, số học giữ vẻ đẹp khiết Vẻ đẹp thể qua cách phát triển đơn giản toán học sinh lớp hiểu Thế vẻ đẹp thường tiềm ẩn thử thách sâu thẳm bên để thách thức trí tuệ lồi người Vì thế, người ta thường nói "Số học bà hồng tốn học" Trong đó, phương trình nghiệm nguyên đề tài lý thú số học, lôi nhiều người, từ học sinh nhỏ với toán "Trăm trâu trăm cỏ" đến chuyên gia toán học lớn với toán định lý lớn Fecmat nghiên cứu từ thời Điơphăng kỉ III, Vì phương trình nghiệm ngun mãi đối tượng nghiên cứu tốn học Ngồi phương trình bậc ẩn, phương trình nghiệm nguyên thường khơng có quy tắc giải tổng qt Mỗi tốn với điều kiện riêng nó, đòi hỏi cách giải riêng phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện tư toán học mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo Chính mà phương trình nghiệm ngun thường có mặt kì thi học sinh giỏi toán tất cấp Trong luận văn nghiên cứu này, giúp đỡ TS Nguyễn Thị Kiều Nga với yêu thích Số học, em chọn đề tài "Một số dạng toán Số học quy phương trình nghiệm nguyên" làm đề tài nghiên cứu khóa luận Nội dung khóa luận chia làm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức Số học số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên nhằm sử dụng cho chương sau Chương 2: Một số dạng tốn số học quy phương trình nghiệm nguyên Chương đưa số toán số học quy phương trình nghiệm ngun để giải Do thời gian lực nghiên cứu thân hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong góp ý thầy cô bạn Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Đặng Thanh Hằng Chương Kiến thức Trong chương này, nhắc lại số kiến thức Số học số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên nhằm sử dụng cho chương sau 1.1 Đồng dư thức Định nghĩa 1.1.1 Cho a, b, m số nguyên, m > Nếu a − b chia hết cho m a b gọi đồng dư modulo m, kí hiệu a ≡ b (modm) Mệnh đề 1.1.2 (Điều kiện tương đương đồng dư thức) Các khẳng định sau tương đương: (i) a ≡ b (modm); (ii) m| (a − b); (iii) Tồn t ∈ Z cho a = b + mt Chứng minh +) (i) ⇒ (ii) Theo định nghĩa a ≡ b (modm), tồn số q1 , q2 , r với ≤ r < m cho a = mq1 + r; b = mq2 + r Suy ra: a − b = m (q1 − q2 ) Do q1 ; q2 ∈ Z nên (q1 − q2 ) ∈ Z Vậy m| (a − b) +) (ii) ⇒ (iii) Vì m| (a − b) nên tồn t ∈ Z cho a − b = mt Suy a = b + mt +) (iii) ⇒ (i) Chia a cho m, giả sử ta thương qn dư r (0 ≤ r < m) nghĩa a = m.qn + r; (*) a = b + mt; (**) Mặt khác Thay (**) (*) ta có: b + mt = m.qn + r nên b = m (qn − t) + r với ≤ r < m Trong đó, (qn − t) ∈ Z nên số dư phép chia a cho m r Vậy a ≡ b (modm) Một số tính chất đồng dư thức: a Với số tự nhiên m = 0, ta có + a ≡ b(modm), với a ∈ Z; + a ≡ b(modm) suy b ≡ a (modm), với a, b ∈ Z; + a ≡ b (modm) , b ≡ c (modm) a ≡ c (modm),với a, b, c ∈ Z b Nếu ≡ bi (modm) i = 1, 2, 3, , m Ta có n n kai ≡ i=1 kbi (modm) , k = ±1 i=1 c Nếu ≡ bi (modm) i = 1, 2, 3, , m Ta có n n ≡ i=1 bi (modm) i=1 d Giả sử a, b, m1 , m2 , , mk số nguyên a ≡ b (modm1 ) a ≡ b (modm2 ) 2.1.4 Bài tập tự giải Bài tập 2.1.4.1 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số bình phương tổng số tạo hai chữ số đầu số tạo hai chữ số cuối số (viết theo thứ tự cũ) Bài tập 2.1.4.2 Xác định tất số có ba chữ số chia hết cho 11, cho thương số phép chia cho 11 tổng bình phương chữ số số Bài tập 2.1.4.3 Xác định tất số có ba chữ số chia hết cho 11 cho thương số phép chia số cho 11 tổng bình phương chữ số số (IMO 1960) Bài tập 2.1.4.4 Tìm số có bốn chữ số abcd, biết abcd = (5c + 1)2 Bài tập 2.1.4.5 Tìm số abc với chữ số khác cho 9a = 5b + 4c Bài tập 2.1.4.6 Đầu năm mới, thầy giáo dạy Toán lớp 9C lớp toán điền chữ số sau 9C+CỐ+HỌC=GIỎI Bạn giải toán trên,biết rằng: - Các chữ Ố, Ọ, O biểu thị chữ số - Các chữ số khác biểu thị chữ số khác nhau, chúng Bài tập 2.1.4.7 Tìm số A = a0 a1 a2 a9 biết rằng: a0 số chữ số A a1 số chữ số A a9 số chữ số số A 29 2.2 2.2.1 Dạng tốn tính chia hết số nguyên tố Phương pháp chung Các toán tính chia hết số nguyên tố giải chủ yếu theo phương pháp xét tính chia hết, tính chất đặc trưng số nguyên tố với a ∈ Z a p (a, p) = 1; Nếu a1 a2 an p tồn i để p; hai số nguyên tố chùng nhau; ước chung lớn nhất; bội chung nhỏ nhất; 2.2.2 Ví dụ Ví dụ 2.2.2.1 Tìm số nguyên dương x y cho x + chia hết cho y y + chia hết cho x Lời giải Do vai trò x y Khơng tính tổng quát giả sử ≤ x ≤ y Đặt x + = ky (với k nguyên dương) (1) Ta có ky = x + ≤ y + ≤ 2y Suy k ≤ - Xét k = 1, thay vào (1) x + = y Từ (y + 1) x ta có (x + 2) x suy x nên x ∈ {1; 2} Với x = y = 2; Với x = y = Thử lại - Xét k = 2, thay vào (1) x + = 2y Từ (y+1) x, ta có (2y+2) x tức (x+3) suy x nên x ∈ {1; 3} Với x = y = Thử lại đúng; Với x = y = 2, loại trái với x ≤ y Vậy cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn yêu cầu đề là: (1; 1); (1; 2)(2; 3) 30 Nhận xét 2.2.2.1 Khi có quan hệ chia hết (x + 1) y, ta nên viết thành đẳng thức (x + 1) = ky Trong cách giải này, việc xếp thứ tự x ≤ y góp phần quan trọng để đến k ≤ Sau đó, ta biến đổi khơng tương đương nên sau tìm giá trị x y, cần phải thử lại Ví dụ 2.2.2.2 Tìm số ngun dương x y cho x2 − chia hết cho xy + Lời giải Theo đề ta có : (x2 − 2) (xy + 2) (1) Suy y(x2 − 1) (xy + 2) hay (x(xy + 2) − 2(x + y)) (xy + 2) Nên 2(x + y) (xy + 2) (2) Vì x + y xy + số nguyên dương nên từ (2) suy xy + ≤ 2x + 2y suy y(x − 2) ≤ 2x − (3) Xét giá trị x sau + Với x = 1, thay vào (1) (−1) (y + 2), khơng xảy y + ≥ 3; + Với x = 2, thay vào (1) (2y + 2) nên , (y + 1), khơng xảy y + ≥ 3; + Với x ≥ 3, từ (3) suy y ≤ 2x − 2 =2+ ≤ x−2 x−2 Suy x ∈ {3; 4} + Thay x = vào (1) (3y + 2) suy 3y + = nên 2y + = 7, (loại); + Thay x = vào (1) 14 (4x+2) suy (2y+1) hay (2y+1) = nên y = Thử lại Vậy với x = 4; y = thỏa mãn yêu cầu đề 31 2.2.3 Một số tập tương tự x2 + y Bài tập 2.2.3.1 Tính giá trị biểu thức Biết x, y xy số nguyên dương x2 + y chia hết cho xy Lời giải Gọi d = U CLN (x, y) Đặt x = da, y = db với a, b nguyên tố Theo đề (x2 + y ) xy nên (da)2 + (db)2 da.db Suy d2 (a2 + b2 ) d2 ab Hay (a2 + b2 ) ab Suy a2 b b2 a Do a, b nguyên tố nên a b, b a Vì a, b nguyên dương nên a = b Khi x = y Khi x2 + y 2x2 = =2 xy x Vậy x2 + y = xy Bài tập 2.2.3.2 Tìm tất số gồm ba chữ số cho bình phương có ba số tận Lời giải Giả sử số phải tìm a, ta có a2 − a = a(a − 1) chia hết cho 1000 = 8.125 Vì a, a − hai số nguyên tố nên suy ta xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: a chia hết cho a − chia hết cho 125 32 Vì (a − 1) 125 nên suy ra: a − = 125; a − = 250; a − = 625; a − = 750; a − = 875; Mặt khác, a nên a ∈ {126; 376; 626; 876} Thử lại với giả thiết đề cho ta thu đươc a = 376, thỏa mãn yêu cầu đề - Trường hợp 2: a chia hết cho 125 a − chia hết cho Vì a 125 nên a ∈ {125; 250; 375; 500; 625; 750; 875} Mặt khác a − chia hết a ∈ {125; 375; 625; 875} Thử lại với giả thiết ban đầu ta thu a = 625 thỏa mãn yêu cầu đề Vậy 376 625 số cần tìm Bài tập 2.2.3.3 (Romania 1999) Cho a, b, c số nguyên khác 0, a = c thỏa mãn: a a2 + b = c c + b2 Chứng minh a2 + b2 + c2 số nguyên tố Lời giải Từ giả thiết ta có c(a2 + b2 ) = a(c2 + b2 ) hay (a − c)(b2 − ac) = Do a = c nên ac = b2 Từ a2 + b2 + c2 =a2 + (2b2 − b2 ) + c2 =a2 + (2ac − b2 ) − c2 =(a + c)2 − b2 =(a − b + c)(a + b + c) 33 Vì |a||c| > nên a2 + b2 + c2 > |a| + |b| + |c| ≥ |a + b + c|, |a − b + c| Do a2 +b2 +c2 khơng thể số nguyên tố (điều phải chứng minh) 2.2.4 Bài tập tự giải Bài tập 2.2.4.1 Tìm ba số nguyên dương x, y, z lớn cho: xy + chia hết cho z; xz + chia hết cho y; yz + chia hết cho x Bài tập 2.2.4.2 Tìm số nguyên dương n số nguyên tố p cho p= n(n + 1) −1 Bài tập 2.2.4.3 Chứng minh không tồn số nguyên dương a, b cho a > b a2 + b2 chia hết cho a2 − b2 Bài tập 2.2.4.4 Tìm số phương thỏa mãn chia cho 39 ta thương số nguyên tố số dư Bài tập 2.2.4.5 Tìm số tự nhiên n lớn 1, cho (n − 1)! chia hết cho n Bài tập 2.2.4.6 Tìm số tự nhiên x, y lớn thỏa mãn điều kiện sau a x + chia hết cho y y + chia hết cho x b 2x + chia hết cho y 2y + chia hết cho x Bài tập 2.2.4.7 Tìm số tự nhiên n,biết rằng: n chứa ba thừa số nguyên tố 2, 5, 5n có nhiều n ước số 8n có nhiều n 18 ước số 34 2.3 Dạng toán thực tế 2.3.1 Phương pháp chung Các toán thực tế đưa dạng phương trình nghiệm nguyên thường phát biểu lời Khi giảicác toán ta cần: - Đưa chúng dạng tốn số; - Tìm nghiệm tốn việc giải hệ phương trình vơ định chặn giá trị nghiệm 2.3.2 Ví dụ Ví dụ 2.3.2.1 Anh Tâm bác Đức hai công nhân củ xí nghiệp Một ngày đầu năm 1999, bác Đức hỏi anh Tâm: - Năm cháu tuổi? Anh Tâm hóm hỉnh trả lời: - Tuổi cháu năm tổng chữ số năm sinh Bác Đức tính tuổi anh Tâm Bác gật gù: - Lúc bác tuổi cháu tại, bác chiến sĩ quân giải phóng miền Nam có tuổi tổng chữ số năm sinh Anh Tâm tính tuổi bác Hãy tính xem anh Tâm bác Đức sinh năm bao nhiêu? Lời giải Gọi năm sinh anh Tâm 19xy, ta có 1999 − 19xy = + + x + y Tương đương với 99 − (10x + y) = 10 + x + y Hay 89 = 11x + 2y Ta thấy ≤ 2y ≤ 18 nên 71 ≤ 11x ≤ 89 Do ≤ x ≤ - Với x = suy y = 6; - Với x = suy 2y = (loại) Vậy anh Tâm sinh năm 1976, năm 1999 anh Tâm 23 tuổi 35 Gọi năm bác Đức 23 tuổi 19ab Khi + + a + b =23 Hay a + b =13 Vì 1960 ≤ 19ab ≤ 1975 mà a + b = 13 Suy ab = 67 Nên bác Đức 23 tuổi vào năm 1967 Vậy năm sinh bác Đức 1967 − 23 = 1944 Kết luận: Vậy năm sinh anh Tâm bác Đức 1976 1944 Nhận xét 2.3.2.1 Ta giải phương trình 11x + 2y = 89 theo cách giải phương trình nghiệm nguyên (x; y) (2t + 2; 39 − 22t) với t nguyên, kết hợp với 2t + ≥ 39 − 11t ≥ (x, y) (1; 39); (3; 28); (5; 17); (7; 6) Do x y chữ số nên x = y = Cách giải dài không tận dụng x y số tự nhiên nhỏ 10 từ đầu Ví dụ 2.3.2.2 Tân Hùng gặp hội nghị học sinh giỏi Toán Tân hỏi số nhà Hùng Hùng trả lời: - Nhà đoạn phố, đoạn phố có tổng số nhà 161, khơng có số nhà đánh số a, b, Nghĩ lúc, Tân nói: -Bạn số nhà 23 gì! Hỏi Tân tìm nào? Lời giải Gọi n số nhà dãy x + 2; x + 4; x + 6; ; x + 2n Ta có (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + + (x + 2n) = 161 Hay (x + + x + 2n).n = 161 tương đương (x + n + 1).n = 161 36 Ta có x + n + > n > suy x + n + = 23 nên n=7 Các số nhà đoạn phố là: 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29; x = 15 n=7 Số nhà 23 Vậy Hùng nhà số 23 2.3.3 Một số tập tương tự Bài tập 2.3.3.1 (Bài toán dân gian) Mai em chợ phiên Anh gửi tiền Mua cam qt Khơng nhiều Mua lấy trăm Cam ba đồng Quýt đồng năm Thanh yên tươi tốt Năm đồng trái Hỏi mua thứ trái (biết tiền 60 đồng) Lời giải Gọi x, y, z số cam, quýt yên mà nàng mua Rõ ràng x, y, z nguyên dương Theo ta có hệ phương trình vơ định sau   x + y + z = 100  3x + y + 5z = 60 ⇒ x + y + z = 100 15x + y + 25z = 300 37 (1) Lấy (2) trừ (1) ta 14x + 24z = 200 ⇒ 7x + 12z = 100 (3) Từ (3) ta có x= + 5z 100 − 12z = 15 − z − 7 ⇒ x = 15 − x − Đặt 1+z 1+z = t(t ∈ Z), ta có z = 7t − Từ (4) ta có x = 15 − 7t + − 5t = 16 − 12t Thay vào (1) ta y = 100 − 16 + 12t − 7t + = 5t + 85 Vậy dựa vào (1) (2) ta có nghiệm nguyên     x = 16 − 12t y = 85 + 5t , (t ∈ Z)    z = 7t − Mặt khác, để x, y, z > 0, ta cần có     7t − > 16 − 12t > ⇔    5t + 85 > 38    z = 75 + 3k > 39 Vậy < k < 25 Có ba đáp án: trâu đứng, 18 trâu nằm, 78 trâu già; trâu đứng, 11 trâu nằm, 81 trâu già; 12 trâu đứng, trâu nằm, 84 trâu già Lưu ý: Sách Đại thành toán pháp Lương Thế Vinh từ kỉ XV có tốn Trăm trâu trăm cỏ nói 2.3.4 Bài tập tự giải Bài tập 2.3.4.1 Ba người bạn câu số cá Buổi tối họ ngủ lại bên bờ sông Nửa đêm, người thứ thức dậy, muốn trước, thấy số cá chia cho ba người dư nên quẳng xuống nước mang phần ba số cá Người thứ hai thức dậy tưởng hai bạn ngủ, đếm số cá thấy chia cho ba người dư nên vứt xuống nước,lấy phần ba mang Người thứ ba tỉnh dậy, vứt xuống nước lấy phần ba mang về, Hỏi ba người câu cá, biết họ nguời câu cá tồi Bài tập 2.3.4.2 Các bạn Tuấn, Hùng, Cường với chị Mai, Vân, Nga (không thiết phải thứ tự) dạo chơi hội hoa xn Cơ bán hàng nói với họ mua bơng hoa giá nghìn (giá bơng hoa số ngun nghìn) phải mua bơng hoa Tính bạn phải mua chị 48 nghìn đồng Ngồi Tuấn mua chị Vân bơng, Hùng mua chị Mai bơng Hãy xác định cặp chị em tính xem người mua hoa, biết người mua loại hoa 40 Bài tập 2.3.4.3 Trong đợt thi đua, An làm vượt mức 10 sản phẩm, Bách làm vượt mức 16 sản phẩm, Dũng làm vượt mức 26 sản phẩm Số sản phẩm vượt mức người gồm loại I loại II Số sản phẩm vượt mức ba người khác sản phẩm loại II dược thưởng sản phẩm loại I nên thưởng 140 nghìn đồng Tính xem người làm vượt mức sản phẩm loại tiền thưởng cho loại bao nhiêu? Bài tập 2.3.4.4 Nhân dịp Tết, cụ phụ lão, anh chị niên, e thiếu nhi, tất gồm 15 người, mang 50 bánh chưng đến tặng đơn vị đội Mỗi cụ phụ lão mang bánh, anh chị niên mang bánh, em thiếu nhi mang bánh Có phụ lão niên, thiếu nhi? Bài tập 2.3.4.5 Ngày đầu năm mới, Tuấn tính tuổi mẹ phát ra: - Mẹ ơi, tổng chữ số tuổi mẹ tuổi Mẹ Tuấn hỏi lại: -Thế tổng chữ số tuổi tuổi ai? -A, tuổi em Lan Tuổi người tuổi ba mẹ cộng lại 54? Bài tập 2.3.4.6 Hiện giờ, kim giờ, kim phút, kim giây chập vào Ngoài thời điểm trên, khoảng từ đến 12 giờ, thời điểm để: a Kim kim phút lại chập nhau? b Cả ba kim chập nhau? 41 Kết luận Nội dung khóa luận trình bày vấn đề sau: - Hệ thống lại số kiến thức đồng dư thức, tính chấ số học, định lí Euler, Fermat, Wilson; số phương pháp giải phương trình nghiệm ngun - Trình bày số dạng tốn số học quy phương trình nghiệm nguyên cụ thể là: + Dạng toán số tự nhiên chữ số + Dạng tốn tính chia hết số nguyên tố + Dạng toán thực tế Do thời gian lực thân hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi sai sót Em kính mong góp ý từ thầy bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện Em xin trân trọng cảm ơn! Tài liệu tham khảo [1] Vũ Hữu Bình,(2017), Phương trình nghiệm nguyên kinh nghiệm giải, Nhà xuất giáo dục [2] Doãn Minh Cường (chủ biên),(2008),Toán bồi dưỡng học sinh giỏi phổ thông THCS (tập 1), Nhà xuất Đại học Sư phạm [3] Phan Huy Khải,(2009), Phương trình nghiệm nguyên, Nhà xuất giáo dục [4] Nguyễn Vũ Lương (chủ biên),(2009), Các giảng Số học, toán tập số nguyên, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà nội [5] Một số nguồn từ mạng Internet ... thức Số học số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên nhằm sử dụng cho chương sau Chương 2: Một số dạng toán số học quy phương trình nghiệm nguyên Chương đưa số tốn số học quy phương trình nghiệm. .. số ngun liên tiếp có tích số phương hai số c Nếu hai số nguyên dương nguyên tố có tích số phương số số phương d Số phương khơng tận 2, 3, 7, e Số phương chia hết cho số nguyên tố p p2 + Số phương. .. x0 số nguyên dương nhỏ giá trị nhận x Vậy phương trình (*) khơng có nghiệm nguyên dương 23 Chương Một số dạng tốn số học quy phương trình nghiệm ngun Trong chương này, chúng tơi đưa số tốn Số học