Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến tr-ờng đại học s- phạm hà nội khoa TOáN -*** Đỗ THị LAN HƯƠNG MộT Số PHƯƠNG PHáP GIảI PHƯƠNG TRìNH NGHIệM NGUYÊN khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Đại số Ng-ời h-ớng dẫn khoa học Th.S D-ơng Thị Luyến hà nội - 2011 SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến Phần Mở đầu Lý chọn đề tài Toán học ngành khoa học đời sớm số học ngành lâu đời đầy hấp dẫn Toán học Trong đó, ph-ơng trình toán với nghiệm nguyên đài tài lí thú Số học Đại số Các toán ph-ơng trình nghiệm nguyên làm say mê nhiều ng-ời, từ đông đảo bạn đọc yêu toán đến nhà toán học thời đại với toán nh- định lý Fermat Đ-ợc nghiên cứu từ thời Diophante kỷ III, ph-ơng trình toán nghiệm nguyên đối t-ợng nghiên cứu toán học Phần lớn ph-ơng trình nghiệm nguyên th-ờng cách giải tổng quát Mỗi toán đòi hỏi có cách giải vấn đề riêng, có cách giải phù hợp Do đòi hỏi em học sinh phải t- duy, sáng tạo việc giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Chính vậy, với lòng say mê nghiên cứu giúp đỡ tận tình cô giáo D-ơng Thị Luyến, em chọn đề tài: Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Mục đích, yêu cầu Đề tài nhằm hệ thống số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Đối t-ợng, phạm vi nghiên cứu Đối t-ợng nghiên cứu: Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến Phạm vi nghiên cứu: Do hạn chế mặt thời gian nh- lực thân nên đề tài dừng lại việc nghiên cứu số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu vấn đề sau: Ch-ơng Các khái niệm Ch-ơng Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Ch-ơng Một số ph-ơng trình đặc biệt Ph-ơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu, phân tích tài liệu - Hệ thống, khái quát vấn đề - S-u tầm, giải toán - So sánh, phân tích tổng hợp SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến Phần Nội dung Ch-ơng Các khái niệm Tính chia hết tập hợp số nguyên * Định nghĩa Với hai số nguyên a, b ta nói a chia hết cho b (hay a bội b, b -ớc a) tồn số nguyên q cho: a bq Kí hiệu a Mb hay b \ a Trong tr-ờng hợp ng-ợc lại ta kí hiệu a Mb nói a không chia hết cho b * Các tính chất tính chia hết: 1) Nếu a,b nguyên d-ơng mà a Mb a b 2) Nếu a i M b với i 1, n ( a1 a a n )M b * Định lý phép chia với d-: Với cặp số nguyên a b, b tồn cặp số nguyên q, r cho: a bq r , r b Ước chung lớn bội chung nhỏ * Định nghĩa Cho n số nguyên d-ơng a1,a , ,a n - Số nguyên d đ-ợc gọi -ớc chung a1,a , ,a n -ớc số - Ước chung d a1,a , ,a n đ-ợc gọi -ớc chung lớn (ƯCLN) số -ớc chung chúng -ớc d Theo định nghĩa -ớc chung lớn nhiều số không nhất, gồm hai số d -d SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến Quy -ớc: Chọn số d-ơng d -ớc chung lớn n số nguyên a1,a , ,a n kí hiệu d = ( a1,a , ,a n ) - Các số nguyên a1,a , ,a n đ-ợc gọi nguyên tố -ớc chung lớn chúng * Định nghĩa Cho n số nguyên d-ơng a1,a , ,a n - Số nguyên m đ-ợc gọi bội chung a1,a , ,a n m bội số nguyên - Bội chung m a1,a , ,a n đ-ợc gọi bội chung nhỏ (BCNN) số bội chung a1,a , ,a n bội m Theo định nghĩa bội chung nhỏ nhiều số không nhất, gồm hai số m -m Quy -ớc: Chọn số d-ơng m làm bội chung nhỏ n số nguyên a1,a , ,a n kí hiệu m = a1 ,a , ,a n * Các tính chất ƯCLN BCNN 1) Cho a b số nguyên d-ơng Khi ta có: (a,b) (a,a b) 2) Với hai số nguyên d-ơng a, b ta có: ab (a,b) a,b 3) Cho m số nguyên d-ơng Khi ta có: ma, mb m a, b ma, mb m a, b 4) Cho a, b, c ba số nguyên d-ơng cho abMc Nếu (a,c) 1thì bMc SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến 5) Với số nguyên d-ơng a,b tồn số nguyên x, y cho: ax by a,b Số nguyên tố * Định nghĩa Một số tự nhiên p đ-ợc gọi số nguyên tố có hai -ớc số * Định lý số học (định lý số nguyên tố) Cho n số nguyên d-ơng n Khi n biểu diễn cách d-ới dạng sau: n p1 , p 2 , , p k k , k, i (i 1, k) số nguyên d-ơng pi i 1, k số nguyên tố thỏa mãn: p1 p2 pk Lúc dạng phân tích đ-ợc gọi dạng khai triển tắc số nguyên d-ơng n * Định lý Euclide Tập hợp tất số nguyên tố vô hạn * Định lý mối liên hệ tính chia hết số nguyên tố Giả sử a, b hai số nguyên d-ơng p số nguyên tố cho p , bM p abM p Khi ta phải có a M Đồng d* Định nghĩa : Cho hai số nguyên a b Ta nói a đồng d- theo môđun m (m số nguyên d-ơng) kí hiệu a b (mod m) (a b)M m Nhận xét : a b (mod m) SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng a b mt m \ (a b) K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến * Các tính chất đồng d- thức: 1) Nếu a i bi (mod m) i 1,2, ,n ta có: n n kbi (mod m), k ka i i 2) Nếu a i n i 1 i bi (mod m), i 1,2, ,n ta có: n i bi (mod m) 3) Giả sử a,b  cho a b (mod m ) a b (mod m ) a b (mod m k ) ta có a b (mod m) với m m1 ,m2 , ,mk Vài định lý số học * Định lý Fermat Nếu p số nguyên tố a số nguyên tùy ý (a p a)M p Khi (a,p) 1thì a p 1(mod p) * Định lý Euler a m 1(mod m) ( (m) Nếu m số nguyên d-ơng (a,m) gọi Phi-hàm Euler) Chú ý: Giả sử m số nguyên d-ơng có khai triển tắc m p1 p 2 p k k (m) SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng m(1 1 )(1 ) (1 ) p1 p pk K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến * Định lý Wilson p số nguyên tố (p-1)! + chia hết cho p * Định lý Fermat-Euler Nếu p 4k tồn số nguyên d-ơng a, b cho p a b2 SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến Ch-ơng số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Ph-ơng pháp Ph-ơng pháp dùng tính chia hết Ph-ơng pháp đ-a ph-ơng trình -ớc số 1.1 Cơ sở ph-ơng pháp - Mỗi số nguyên có hữu hạn -ớc số - Cách giải: dùng ph-ơng pháp tách, nhóm để đ-a ph-ơng trình ban đầu ph-ơng trình -ớc số: vế trái tích thừa số nguyên vế phải số 1.2 Các toán Ví dụ Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình: x 2003x 2004y2 y xy 2004xy2 2005 Giải Ph-ơng trình biến đổi nh- sau: x 2003x 2004 x x 2004 2004y2 2004xy2 2004y2 x x x 2004 2004y2 y y xy y x 1 1 Vì x, y nguyên nên hai thừa số vế trái (1) phải -ớc Mà = 1.1 = (-1) (-1) Do (1) xảy tr-ờng hợp sau: SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến Tr-ờng hợp : x 1 x x 2004 2004y2 1 2004y2 x y 2005 y 2005 2004 y Vì x, y nguyên nên cặp (x, y) (2,1) thỏa mãn ph-ơng trình (1) Tr-ờng hợp 2: x 1 x x 2004 2004y2 y x 2004y2 y 2005 0 y y 2005 2004 Vì x, y nguyên nên cặp (x, y) (0,1) thỏa mãn ph-ơng trình (1) Ph-ơng trình có hai nghiệm nguyên (2,1) (0,1) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình: x 656xy 657y2 1983 Giải x 656xy 657y2 1983 x xy 657xy 657y2 1983 x xy 657xy x y SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng 1983 10 K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp x2 GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến x = Gợi ý: Làm t-ơng tự nh- ví dụ x = Ph-ơng pháp đặt ẩn phụ cho số ph-ơng trình * Cơ sở ph-ơng pháp - Ph-ơng trình dạng: x a x b x c x d mx Trong ad=bc Ta đặt: y= x a (x d) - Ph-ơng trình dạng: x a x b x c x d m Trong a d b c Đặt y (x a)(x d) - Ph-ơng trình dạng: (x a)4 (x b)4 Đặt y x c a b - Ph-ơng trình dạng d x a x b x c mx , d a b c Và m (d a)(d b)(d c) Đặt y x d nghiệm ph-ơng trình y * Ví dụ Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên sau: (x 2)(x 3)(x 4)(x 6) 2x (1) Giải (1) Đặt (x 8x 12)(x 7x 12) 2x y x 7x 12 Khi ph-ơng trình trở thành: SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng 70 K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến (y x)y 2x y2 xy 2x y2 xy 2xy 2x 0 (y 2x)(y x) 2x y x y + Nếu y x ta có x 7x 12 x x 6x 12 Ph-ơng trình nghiệm nguyên x 6x 12 (x 3)2 + Nếu y 2x ta có: x 7x 12 x 9x 12 2x Ph-ơng trình nghiệm nguyên Vậy ph-ơng trình cho nghiệm nguyên * Các toán t-ơng tự Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình sau: a) Gợi ý: x(x 1)(x 2)(x 3) x 3x k k(k 2) y2 ; y2 b) 9(x 5)(x 7)(x 6) 24x ; Gợi ý: y x x nghiệm c) (x 3)4 (x 5)4 9; Gợi ý: Đặt y x d) 4(x 5)(x 6)(x 10)(x 12) 3x Gợi ý: Đặt y x 16x 60 SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng 71 K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến Ch-ơng Một số ph-ơng trình đặc biệt Ph-ơng trình Phythagore Ph-ơng trình x y2 z (1) với x, y,z số nguyên d-ơng gọi ph-ơng trình Phythagore Bộ ba số (x, y,z) thỏa mãn (1) gọi ba số Phythagore Nếu (x, y,z) ba Phythagore với d nguyên d-ơng ba dx,dy,dz ba Phythagore Do ta quan tâm nhiều đến ba Phythagore (x, y,z) mà (x, y, z)=1 lúc (x, y,z) đ-ợc gọi ba Phythagore nguyên thủy 1.Giải ph-ơng trình Phythagore Xét ph-ơng trình Phythagore: x y2 z2 * Bổ đề: Giả sử (x, y,z) ba Phythagore nguyên thủy, x, y,z đôi nguyên tố x, y không tính chẵn lẻ z số lẻ Chứng minh Tr-ớc hết ta (x, y) Giả sử xy tồn -ớc nguyên tố p x, y Do x Mp, yMp nên z2 x2 y2 M p zM p Vậy (x, y,z) p Điều mâu thuẫn với x, y,z Vậy điều giả sử sai, tức (x, y) T-ơng tự (y,z) (z, x) SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng 72 K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến Giả sử x, y tính chẵn lẻ Theo (1) (x, y) Do x, y chẵn x, y lẻ Đặt x 2k x2 4k 4k x 1(mod 4) T-ơng tự : y2 1(mod 4) Do x y2 2(mod 4) Vô lí số ph-ơng chia cho d- Vậy giả sử sai tức x, y không tính chẵn lẻ Vì x y2 z nên z phải số lẻ Xét ph-ơng trình Phythagore với (x, y,z) ba nguyên thủy Cách 1: Giả sử x lẻ, y chẵn, z lẻ Ta viết (1) d-ới dạng: x2 (z y)(z y) Ta có: z y;z y số lẻ nguyên tố Thật vậy: Giả sử z yM d; z yM d (d lẻ) Do (2, d) nên zM d; yM d Do y,z Vậy z y,z y 1nên d=1 Hai số nguyên d-ơng z y; z y nguyên tố có tích số ph-ơng x nên số z y; z y số ph-ơng Đặt z y m ; z y n Với m, n số lẻ, m n; m,n SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng Ta đ-ợc: 73 K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp x y z GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến mn m2 n 2 m n2 (công thức I) Với m, n số lẻ, m n, m,n Cách 2: Giả sử x chẵn, y lẻ z lẻ Ta có : x x (z y)(z y) z y z y 2 Do z, y số lẻ nguyên tố nên Thật vậy:Giả sử z y z y z y z y , 2 z y z y M d, M d 2 z y M d z y M d Hai số nguyên d-ơng z Md y Md d (do y,z 1) z y z y , nguyên tố có tích số 2 ph-ơng Đặt z y m2 , z y Ơ) n (n Khi : y m2 n ;z m2 n Do y, z lẻ nên m, n có tính chẵn lẻ khác Do m2 , n nên m,n Nh- vậy: SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng 74 K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến x mn y m n (công thức II) z m2 n Với m, n chẵn lẻ khác m n,(m,n) Đảo lại dễ thấy ba số (x, y,z) thỏa mãn (1) Vậy nghiệm tổng quát ph-ơng trình Phythagore là: x tmn m2 n y t 2 m n2 z t Theo công thức (I) Với t,m,n số nguyên d-ơng ; m, n số lẻ m n m,n Theo công thức (II): x 2tmn y t(m n ) z t(m n ) Với t, m, n số nguyên d-ơng ; m, n số lẻ khác nhau, m n m,n Ví dụ áp dụng số Phythagore Tìm nghiệm không âm ph-ơng trình: x2 y2 1997(x y) (2) Giải Từ (2) ta suy x y Xét hai tr-ờng hợp sau: Tr-ờng hợp 1: Nếu y (2) trở thành x 1997x SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng 75 K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến x x 1997 Vậy ph-ơng trình có nghiệm không âm là: 0,0 ; 1997,0 Tr-ờng hợp 2: Nếu y (2) 2(x x2 x y2 ) 2.1997(x y) y2 x2 (x y)2 y2 2.1997(x y) x y 2.1997(x y) x y (1997 x y)2 19972 (3) Vì x, y nên từ (3) x y 1997 1997 x y 1997 Đặt u x y;v 1997 x y ta đ-ợc ph-ơng trình u v2 19972 (4) Ph-ơng trình ph-ơng trình Phythagore nên tồn m, n nguyên d-ơng, m n cho m, n m n 1997 2mn v m2 n Ta có : m2 ,n k(mod5);k u (5) (6) (7) 0,1, 1997 2(mod5) Từ (5) suy m,n k(mod5);k Lại có : m2 ,n k(mod3);k 1, 0,1 1997 2(mod3) SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng 76 K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến Vậy từ (5) suy : m,n k(mod3);k Kết hợp lại suy : m,n k(mod15);k 1997 Vì m n nên ta có m 1997 1, 1,14,4,11 m 34, 41, 44 Thay vào (4) ta thấy có m 34,n 39 thỏa mãn u 315 v 1972 Vì đổi đ-ợc vai trò u, v nên ta có: x y 315 x y 25 x 170 y 145 x y 1972 x y 1682 x 1827 y 145 Vậy ph-ơng trình có nghiệm là: 0,0 ; 1997,0 ; 170,145 ; 1827,145 * Bài toán t-ơng tự Tìm nghiệm nguyên d-ơng x x2 y2 y ph-ơng trình: 2z2 Chứng minh ph-ơng trình sau nghiệm nguyên d-ơng: a) x y4 b) x 4y4 z2 ; z2 SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng 77 K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến Ph-ơng trình Fermat Ph-ơng trình x n yn zn với việc tìm nghiệm d-ơng đ-ợc gọi ph-ơng trình Fermat Khẳng định ph-ơng trình x n yn zn nghiệm d-ơng với n đ-ợc gọi định lí Fermat Xét ph-ơng trình x n yn zn (1) với n Chú ý m số nguyên d-ơng ( n 5) mà ứng với ph-ơng trình (1) có nghiệm nguyên d-ơng ( x 0, y0 , z ) tức là: x 0n y0n z 0n (2) Gọi p -ớc số m Khi (2) viết lại nh- sau: n p p (x ) n p n p n p p n p p (y ) (z ) (3) n p Nên từ (3) suy (x , y ,z ) nghiệm nguyên d-ơng ph-ơng trình x p yp zp Vì lẽ nghiên cứu tồn nghiệm nguyên d-ơng (1) với n 3, ta cần xét tồn nghiệm (1) n số nguyên tố tr-ờng hợp n = đủ Điều đ-ợc thấy qua toán sau: Bài toán Giả sử ph-ơng trình x n yn zn (4) nghiệm nguyên d-ơng n =4 n số nguyên tố Chứng minh ph-ơng trình (4) nghiệm nguyên d-ơng, với số nguyên n Giải Từ giả thiết toán suy cần xét với giá trị n >4 khả số nguyên tố SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng 78 K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến Xét hai khả sau: a) Nếu n số lẻ, tồn -ớc nguyên tố p lẻ n Vì ph-ơng trình x n yn zn nghiệm nguyên d-ơng, trái lại theo phần lập luận ph-ơng trình x p yp zp (ở p số nguyên tố lẻ) có nghiệm nguyên d-ơng Điều mâu thuẫn với giả thiết b) Nếu n số chẵn lại có hai khả sau: - Nếu n = 4k Do n >4 nên k Rõ ràng ph-ơng trình x n yn zn tr-ờng hợp nghiệm nguyên d-ơng Vì trái lại -ớc n nên suy ph-ơng trình x y4 z có nghiệm nguyên d-ơng Điều mâu thuẫn với giả thiết - Nếu n = 4k 2(2k 1) Do n > nên 2k Vậy 2k lẻ số lẻ Giả thiết phản chứng ph-ơng trình x n yn Vì 2k -ớc zn có nghiệm nguyên d-ơng n nên n phải có -ớc số nguyên tố lẻ p Theo lập luận ph-ơng trình x p yp zp có nghiệm nguyên d-ơng Điều vô lí Suy phải chứng minh Bài toán Chứng minh ph-ơng trình x y4 z (5) nghiệm nguyên d-ơng Giải Giả sử trái lại ph-ơng trình (5) có nghiệm nguyên d-ơng theo nguyên lí cực hạn,tồn nghiệm nguyên d-ơng ( x , y0 ,z0 ) với z bé Ta có: x 04 y04 z 04 (6) SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng 79 K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến Tr-ớc hết ta ( x , y0 )=1 Thật trái lại tồn -ớc nguyên p Khi từ (5) suy tố chung p x , y0 tức x M p, y0 M p x 04 y04 M z0 M p2 z2 M p4 Do x Mp, y0 Mp, z0 Mp2 nên đặt x p (x14 y14 ) p z1 x14 y14 px, y0 py,z p z1 Thay lại vào (6) ta có z12 (7) Từ (7) suy ( x1, y1 , z1 ) nghiệm nguyên d-ơng (5) Do z p z1 nên z0 z1 điều mâu thuẫn với định nghĩa nghiệm ( x , y0 ,z0 ) Vậy điều giả sử sai tức ( x , y0 )=1 Viết lại (6) d-ới dạng (x 02 ) (y02 ) z 02 Từ suy (x 02 , y 02 , z ) nghiệm nguyên d-ơng ph-ơng trình Phythagore x y2 z (8) Theo ( x , y0 )=1 nên ( x 02 , y 02 ) = (x 02 , y02 , z ) Vậy (x 02 , y 02 , z ) ba Phythagore nguyên thủy (8) Do vai trò bình đẳng x y nên ta giả sử y 02 số chẵn theo cấu trúc nghiệm ph-ơng trình Phythagore ta có: x 02 m2 n y02 2mn z0 m2 n (9) Trong m, n số nguyên d-ơng, m n ,( m, n) =1, m, n khác tính chẵn lẻ Từ (9) ta có x 02 n m nên (x ,m,n) nghiệm nguyên d-ơng (8) SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng 80 K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến Lại có (m,n) nên (x ,m,n) =1 (x0 , m, n) ba Phythagore nguyên thủy (8) x0 a b2 m a b (10) n 2ab Do đó: Trong a,b số ngyên d-ơng, (a,b) a,b chẵn lẻ khác Do y chẵn nên đặt y0 y12 4y14 2mn 2y1 Do theo (9) (10) ta có: 4ab(a b ) y12 ab(a b ) abm (11) Do ( a,b) nên ( a,m) (b,m) Vậy từ (11) ta có a a12 , b b12 , m m12 thay vào ph-ơng trình (2) hệ (10) ta có a14 b14 m12 Do (a1,b1,m1 ) nghiệm nguyên d-ơng (5) Ta có m1 < m12 m m2 n2 z Điều mâu thuẫn với định nghĩa nghiệm ( x 0, y0 , z ) Điều chứng tỏ (5) nghiệm nguyên d-ơng Nhận xét: áp dụng toán có toán sau: Chứng minh ph-ơng trình x4 y4 z ( ) nghiệm d-ơng Xét ph-ơng trình ( ) có nghiệm nguyên d-ơng ( x 0, y0 , z ) Khi x 04 y0 (z 02 ) Tức ph-ơng trình x 04 y04 (z ) có nghiệm nguyên d-ơng (x , y , z 02 ) Điều vô lí theo chứng minh ph-ơng trình x y4 z nghiệm nguyên d-ơng Vậy ph-ơng trình x y4 z nghiệm nguyên d-ơng SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng 81 K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến Bài tập áp dụng Chứng minh ph-ơng trình x 4y4 z nghiệm nguyên d-ơng Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên d-ơng: x 2y4 SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng 82 K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến Kết Luận Trong khóa luận Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Em trình bày số ph-ơng pháp để giải ph-ơng trình nghiệm nguyên chẳng hạn nh- sau: Ph-ơng pháp dùng tính chia hết, Ph-ơng pháp sử dụng tính chất số nguyên tố, Ph-ơng pháp dùng bất đẳng thức Mặt khác, khóa luận ứng với ph-ơng pháp giải em đ-a số ví dụ kèm theo lời giải chi tiết cho ví dụ với tập cụ thể cho ph-ơng pháp Qua nghiên cứu em rút số kết luận nh- sau: - Các toán tìm nghiệm nguyên thông th-ờng cách giải tổng quát Mỗi toán tìm nghiệm nguyên đòi hỏi cách giải riêng phù hợp Vì phải có t- linh hoạt sáng tạo - Mỗi ph-ơng trình nghiệm nguyên vô nghiệm, có hữu hạn nghiệm vô số nghiệm Trong tr-ờng hợp có vô số nghiệm nguyên th-ờng đ-ợc biểu thị d-ới dạng công thức chứa tham số số nguyên - Một ph-ơng trình nghiệm nguyên có nhiều lời giải khác kết hợp nhiều ph-ơng pháp giải Tuy nhiên hạn chế mặt thời gian trình độ nhận thức nên em đề cập chín ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên hai ph-ơng trình nghiệm nguyên đặc biệt Dù cố gắng nhiều nh-ng khóa luận em không tránh khỏi thiếu sót em mong đ-ợc góp ý thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Một lần nữa, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô giáo D-ơng Thị Luyến, thầy cô giáo bạn sinh viên Khoa Toán Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội giúp em hoàn thành khóa luận SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng 83 K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến Tài Liệu Tham Khảo Vũ Hữu Bình, Ph-ơng trình toán nghiệm nguyên, Nxb Giáo dục Hoàng Chúng, Số học bà chúa toỏn hc, Nxb tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Hữu Điển, Giải ph-ơng trình vô định nghiệm nguyên, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Hà Nội Phan Huy Khải, Ph-ơng trình nghiệm nguyên, Nxb giáo dục Nguyễn Vũ Thanh, Chuyên đề bồi d-ỡng toán cấp - số học, Nxb trẻ Lại Đức Thịnh, Giáo trình số học, Nxb Giáo dục Nguyễn Tiến Quang (2003), Bài tập số học, Nxb Giáo dục Tuyển tập năm theo chuyên đề toán học tuổi trẻ (2003), Nxb Giáo dục Tuyển tập 30 năm theo chuyên đề toán học tuổi trẻ (2004), Nxb Giáo dục 10 Tạp chí toán học tuổi trẻ hàng tháng (từ 2005 đến 2008), Nxb Giáo dục SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng 84 K33A- Toán [...]... D-ơng Thị Luyến Ph-ơng pháp 3 sử dụng tính chất của số nguyên tố 1 Cơ sở của ph-ơng pháp Ta th-ờng sử dụng một số tính chất sau đây: - Tính chất 1: Với a  , số a 2 1 không có -ớc số nguyên tố 4k 3 - Tính chất 2: Cho p là một số nguyên tố dạng 4k 3 , a và b là số nguyên tố Nếu a 2 b2 M p thì a Mp, bMp - Tính chất 3: Nếu số nguyên tố p 2t.k 1 (t, k là các số nguyên d-ơng, k lẻ) là -ớc số của n a 2t b2t... y 7 0 (3) Giải (3) 4x y y 1 (4) 7 Vế phải của (4) là số lẻ, về trái của (4) có y y 1 là số chẵn Do đó ph-ơng trình (3) có nghiệm nguyên SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng 20 K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến x 0 4x x 0 là số nguyên lẻ Với x 0 Thay vào ph-ơng trình (3) ta có: y2 y 2 y 3 y 6 0 Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm nguyên là 0,2 ; 0, 3 Ví dụ 3 Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên: x... 4 Tìm nghiệm nguyên của các ph-ơng trình bậc 2 sau: a) y2 xy x 3y 1 0 ; Gợi ý: x y 2 3y 1 y 1 x y 2 1 y 1 b) x 2 2x xy 3y 3 0 Gợi ý: y x 2 2x 3 hay y 1 x x 3 Ph-ơng pháp 2 xét số d- từng vế khi chia cho cùng một số 1 Sử dụng tính chẵn lẻ 1.1 Cơ sở của ph-ơng pháp - Tích hai số chẵn là một số chẵn nh-ng điều ng-ợc lại không đúng - Tích hai số lẻ là một số lẻ và ng-ợc lại - Tổng (hiệu) của một số chẵn... thấy 0,0 là nghiệm của ph-ơng trình (1) Vậy ph-ơng trình đã cho có một nghiệm duy nhất là 0,0 3.3 Bài tập t-ơng tự 1 Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình; 9 x 1 100y Gợi ý: VT 2 (mod 4), VP 0 (mod 4) 2 Cho k nguyên cho tr-ớc Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình: x2 y2 k 20012003 1 (10 z) Gợi ý: Sử dụng định lí Fermat ta có x M2011 và yM2011 Làm t-ơng tự ví dụ 3 Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình: 12002... Ph-ơng pháp tách ra giá trị nguyên 3.1 Cơ sở của ph-ơng pháp - Tính chia hết trong tập hợp số nguyên - Cách giải: + Rút gọn ph-ơng trình + Biểu thị một ẩn (chẳng hạn x) theo các ẩn kia + Từ biểu thức của x đó tách ra thành từng phần nguyên + Đặt điều kiện để phân số trong biểu thức của x bằng một số nguyên t ta đ-ợc ph-ơng trình mới + Cứ làm nh- trên cho đến khi các ẩn đều đ-ợc biểu thị d-ới dạng một. .. chẵn và một số lẻ là một số lẻ - Tổng (hiệu) của hai số chẵn (lẻ) là một số chẵn 1.2 Các bài toán Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình: x(1 x x 2 ) 4y y 1 (1) Giải SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng 19 K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp (1) GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến 1 x x 2 x3 4y2 4y 1 1 x 1 x2 2y 1 2 (2) Vì y  nên về phải của (2) là số lẻ Giả sử 1 x,1 x 2 1 x 1 x 2 là số lẻ d Do 1 x,1 x2 là hai số lẻ nên... x, y vào (1) ph-ơng trình nghiệm đúng Vậy các nghiệm nguyên của (1) đ-ợc biểu thị d-ới dạng công thức: x 6 18t (t  ) y 3 11t Chú ý: Có thể giải ph-ơng trình đã cho bằng cách khác Dễ thấy (x, y) (6,3) là nghiệm riêng của (1) (18,11) 1 Do đó nghiệm của (1) đ-ợc biểu diễn d-ới dạng công thức: x 6 18t (t  ) y 3 11t Ví dụ 2 Giải ph-ơng trình nghiệm nguyên sau: 19x 2 28y2 729 (2) Giải Ta có 19x 2 28y2... 1 Tìm tất cả những số nguyên d-ơng x, y sao cho 3y 2x 5 Giải Với x 2, y 2 là một nghiệm của ph-ơng trình Ta đi chứng minh không có nghiệm nào khác Giả sử x nghiệm của ph-ơng trình 3y 2, y 2 là một 2x 5 VP của đẳng thức chia 8 luôn d- bằng 5 Nếu y 2k thì 3y 9k (8 1)k 8N 1 chia 8 d- 1 Tr-ờng hợp này không xảy ra Nếu y 2k 1 thì 3y 3.9k 3(8 1)k 3 chia 8 d- 3 8N1 Vậy ph-ơng trình có nghiệm duy nhất là... Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình: x2 x 1 2 x 2 2 y2 Giải Ta có x 2 x 1 2 x 2 Vì thế với mọi x nguyên thì x 2 SVTH: Đỗ Thị Lan H-ơng 2 3x 2 6x 5 x 1 2 24 x 2 2 2(mod3) K33A- Toán Khóa luận tốt nghiệp Do y nguyên nên y2 GVHD: Th.S D-ơng Thị Luyến 2(mod3) (do y2 0(mod3) hoặc y2 1(mod3) Vậy ph-ơng trình đã cho không có nghiệm nguyên Nhận xét: Tổng bình ph-ơng của ba số nguyên liên tiếp không thể là số. .. cũng là số lẻ Vì 1 xM d 1 x2 M d 1 x2 1 x2 M d 2M d Mà d lẻ nên d 1 Từ (2) suy ra 1 x 1 x 2 là số chính ph-ơng Mà 1 x,1 x2 1 nên 1 x,1 x 2 đều là số chính ph-ơng Do x 2 ,1 x 2 là hai số tự nhiên liên tiếp mà cùng là số chính ph-ơng nên x 0 Thay vào (1) ta đ-ợc 4y y 1 0 Suy ra y 0 hoặc y 1 Vậy ph-ơng trình đã cho có hai nghiệm nguyên sau: 0,0 và 0, 1 Ví dụ 2 Giải ph-ơng trình với nghiệm nguyên: 4x ... Với số nguyên d-ơng a,b tồn số nguyên x, y cho: ax by a,b Số nguyên tố * Định nghĩa Một số tự nhiên p đ-ợc gọi số nguyên tố có hai -ớc số * Định lý số học (định lý số nguyên tố) Cho n số nguyên. .. cứu số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu vấn đề sau: Ch-ơng Các khái niệm Ch-ơng Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Ch-ơng Một số. .. cầu Đề tài nhằm hệ thống số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Đối t-ợng, phạm vi nghiên cứu Đối t-ợng nghiên cứu: Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình nghiệm nguyên SVTH: Đỗ Thị Lan