để giải các bài toán có lời văn
2.5.1. Kiến thức cần lưu ý
Đối với các bài toán thuộc dạng này, chúng ta cần yêu cầu học sinh nắm vững các dấu hiệu chia hết, tính chất chia hết và phép chia có dư đã học
để lập luận tìm ra lời giải của bài toán.
2.5.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Trong vườn trồng bốn loại cây: cam, ổi, mít, dừa. Số cam
chiếm 1
5 số cây trong vườn, số ổi chiếm
1
6 số cây trong vườn, số cây mít
chiếm 1
4 số cây trong vườn, còn lại là dừa. Tính số cây mỗi loại, biết số
cây trong vườn chưa đến 100 cây.
Phân tích. Để tính được số cây mỗi loại, ta phải tìm được số cây trong vườn. Dựa vào tỉ số giữa số cây mỗi loại và số cây có trong vườn mà ta
suy ra được số cây trong vườn là số chia hết cho 4; 5; 6. Mà 6 = 2×3
nên số cây trong vườn là số chia hết cho 2; 3; 4; 5.
Mặt khác, đề bài cho số cây trong vườn là số nhỏ hơn 100 nên ta tìm
được số cây trong vườn là 60 cây. Từ đây, ta tìm được số cây mỗi loại dựa vào phân số chỉ số phần mà cây đó có trong vườn.
Lời giải. Vì số cam chiếm 1
5 số cây trong vườn, số ổi chiếm
1
6 số cây
trong vườn, số cây mít chiếm 1
4 số cây trong vườn nên số cây trong vườn
là số chia hết cho2; 3; 4; 5. Các số chia hết cho2; 3; 5 là 30; 60; 90; 120;. . ..
cây trong vườn phải là 60 cây. Số cây cam là 60× 1 5 = 12 (cây). Số cây ổi là 60× 1 6 = 10 (cây). Số cây mít là 60× 1 4 = 15 (cây). Số cây dừa là 60−(12 + 10 + 15) = 23 ( cây).
Đáp số: cam: 12 cây; ổi: 10 cây; mít: 15 cây; dừa: 23 cây.
Ví dụ 2. Một số tự nhiên chia hết cho 4 và 9. Tìm số đó, biết thương khi chia cho 4 lớn hơn thương khi chia cho 9 là 340.
Phân tích. Bài toán cho biết hiệu của hai thương là 340. Mặt khác, số đó chia hết cho 4 và 9 nên suy ra được tỉ số giữa hai thương. Khi đó,
bài toán đưa về dạng quen thuộc “Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai
số đó”. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Lời giải. Gọi thương của phép chia số phải tìm cho 4 là thương thứ nhất, thương của phép chia số phải tìm cho 9 là thương thứ hai.
Vì số phải tìm chia hết cho 4 và 9 nên thương thứ nhất bằng 9
là 9 phần bằng nhau thì thương thứ hai là 4 phần như thế. Thương thứ nhất là 340 : (9−4)×9 = 612. Số cần tìm là 612×4 = 2 448. Đáp số: 2 448.
Ví dụ 3. Tìm một số tự nhiên biết rằng số đó chia cho 4 dư 3, chia cho 6 dư 5, chia cho 9 dư 8 và tổng các thương bằng 1 289.
Phân tích. Ta nhận thấy số dư trong các phép chia này là số dư lớn nhất. Vì vậy, ta nghĩ đến việc thêm 1 đơn vị vào số cần tìm để chuyển các phép chia này về các phép chia hết.
Khi đó, ta sẽ có thương mới của từng phép chia. Từ đây, ta tính được tổng các thương mới. Tiếp theo, ta lập tỉ lệ giữa các thương với nhau. Sau đó, ta tìm được các thương dựa vào dạng toán quen thuộc tìm các
số khi biết tổng và tỉ của chúng. Cuối cùng, ta dễ dàng tìm được số phải tìm bằng cách lấy thương nhân với số chia tương ứng.
Bài giải. Vì số phải tìm chia cho 4 dư 3, chia cho 6 dư 5, chia cho 9 dư 8 nên số dư trong các phép chia trên là số dư lớn nhất. Khi đó, ta thêm 1 đơn vị vào số cần tìm thì các phép chia trên trở thành các phép chia
hết. Hay số phải tìm lúc này chia hết cho 4; 6; 9.
Thương của phép chia số đó cho 4 được tăng thêm là
(3 + 1) : 4 = 1 (đơn vị).
(5 + 1) : 6 = 1 (đơn vị).
Thương của phép chia số đó cho 9 được tăng thêm là
(8 + 1) : 9 = 1 (đơn vị).
Tổng ba thương mới là
1 289 + 1 + 1 + 1 = 1 292 (đơn vị).
Gọi thương của phép chia số đó cho 4 là thương thứ nhất, cho 6 là thương
thứ hai, cho 9 là thương thứ ba. Khi đó, tỉ số giữa thương thứ ba và
thương thứ nhất là 4
9, giữa thương thứ hai và thương thứ nhất là
4 6.
Nếu coi thương thứ nhất là 27 phần bằng nhau thì thương thứ ba là
27× 4
9 = 12 (phần).
Thương thứ hai là
27× 4
6 = 18 (phần).
Tổng số phần bằng nhau của ba thương là
27 + 18 + 12 = 57 (phần). Thương thứ nhất là 1 292 : 57×27 = 612. Số cần tìm là 612×4 = 2 448. Đáp số: 2 448.
Ví dụ 4. Có một số sách, nếu xếp mỗi gói 10 quyển thì thiếu 2 quyển, nếu xếp mỗi gói một tá thì thừa 8 quyển. Tính số sách đó, biết rằng số sách đó lớn hơn 360 và nhỏ hơn 400. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Phân tích. Số sách đó được xếp theo hai cách, nếu mỗi gói 10 quyển thì thiếu 2 quyển, nếu mỗi gói một tá (12 quyển) thì thừa 8 quyển. Điều này có nghĩa là số sách đó là số chia cho 10 và 12 đều dư 8. Từ đây, ta
nghĩ đến việc bớt đi 8 quyển để số sách còn lại chia hết cho 10 và 12. Tiếp theo, dựa vào điều kiện số sách đó lớn hơn 360 và nhỏ hơn 400, ta sẽ tìm được số sách trong khoảng này.
Cuối cùng, dùng điều kiện chia hết cho 10 và 12 để loại các trường hợp không thỏa mãn, ta tìm được số sách cần tìm.
Lời giải. Khi xếp mỗi gói 10 quyển thì thiếu 2 quyển có nghĩa là số sách đó chia cho 10 dư 8.
Khi xếp mỗi gói một tá (12 quyển) thì thừa 8 quyển có nghĩa là số sách đó chia cho 12 dư 8.
Vậy số sách đó là số chia cho 10 và 12 đều dư 8.
Nếu bớt 8 quyển thì số sách còn lại chia hết cho 10 và 12.
Ta có
360−8 = 352; 400−8 = 392.
Vậy số sách còn lại ở trong khoảng từ 352 đến 392. Trong khoảng đó có các số tròn chục là
Ta thấy trong các số trên chỉ có số 360 là chia hết cho 10 và 12. Vậy số cần tìm là
360 + 8 = 368 (quyển).
Đáp số: 368 quyển sách.
Ví dụ 5 ([13] - trang 9, ví dụ 4). Một người hỏi anh chàng chăn cừu: “Anh có bao nhiêu con cừu?”. Anh chăn cừu trả lời: “Số cừu của tôi nhiều
hơn 4 000 con nhưng không quá 5 000 con. Nếu chia số cừu cho 9 thì dư 3, chia cho 6 cũng dư 3, còn chia cho 25 thì dư 19”. Hỏi anh đó có bao
nhiêu con cừu?
Phân tích. Vì số cừu của anh chia cho 9 dư 3, còn chia cho 25 dư 19 mà 3 + 6 = 9 và 19 + 6 = 25 nên nếu thêm 6 con cừu vào số cừu của anh
thì số cừu lúc này sẽ chia hết cho 9 và 25. Mà 9×25 = 225 nên số cừu
sau khi thêm chia hết cho 225. Từ đó, ta tìm các số lớn hơn (4 000 + 6)
và không vượt quá (5 000 + 6) mà chia hết cho 225.
Cuối cùng, ta thử thêm điều kiện chia cho 6 dư 3 để tìm được số cừu của anh chăn cừu.
Lời giải. Vì số cừu của anh chăn cừu chia cho 9 dư 3 và chia cho 25 dư 19 nên nếu thêm 6 con cừu vào số cừu của anh chăn cừu thì số cừu lúc này chia hết cho 9 và 25. Do đó, số cừu sau khi thêm chia hết cho 225 (vì 9×25 = 225).
Ta có
4 000 + 6 = 4 006; 5 000 + 6 = 5 006.
Vì vậy, số cừu sau khi thêm 6 con phải lớn hơn 4 006 và không vượt quá 5 006. Mà số cừu sau khi thêm chia hết cho 225 nên số cừu sau khi thêm
có thể là 4 950 con, 4 725 con, 4 500 con hoặc 4 050 con.
Vì số cừu sau khi thêm 6 con chia cho 6 vẫn dư 3 nên chỉ có 4 725 là thỏa mãn đầu bài.
Vậy số cừu hiện có của anh là
4 725−6 = 4 719 (con).
Đáp số: 4 719 con. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ví dụ 6. Một cửa hàng có 6 thùng bột giặt lần lượt là: 15 kg, 16 kg, 18 kg, 19 kg, 20 kg và 31 kg. Cửa hàng bán một ngày hết 5 thùng. Tính
ra khối lượng bột giặt bán buổi sáng gấp đôi buổi chiều. Hỏi cửa hàng còn thùng bột giặt loại nào?
Phân tích.Để biết được thùng nào là thùng còn lại thì ta cần tìm được sự khác biệt giữa thùng còn lại và các thùng khác.
Đầu tiên, ta thấy được tổng lượng bột giặt cửa hàng có là số chia cho 3 dư 2.
Mặt khác, do lượng bột giặt bán buổi sáng gấp đôi buổi chiều nên số bột giặt bán đi là số chia hết cho 3. Chính vì thế, thùng bột giặt còn lại phải là thùng chứa lượng bột giặt mà khi chia cho 3 dư 2.
Tìm trong 6 thùng ta thấy chỉ duy nhất có thùng 20 kg thỏa mãn.
Lời giải
Tổng khối lượng bột giặt của cửa hàng là
Ta thấy 119 là số chia cho 3 dư 2 nên tổng khối lượng bột giặt của cửa hàng là số chia cho 3 dư 2.
Vì khối lượng bột giặt bán buổi sáng bán gấp đôi buổi chiều nên tổng khối lượng bột giặt đã bán là số chia hết cho 3.
Chính vì vậy, số xà phòng còn lại là số chia cho 3 dư 2.
Ta thấy, trong các số 15; 16; 18; 19; 20; 31 chỉ có số 20 là số chia cho 3 dư
2.
Vậy thùng bột giặt còn lại là thùng 20 kg.
2.5.3. Bài tập tham khảo
Bài 1. Lớp 5A xếp hàng 2 được một số hàng không thừa không thừa bạn nào, xếp hàng 3 hay hàng 4 đều được một số hàng không thừa bạn nào. Nếu lấy tổng các hàng xếp được thì được 39 hàng. Hỏi lớp 5A có
bao nhiêu bạn?
Bài 2 ([7] - trang 69, ví dụ 15). Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). Số quả trong mỗi rổ lần
lượt là 104; 115; 132; 136 và 148 quả. Sau khi bán được 1 rổ cam, người
bán hàng thấy rằng số chanh còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi lúc đầu cửa
hàng đó có bao nhiêu quả mỗi loại?
Bài 3 ([7] - trang 69, ví dụ 16). Một cửa hàng thực phẩm có 7 rổ đựng trứng gà và trứng vịt (mỗi rổ chỉ đựng một loại trứng). Số trứng trong
mỗi rổ theo thứ tự lần lượt là 45; 56; 60; 66; 75; 85 và 92 quả. Sau khi bán
hết 6 rổ, chỉ còn lại 1 rổ trứng gà. Người bán hàng thấy rằng trong số trứng đã bán, số trứng vịt gấp 3 lần số trứng gà. Hỏi lúc đầu cửa hàng
có bao nhiêu quả trứng mỗi loại?
Bài 4. Ba xe lam xuất phát lúc 7 giờ ở cùng một bến xe chở khách đi ba nơi khác nhau. Xe thứ nhất quay về sau 25 phút, nghỉ lại 5 phút rồi tiếp tục đi. Xe thứ hai quay về sau 35 phút, nghỉ lại 10 phút rồi tiếp tục đi. Xe thứ ba quay về sau 45 phút, nghỉ lại 15 phút rồi tiếp tục đi. Hỏi
trong buổi sáng cùng ngày vào lúc mấy giờ ba xe lại xuất phát cùng một lúc ở bến xe?
Bài 5. Hoàng mua 6 quyển vở, Hùng mua 3 quyển vở. Hai bạn góp số vở của mình với số vở của bạn Sơn rồi chia đều cho nhau. Sơn tính rằng mình phải trả các bạn đúng 800 đồng. Tính giá tiền một quyển vở. Biết rằng, cả ba bạn mua cùng một loại vở.
Bài 6. Lớp 4A có ít hơn 35 học sinh và nhiều hơn 20 học sinh. Nếu học sinh lớp 4A xếp thành 3 hàng hoặc 5 hàng thì không thừa, không thiếu
bạn nào. Tìm số học sinh của lớp 4A. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});