2.6.1. Kiến thức cần lưu ý
Đối với các bài toán thuộc dạng này, chúng ta cần yêu cầu học sinh nắm vững các dấu hiệu chia hết và cách phân tích cấu tạo số đã học.
2.6.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho các số tự nhiên a, b, c, d (a > b > c > d).
Chứng tỏ rằng, tích của tất cả các hiệu của hai số có thể lập được từ bốn số đó thì chia hết cho 12.
Phân tích. Để chứng tỏ tích của tất cả các hiệu của hai số có thể lập được từ bốn số đó chia hết cho 12, ta đi chứng minh tích đó chia hết cho
3 và 4 (vì 12 = 3×4). Vì a > b > c > d nên ta có các hiệu
(a−b),(a−c),(a−d),(b−c),(b−d),(c−d).
Ta có tích
(a−b)×(a−c)×(a−d)×(b−c)×(b−d)×(c−d).
Đầu tiên, ta cần chứng minh tích trên chia hết cho 3. Ta thấy mỗi số
a, b, c hoặc d chia cho 3 thì ít nhất có hai số chia cho 3 sẽ có cùng số dư. Vậy, hiệu của hai số này chia hết cho 3. Do đó, tích trên chia hết cho 3.
Sau đó, ta chứng minh tích trên chia hết cho 4. Trong bốn số a, b, c, d
có hoặc cả bốn số cùng chẵn hoặc cùng lẻ; hoặc có hai số chẵn và hai số lẻ; hoặc có ba số cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Vậy nên luôn có hai hiệu trong tích trên là chẵn (mỗi hiệu chia hết cho 2). Do vậy, tích trên chia
hết cho 4.
Lời giải. Vì a > b > c > d nên ta có các hiệu
(a−b),(a−c),(a−d),(b−c),(b−d),(c−d).
Ta cần chứng tỏ rằng tích(a−b)×(a−c)×(a−d)×(b−c)×(b−d)×(c−d)
chia hết cho 12, tức là chia hết cho 3 và 4 vì (12 = 3×4).
+ Ta thấy mỗi số a, b, c hoặc d chia cho 3 thì ít nhất có hai số chia
cho 3 sẽ có cùng số dư. Vậy, hiệu của hai số này chia hết cho 3. Do đó,
tích trên chia hết cho 3.
Chính vì vậy luôn có hai hiệu trong tích trên là chẵn (mỗi hiệu chia hết cho 2). Do đó, tích trên chia hết cho 4.
Tích trên chia hết cho 3 và 4 nên tích trên chia hết cho 12.
Vậy tích của tất cả các hiệu của hai số có thể lập được từ bốn số đã cho chia hết cho 12.
Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng số tự nhiên có dạng HOC HOC chia hết cho 13.
Phân tích
Với dạng toán trên ta không thể dựa vào dấu hiệu chia hết để giải bài
toán này. Một trong những hướng suy nghĩ khác đưa ta nghĩ đến việc phân tích cấu tạo số để tạo thành tích của số 13 và thừa số khác.
Từ tích đó, ta suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải. Dựa vào phân tích cấu tạo số ta có (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
HOC HOC = H×100000 +O×10000 +C×1000 +H×100 +O×10 +C
= H ×100100 +O ×10010 +C ×1001
= H ×13×7700 +O×13×770 +C ×13×77 = 13 ×(H ×7700 +O×770 +C ×77).
Từ kết quả trên, ta thấy số có dạng HOC HOC chia hết cho 13.
Vậy số tự nhiên có dạng HOC HOC chia hết cho 13.
Ví dụ 3. Cho tổng N = 10×10×10×10×10×10 + 719.
a) Không thực hiện phép chia cho 9. Hãy giải thích xem N có chia
hết cho 9 không?
cho 9 không? Tại sao?
Phân tích. N chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của N chia hết cho 9.
Như vậy, ta cần phải tìm giá trị của N. Suy ra, ta cần biết được giá trị
của số hạng thứ nhất hay kết quả của tích các thừa số 10. Tổng các chữ số của tích này lại luôn bằng 1. Hay nói cách khác, dễ dàng biết được
N có chia hết cho 9 không chỉ cần dựa vào tổng của 1 và tổng các chữ
số của số 719.
Lời giải. a) Theo bài ra ta có
N = 10×10×10×10×10×10 + 719.
Suy ra N = 1 000 719.
Ta có tổng các chữ số của N là
1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 7 + 1 + 9 = 18.
Nhận thấy 18 chia hết cho 9.
Hay N chia hết cho 9.
b) Nếu số hạng thứ nhất của N có 2 011 thừa số 10 thì số hạng này có
giá trị là 1 000...000 gồm một chữ số 1 và 2 011 chữ số 0.
Khi đó ta có tổng các chữ số của N là
1 + 0 + 0 +...+ 0 + 7 + 1 + 9 = 1 + 2 011×0 + 7 + 1 + 9 = 18
Mà 18 chia hết cho 9 nên N chia hết cho 9.
3cm; 4cm;...; 9cm; 10cm. Hỏi có thể dùng cả 10 mẩu que đó để xếp thành một hình tam giác đều được không?
Phân tích. Để biết 10 mẩu que đó có xếp được thành một hình tam giác đều hay không thì ta cần tính được tổng độ dài của 10 mẩu que đó. Tiếp theo, dựa vào điều kiện hình cần xếp là hình tam giác đều nên chu
vi hình hay tổng độ dài của 10 mẩu que đó phải là số chia hết cho 3 (vì các cạnh của tam giác đều là các số tự nhiên và các cạnh này có độ dài bằng nhau). Nếu chia hết thì ta xếp được hình, còn nếu ngược lại thì ta
không xếp được hình. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Lời giải
Một hình tam giác đều có các cạnh là các số tự nhiên và các cạnh này
có độ dài bằng nhau nên chu vi của hình đó phải là số chia hết cho 3. Tổng độ dài của 10 mẩu que đó là
1 + 2 + 3 + 4 +...+ 9 + 10 = 55 (cm).
Vì 55 là số không chia hết cho 3 nên không thể xếp 10 mẩu que đó thành một hình tam giác đều được.
Vậy không thể xếp được hình thỏa mãn yêu cầu của đề bài.
2.6.3. Bài tập tham khảo
Bài 1 ([14] - trang 9, ví dụ 3). Cho số tự nhiên A. Người ta đổi chỗ các
chữ số của A để được số B gấp ba lần số A. Chứng tỏ rằng số B chia
hết cho 27.
Bài 2. Đông chia một số tự nhiên cho 12 thì được số dư là 9. Bạn của Đông chia số tự nhiên đó cho 3 thì được số dư là 2. Chứng minh rằng,
bạn của Đông đã làm sai ít nhất một phép chia.
Bài 3 ([7] - trang 72, bài tập 17). Có 30 que, độ dài mỗi que theo thứ tự
lần lượt là: 1cm; 2cm; 3cm;...; 30cm. Hỏi có thể xếp các que đó thành
hình sau hay không? Vì sao?
a) Một hình vuông.
b) Một hình chữ nhật.
Bài 4 ([14] - trang 9, ví dụ 4). Điền các chữ số thích hợp (Các chữ cái khác nhau được thay bởi các chữ số khác nhau).
HA LON G +HA LON G+HA LON G = T T T 2006 Kết luận
Dựa vào nội dung bài toán, chúng tôi đã chia các bài toán về chủ đề chia
hết thành 6 dạng như trên. Mỗi dạng, chúng tôi đã đưa ra các kiến thức cần lưu ý và làm rõ bằng các ví dụ có phần phân tích rõ ràng và lời giải cụ thể. Đồng thời, chúng tôi cũng đưa ra hệ thống bài tập tham khảo
Kết luận
Trên đây là toàn bộ khóa luận “Một số dạng toán nâng cao về phép
chia ở Tiểu học”. Khóa luận đã trình bày
1. Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về phép chia ở Tiểu học; các
bài toán về phép chia hết ở Tiểu học; lí thuyết về việc bồi dưỡng học sinh giỏi; các dạng toán về phép chia ở Tiểu học.
2. Một số dạng toán nâng cao về phép chia ở Tiểu học. Với mục đích
giúp học sinh có điều kiện thuận lợi nhất để phát huy hết năng lực và khả năng tư duy của mình trong việc giải các bài toán về chủ đề chia hết, chúng tôi đã chia các bài toán thuộc chủ đề này thành 6 dạng như
sau
Dạng 1. Vận dụng dấu hiệu chia hết để tìm các số tự nhiên (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Dạng 2. Vận dụng dấu hiệu chia hết để xác định các chữ số chưa biết của một số tự nhiên
Dạng 3. Các bài toán vận dụng tính chất chia hết của một tổng hoặc một hiệu
Dạng 4. Các bài toán về phép chia có dư
Dạng 5. Vận dụng tính chất chia hết và phép chia có dư để giải các bài toán có lời văn
Dạng 6. Bài toán chứng minh, giải thích
Mỗi dạng, chúng tôi đã đưa ra các kiến thức cần lưu ý và làm rõ bằng các ví dụ tiêu biểu có phần phân tích rõ ràng và lời giải cụ thể. Đồng
thời, chúng tôi cũng đưa ra hệ thống bài tập tham khảo cho từng dạng giúp học sinh vận dụng và thực hành. Tuy nhiên, với khoảng thời gian
hạn hẹp nên chúng tôi chưa thể nghiên cứu một cách sâu sắc và toàn diện mọi khía cạnh của vấn đề nên rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô cùng các bạn sinh viên để khóa luận của tôi
thêm đầy đủ và hoàn thiện hơn.
Tài liệu tham khảo
[1] Đỗ Đình Hoan (Chủ biên), Toán 2, NXBGD 2006.
[2] Đỗ Đình Hoan (Chủ biên), Toán 3, NXBGD 2006.
[3] Đỗ Đình Hoan (Chủ biên), Toán 4, NXBGD 2007.
[4] Đỗ Đình Hoan (Chủ biên), Toán 5, NXBGD 2011.
[5] Hà Sỹ Hồ - Đỗ Đình Hoan - Đỗ Trung Hiệu, Phương pháp dạy học
Toán - Tập 1, NXBGD 1999.
[6] Đỗ Trung Hiệu - Nguyễn Hùng Quang - Kiều Đức Thành, Phương
pháp dạy học Toán - Tập 2, NXBGD 2000.
[7] Trần Diên Hiển, 10 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 4−5,
tập 1, NXBGD 2012.
[8] Nguyễn Áng - Đỗ Trung Hiệu, 123 bài toán số và chữ số lớp 4,5,
NXBGD 2010.
[9] Nguyễn Áng - Dương Quốc Ấn - Hoàng Thị Phước Hảo, Bồi dưỡng
học sinh giỏi Toán lớp 4, NXBGD 2010.
[10] Nguyễn Áng - Dương Quốc Ấn - Hoàng Thị Phước Hảo, Bồi dưỡng
học sinh giỏi Toán lớp 5, NXBGD 2010.
[11] Vũ Dương Thụy - Nguyễn Danh Ninh, 30 đề ôn luyện cuối bậc Tiểu
[12] Đỗ Trung Hiệu - Nguyễn Áng, Các bài toán về phân số và số thập phân lớp 4,5, NXBGD 1998.
[13] Tạp chí Toán tuổi thơ 1 số 53, NXBGD 2005. [14] Tạp chí Toán tuổi thơ 1 số 108, NXBGD 2009.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});