Chuyen De Ve Phep Bien Hinh

Chun Đề Về Phép Biến Hình CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Vấn đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN ′ ′ 1 Phép biến hình . ª ĐN : Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác đònh được một điểm duy nhất M của mặt phẳng , điểm M gọi là ảnh của M qua phé ′ ′ ′ ′ ′ → → f p biến hình đó . ª Kí hiệu : f là một phép biến hình nào đó và M là ảnh của M qua phép f thì ta viết : M = f(M) hay f(M) = M hay f : M M hay M M . Điểm M gọi là tạoI I ⇔ ∀ ∈ o 1 2 2 1 ª ảnh . f là phép biến hình đồng nhất f(M) = M , M H . Điểm M gọi là điểm bất động , kép , bất biến . f ,f là các phép biến hình thì f f là phép biến hình . Nếu H l ′ ′ ∈ ′ à một hình nào đó thì tập hợp các điểm M = f(M), với M H, tạo thành một hình H được gọi là ảnh của H qua phép biến hình f và ta viết : H = f(H) . ′ ′ 2 Phép dời hình . ĐN : Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì , tức là với hai điểm bất kì M,N và ảnh M , N của chúng , ta luôn c ′ ′ g ó M N = MN . ( Bảo toàn khoảng cách ) . 3 Tính chất : ( của phép dời hình ) . ĐL : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng , ba điểm không thẳng hàng g thành ba điểm không thẳng hàng . HQ:Phép dời hình biến : 1. Đường thẳng thành đường thẳng . 2. Tia thành tia . 3. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó . 4. Tam giác thành t → → → ′ ′ am giác bằng nó . ( Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm ) 5. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . ( Tâm biến thành tâm : I I , R = R ) 6. Góc thành góc I I I bằng nó . B . BÀI TẬP ′  − ′ →  ′  − − ′ ′ x = 2x 1 1 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = . y = y + 3 Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(1;2) b) B( 1;2) c) C(2; 4) Giải : a) A = f(A) = (1;5) b) B = I − ′ − ′  − + ′ →  ′ −  − − f(B) = ( 7;6) c) C = f(C) = (3; 1) x = 2x y 1 2 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = . y = x 2y + 3 Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(2;1) b) B( 1;3) c) C( 2 I ′ ′ − − ′ − − ′ → ;4) Giải : a) A = f(A) = (4;3) b) B = f(B) = ( 4; 4) c) C = f(C) = ( 7; 7) 3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (3x;y) . Đây có phải là phép dời hình hay I không ? ′ → ′ → 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 Giải : Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y ) Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (3x ; y ) . f : N(x ;y ) N = f(N) = (3x ; y ) I I GV: Nguyễn Cảnh Chiến 1 Trường THPT Thanh Chương 1 Chun Đề Về Phép Biến Hình ′ ′ − + − − + − ′ ′ ≠ ≠ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 Ta có : MN = (x x ) (y y ) , M N = 9(x x ) (y y ) Nếu x x thì M N MN . Vậy : f không phải là phép dời hình . (Vì có 1 số điểm f không bảo toàn khoảng cách) . { { { { ′ ′ ′ ′ ′ ′ → − → y x x y 4 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình : a) f : M(x;y) M = f(M) = ( y ; x 2) b) g : M(x;y) M = g(M) = ( 2x ; y+1) . Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình I I ′ ′ ≠ ≠ ′ → − 1 2 ? HD : a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình ( vì x x thì M N MN ) 5 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình : a) f : M(x;y) M = f(M) = (y + 1 ; x) I ′ → b) g : M(x;y) M = g(M) = ( x ; 3y ) . Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình ? Giải : a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình ( I ′ ′ ≠ ≠ 1 2 vì y y thì M N MN ) ′ → − + ∆ − − 6 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( 2x ;y 1) . Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 3y 2 = 0 qua phép biến hình f . Giải : Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ I ′  − ′  −  = ′ → ⇔   ′ = +   ′ = −  ′ − ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∈ ∆ ⇔ − − − = ⇔ + − = ⇔ ∈ ∆ + − = ∈ ∆ ≠ g x x = 2x x Ta có f : M(x;y) M = f(M) = 2 y y 1 y y 1 x Vì M(x;y) ( ) ( ) 3(y 1) 2 0 x 6y 2 0 M (x ;y ) ( ) : x 6y 2 0 2 Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N . M I ′ ∈ ∆ → = = − ′ ∈ ∆ − − → = =g ( ) : M(2;0) M f(M) ( 4;1) N ( ) : N( 1; 1) N f(N) (2;0) I I ′  − − ′ ′ ′ ′ ′ ∆ ≡ → ∆ = → ∆ + − =  ′ ′ − = −  g uuuuur g Qua M ( 4;1) x+ 4 y 1 ( ) (M N ): PTCtắc ( ) : PTTQ ( ) :x 6y 2 0 6 1 VTCP : M N (6; 1) ′ → + + ′ − → 2 2 7 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1) + (y 2) = 4 . (C ) : (x I I − − 2 2 2) + (y 3) = 4 ′ → − + ∆ − 8 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x + 2y 5 = 0 . c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x I − ′ → − + 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 + 1) + (y 2) = 2 . x y d ) Tìm ảnh của elip (E) : + = 1 . 3 2 Giải : a) Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y ) Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (x 3; y 1) . f : N I ′ → − + ′ ′ − + − 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 (x ;y ) N = f(N) = (x 3; y 1) Ta có : M N = (x x ) (y y ) = MN Vậy : f là phép dời hình . I GV: Nguyễn Cảnh Chiến 2 Trường THPT Thanh Chương 1 Chun Đề Về Phép Biến Hình ′ ′   − = + ′ → ⇔   ′ ′ = + = −   ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∈ ∆ ⇔ + + − − = ⇔ + − = ⇔ ∈ b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ x = x 3 x x 3 Ta có f : M(x;y) M = f(M) = y y 1 y y 1 Vì M(x;y) ( ) (x 3) 2(y 1) 5 0 x 2y 4 0 M (x ;y ) ( I ′ ∆ + − =) : x 2y 4 0 ∈ ∆ ≠ ′ ∈ ∆ → = = ′ ∈ ∆ → = = g g Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N . M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1) N ( ) : N(3 ; 1) N f(N) (0;2) I I ′  − − ′ ′ ′ ′ ′ ∆ ≡ → ∆ = → ∆ + − =  ′ ′ − = −  ∆ g uuuuur g Qua M (2;1) x 2 y 1 ( ) (M N ): PTCtắc ( ) : PTTQ( ): x 2y 4 0 2 1 VTCP : M N ( 2;1) Cách 3: Vì f là phép dời hình nên f biến đường thẳng ( ) thành đường thẳng ′ ∆ ∆ ′ ∈ ∆ → = = ′ ′ ′ ′ ′ ∆ ∆ ⇒ ∆ + ≠ − ∆ ∋ ⇒ − ⇒ ∆ + − = g g ( ) // ( ) . Lấy M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1) Vì ( ) // ( ) ( ): x + 2y m = 0 (m 5) . Do : ( ) M (2;1) m = 4 ( ): x 2y 4 0 c) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ I ′ ′   − = + ′ → ⇔   ′ ′ = + = −   ′ ′ ∈ − ⇔ + + − = ⇔ ′ ′ ′ ⇔ 2 2 2 2 x = x 3 x x 3 Ta có f : M(x;y) M = f(M) = y y 1 y y 1 Vì M(x;y) (C) : (x + 1) + (y 2) = 2 (x 4) (y 3) 2 M (x ;y I ′ ∈ + + − = ′   − − = − ′ ′ → → + + − =   ′ + +   2 2 f 2 2 ) (C ) : (x 4) (y 3) 2 + Tâm I( 1;2) + Tâm I = f[I( 1;2)] ( 4;3) Cách 2 : (C) (C ) (C ) : (x 4) (y 3) 2 BK : R = 2 BK : R = R = 2 ′ ′   − = + ′ → ⇔   ′ ′ = + = −   d) Dùng biểu thức toạ độ x = x 3 x x 3 Ta có f : M(x;y) M = f(M) = y y 1 y y 1 I ′ ′ − − ′ ′ ′ ′ ∈ ⇔ ⇔ ∈ 2 2 2 2 2 2 x y (x + 3) (y 1) (x + 3) (y 1) Vì M(x;y) (E) : + = 1 + = 1 M (x ;y ) (E ) : + = 1 3 2 3 2 3 2 ′ → + − ∆ − + 9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3 I − − − + − 2 2 2 2 2 2 = 0. c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 . d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x . ĐS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x 1) ′ → −10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ? I ∈ A. f là 1 phép dời hình B. Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f[M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0 → ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua trục tung C sai . ′ ′ → − → − − − 1 1 2 2 1 2 12 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình : f : M(x;y) M = f (M) = (x + 2 ; y 4) ; f : M(x;y) M = f (M) = ( x ; y) . Tìm toạ độ ảnh của A(4; 1) qua f rồi f , nghóa là tì I I ′ ′′ − → − → − 1 2 2 1 f f m f [f (A)] . ĐS : A(4; 1) A (6; 5) A ( 6 ; 5 ) .I I ′ → − ∈ x 11 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( ; 3y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ? 2 A. f (O) = O (O là điểm bất biến) B. Ảnh của A Ox thì I ′ ∈ ′ ′ ∈ ∈ − − ảnh A = f(A) Ox . C. Ảnh của B Oy thì ảnh B = f(B) Oy . D. M = f[M(2 ; 3)] = (1; 9) ′ − ĐS : Chọn D . Vì M = f[M(2 ; 3)] = (1; 9) GV: Nguyễn Cảnh Chiến 3 Trường THPT Thanh Chương 1 Chun Đề Về Phép Biến Hình Vấn đề 2 : PHÉP TỊNH TIẾN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN ′ ′ = uuuuur r r 1 ĐN : Phép tònh tiến theo vectơ u là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M sao cho MM u. ′ ′ = ⇔ = uuuuur r r r g Kí hiệu : T hay T .Khi đó : T (M) M MM u u u Phép tònh tiến hoàn toàn được xác đònh khi biết vectơ tònh tiến của nó . Nếu T (M) M , M thì T là phép đồng nhất . o o 2 Biểu thức tọa độ : Cho u = (a;b) và phép tònh tiến T u = ∀ r r g r r ′  ′ ′ ′ → =  ′  r x = x + a M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì u y = y + b I g g 3 Tính chất : ĐL : Phép tònh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì . HQ : 1. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng . 2. Biến một tia thành tia . 3. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng . 5. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó . 6. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho . → → Biến 7. tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )I I ′ ′ → 8. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R )I  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM ′  ′ ′ ′ → =  ′  r x = x + a M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì u y = y + b I  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) . ′ ′ ∈ → ∈ ′ ≡ → ≡ g g Cách 1 : Dùng tính chất (cùng phương của đthẳng , bán kính đường tròn : không đổi ) 1. Lấy M (H) M (H ) 2. (H) đường thẳng (H ) đường thẳng cùng phương I ′   + + ′ ′ ′ ≡ → ≡   ′   ′ ′ Tâm I Tâm I (H) (C) (H ) (C ) (cần tìm I ) . + bk : R + bk : R = R Cách 2 : Dùng biểu thức tọa độ . Tìm x theo x , tìm y theo y rồi thay vào biểu thức tọa độ . Cách 3 II ′ ′ ′ ∈ → ∈ : Lấy hai điểm phân biệt : M, N (H) M , N (H )I B, BÀI TẬP ′ − ′ ′   − = = ′ ′ ′ ′ ⇔ = ⇔ − + = ⇔ ⇔   ′ ′ + = = −   r uuuuur r r 1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M của điểm M(3; 2) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2;1) . Giải x 3 2 x 5 Theo đònh nghóa ta có : M = T (M) MM u (x 3;y 2) (2;1) u y 2 1 y 1 ′ ⇒ − − r r M (5; 1) 2 Tìm ảnh các điểm chỉ ra qua phép tònh tiến theo vectơ u : a) A( 1;1) , u = (3;1) ′ ⇒ − r A (2;3) b) B(2;1) , u = ( 3;2) ′ ⇒ − ′ − − ⇒ r B ( 1;3) c) C(3; 2) , u = ( 1;3) C (2;1) GV: Nguyễn Cảnh Chiến 4 Trường THPT Thanh Chương 1 Chun Đề Về Phép Biến Hình ′ ′ ′ ′ ′ ′ = = r uuur uuuur r r 3 Trong mpOxy . Tìm ảnh A ,B lần lượt của điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (3;1) . Tính độ dài AB , A B . Giải Ta có : A = T (A) (5;4) , B = T (B) u u ′ ′ ′ ′ = = = = = = ⇔ = = ⇔ = uuur uuuur r r r r r r uuuuur uuuuuuur r r r 1 2 1 2 (4;2) , AB = |AB| 5 , A B = |A B | 5 . 4 Cho 2 vectơ u ;u . Gỉa sử M T (M),M T (M ). Tìm v để M T (M) . 1 2 1 u 2 u 1 2 v Giải Theo đề : M T (M) MM u , M T (M ) M M 1 u 1 1 2 u 1 1 2 = ⇔ = ⇒ = = + = = r uuuuuur uuuuuur uuuuur uuuuuuur r r r r r r r r u . 2 Nếu : M T (M) MM v v MM MM M M u + u .Vậy : v u + u 2 v 2 2 1 1 2 1 2 1 2 ′ ∆ − ∆ ∆ − r 5 Đường thẳng cắt Ox tại A( 1;0) , cắt Oy tại B(0;2) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh của qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2; 1) . ′ ′ = = − = = ′  −  = + ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ ∆   = − + ′ ′   r r g r uuuuur g Giải Vì : A T (A) (1; 1) , B T (B) (2;1) . u u qua A (1; 1) x 1 t Mặt khác : T ( ) đi qua A ,B . Do đó : ptts : u y 1 2t VTCP : A B = (1;2) ′ ∆ ∆ ∆ − − ′ = = − r r 6 Đường thẳng cắt Ox tại A(1;0) , cắt Oy tại B(0;3) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh của qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( 1; 2) . Giải Vì : A T (A) (0; 2) , u ′ = = − ′  −  = − ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ ∆   = − + ′ ′ −   ∆ − − r g r uuuuur g r B T (B) ( 1;1) . u qua A (0; 2) x t Mặt khác : T ( ) đi qua A ,B . Do đó : ptts : u y 2 3t VTCP : A B = ( 1;3) 7 Tương tự : a) : x 2y 4 = 0 , u = (0 ; 3) ′ ⇒ ∆ − + = ′ ∆ + − − − ⇒ ∆ + + = r : x 2y 2 0 b) : 3x y 3 = 0 , u = ( 1 ; 2) : 3x y 2 0 8 Tìm ảnh c + − = − ′ ′   − ⇔   ′ ′ −   ∈ r r 2 2 ủa đường tròn (C) : (x + 1) (y 2) 4 qua phép tònh tiến theo vectơ u = (1; 3) . Giải x = x + 1 x = x 1 Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến T là : u y = y 3 y = y + 3 Vì : M(x;y) ( ′ ′ ′ ′ ′ ′ + − = ⇔ + + = ⇔ ∈ + + = ′ + + = 2 2 2 2 2 2 C) : (x + 1) (y 2) 4 x (y 1) 4 M (x ;y ) (C ) : x (y 1) 4 2 2 Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : x (y 1) 4 ′ → + − ∆ − + 9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3 I − − − + − 2 2 2 2 2 2 = 0. c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 . d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x . ĐS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x ′ → − 1) 10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ? A. f là 1 phép dời hình B. I ∈ Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f[M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0 ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua t → rục tung C sai . − + + = − ′ ′   − ⇔   ′ ′ + −   r r 2 2 9 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x 3) (y 2) 1 qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( 2;4) . x = x 2 x = x + 2 Giải : Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến T là : u y = y 4 y = y 4 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∈ − + + = ⇔ − + − = ⇔ ∈ − + − = ′ − + − = 2 2 2 2 2 2 Vì : M(x;y) (C) : (x 3) (y 2) 1 (x 1) (y 2) 1 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 1 2 2 Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : (x 1) (y 2) 1 GV: Nguyễn Cảnh Chiến 5 Trường THPT Thanh Chương 1 Chun Đề Về Phép Biến Hình ′ − + + = ⇒ − + − = ′ + − + − = − r r 2 2 2 2 BT Tương tự : a) (C) : (x 2) (y 3) 1, u = (3;1) (C ) : (x 1) (y 2) 1 2 2 b) (C) : x y 2x 4y 4 0, u = ( 2;3) (C ) + + − − = − − g 2 2 : x y 2x 2y 7 0 10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác đònh toạ độ các đỉnh C và D của hình bình hành ABCD biết đỉnh A( 2;0), đỉnh B( 1;0) và giao điểm các đường chéo là I(1;2) . Giải = − − = = −   − = = ⇔ = ⇔ ⇔ ⇒   − = =   uur uur uur g uur uur uur g Gọi C(x;y) .Ta có : IC (x 1;y 2),AI (3;2),BI (2; 1) Vì I là trung điểm của AC nên : x 1 3 x 4 C = T (I) IC AI C(4;4) AI y 2 2 y 4 Vì I là trung điểm của AC nên : D =   − = =   ⇔ = ⇔ ⇔ ⇒   − = =     − ⇒ − ′ uur uur uur x 1 2 x 3 D D T (I) ID BI D(3;4) BI y 2 2 y 4 D D Bài tập tương tự : A( 1;0),B(0;4),I(1;1) C(3;2),D(2; 2) . 11 Cho 2 đường thẳng song song nhau d và d . Hãy chỉ ra một ′ ′ ′ ∈ ∈ ′ ′ ∈ ⇔ = uuuuur uuur uuur phép tònh tiến biến d thành d . Hỏi có bao nhiêu phép tònh tiến như thế ? Giải : Chọn 2 điểm cố đònh A d , A d Lấy điểm tuỳ ý M d . Gỉa sử : M = T (M) MM AB AB ′ ′ ′ ′ ′ ⇒ = ⇒ ⇒ ∈ ⇒ ′ ′ ′ uuuur uuuur uuur MA M B M B/ /MA M d d = T (d) AB Nhận xét : Có vô số phép tònh tiến biến d thành d . 12 Cho 2 đường tròn (I,R) và (I ,R ) .Hãy chỉ ra một phép tònh tiến biến (I,R) ′ ′ ′ ′ ′ ⇔ = ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⇒ = ⇒ = = ⇒ ∈ ⇒ ′ uuuuur uur uur uuur uuuur uur thành (I ,R ) . Giải : Lấy điểm M tuỳ ý trên (I,R) . Gỉa sử : M = T (M) MM II II IM I M I M IM R M (I ,R ) (I ,R ) = T [(I,R)] II 13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố đònh , tâm I thay đổi di động trên đường tròn (C) .Tìm quỹ tích trung điểm M của cạnh BC. Giải Gọi J là trung điểm cạnh AB . Khi đó d = uuur uur uur uur ễ thấy J cố đònh và IM JB . Vậy M là ảnh của I qua phép tònh tiến T . Suy ra : Quỹ tích của M là JB ảnh của đường tròn (C) trong phép tònh tiến theo vectơ JB ′ r 2 14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax . Gọi T là phép tònh tiến theo vectơ u = (m,n) và (P ) là ảnh của (P) qua phép tònh tiến đó . Hãy viết phương trình của ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ → − − ′ ′   − − ′ ⇔ ⇔   ′ ′ − −   ′ ′ ′ ∈ = ⇔ − − ⇔ r uuuuur uuuuur r g uuuuur r u (P ) . Giải : T M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM = u , với MM = (x x ; y y) x x = m x = x m Vì MM = u y y = n y = y n 2 2 Mà : M(x;y) (P):y ax y n = a(x m) y = I ′ ′ ′ ′ ′ − + ⇔ ∈ − + ′ − + ⇔ − + + ∆ − ≠ ∆ ∆ r r r r 2 2 a(x m) n M (x ;y ) (P ) : y = a(x m) n 2 2 2 Vậy : Ảnh của (P) qua phép tònh tiến T là (P ) : y = a(x m) n y = ax 2amx am n . u 15 Cho đt : 6x + 2y 1= 0 . Tìm vectơ u 0 để = T ( ) . u Gi ∆ − ∆ ∆ ⇔ − = − ⇒ − − − r r r r r r ải : VTCP của là a = (2; 6) . Để : = T ( ) u cùng phương a . Khi đó : a = (2; 6) 2(1; 3) u chọn u = (1; 3) . 16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 2 điểm A( 5;2) , C( 1;0) . Bi r r r r ết : B = T (A) , C = T (B) . Tìm u và v u v để có thể thực hiện phép biến đổi A thành C ? Giải GV: Nguyễn Cảnh Chiến 6 Trường THPT Thanh Chương 1 T u+v r r Chun Đề Về Phép Biến Hình − → → − r r u v T T A( 5;2) B C( 1;0)I I . Ta có : AB u,BC v AC AB BC u v (4; 2)= = ⇒ = + = + = − uuur uuur uuur uuur uuur r r r r − − − →  → r r r r r r u v 17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 3 điểm K(1;2) , M(3; 1),N(2; 3) và 2 vectơ u = (2;3) ,v = ( 1;2) . Tìm ảnh của K,M,N qua phép tònh tiến T rồi T . u v T T HD :Gỉa sử : A(x;y) BI I ′ ′  = = ⇒ = + = + = ′ ′   − = = ′ ′ ′ ⇔ = ⇔ ⇔ ⇒   + ′ ′ − = =   ′ ′ uuur uuur uuur uuur uuur r r r r uuuur r r C(x ;y ) . Ta có : AB u,BC v AC AB BC u v (1;5) x 1 1 x 2 Do đó : K =T (K) KK (1;5) K (2;7) . u v y 2 5 y 7 Tương tự : M (4;4) , N (3;2) . 18 Trong hệ trụ ∆ − − ∆ ′ ≠ ′ ′ ′ → − → r r r r r u u c toạ độ Oxy , cho ABC : A(3;0) , B( 2;4) , C( 4;5) . G là trọng tâm ABC và phép tònh tiến theo vectơ u 0 biến A thành G . Tìm G = T (G) . u Giải T T A(3;0) G( 1;3) G (x ;yI I ′ ′   + = − = − ′ ′ = − = = ⇔ ⇔ ⇒ −   ′ ′ − = =   ′ − + + = + − + + = uuur uuuur r r ) x 1 4 x 5 Vì AG ( 4;3) u . Theo đề : GG u G ( 5;6). y 3 3 y 6 2 2 2 2 19 Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 đường tròn (C) : (x 1) (y 3) 2,(C ): x y 10x 4y 25 0. Có hay không phe ′ ′ ′ ′ − − ′ r r ùp tònh tiến vectơ u biến (C) thành (C ) . HD : (C) có tâm I(1; 3), bán kính R = 2 ; (C ) có tâm I (5; 2), bán kính R = 2 . Ta thấy : R = R = 2 nên có phép tònh tiến theo vectơ u ′ − ∈∆ − − = uuur g = (4;1) biến (C) thành (C ) . 20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A( 2;1) và B :2x y 5 = 0 . Tìm tập hợp đỉnh C ? Giải Vì OABC là hình bình hành nên : BC = − ⇒ = − ′ ′   − = = − ′ ′ → = ⇔ ⇔   ′ ′ − = − = +   ′ ′ ′ ′ ′ ∈∆ ⇔ − − ⇔ − − ⇔ ∈∆ − − ∆ r uuur r r uuur r g g u AO (2; 1) C T (B) với u = (2; 1) u T x x 2 x x 2 B(x;y) C(x ;y ) . Do : BC u y y 1 y y 1 B(x;y) 2x y 5 = 0 2x y 10 = 0 C(x ;y ) : 2x y 10 = 0 21 Cho ABC . Gọi A ,B ,C 1 1 1 I lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA,AB. Gọi O ,O ,O và I ,I ,I 1 2 3 1 2 3 tương ứng là các tâm đường tròn ngoại tiếp và các tâm đường tròn nội tiếp của ba tam giác AB C , 1 1 BC A 1 ∆ = ∆ → → → ⇒ ∆ →∆ → → ⇒ uuur uuur uuur uuur 1 1 1 AB AB AB 2 2 2 , và CA B . Chứng minh rằng : O O O I I I . 1 1 1 1 2 3 1 2 3 HD : Xét phép tònh tiến : T biến A C,C B,B A . 1 1 1 1 AB 2 T T T AB C C BA ;O O ;I I . 1 1 1 1 1 2 1 2 I I I I I I w = ⇒ = = = ⇒ = = ⇒ ∆ = ∆ uuuuuur uuuur uuur uuur uuuuuur uuuur uuuuuur uuuur O O I I O O I I . 1 2 1 2 1 2 1 2 Lý luận tương tự : Xét các phép tònh tiến T ,T suy ra : 1 1 BC CA 2 2 O O I I và O O I I O O I I ,O O I I O O O I I I ( 2 3 2 3 3 1 3 1 2 3 2 3 3 1 3 1 1 2 3 1 2 3 w c.c.c). µ µ µ · = = = = → ⇔ = = uuur o o o uuuur uuur BC 22 Trong tứ giác ABCD có AB = 6 3cm ,CD 12cm , A 60 ,B 150 và D 90 . Tính độ dài các cạnh BC và DA . HD : T Xét : A M AM BC.Ta có : ABCM là hình bình hành và BCM 3Iw µ = o o 0 (vì B 150 ) GV: Nguyễn Cảnh Chiến 7 Trường THPT Thanh Chương 1 Chun Đề Về Phép Biến Hình · · = − + + = ⇒ = ∆ = + − = + − = ⇒ ⇒ ∆ o o o o o o o Lại có : BCD 360 (90 60 150 ) 60 MCD 30 . Đònh lý hàm cos trong MCD : 3 2 2 2 2 2 MD MC DC 2MC.DC.cos30 (6 3) (12) 2.6 3.12. 36 2 MD = 6cm . 1 Ta có : MD = CD và MC = MD 3 MDC là tam giác 2 · · · · · ⇒ ∆ ⇒ = = = = = ⇒ ∆ o o o đều MCD là nửa tam giác đều DMC 90 và MDA 30 . Vậy : MDA MAD MAB 30 AMD là tam giác cân tại M . ⊥ ⇒ ⇒ = ⇒ = o 6 3 Dựng MK AD K là trung điểm của AD KD=MDcos30 cm AD 6 3cm 2 Tóm lại : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 6 3cm Vấn đề 3 : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC A , KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ĐN1:Điểm M gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn MM . Phép đối xứng qua đường thẳng còn gọi là phép đối xứng trục . Đườ ′ ′ ng thẳng a gọi là trục đối xứng. ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M đối xứng với M qua đường thẳng a . Kí hiệ ′ a o o o u : Đ (M) M M M M M , với M là hình chiếu của M trên đường thẳng a . ′ ′ = ⇔ = − uuuuuur uuuuuur Khi đó : ∈ =g a Nếu M a thì Đ (M) M : xem M là đối xứng với chính nó qua a . ( M còn gọi là điểm bất động ) ′ ′ ∉ = ⇔ g a M a thì Đ (M) M a là đường trung trực của MM a a Đ (M) M thì Đ (M ) M ′ ′ = =g a a Đ (H) H thì Đ (H ) H , H là ảnh của hình H . ′ ′ ′ = =g ⇔ =g g d ĐN : d là trục đối xứng của hình H Đ (H) H . Phép đối xứng trục hoàn toàn xác đònh khi biết trục đối xứng của nó . Chú ý : Một hình có thể không có trục đối xứng ,có thể có một hay nhiều trục đối xứng . ′ ′ ′ → = = ′ ′   − ≡ ≡   ′ ′ −   d 2 Biểu thức tọa độ : M(x;y) M Đ (M) (x ;y ) x = x x = x ª d Ox : ª d Oy : y = y y = y I g 3 ĐL : Phép đối xứng trục là một phép dời hình . 1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các điểm tương ứ HQ : → ng . 2. Đường thẳng thành đường thẳng . 3. Tia thành tia . 4. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó . 5. Tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọn I → ′ ′ → g tâm trọng tâm ) 6. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R ) 7. Góc thành góc bằng nó . I I a PP : Tìm ảnh M = Đ (M) 1. (d) M , d a 2. H = d a 3. H là trung điểm của MM M ? ′ • ∋ ⊥ ∩ ′ ′ → GV: Nguyễn Cảnh Chiến 8 Trường THPT Thanh Chương 1 Chun Đề Về Phép Biến Hình ′ ∆ ∆ ∆ ∈ ∆ ≠ ′ ′ ′ ′ ′ ∆ ∋ ∆ → ∆ a a ª PP : Tìm ảnh của đường thẳng : = Đ ( ) TH1:( )// (a) 1. Lấy A,B ( ) : A B 2. Tìm ảnh A = Đ (A) 3. A , // (a) w ∆ ∆ ∩ ∈∆ ≠ ′ ∆ ≡ a TH2 : // a 1. Tìm K = a 2. Lấy P : P K .Tìm Q = Đ (P) 3. (KQ) w ª PP : ∈ ∆ min Tìm M ( ) : (MA + MB) . ∈ ∆ ∆ ′ ∆ ′ ′ ∀ ∈ ∆ = ≥ ′ ′ ⇔ ∩ ∆ min min Tìm M ( ) : (MA+ MB) Loại 1 : A, B nằm cùng phía đối với ( ) : 1) gọi A là đối xứng của A qua ( ) 2) M ( ), thì MA + MB MA + MB A B Do đó: (MA+MB) = A B M = (A B) ( ) w ∆ ∀ ∈ ∆ ≥ ⇔ ∩ ∆ min Loại 2 : A, B nằm khác phía đối với ( ) : M ( ), thì MA + MB AB Ta có: (MA+MB) = AB M = (AB) ( ) w B . BÀI TẬP ′ ′′ → − → − − Đ Đ Oy Ox 1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(2;1) đối xứng qua Ox , rồi đối xứng qua Oy . HD : M(2;1) M (2; 1) M ( 2; 1) 2 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(a;b) đối xứng qua Oy , rồi đối xứ I I ′ ′′ → − → − − ′ ′′ − − → → ′ ′′ − → → Đ Đ Oy Ox Đ Đ a b Đ Đ a b ng qua Ox . HD : M(a;b) M ( a;b) M ( a; b) 3 Cho 2 đường thẳng (a) : x 2 = 0 , (b) : y + 1 = 0 và điểm M( 1;2) . Tìm : M M M . HD : M( 1;2) M (5;2) I I I I I I − − ′′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ → → ′  = − ′ →  ′ =  Đ Đ a b Đ Đ a b tđ(m;y) tđ( M (5; 4) [ vẽ hình ] . 4 Cho 2 đường thẳng (a) : x m = 0 (m > 0) , (b) : y + n = 0 (n > 0). Tìm M : M(x;y) M (x ;y ) M (x ;y ). x 2m x HD : M(x;y) M y y I I − − ′′  = − ′′ →  ′′ = − −  − ′ ′ − ∩ → − → − − − 2m x; n) x 2m x M y 2n y 5 Cho điểm M( 1;2) và đường thẳng (a) : x + 2y + 2 = 0 . HD : (d) : 2x y + 4 = 0 , H = d a H( 2;0) , H là trung điểm của MM M ( 3; 2) 6 Cho điểm M( 4; ′ ⇒ = − ′ ∆ − − ∆ ∆ − ≠g a a 1) và đường thẳng (a) : x + y = 0 . M = Đ (M) ( 1;4) 7 Cho 2 đường thẳng ( ) : 4x y + 9 = 0 , (a) : x y + 3 = 0 . Tìm ảnh = Đ ( ) . HD : 4 1 Vì 1 ⇒ ∆ → = ∆ ∩ → − − ′ ′ − ∈∆ → ∋ ⊥ → + − = → → = = ′ ′ ∆ ≡ − g g a cắt a K a K( 2;1) 1 M( 1;5) d M, a d : x y 4 0 H(1/ 2;7/ 2): tđiểm của MM M Đ (M) (2;2) KM : x 4y + 6 = 0 ∩ − ′ ≡ ∈ − − ′ ≡ + g g g a a a 8 Tìm b = Đ (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y + 3 = 0 . HD : a Ox = K( 3;0) . 3 9 M O(0;0) Ox : M = Đ (M) = ( ; ) . 5 5 b KM : 3x + 4y 9 = 0 . 9 Tìm b = Đ (Ox) với đườ −ng thẳng (a) : x + 3y 3 = 0 . GV: Nguyễn Cảnh Chiến 9 Trường THPT Thanh Chương 1 Chun Đề Về Phép Biến Hình ∩ ≡ ∈  ∆ → ∆ − =  ⊥  ∩ ∆ → → ≡ − g g g g g HD : a Ox = K(3;0) . P O(0;0) Ox . + Qua O(0;0) :3x y 0 + a 3 9 3 9 E = a E( ; ) là trung điểm OQ Q( ; ) . 10 10 5 5 b KQ : 3x + 4y 9 = 0 . 1 − ∩ → ∈ ⇒ − g g Ox Ox 0 Tìm b = Đ (a) với đường thẳng (a) : x + 3y 3 = 0 . Giải : Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ (rất hay) Cách 2 : K= a Ox K(3;0) P(0;1) a Q = Đ (P) = (0; 1) ≡ − − g b KQ : x 3y 3 = 0 . ′ ∆ − − − ∆ ∆ ∆ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∈∆ → ∈∆ ⇒ ∆ ≡ ′ ′ ′ ′ ′ ∈∆ → ∈∆ ⇒ ∆ ∆ ∆ ∋ a 11 Cho 2 đường thẳng ( ) : x 2y + 2 = 0 , (a) : x 2y 3 = 0 . Tìm ảnh = Đ ( ) . PP : / /a Cách 1 : Tìm A,B A ,B A B Cách 2 : Tìm A A / / , A ′ ∈∆ → = = − ′ ′ ′ ′ ∆ ∋ ∆ ∆ ⇒ ∆ − − = ′ + − = − ′ − + = g g a 2 2 a 2 2 Giải : A(0;1) A Đ (A) (2; 3) A , / / : x 2y 8 0 12 Cho đường tròn (C) : (x+3) (y 2) 1 , đường thẳng (a) : 3x y + 1= 0 . Tìm (C ) = Đ [(C)] HD : (C ) : (x 3) y 1 . ∆ − ∆ ∆ ∆ = ∆ Ox 13 Trong mpOxy cho ABC : A( 1;6),B(0;1) và C(1;6) . Khẳng đònh nào sau đây sai ? A. ABC cân ở B B. ABC có 1 trục đối xứng C. ABC Đ ( ABC) Oy D. Trọng tâm : G = Đ (G) HD : Chọn D − ∆ − + + = ∆ − ′ 2 2 14 Trong mpOxy cho điểm M( 3;2), đường thẳng ( ) : x + 3y 8 = 0, đường tròn (C) : (x+3) (y 2) 4. Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục (a) : x 2y + 2 = 0 . Giải : Gọi M , ′ ′ ∆ ∆  − ′  ⊥  ⊥ → + ∋ − ⇒ ⇒ + g g ( ) và (C ) là ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục a . Qua M( 3;2) a) Tìm ảnh M : Gọi đường thẳng (d) : a + (d) (a) (d) : 2x y + m = 0 . Vì (d) M( 3;2) m = 4 (d): 2x y + 4 = 0 ′ ′ ′ ′ ′ ′  = +  ′ ∩ ⇒ − ⇒ ⇔   = +   − = − +   =− ′ ⇔ ⇔ ⇒ − −   =−   = +  ′ ∆ ≠ ⇒ ∆ − g H M M H M M M M M M 1 x (x x ) 2 + H = (d) (a) H( 2;0) H là trung điểm của M,M H 1 y (y y ) 2 1 2 ( 3 x ) x 1 2 M ( 1; 2) 1 y 2 0 (2 y ) 2 b) Tìm ảnh ( ) : 1 3 Vì ( ) cắt (a 1 2 ⇒ ∆ ∩  − ⇒ ⇔  −  ) K= ( ) (a) x + 3y 8 = 0 Toạ độ của K là nghiệm của hệ : K(2;2) x 2y + 2 = 0 ≠ ⇒ − −  −  ⊥  g g g a Lấy P K Q = Đ [P( 1;3)] = (1; 1) . ( Làm tương tự như câu a) ) Qua P( 1;3) Gọi đường thẳng (b) : a GV: Nguyễn Cảnh Chiến 10 Trường THPT Thanh Chương 1 [...]... : MI1 = −QI1 ⇔ M = ĐI (Q) 1 5 Cho ∆ABC là tam giác vuông tại A Kẻ đường cao AH Vẽ phía ngoài tam giác hai hình vuông ABDE và ACFG a) Chứng minh tập hợp 6 điểm { B,C,F,G,E,D} có một trục đối xứng b) Gọi K là trung điểm của EG Chứng minh K ở trên đường thẳng AH c) Gọi P = DE ∩ FG Chứng minh P ở trên đường thẳng AH d) Chứng minh : CD ⊥ BP, BF ⊥ CP e) Chứng minh : AH,CD,BF đồng qui HD : · ·... Hình HD : Xét phép quay Q : Kéo dài FA một đoạn AD = AF (A;90o) Vì AF = AC ⇒ AC = AD nên suy ra : Q biến B , C lần lượt thành E , D (A;90o) Đ/nghóa nên gọi trung điểm K của DE thì K= Q → o) (M)  MA ⊥ AK (1) (A;90 Trong ∆DEF , vì AK là đường trung bình nên AK // FE (2) Từ (1),(2) suy ra : AM ⊥ FE ⇒ AH là đường cao của ∆AEF 27 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2 và có các đỉnh vẽ theo chiều dương... I P,A I Q ⇒ OA = và ⊥ PQ → → 29 Cho ∆ABC có các đỉnh kí hiệu theo hướng âm Dựng về phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABDE và BCKF Gọi P là trung điểm của AC , H là điểm đối xứng của D qua B , M là trung điểm của đoạn FHu.r uu uu ur a) Xác đònh ảnh ủa hai vectơ BA và BP trong phép quay Q (B;90o) b) Chứng minh rằng : DF ⊥ BP và DF = 2BP HD :  BA = BH (cùng bằng BD)  a) Ta có :  o (BA;BH)... phép quay Q (O;90o) HD : w Q (A) = D , Q (M) = M′ là trung điểm của AD (O;90o) (O;90o) Q (N) = N′ là trung điểm của OD Do đó : Q (∆AMN) = ∆DM′N′ (O;90o) (O;90o) 18 [ CB-1.15 ] Cho hình lục giác đều ABCDEF , O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó Tìm ảnh của ∆OAB qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O , góc 60o và phép uu ur tònh tiến TOE HD : uu ur Gọi F = TOE oQ wQ... (O;60o) (O) = O,Q (A) = B,Q (B) = C (O;60o) (O;60o) (O;60o) uu ur uu ur uu ur w TOE (O) = E,TOE (B) = O,TOE (C) = D w Vậy : F(O) = E , F(A) = O , F(B) = D ⇒ F(∆OAB) = ∆EOD 19 Cho hình lục giác đều ABCDEF theo chiều dương , O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó I là trung điểm của AB a) Tìm ảnh của ∆AIF qua phép quay Q (O ; 120o) b) Tìm ảnh của ∆AOF qua phép quay Q (E ; 60o) HD : a) w Q biến F,A,B... 1;3) , B thành B′(2;6) , C thành C′(4;7) Khẳng đònh nào sau đây đúng ? A) f là phép quay Q 3 B) f là phép đối xứng tâm I( − 1; ) 2 D) f là phép đối xứng trục (O;90o) r C) f là phép tònh tiến theo vectơ u = (2;3) ĐS : C) Vấn đề 7 : PHÉP VỊ TỰ A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ĐN : Cho điểm I cố đinh và một số k ≠ 0 Phép vò tự tâm I tỉ số k uu ur uu ur k Kí hiệu : VI , là phép biến hình biến mỗi điểm M thành . trong phép tònh tiến theo vectơ JB ′ r 2 14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax . Gọi T là phép tònh tiến theo vectơ u = (m,n) và (P ) là. .Khi đó : T (M) M MM u u u Phép tònh tiến hoàn toàn được xác đònh khi biết vectơ tònh tiến của nó . Nếu T (M) M , M thì T là phép đồng nhất . o o 2 Biểu