SKKN Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về phân thức đại số lớp 8

Các bài toán về phân thức đại số 8 là một trong những nội dung quantrọng trong chương trình toán của trường THCS.Đặc biệt là bài toán rút gọn biểu thức đại số.. Việc biến đổi được những

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về

phân thức đại số lớp 8"

Chương 1: GIỚI THIỆU 1.1.Lý do chọn đề tài:

Đại số là một môn đặc biệt của toán học Nếu đi sâu vào nghiên cứu về môn đại sốhẳn mỗi chúng ta sẽ được chứng kiến “Cái không gian ba chiều” lí thú của nó mà khôngbao giờ vơi cạn Các bài toán về phân thức đại số 8 là một trong những nội dung quantrọng trong chương trình toán của trường THCS.Đặc biệt là bài toán rút gọn biểu thức đại

số Việc biến đổi được những biểu thức đại số không đơn giản chỉ là biến đổi thôngthường mà nó đòi hỏi những hiểu biết lôgic và cách giải toán có yếu tố sáng tạo; nó có ýnghĩa trong việc rèn luyện óc phân tích và biểu thị toán học những mối liên quan của cácđại lượng trong thực tiễn.Đi kèm với rút gọn biểu thức đại số còn có một số dạng toán vềphân thức đại số như:tìm điều kiện của biến để phân thức xác định,tìm giá trị của phânthức tại một giá trị của biến hoặc ngược lại,chứng minh phân thức tối giản,… Trongphân môn đại số - chương trình toán các lớp 8 THCS số tiết về dạy học các dạng toán này

đã chiếm một vị trí quan trọng, làm nền tảng để phát triển khả năng toán

Về cả hai phía giáo viên và học sinh đều có khó khăn khi dạy và học kiểu các dạngtoán này Đây là một vấn đề quan trọng và bức thiết Lâu nay chúng ta đang tìm kiếmmột phương pháp dạy học sinh giải các bài toán rút gọn làm sao đạt hiệu quả Các tàiliệu, các sách tham khảo, sách hướng dẫn cho giáo viên cũng chưa có sách nào đề cậpđến phương pháp dạy kiểu bài này Có chăng chỉ là gợi ý chung và sơ lược Đặc biệt rấtnhiều học sinh thường xem nhẹ việc rút gọn biểu thức đại số và vô tình đã quên đi cácứng dụng quan trọng và là chìa khóa, nền tảng để giải quyết các vấn đề toán học trongtrường THCS

Một số em chưa biết cách giải loại toán này, mà ta gọi là phương pháp Đi theo kếtquả của bài toán rút gọn biểu thức có các dạng toán: Tìm giá trị của biến x để biểu thứcnhận giá trị nguyên,tính giá trị của phân thức tại giá trị của biến,chứng minh phân thứctối giản …Vì vậy, sau khi rút gọn được biểu thức thì học sinh không thực hiện được cácbước tiếp theo

Vậy cách trình bày hoàn chỉnh một bài toán rút gọn biểu thức như thế nào, phươngpháp giải bài toán đã cho ra sao Để định hướng cho mỗi học sinh phát huy được khảnăng của mình khám phá những kiến thức, nâng cao chất lượng giáo dục Vì vậy mỗigiáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán cần có giải pháp tích cực để nâng cao chất lượnggiảng dạy phần phân thức đại số 8,đặc biệt là các dạng toán đi kèm cho bài toán rút gọnbiểu thức đại số

Trước tình hình trên, bản thân Tôi là một giáo viên toán cấp THCS, cũng đã từngtrăn trở nhiều về vấn đề trên Với đề tài này Tôi không có tham vọng lớn để bàn về vấnđề: “Giải các bài toán” ở trường phổ thông Tôi chỉ xin đề xuất một vài ý kiến về việc

“Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về phân thức đại số 8" đối với học sinh lớp

8 THCS mà Tôi đã từng áp dụng thành công

1.2.Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu:

1.2.1.Mục tiêu:

Mục tiêu của đề tài:

-Chọn ra một số dạng bài tập cơ bản và nâng cao cùng cách giải nhằm phục vụ cho chogiáo trong công tác bồi dưỡng học sinh các khối 8,9 của trường THCS

-Làm tài liệu tham khảo học tập cho các em học sinh khối 8,9

-Giúp giáo viên có cái nhìn sâu sắc hơn về các dạng toán phân thức đại số 8 nhằm rènluyện kỹ năng thực hành giải toán cho học sinh.

-Qua chuyên đề này chúng tôi cũng tự đúc rút cho mình những kinh nghiệm làm cơ sởcho phương pháp dạy học những năm tiếp theo

1.2.2.Phạm vi nghiên cứu:

-Giới hạn đề tài:Trong chuyên đề chúng tôi chỉ đưa ra một số dạng toán cơ bản và hướngdẫn học sinh giải,định hướng cho học sinh phương pháp giải một số bài toán mà các emcòn lúng túng trong việc tìm lời giải

-Đối tượng nghiên cứu: Qua nghiên cứu việc dạy và học toán tại trường THCS Vũ Di

1.4.Cấu trúc của chuyên đề:

Chương 1:Giới thiệu đề tài

Chương 2:Cơ sở lý luận và mô hình nghiên cứu

Chương 3:Phương Pháp nghiên cứu

Chương 4:Kết quả đạt được

Thông qua việc giải bài tập giúp các em rèn luyện tư duy,kĩ năng trình bày từ đónâng cao khả năng sáng tạo và óc phán đoán của các em

2.1.2.Kiến thức cơ bản để giải một số dạng toán về phân thức:

Các em cần nắm vững:

+Các phép tính về đa thức và phân thức

+Các hằng đẳng thức đáng nhớ

+Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử+Điều kiện để phân thức có nghĩa

+Điều kiện để phân thức tối giản

+Điều kiện để phân thức có giá trị nguyên

2.1.3.Thực trạng nghiên cứu:

Nghiên cứu sách giáo khoa và sách bài tập đại số 8 ta thấy tác giả ngoài việc đưacác bài tập liên quan đến các kiến thức trong chương như:điều kiện phân thức xácđịnh,phân số bằng nhau, rút gọn phân thức,các phép tính về phân thức,biến đổi phânthức,rút gọn biểu thức.Còn có các bài tập như:chứng minh phân thức tối giản,tìm giá trịcủa biến khi biết giá trị của phân thức,tìm giá trị biến để phân thức có giá trị nguyên…Trong khi học sinh khi gặp các dạng bài toán này thì lúng túng không nắm được phươngpháp giải.Kĩ năng biến đổi phân thức của đa số học sinh còn yếu

2.2.Mô hình nghiên cứu:

2.2.1.Các bước tiến hành:

- Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết chuyên đề

- Trao đổi thảo luận trong tổ

- Xây dựng đề cương

- Thu thập, tập hợp số liệu và nội dung phục vụ cho việc viết chuyên đề Qua cáctài liệu, qua khảo sát các bài kiểm tra, các giờ luyện tập, ôn tập, các buổi học chuyên đề,buổi bồi dưỡng HSG

- Lựa chọn hệ thống bài tập

Kết luận

Số h/s giảiđược bài tậpchứng minhphân thức tốigiản

Số h/s giảiđược bài tậptìm giá trịnguyên củabiến để phânthức nguyênCuối Kì 1: 2011-

2.2.3.Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về phân thức đại số lớp 8:

2.2.3.1.Dạng toán tìm điều kiện của biến để phân thức xác định:

-Với phân thức mà mẫu chỉ là đa thức dạng (ax+b) các em chỉ cần cho mẫu thức khác0,rồi tìm ra kết quả

Ví dụ 1:Tìm điều kiện của x để phân thức sau có nghĩa:

1 2

1 0 1 2 0 1 1 2

x

x x

x x

1 3 1 4 0 1

3

1 3 2 0

x x

x x

5 2

2 2

x x

c) 52 14





x x

Giải :

a)Phân tích mẫu thành nhân tử ta có:

3 2 1 3

3 2 2 3 5

Với những phân thức nhiều ẩn thì học sinh vận dụng làm tương tự,ví dụ:

Ví dụ 4:Tìm điều kiện của biến để phân thức sau xác định:

a)xy x21 y b)1x x2y12 y c)x2  y2xyxy

2

*Một số bài tập vận dụng cho dạng toán này:

Tìm điều kiện của x để phân thức sau xác định:

a)21x4x5 b)

2 2 4 1

2

2 3





x

x x

2

3 2

6 5

x

e)

27 8

1 2

3 2





x x

Đây là dạng toán cơ bản của phân thức đại số 8,với những bài tập mà tử thức vàmẫu thức có sẵn các nhân tử chung (hoặc chỉ cần đổi dấu phân thức thì có nhân tửchung)thì ta vận dụng tính chất cơ bản của phân thức là chia cả tử và mẫu cho nhân tửchung đó,ví dụ:

Ví dụ 1:Rút gọn phân thức sau:

a) 2  2

5

3 2

21

3 2

14

y x

y

x

y x

2 35

2 15

x y y x

y x y x





d)1012 322 11

3 2





x x

x xy

-Với các phân thức mà không có sẵn nhân tử chúng thì chúng ta sẽ thực hiện theo cácbước của bài toán rút gọn,ví dụ:

x x x

3

3 3

2

2 3

c)x3  3x2  x 3 x2x 3  x 3 x 3x2  1x 3x2  1

) 3 (

z y z x y x

xyz z

y x

6 7

x x

x

x x

y

x y2 x z2 y z2  2x2 y2z2 xy yz zx

Từ đó suy ra kết quả: xyz

c)Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ta có:

 3 3 2  3 2 1

3 2 3 3 3

2 9 6

2 9 6

7

2

2 3

x

x

x x

x x x

x x x

x x

2 2

3 2

2 3

3 2 2

3

2 2

HD:thực hiện rút gọn vế trái,cuối cùng ra kết quả là vế phải

*Một số bài toán vận dụng cho dạng toán này:

Bài 1:Rút gọn các phân thức sau:

a)2575xy xy22y x 2y x

2 3





b)x2 x y2y xz yz

2 2

1

3 2

2

2 2

d)

3 4 2

1 5 7

x

x x

bc b ac ab

b a c a c b c b a

x x

2

2

2 2

2

2

2 2 2 2

c) 3 2 1 2

2 3 3

3

1

2 3

2

3

x

y x

x

x

x xy

2.2.3.4.Dạng toán chứng minh phân thức tối giản:

Học sinh đều nắm được phân thức tối giản là phân thức mà tử và mẫu thức chỉ cónhân tử chung là 1 và -1 nhưng việc chứng minh phân thức tối giản thì các em lại chưanắm được phương pháp làm nên còn lúng túng trong việc tìm ra lời giải

Để chứng minh một thức tối giản ta gọi ước chung lớn nhất của tử và mẫu thức làd,ta chứng minh d = 1 hoặc d = -1.Để chứng minh được điều này ta vạn dụng các kiếnthức về chia hết như:tính chất chia hết của một tổng,quan hệ giữa bội và ước…Ví dụ:

Ví dụ 1:Chứng minh các phân thức sau là tối giản:

a) n n 34

2

30 21 13

15 8 6

n n

n n

a)Gọi ƯCLN của n-3 và -n+4 là d,ta có:n 3 , d n  4 d hay:n 3  n  4 d

=>1 d Do đó d = 1 hoặc -1.Vậy phân thức đã cho tối giản với mọi n

b)Gọi ƯCLN của 6  8n 15n2 và 13  21n 30n2 là d(d  1),ta có:

d n n d

Từ (1) và (2) suy ra:1 d Do đó d = 1.Vậy phân thức đã cho tối giản

c)Gọi ƯCLN của 2 n 1 và 2n2  1 là d.Ta có: 2 n 1 d (1) và 2n2  1 d

d n

Từ (1) và (2) suy ra: 1 d Do đó d = 1 hoặc d = -1.Vậy phân thức đã cho tối giản

Nên 1 d Do đó d = 1 hoặc d = -1.Vậy phân thức đã cho tối giản

Qua các ví dụ trên cho thấy khi chứng minh phân thức tối giản thì ta nhân hệ sốthích hợp để trừ(cộng) tử và mẫu thức cho nhau,sau đó tiếp tục có thể sử dụng hằng đẳngthức hoặc phân tích đa thức thành nhân tử đối với tử thức hoặc mẫu thức hoặc đối với tửthức và mẫu thức sau khi đã nhân thêm hệ số thích hợp để xuất hiện những biểu thức chiahết cho d

Ví dụ 2:Chứng minh phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n:

1 3

2

2 4 3







n n

n n

Giải:

a) 12n 1 , 30n 2  d ,suy ra: 12n 1 d, 30n 2 d hay: 5  12n 1   2  30n 2  d

Hay: 1 d Do đó d = 1.Vậy phân thức đã cho tối giản

b)n3  2n,n4  3n2  1d.Ta có:n4  3n2  1 nn3  2nn2  1 d(1)

mà :n3  2nnn2  1n d nd(2)

Từ (1) và (2) suy ra:1 d Vậy phân thức tối giản

*Một số bài tập vận dụng cho dạng toán:

Chứng minh các phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n:

a)53n n21 b)

1 7 8

1 5 3

2 2

n n

c)422 12





n n

2.2.3.5.Dạng toán tìm giá trị nguyên của biến để phân thức có giá trị nguyên:

Học sinh cần biết được nếu biến trong phân thức nguyên thì phân thức nhận giá trịnguyên khi tử thức chia hết cho mẫu thức.Nếu phân thức đã cho mà tử thức là một sốnguyên còn mẫu là biểu thức chứa biến thì chỉ cần lập luận mẫu thức là ước của tử làxong,ví dụ:

Ví dụ 1:Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là một số nguyên:

a)x2 3 b)x32 c)2x51

Giải:a)x 3 là ước nguyên của 2

Nếu x 3   2  x 1

Nếu x 3  2  x 5

Ví dụ 2:Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên:

Giải:

a)Thực hiện phép chia đa thức ta được:

 3  5 5

x x

Vì x nguyên nên x3 cũng nguyên,nên để phân thức có giá trị nguyên thì x5 3 là sốnguyên.Đến đây ta làm tương tự như ví dụ 1

b)Ngoài việc thực hiện phép chia như câu a) ta cũng có thể viết tử thức liên tiếp có chứamẫu thức dưới dạng sau:

8 2

x x x

Lập luận tương tự như trên ta tìm được kết quả:x    4  ; 1 ; 0 ; 3 

*Một số bài tập vận dụng cho dạng toán:

Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là một số nguyên:a)3 3 4 24 1

d)

16 16 8

4

16

2 3 4

x x

x

2.2.3.6.Dạng toán tính giá trị của phân thức tại một giá trị của biến:

Nhiều học sinh khi gặp dạng toán này thường hấp tấp thay ngay giá trị của biến vàophân thức rồi thực hiện phép tính mà quên mất rằng có thể rút gọn phân thức rồi mới thựchiện thay và tính toán thì phép tính sẽ nhanh hơn rất nhiều,ví dụ:

Ví dụ 1:Tính giá trị của biểu thức:

a)

1 6

2 3

2 3 2

x x

tại x = 1000001Giải:

3 1 3 1

1 3 1 6 9

3

2 2

x x x

x

x x

Thay x = -8 vào biểu thức ta có: 3. 88 1 258 258

x x

x x x

x

x x

a)Ta có: 2 2 11 22   12 12  11 11 11

2 2

y x y

x y x

y x y x y x

y x x y

x

xy y

2 3 7 3

b a P

Giải:

7 2

7 2 7 3

7 3 7

2

2 2 7

3

3 2

7 2

2 3

a b

b a b a

a b a b

a b a

x A

Giải:

6

6 2

2 3 6

6 2

2

6 3

y x

x x y

y A

1 3 2

y y

2 2

5 5

2 4

2 2 4

y y x x

Bài 2:a)Tính giá trị của phân thức A x x y y

2 3

2 3

xy M

a b b a

b a Q

2

x

z z

x B y

z z

y

A  ;   ;   Tính giá trị của biểu thức:

ABC C

B

A2 2 2

2.2.3.7.Dạng toán tìm giá trị của biến để phân thức nhận một giá trị nào đó:

Đây là dạng toán ngược của dạng toán trên,có hai trường hợp là phân thức nhận giátrị 0 và phân thức nhận giá trị khác 0.Với trường hợp phân thức có giá bằng 0 thì lập luận

tử thức bằng 0 và mẫu thức khác 0,ví dụ:

Ví dụ 1:Với giá trị nào của x thì phân thức sau có giá trị bằng 0:

x x x x x x

.Vậy giá trị của phân thức bằng 0 khi x= -1

2 2

2 2 2

x x x x x x x

Vậy giá trị của phân thức bằng 0 khi x = 1

Có những trường hợp khi cho tử thức bằng 0 lại trùng với điều kiện của biến đểphân thức có nghĩa,khi đó ta kết luận không có giá trị nào của biến để phân thức nhận giátrị bằng 0,chẳng hạn:

Ví dụ 2:Tìm giá trị của x để phân thức 22 12

x x x

x x

.Vậy không có giá trị nào của x để giá trị của phân thức bằng0

Ví dụ 3:a)Tìm x để giá trị của phân thức 2 35

3 3

2 3

2 3

x x

15 3 12 8

5 3

3 2 4 4

3 5

3 2

x x

x

x

b)

0 6 6 2 2 9 3 3 3

3 1

9 3 3

3 3

2

2 3 2

3 2

3 2

3

2 3

x

x x x x

x x x

x x x

2 5 3

2 2

x x

c)

6 5

6 11 6

2

2 3

x x x

Bài 2:a)Tìm giá trị của x để phân thức 53x2x4 bằng 32

b)Tìm giá trị của x để phân thức 3 32 2 3

có giá trị bằng 1

2.2.3.8.Dạng toán rút gọn biểu thức tổng hợp:

Đây là dạng toán mà trong yêu cầu của bài toán có tồn tại các dạng toán đã nêu ởtrên.Các kiến thức để vận dụng làm toán là:

-điều kiện của biến để biểu thức xác định

-Phân tích đa thức thành nhân tử

-nhân đa thức với đơn thức,đa thức với đa thức

-quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

-Những hằng đẳng thức đáng nhớ

-nắm được các dạng toán ở trên

-Nắm được thứ tự thực hiện phép tính trong phân thức

a)Với điều kiện nào của x thì giá trị phân thức được xác định?

b)Rút gọn phân thức

c)Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 1?

d)Có giá trị nào để phân thức bằng 0 hay không?

3 2

a)Với điều kiện nào của x thì phân thức xác định?

b)Rút gọn phân thức

c)Tính giá trị của phân thức tại x20004001

d)Tìm giá trị nguyên của x để phân thức đạt giá trị nguyên?

Đối với những biểu thức có các phép tính cộng,trừ,nhân, chia thì các em cần phảinắm vững các quy tắc cộng,trừ,nhân,chia các phân thức để biến đổi cho đúng,ví dụ:

4

4 4

x

a)Tìm điều kiện của x để phân thức xác định?

b)Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 31

c)Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 1

d)Tìm giá trị nguyên của x để phân thức có giá trị nguyên?

e)Tìm giá trị của x để phân thức luôn dương?

2 1

1

1 : 1

1 1

x

x x

y x y

x

x y

2 2

2 2

Thông thường hướng dẫn các em học sinh biến đổi vế phức tạp hơn về vế đơn giảnhơn và suy ra điều phải chứng minh

Cũng có những bài toán yêu cầu chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào giá trịcủa biến thì thực chất vẫn là rút gọn biểu thức,ví dụ:

Ví dụ 5:Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau xác định và chứng minh rằng với điềukiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến

x

x x

x

x

x x

2 2 1

1 1

1

2 2

2 3

x x

x

x x

x x x

3 2

x x

x x

x

x

Các bài tập tương tự cho dạng toán:

Bài 1:Cho biểu thức:

1 3 6

6 4

2 3

2

x

x x

x x x

x

x A

a)rút gọn A

b)Tính giá trị của biểu thức khi  x 12

c)Với giá trị của x thì A = 2

d)Với giá trị của x thì A < 0

e)Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên

Bài 2:Cho biểu thức:

3 2

2

3 2 2

2

x

x x

x x

x

x B

a)Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định

b)Tính giá trị của biểu thức B với x = 2005

c)Tính giá trị của x để biểu thức nhận giá trị bằng -1002

Chương 3:PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

+Phương pháp nghiên cứu thực tiễn lý thuyết

+phương pháp tổng kết kinh nghiệm

+Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Chương 4:KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC

Qua kết quả nghiên cứu và giảng dạy Tôi nhận thấy :

- Học sinh rèn được phương pháp tự học, tự phát hiện vấn đề, biết nhận dạng một

số dạng toán, nắm vững cách giải Kĩ năng trình bày một bài toán khoa học, rõ ràng

Đa số các em đã yêu thích giờ học Toán học, nhiều học sinh tích cực xây dựng bài

- Học sinh rất có hứng thú để giải bài tập phần phân thức đại số 8 và Toán học nóichung

- Trước đây kết quả giảng dạy trên lớp đạt 80% đến 85% trên trung bình, khi sửdụng các kinh nghiệm trên kết quả giảng dạy tăng lên từ 96% đến 98% từ trung bình trởlên

Kết quả cụ thể: So sánh kết quả 02 năm học trên những đối tượng lớp và học sinhtương đương

+ Năm học: 2011-2012

TT Khối

lớp

SốHS