Phép nghịch đảo với các bài toán chứng minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA: TOÁN ************* ĐỖ THỊ THU HÀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO VỚI CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: HÌNH HỌC Người hướng dẫn khoa học GV ĐINH VĂN THỦY HÀ NỘI - 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA: TOÁN ************* ĐỖ THỊ THU HÀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO VỚI CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: HÌNH HỌC HÀ NỘI – 2012 Lời Cảm Ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo Đinh Văn Thủy, người tận tình hướng dẫn, bảo, giúp đỡ suốt thời gian qua để hoàn thành khóa luận Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy, cô tổ hình học, thầy cô bạn sinh viên nhiệt tình góp ý, giúp đỡ thời gian học tập nghiên cứu để hoàn thành khóa luận Do trình độ chuyên môn hạn chế, thời gian nghiên cứu eo hẹp nên vấn đề mà trình bày khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi kính mong nhận góp ý, phê bình thầy, cô giáo bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội , ngày 14 tháng năm 2012 Sinh viên Đỗ Thị Thu Hà Lời Cam Đoan Khóa luận tốt nghiệp hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo Đinh Văn Thủy với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan vấn đề trình bày khóa luận kết nghiên cứu hướng dẫn trực tiếp thầy giáo Đinh Văn Thủy Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội , ngày 14 tháng năm 2012 Sinh viên Đỗ Thị Thu Hà Mục lục Lời Cảm Ơn Lời Cam Đoan Mở Đầu Lý chọn đề tài Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Chương SƠ LƯỢC VỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO 1.1 Khái niệm phép nghịch đảo 1.2.Các tính chất 1.3 Các định lý quan trọng Chương BÀI TOÁN CHỨNG MINH VÀ PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ ÁP DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀO BÀI TOÁN CHỨNG MINH 10 2.1 Bài toán chứng minh 10 2.2 Phương pháp chung áp dụng phép nghịch đảo vào toán chứng minh 10 Chương MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN CHỨNG MINH ÁP DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO 12 3.1 Bài toán chứng minh hệ thức liên hệ đại lượng hình học 12 3.2 Bài toán chứng minh yếu tố cố định hình học 16 3.3 Bài toán chứng minh mối liên hệ góc đường 21 3.4 Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp 28 3.5 Bài tập đề nghị lời giải 33 Kết Luận 38 Tài Liệu Tham Khảo 39 Mở Đầu Lý chọn đề tài Hình học môn học hấp dẫn thu hút nhiều học sinh yêu toán Việc giải tập tìm cách giải hay, độc đáo phát huy tính sáng tạo niềm say mê môn học Mỗi tập hình học giải nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ, phương pháp véctơ phương pháp biến hình Trong nhiều trường hợp phép biến hình công cụ hữu hiệu cho phép giải hợp lý ngắn gọn toán hình học toán chứng minh, toán quỹ tích, toán dựng hình toán tính toán Trong chương trình toán phổ thông, học sinh học phép biến hình: phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến, phép vị tự Phép nghịch đảo phép biến hình không đưa vào chương trình phổ thông đề xuất luyện học sinh chuyên, bồi dưỡng học sinh giỏi Phép nghịch đảo với tính chất khác biệt đưa đến hướng giải số lớp toán hình học, có lớp toán chứng minh Với tính chất bảo toàn góc, có khả biến đường thẳng thành đường thẳng đường tròn, có khả biến đường tròn thành đường tròn đường thẳng nhiều tính chất quan trọng khác Phép nghịch đảo đơn giản hóa số yếu số phức tạp số toán chứng minh, giúp cho lời giải toán trở nên ngắn gọn, xác, logic Tôi mong muốn tìm hiểu kỹ ứng dụng phép biến hình để có số tư liệu quan trọng cho công tác giảng dạy hình phổ thông khuôn khổ khóa luận tốt nghiệp, thời gian nghiên cứu có hạn nên tập trung khai thác ứng dụng phép nghịch đảo việc giải toán chứng minh Đó lý lựa chọn đề tài: Phép nghịch đảo với toán chứng minh Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu kiến thức phép nghịch đảo ứng dụng việc giải số lớp toán chứng minh - Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa tập thể việc sử dụng phương pháp nghịch đảo vào toán chứng minh Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phép nghịch đảo toán chứng minh - Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng phép nghịch đảo việc giải toán chứng minh Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo trình, giảng chuyên đề tài liệu tham khảo có liên quan Chương SƠ LƯỢC VỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO 1.1 Khái niệm phép nghịch đảo 1.1.1 Định nghĩa 1: Không gian En (n=2,3) bổ sung phần tử {} gọi không gian bảo giác Bn Quy ước:Trong không gian Bn đường thẳng, mặt phẳng qua {} 1.1.2 Định nghĩa : Trong không gian bảo giác Bn cho điểm O số thực k  Phép biến hình Bn cho ứng điểm M với điểm M’ xác định sau + Nếu M  O M’   +Nếu M   M’  O +Nếu M{O,} M’ nằm đường thẳng OM thõa mãn OM OM '  k gọi phép nghịch đảo cực O phương tích k Ký Hiệu :  ( O, k) 1.2.Các tính chất 1.2.1 Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp Thật vậy,  M  Bn ,  (M) = M’   2(M) =  [ (M) ] =  (M’) = M   2(O, k) = idBn 1.2.2 Nếu M, M’ tương ứng qua  (O, k) O, M, M’ thắng hàng 1.2.3 Nếu phương tích nghịch đảo k0 phép nghịch đảo có tập hợp điểm bất động siêu cầu tâm O, bán kính k Thật , xét phép nghịch đảo  (O, k), k Ta có O  điểm bất động Điểm M  En (n = 2,3) điểm bất động chi OM OM  k  OM  k k   OM  k Do M thuộc siêu cầu tâm O, bán kính k 1.2.4 Nếu M, N {O,} đường thẳng MN không qua O,  (M) = M’,  (N) = N’ M, N, M’, N’ thuộc đường tròn Chứng minh: O M M’ N’ N Ta có OM OM '  ON ON '  OM ON '  ON OM '   OMN’ đồng dạng với  ONM’  OMN '  ONM ' Do tứ giác MM’NN’ nội tiếp 1.2.5 Mọi siêu cầu có tính chất phương tích cực nghịch đảo phương tích nghịch đảo siêu cầu bất động Hiển nhiên theo định nghĩa phép nghịch đảo tính chất phương tích 1.2.6 Mọi phép nghịch đảo  (O, k) phân tích thành tích phép nghịch đảo  (O, -k) phép đối xứng tâm O(Đo)  (O, k) = Đo  ( O, -k) Hiển nhiên theo định nghĩa phép nghịch đảo phép đối xứng tâm 1.3 Các định lý quan trọng 1.3.1 Phép nghịch đảo biến siêu phẳng không qua cực nghịch đảo thành siêu cầu qua cực nghịch đảo, biến siêu cầu qua cực nghịch đảo thành siêu phẳng không qua cực nghịch đảo Chứng minh:  M M’ H’ H Q O Q’ Giả sử phép nghịch đảo  (O, k) E3, () mặt phẳng không qua O, H hình chiếu O lên (), H’ =  (H)  M  (), M’ =  (M) tứ giác MHH’M’ nội tiếp Do OM ' H '  900  M’  (OH’) ( Mặt cầu đường kính OH’) Ta có  [(O)] = (O),  [(O’)] = (O’) Đường tròn qua M tiếp xúc với (O) (O’) biến thành tiếp tuyến chung (O) (O’) Do (O), (O’) có hai tiếp tuyến chung d, d’ nên có hai đường tròn qua M tiếp xúc với (O) (O’) b) Gọi P’ = d  d’ , P =  (P’) Theo định nghĩa phép nghịch đảo MP MP '  MA , mà tam giác AMP’ vuông A  AP  MP’ Suy P nằm đường tròn đường kính AP’ cố định Vậy giao điểm P hai đường tròn di chuyển đường tròn cố định Ví dụ 15: Cho tam giác ABC, cạnh BC di động nằm đường thẳng cố định d Góc BAC   (0    900 ) không đổi, trực tâm H cố định Gọi khoảng cách từ H tới d 2k CMR: (HBC) tiếp xúc với đường tròn cố định Tính bán kính đường tròn theo theo k  Lời giải: A H C’ B’ I d B C A’ Gọi A’ chân đường cao hạ từ A xuống BC, I trung điểm HA’ 26 Xét phép nghịch đảo  =  (H, 4k2) Ta có:  (A’) = A’   (BC) = (HA’) = (I, k) Gọi B’, C’ giao HB, HC với (HA’)   (B) = B’,  (C) = C’ Ta lại có: BAC    BHC  2  B ' HC '  2  B 'C '  2k  B ' C '  2k sin 2 sin 2  B 'C '  2 2  d ( I , B ' C ')  k     k  k sin 2  k cos 2    d ( I , B ' C ')  k cos 2 2 Vậy B’C’ tiếp xúc với đường tròn cố định ( ) = (I, k.cos2 ) Mà  [(HBC)] = B’C’  Đường tròn (HBC) tiếp xúc với đường tròn cố định ( ’) =  [( )] Gọi R bán kính ( ’) ta có: R 4k k cos 2 4k cos 2 4k cos 2   HI  k cos 2 k sin 2 sin 2 Ví dụ 16: Cho hai đường tròn tâm O1, O2 tiếp xúc A Một tiếp tuyến d M đường tròn thứ cắt đường tròn thứ hai B C CMR: AM đường phân giác góc tạo hai đường thẳng AB AC C Lời giải : H B B’ N C’ M d M’ O2 A O1 m n 27 Gọi H hình chiếu A lên tiếp tuyến d Xét phép nghịch đảo  =  (A, AH2),  (H) = H   (d) = (AH), ( Đường tròn đường kính AH ) Giả sử :  [(O1)] = m,  [(O2)] = n Gọi giao điểm thứ hai AM với đường tròn (AH) M’ Vì d tiếp xúc với (O1) nên m tiếp xúc với (AH) M’ m vuông góc với AO1 Gọi giao điểm AB, AC với AH B’, C’ Ta có:  (B) = B’,  (C) = C’ Suy n qua B’, C’ n  AO1 Do m // n  B ' M '  M 'C ' Gọi M’N đường kính đường tròn (AH), ta có C ' N  NB ' Do đó: C ' AN  B ' AN hay AN phân giác góc CAB NAM  900 Vậy AM đường phân giác góc tạo hai đường thẳng AB AC 3.4 Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp Sử dụng tính chất phép nghịch đảo biến đường thẳng không qua cực nghịch đảo thành đường tròn qua cực nghịch đảo, biến đường tròn không qua cực nghịch đảo thành đường tròn không qua cực nghịch đảo Do để chứng minh tứ giác nội tiếp (hay chứng minh điểm nằm 28 đường tròn) ta thường chứng minh đỉnh tứ giác có ảnh qua phép nghịch đảo nằm đường thẳng không qua cực nghịch đảo nằm đường tròn không qua cực nghịch đảo Ví dụ 17: Cho hai bốn điểm A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ cho tứ giác ABCD, ABA’B’, BCB’C’, CDC’D’, DAD’A’ nội tiếp CMR: Tứ giác A’B’C’D’ nội tiếp Lời giải: B C B1 C1 A D D1’ D1 A1’ A’ D’ B’ B1’ C1’ C’ Xét phép nghịch đảo  =  (A, k), k  Gọi B1, C1, D1, A1’, B1’, C1’, D1’ thứ tự ảnh B, C, D, A’, B’, C’,D’ qua  Theo giả thiết tính chất phép nghịch đảo, ta có: B1, C1, D1 thẳng hàng; B1, A1’, B1’ thẳng hàng; D1, D1’, A1’ thẳng hàng Các tứ giác B1C1B1’C1’, C1D1C1’D1’ nội tiếp Ta chứng minh tứ giác A1’B1’C1’D1’ nội tiếp để suy tứ giác A’B’C’D’ nội tiếp Thật vậy: 29 Các tứ giác C1D1C1’D1’, B1C1B1’C1’ nội tiếp, ta có: ( C1' D1' , C1'C1 )  ( D1D1 ', DC 1) ' ( C1'C1 , C1' B1' )  ( BC 1 , B1B1 ) '  ( C1' D1' , C1' B1' )  ( D1D1' , DC 1 )  ( BC 1 , B1B1 )  ( D1 D1' , B1B1' ) (Do B1,, C1, D1 thẳng hàng)  ( A1' D1' , A1' B1' ) (Do B1, A1’, B1’ thẳng hàng D1, D1’, A1’ thằng hàng)  Tứ giác A1’B1’C1’D1’ nội tiếp Vậy tứ giác A’B’C’D’ nội tiếp Ví dụ 18: Cho đường tròn tâm O đường kính AB đường thẳng d, d  AB Đường tròn tâm A cắt (O) C’, D’; cắt d E’, F’ AC’, AD’ cắt d C, D; AE’, AF’ cắt (O) E, F CMR: Bốn điểm C, D, E, F nằm đường tròn Lời giải : C E C’ E’ k = AI AB suy k số Xét phép nghịch đảo  =  (A, k) ta có: B F’ D’ F  [(O)] = d   (C’) = C  (D’) = D O I A Gọi I = d  AB D d  (E) = E’   (E’) = E  (F) = F’   (F’) = F 30 Vì C’, D’, E’, F’ nằm đường tròn tâm A không qua cực nghịch đảo A  C, D, E, F nằm đường tròn không qua cực nghịch đảo A Vậy C, D, E, F nằm đường tròn Ví dụ 19: Cho bốn đường tròn (O1), (O2), (O3), (O4) mà đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn khác CMR: Các tiếp điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Lời giải: Xét phép nghịch đảo  =  (A, 1) C Khi  [(O1)] = d1 O4 D O3 O1  [(O2)] = d2 B  [(O3)] = (O3’)  [(O4)] = (O4’) A O2 Trong : d1// d2 (O3’) tiếp xúc với (O4’) C1 =  (C) Gọi B1 =  (B) B1 C1 =  (C) D1 =  (D) d2 Ta có : O3 ' B1  d   O4 ' D1  d1   O3 ' B1 / /O4 ' D1 d1 / / d   C1O3'B1 = D1O 4'C1  O3'C1B1 = O 4'C1D1 O3’ C1 d1 O4’ D1 (so le trong)  B1, C1, D1 thẳng hàng 31 Vậy bốn điểm A, B, C, D nằm đường tròn Ví dụ 20: Trong mp() cho đường tròn tâm O hai dây cung AC, BD cắt H Trên đường thẳng vuông góc với () H ta lấy điểm S Gọi A’, B’, C’, D’ hình chiếu vuông góc H đường thẳng SA, SB, SC, SD CMR: A’, B’, C’, D’ nằm đường tròn Lời giải: S D’ D A’ H A B’  C’ C B Trong E3 xét phép nghịch đảo  =  (S, SH2) Ta có: SA SA' = SB SB' = SC SC' = SD SD' = SH2  (A) = A’,  (B) = B’,  (C) = C’,  (D) = D’   [()] = (SH) ( Mặt cầu đường kính SH ) Vì A, B, C, D  () nên A’, B’, C’, D’  (SH) Giả sử  biến mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD thành mặt phẳng (  ) Do A’, B’, C’, D’  (  ) 32 Vậy A’, B’, C’, D’ nằm đường tròn giao mặt phẳng (  ) mặt cầu đường kính SH 3.5 Bài tập đề nghị lời giải Bài 1: Cho đường tròn ( O; R), (C) (C’) hai đường tròn qua tâm O trực giao với nhau, tiếp xúc với (O) (C) (C’) cắt giao điểm thứ hai I R CMR: OI  d2 Giải : (C) I Xét phép nghịch đảo  =  (O, - R2) Khi (O) siêu cầu kép  [(C)] = d1 ;  [(C’)] = d2 (C’) O Do tính chất bảo toàn góc hai đường cong phép nghịch đảo d1 K  d1, d2 tiếp tuyến (O) d1  d2 , ảnh I giao điểm d1 d2 Theo định nghĩa phép nghịch đảo OI OK   R Mà: OK  R  OI  R Bài 2: Cho điểm M nằm tam giác ABC, x = MA, y = MB, z = MC; p, q, n khoảng cách từ M đến BC, CA, AB CMR: Giải : 1 1  1 1 1    .  .   p.q.n  x y   y z   z x  A x N n M q Q y p B P z 33 C Giả sử đoạn thẳng BC, CA, AB có độ dài a, b, c Tứ giác MQAN nội tiếp đường tròn (AM)  NQ  AM sin A  x a R ( R bán kính đường tròn (ABC) ) NMQ có NMQ  180  NAQ  B  C   NQ  n  q  2.n.q.cos B  C  Suy ra:  NQ  n.sin B  q.sin C   NQ  q.sin B  n.sin C  NQ  NQ  n.sin B  q.sin C  q.sin B  n.sin C  x a b c b c  n  q  q  n 2R 2R 2R 2R 2R  2ax  nb  qc  qb  nc  2ax   q  n   b  c  Tương tự: 2by   n  p  c  a 2cz   p  q  a  b Do đó: 8abcxyz   p  q   q  n   n  p   a  b   b  c   c  a   8abcxyz   p  q   q  n   n  p  abbcca  xyz   p  q   q  n   n  p    Xét phép nghịch đảo :  =  (M, 1)  (A) = A1 ,  (B) = B1 ,  (C) = C1 34  (P) = P1 ,  (Q) = Q1 ,  (N) = N1 Theo định nghĩa phép nghịch đảo ta có : MA1  1 , MB1  , MC1  , x y z MP1  1 , MQ1  , MN1  p q n Vì  [(AQMN)] = N1Q1 ,  (AM) = MA1, AM trực giao với (AQMN) nên ta có MA1  Q1N1 Tương tự : MB1  N1P1, MC1  P1Q1 , A1  Q1N1 , B1  N1P1 , C1  P1Q1 Xét  P1Q1N1, áp dụng bất đẳng thức (*) ta có : MP1 MQ1 MN1   MA1  MB1   MB1  MC1   MC1  MA1   1 1 1 1 1 1           pqn  x y   y z   z x  Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB đường thẳng d  AB Đường tròn tâm A cắt (O) C’ cắt d D’ AC’ d cắt C, AD’ cắt (O) D CMR: CC’ = DD’ d Giải: C C’ A Gọi I = d  AB, I O B D’ Đặt k  AI AB D 35 Xét phép nghịch đảo  (A, k) , ta có  [(O)] = d   (C) = C’ , (D) = D’  AC ' AC  AD' AD  k  AC ' AC  AD' AD Mà AC '  AD'  AC  AD  CC '  DD' Bài 4: Cho hai đường thẳng a, b vuông góc với điểm A không nằm chúng Góc vuông xA y quay quanh A, cắt a M, M’; B cố định thuộc b không thuộc a CMR: Đường tròn (BMM’) qua điểm C cố định khác B Giải : Gọi H hình chiếu A a Ta có:  AMM’ vuông A  HM HM '   HA2 Xét phép nghịch đảo:  =  (H, - HA2) ;  (M) = M’, Gọi C =  (B), B cố định suy C cố định Do tứ giác MBM’C nội tiếp nên đường tròn (BMM’) qua điểm C cố định b A C a x M’ H M y B Bài 5: Cho đường tròn (O, R) điểm S nằm hình tròn AB đường kính thay đổi (O) Các đường thẳng SA, SB cắt (O) M, N 36 CMR: Đường thẳng MN qua điểm cố định đường tròn ngoại tiếp  SMN qua điểm cố định Giải: S M E A J B O I *) Gọi I = SO  (SAB) Ta có : OI OS  OA OB   R  IO  N R2  I cố định OS Xét phép nghịch đảo  =  (S, PS/(O))  (A) = M;  (B) = N   [(SAB)] = MN   (I) = J  MN Do I cố định nên J cố định Vậy MN qua điểm J cố định *) Gọi E = SO  (SMN) Với phép nghịch đảo xét ta có:  [(SMN)] = AB   (O) = E  (SMN) Do O cố định nên E cố định Vậy (SMN) qua điểm cố định E Bài 6: Trong không gian cho mặt cầu ( ) tâm O, bán kính R điểm A cố định nằm ( ) Mặt phẳng () thay đổi qua tâm O cắt ( ) theo đường tròn (S) a) CMR: Mặt cầu ( ’) qua A (S) qua điểm cố định khác A b) Điểm M di động (S), AM cắt mặt cầu ( ) N CMR: N di chuyển đường tròn (S’) mặt cầu qua A (S’) qua điểm cố định khác A Giải: 37 a) Gọi CD đường kính (S) Xét phép nghịch đảo 1 =  (O, -R2), 1 (C) = D Gọi A1 =1(A) A1 cố định A cố định Theo tính chất phép nghịch đảo: tứ giác ACA1D nội tiếp  A1  (ACD)  ( ’) Do mặt cầu ( ’) qua A1 cố định b) Ta có A M A N = PA/( ) = k không đổi Xét phép nghịch đảo 2 =  (O,k), 2(M) = N, 2[( )] = ( ) Gọi mặt cầu ( *) =  [()] Mà M  (S) = ()  ( ) suy N  ( *)  ( ) = (S’) Do điểm N di chuyển đường tròn (S’) cố định Ta có mặt cầu ( *) qua A (S’) Do () qua O cố định nên ( *) = 2 [()] qua O1 = 2(O) cố định C (S) (S’) O N M A D Kết Luận 38 Khóa luận “ Phép nghịch đảo với toán chứng minh” trình bày khái niệm bản, tính chất, định lý quan trọng phép nghịch đảo sâu vào việc sử dụng phép nghịch đảo để chứng minh toán mặt phẳng không gian Trong khóa luận đưa vào số lớp toán chứng minh giải cách sử dụng phép nghịch đảo ví dụ minh họa cho lớp toán Bên cạnh bổ sung số tập luyện tập có lời giải giúp người đọc dễ dàng lĩnh hội kiến thức thấy tính hữu ích phép nghịch đảo giải toán chứng minh Do hạn chế thời gian kinh nghiệm làm tập nghiên cứu nên số lượng ví dụ đưa chưa nhiều đặc biệt toán không gian Vì mong thầy cô giáo tổ hình học, bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khóa luận hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn ! Tài Liệu Tham Khảo 39 Bùi Văn Bình, Nguyễn Văn Vạn (1993), Giáo trình hình học sơ cấp, Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, Hà Nội Bùi Văn Bình (1993), Bài tập hình học sơ cấp – Tập 2, Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, Hà Nội Nguyễn Mộng Hy (2003), Các phép biến hình mặt phẳng, Nhà xuất giáo dục Đỗ Thanh Sơn (2005), Phép biến hình không gian, Nhà xuất giáo dục 40 [...]... toán chứng minh Bài toán chứng minh là bài toán cơ bản trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng Bài toán chứng minh chứa đựng trong hầu hết các bài toán hình học khác nhau như bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán tính toán Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề A => B đúng trong đó A là giả thiết của bài toán, B là kết luận của bài toán 2.2 Phương pháp chung áp dụng phép. .. phép nghịch đảo vào bài toán chứng minh Vận dụng phép nghịch đảo vào bài toán chứng minh là dựa vào giả thiết đã cho, điều phải chứng minh để chọn phép nghịch đảo thích hợp làm cho việc chứng minh bài toán trở nên dễ dàng hơn Để giải một bài toán chứng minh có ứng dụng phép nghịch đảo thông thường bao gồm các thao tác sau: + Nghiên cứu kỹ đề bài, vẽ hình chính xác 10 + Xác định rõ yếu tố cần chứng minh, ... giao với siêu cầu nghịch đảo 1.3.8 Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực nghịch đảo là một phép vị tự 1.3.9 Tích của một phép vị tự và một phép nghịch đảo có tâm vị tự và cực nghịch đảo trùng nhau là một phép nghịch đảo 1.3.10 Tích của một phép vị tự và một phép nghịch đảo có cực nghịch đảo và tâm vị tự khác nhau có thể phân tích thành tích của một phép tịnh tiến và một phép nghịch đảo Tích của hai phép. .. LỚP BÀI TOÁN CHỨNG MINH ÁP DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO 3.1 Bài toán chứng minh hệ thức liên hệ giữa các đại lượng hình học Các hệ thức ở đây có thể là các đẳng thức, bất đẳng thức trong hình học Với các bài toán thuộc dạng này cần chú ý áp dụng tính chất về mối quan hệ độ dài trong phép nghịch đảo A' B '  k AB OA.OB Với A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo  (O, k) Ví dụ 1: Xét phép nghịch đảo. .. phép nghịch đảo không đồng cực phương tích dương có thể phân tích một cách duy nhất thành tích của một phép đối xứng qua siêu phẳng và một phép nghịch đảo hoặc một phép nghịch đảo và một phép đối xứng qua siêu phẳng mà siêu phắng đối xứng là siêu phẳng đẳng phương của hai siêu cầu nghịch đảo 9 Chương 2 BÀI TOÁN CHỨNG MINH VÀ PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ ÁP DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀO BÀI TOÁN CHỨNG MINH 2.1 Bài toán. .. [()] = (OH’) Do tính chất đối hợp của phép nghịch đảo nên phép nghịch đảo biến mặt cầu đi qua cực nghịch đảo thành mặt phẳng không đi qua cực nghịch đảo Chứng minh trong E2 tương tự 1.3.2 Phép nghịch đảo biến siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo thành siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo Chứng minh: M M’ 2 1 O 1 2 B’ B A’ A P’ P Giả sử trong E3 cho phép nghịch đảo  (O, k) và mặt cầu ( ) tâm I không... Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp Sử dụng tính chất của phép nghịch đảo biến đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo thành đường tròn đi qua cực nghịch đảo, biến đường tròn không đi qua cực nghịch đảo thành đường tròn không đi qua cực nghịch đảo Do đó để chứng minh tứ giác nội tiếp (hay chứng minh các điểm cùng nằm 28 trên đường tròn) ta thường chứng minh các đỉnh của tứ giác đó có ảnh qua một phép. .. minh, các yếu tố đã cho, các yếu tố cố định và quan hệ ban đầu giữa các yếu tố đó + Dựa vào kết quả phân tích ở trên, lựa chọn một phép nghịch đảo với cực nghịch đảo và phương tích nghịch đảo xác định + Xác định ảnh và mối quan hệ giữa các yếu tố hình học để có thể chuyển bài toán về bài toán mới đơn giản hơn + Giải bài toán mới + Dựa vào tính chất của phép nghịch đảo để suy ra điều phải chứng minh. .. bảo toàn góc giữa các đường nên nó bảo toàn quan hệ tiếp xúc, song song, trực giao giữa các đường Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể chứng minh các ảnh của chúng qua một phép nghịch đảo là một đường thẳng và một đường tròn tiếp xúc nhau hoặc là hai đường tròn tiếp xúc nhau Để chứng minh hai đường tiếp xúc nhau ta có thể chứng minh các ảnh của chúng qua một phép nghịch đảo là hai đường... 6 Ngược lại, lấy P’  (A’B’), chứng minh tương tự trên ta có P =  (P’)  ( ) Tóm lại  [( )] = (A’B’) Trong E2 chứng minh tương tự 1.3.3 Phép nghịch đảo biến đường thẳng đi qua cực nghịch đảo thành chính nó Hiển nhiên theo định nghĩa của phép nghịch đảo 1.3.4 Nếu A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo  (O, k) thì A' B '  k AB OA.OB 1.3.5 Phép nghịch đảo bảo tồn góc giữa hai đường ... phương hai siêu cầu nghịch đảo Chương BÀI TOÁN CHỨNG MINH VÀ PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ ÁP DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀO BÀI TOÁN CHỨNG MINH 2.1 Bài toán chứng minh Bài toán chứng minh toán toán học nói chung... hai phép nghịch đảo cực nghịch đảo phép vị tự 1.3.9 Tích phép vị tự phép nghịch đảo có tâm vị tự cực nghịch đảo trùng phép nghịch đảo 1.3.10 Tích phép vị tự phép nghịch đảo có cực nghịch đảo tâm... dụng phép nghịch đảo vào toán chứng minh Vận dụng phép nghịch đảo vào toán chứng minh dựa vào giả thiết cho, điều phải chứng minh để chọn phép nghịch đảo thích hợp làm cho việc chứng minh toán