Phép nghịch đảo với các bài toán chứng minh

Trong nhiều trường hợp phép biến hình là công cụ hữu hiệu cho phép giải hợp lý và ngắn gọn các bài toán của hình học như bài toán chứng minh, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình và bài

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Người hướng dẫn khoa học

GV ĐINH VĂN THỦY

HÀ NỘI - 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Lời Cảm Ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo Đinh Văn Thủy,

người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua để tôi hoàn thành được khóa luận này

Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô trong tổ hình học, các thầy cô và các bạn sinh viên đã nhiệt tình góp ý, giúp đỡ trong thời gian tôi học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận

Do trình độ chuyên môn còn hạn chế, thời gian nghiên cứu eo hẹp nên vấn đề mà tôi trình bày trong khóa luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Tôi kính mong nhận được sự góp ý, phê bình của thầy, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội , ngày 14 tháng 5 năm 2012 Sinh viên

Đỗ Thị Thu Hà

Lời Cam Đoan

Khóa luận tốt nghiệp của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình

của thầy giáo Đinh Văn Thủy cùng với sự cố gắng của bản thân

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Tôi xin cam đoan các vấn đề tôi trình bày trong khóa luận này là kết quả

nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy giáo Đinh Văn Thủy

Tôi xin chịu mọi trách nhiệm về lời cam đoan của mình

Hà Nội , ngày 14 tháng 5 năm 2012 Sinh viên

Đỗ Thị Thu Hà

Mục lục

Lời Cảm Ơn

Lời Cam Đoan

Mở Đầu 4

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

Chương 1 SƠ LƯỢC VỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO 3

1.1 Khái niệm về phép nghịch đảo 3

1.2.Các tính chất cơ bản 3

1.3 Các định lý quan trọng 5

Chương 2 BÀI TOÁN CHỨNG MINH VÀ PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ ÁP DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀO BÀI TOÁN CHỨNG MINH 10

2.1 Bài toán chứng minh 10

2.2 Phương pháp chung áp dụng phép nghịch đảo vào bài toán chứng minh 10

Chương 3 MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN CHỨNG MINH ÁP DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO 12

3.1 Bài toán chứng minh hệ thức liên hệ giữa các đại lượng hình học 12

3.2 Bài toán chứng minh yếu tố cố định trong hình học 16

3.3 Bài toán chứng minh mối liên hệ về góc giữa các đường 21

3.4 Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp 28

3.5 Bài tập đề nghị và lời giải 33

Kết Luận 38

Tài Liệu Tham Khảo 39

Mở Đầu

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là môn học hấp dẫn thu hút nhiều học sinh yêu toán Việc giải các bài tập tìm ra những cách giải hay, độc đáo sẽ phát huy tính sáng tạo và niềm say mê đối với môn học Mỗi bài tập hình học có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ, phương pháp véctơ và phương pháp biến hình

Trong nhiều trường hợp phép biến hình là công cụ hữu hiệu cho phép giải hợp lý và ngắn gọn các bài toán của hình học như bài toán chứng minh, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình và bài toán tính toán

Trong chương trình toán phổ thông, học sinh được học các phép biến hình: phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến, phép

vị tự Phép nghịch đảo là phép biến hình không đưa vào chương trình phổ thông chỉ được đề xuất khi luyện học sinh chuyên, bồi dưỡng học sinh giỏi Phép nghịch đảo với những tính chất khác biệt của nó đưa đến hướng giải quyết mới trong một số lớp bài toán của hình học, trong đó có lớp bài toán chứng minh

Với tính chất bảo toàn góc, có khả năng biến đường thẳng thành đường thẳng hoặc đường tròn, có khả năng biến đường tròn thành đường tròn hoặc đường thẳng và nhiều tính chất quan trọng khác Phép nghịch đảo có thể đơn giản hóa được một số yếu số phức tạp trong một số bài toán chứng minh, giúp cho lời giải của bài toán trở nên ngắn gọn, chính xác, logic hơn

Tôi luôn mong muốn tìm hiểu kỹ hơn về ứng dụng của phép biến hình

để có một số tư liệu quan trọng cho công tác giảng dạy hình phổ thông nhưng trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp, do thời gian nghiên cứu có hạn nên tôi chỉ tập trung khai thác ứng dụng của phép nghịch đảo trong việc giải các bài toán chứng minh

Đó chính là lý do tôi lựa chọn đề tài: Phép nghịch đảo với các bài toán chứng minh

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép nghịch đảo và ứng dụng của nó trong việc giải một số lớp bài toán chứng minh

- Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập thể hiện việc sử dụng phương pháp nghịch đảo vào bài toán chứng minh

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

- Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng của phép nghịch đảo trong việc giải các bài toán chứng minh

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo trình, bài giảng chuyên đề và các tài liệu tham khảo có liên quan

Chương 1

SƠ LƯỢC VỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO

1.1 Khái niệm về phép nghịch đảo

Trong không gian bảo giác Bn cho điểm O và một số thực k  0 Phép

biến hình của Bn cho ứng mỗi điểm M với điểm M’ được xác định như sau

  2(O, k) = idBn

1.2.2 Nếu M, M’ tương ứng nhau qua  (O, k) thì O, M, M’ thắng hàng

1.2.3 Nếu phương tích nghịch đảo k<0 thì phép nghịch đảo không có điểm

bất động Nếu phương tích nghịch đảo k>0 thì phép nghịch đảo có tập hợp

Thật vậy , xét phép nghịch đảo  (O, k), k 0

  OMN’ đồng dạng với  ONM’  OMN' ONM'

Do đó tứ giác MM’NN’ nội tiếp

1.2.5 Mọi siêu cầu có tính chất phương tích của cực nghịch đảo đối với nó

bằng phương tích nghịch đảo là siêu cầu bất động

Hiển nhiên theo định nghĩa của phép nghịch đảo và tính chất của phương tích

1.2.6 Mọi phép nghịch đảo  (O, k) đều có thể phân tích thành tích của phép

nghịch đảo  (O, -k) và phép đối xứng tâm O(Đo)

 (O, k) = Đo  ( O, -k)

Hiển nhiên theo định nghĩa phép nghịch đảo và phép đối xứng tâm

1.3 Các định lý quan trọng

1.3.1 Phép nghịch đảo biến siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo

thành siêu cầu đi qua cực nghịch đảo, biến siêu cầu đi qua cực nghịch đảo thành siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo

Ngược lại, nếu lấy điểm Q’  (OH’), Q =  (Q’), tứ giác HH’QQ’ nội tiếp  0

90

OHQ  Do đó Q  ()

Tóm lại  [()] = (OH’)

Do tính chất đối hợp của phép nghịch đảo nên phép nghịch đảo biến mặt cầu

đi qua cực nghịch đảo thành mặt phẳng không đi qua cực nghịch đảo

Chứng minh trong E2 tương tự

1.3.2 Phép nghịch đảo biến siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo thành

siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo

Tứ giác MBM’B’ nội tiếp B1M1'

Tứ giác MAM’A’ nội tiếp '

Ngược lại, lấy P’  (A’B’), chứng minh tương tự trên ta có P =  (P’)  ( )

Tóm lại  [( )] = (A’B’)

Trong E2 chứng minh tương tự

1.3.3 Phép nghịch đảo biến đường thẳng đi qua cực nghịch đảo thành chính

nó

Hiển nhiên theo định nghĩa của phép nghịch đảo

1.3.4 Nếu A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo  (O, k) thì

Bổ đề : Phép nghịch đảo  (O, k) biến đường cong ( ) thành đường cong (

’) biến A  ( ) thành A’  ( ’) Chứng minh rằng nếu tại A, A’ có các tiếp

tuyến At và A’t’ thì chúng đối xứng nhau qua đường trung trực của AA’

Chứng minh Bổ đề :

( ’) ( )

Lấy trên ( ) và ( ’) hai điểm tương ứng M , M’ khá gần A , A’ sao cho khoảng cách OM không bị triệt tiêu khi M tiến dần đến A Ta có A, M, A’, M’ nội tiếp đường tròn (K) Khi M tiến dần đến A thì M’ tiến dần đến A’, cát tuyến AM dần đến tiếp tuyến At, cát tuyến A’M’ dần đến tiếp tuyến A’t’, đường tròn (K) dần đến đường tròn (K0)

Khi M  A thì At, At’ cũng là các tiếp tuyến của đường tròn (K0), do đó nó đối xứng nhau qua đường trung trực của AA’

Chứng minh Định lý :

Giả sử hai đường cong ( ) và ( ) cắt nhau ở A Các đường cong tương ứng

(  ’ ) và (  ’) qua phép nghịch đảo  (O, k) cắt nhau ở A’

Theo bổ đề trên ta có các tiếp tuyến At và At’ đối xứng nhau qua đường trung trực d của AA’, các tiếp tuyến Au và A’u’ cũng đối xứng nhau qua đường thẳng d

Theo tính chất của phép đối xứng trục ta có :

1.3.6 Phép nghịch đảo bảo toàn tỷ số kép của 4 điểm thẳng hàng nằm trên

đường thẳng đi qua cực nghịch đáo

1.3.7 Điều kiện cần và đủ để hai điểm M, M ’ tương ứng nhau qua phép nghịch đảo  (O, r 2 ) của không gian B n (n=2,3) là có n siêu cầu qua hai điểm

đó trực giao với siêu cầu nghịch đảo

1.3.8 Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực nghịch đảo là một phép vị

tự

1.3.9 Tích của một phép vị tự và một phép nghịch đảo có tâm vị tự và cực

nghịch đảo trùng nhau là một phép nghịch đảo

1.3.10 Tích của một phép vị tự và một phép nghịch đảo có cực nghịch đảo

và tâm vị tự khác nhau có thể phân tích thành tích của một phép tịnh tiến và một phép nghịch đảo

Tích của hai phép nghịch đảo không đồng cực phương tích dương có thể phân tích một cách duy nhất thành tích của một phép đối xứng qua siêu phẳng và một phép nghịch đảo hoặc một phép nghịch đảo và một phép đối xứng qua siêu phẳng mà siêu phắng đối xứng là siêu phẳng đẳng phương của hai siêu cầu nghịch đảo

Chương 2 BÀI TOÁN CHỨNG MINH VÀ PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ ÁP DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀO BÀI

TOÁN CHỨNG MINH

2.1 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh là bài toán cơ bản trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng Bài toán chứng minh chứa đựng trong hầu hết các bài toán hình học khác nhau như bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán tính toán

Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề A => B đúng trong đó A là giả thiết của bài toán, B là kết luận của bài toán

2.2 Phương pháp chung áp dụng phép nghịch đảo vào bài toán chứng minh

Vận dụng phép nghịch đảo vào bài toán chứng minh là dựa vào giả thiết đã cho, điều phải chứng minh để chọn phép nghịch đảo thích hợp làm cho việc chứng minh bài toán trở nên dễ dàng hơn

Để giải một bài toán chứng minh có ứng dụng phép nghịch đảo thông thường bao gồm các thao tác sau:

+ Nghiên cứu kỹ đề bài, vẽ hình chính xác

+ Xác định rõ yếu tố cần chứng minh, các yếu tố đã cho, các yếu tố cố định và quan hệ ban đầu giữa các yếu tố đó

+ Dựa vào kết quả phân tích ở trên, lựa chọn một phép nghịch đảo với cực nghịch đảo và phương tích nghịch đảo xác định

+ Xác định ảnh và mối quan hệ giữa các yếu tố hình học để có thể chuyển bài toán về bài toán mới đơn giản hơn

+ Giải bài toán mới

+ Dựa vào tính chất của phép nghịch đảo để suy ra điều phải chứng minh

Chương 3 MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN CHỨNG MINH ÁP DỤNG

PHÉP NGHỊCH ĐẢO

3.1 Bài toán chứng minh hệ thức liên hệ giữa các đại lượng hình học

Các hệ thức ở đây có thể là các đẳng thức, bất đẳng thức trong hình học

Với các bài toán thuộc dạng này cần chú ý áp dụng tính chất về mối quan

hệ độ dài trong phép nghịch đảo

Với A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo  (O, k)

Ví dụ 1: Xét phép nghịch đảo biến ba đỉnh của tam giác vuông ABC thành ba

điểm A’, B’, C’ Từ hệ thức lượng trong tam giác ABC hãy suy ra hệ thức lượng trong tứ giác OA’B’C’ với O là cực của phép nghịch đảo trên

OB OC

 ' '

' '

k C A CA

OC OA



Ta có:  ABC vuông tại A

 AB2AC2BC2

(Đây chính là hệ thức lượng trong tứ giác OA’B’C’)

Ví dụ 2: (Bất đẳng thức PTÔLÊMÊ) Trong không gian cho 4 điểm A, B,

Dấu “ = ” xảy ra  A’, B’, C’ thẳng hàng theo thứ tự

 Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng và tứ giác ABCD nội tiếp

Ví dụ 3: (Hệ thức ƠLE)

Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp (O, R), đường tròn nội tiếp (I, r) Gọi d là khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Chứng minh : d2  R2  2 R r

Lời giải:

A

Gọi tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) với các cạnh BC, CA, AB lần lượt là

 (Với r’ là bán kính đường tròn (DEF) )

Do  DEF là tam giác trung bình của  MNP nên '

Suy ra: I/(ABC)  2 Rr

Mà I nằm trong đường tròn (ABC) nên:

I/(ABC)  d2  R2  R2  d2

 R2  d2  2 Rr

Vậy d2  R2  2 Rr

Ví dụ 4: Cho đường tròn (C) = (O, r) và A (C), điểm B nằm trên OA và AB

= d Cát tuyến qua B cắt (C) ở M và M’ Đường vuông góc với AB tại B cắt

AM, AM’ tại P và P’

Xét phép nghịch đảo  =  (B, PB/(O)), Khi đó M’ =  (M)

Gọi A’ =  (A) thì A’ = AB  (C)   (AM’) = (A’MB)

Tứ giác A’BPM nội tiếp  P  (A’BM)   (P)  AM’

Vậy BP BP '  d2 2dr

3.2 Bài toán chứng minh yếu tố cố định trong hình học

Trong hình học thường có các bài toán chứng minh: đường thẳng đi qua điểm cố định, đường tròn đi qua điểm cố định

Sử dụng tính chất của phép nghịch đảo biến hai điểm A, B thành hai điểm

tương ứng A’, B’ thì tứ giác ABA’B’ nội tiếp, nếu chỉ ra A cố định thì A’

cũng cố định (Cực nghịch đảo và phương tích nghịch đảo cố định) Để chứng minh đường tròn đi qua điểm A cố định ta có thể gián tiếp chứng minh ảnh của đường tròn ấy (là đường thẳng hoặc đường tròn) qua phép nghịch đảo đi qua điểm A’cố định nào đó Ngược lại để chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định ta có thể chứng minh đường tròn tương ứng của đường thẳng ấy qua một phép nghịch đảo đi qua một điểm cố định

Có thể sử dụng tính chất bảo toàn tính tiếp xúc, tính trực giao giữa các đường của phép nghịch đảo để tìm điểm cố định

Ví dụ 5: Cho đường tròn (O), điểm S nằm ngoài (O) PQ là dây cung của (O) luôn đi qua điểm I cố định nẳm trong (O); SP, SQ cắt (O) tại P’, Q’

CMR: P’Q’ đi qua điểm cố định

Q’

I

AB

AM AM k kAB k Gọi

giao điểm thứ hai của BM, BM’ với (O) lần lượt là N, N’; các tiếp tuyến của

(O) đi qua M, M’: MT, MT’ với các tiếp điểm T, T’ khác A

CMR: NN’, TT’ đi qua các điểm cố định

Xét phép nghịch đảo 2 =  (B, BA2),

2(MA) = (O),  2(M) = N,  2(M’) = N’   2[(BMM’)] = NN’

Do đó đường thẳng NN’ luôn đi qua điểm B2 =  2(B1) cố định

*)Gọi P, P’ lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến tại A với BT, BT’

Ta có : OM  AT, BP  AT  OM // BP

Xét trong  ABP có O là trung điểm của AB, OM // BP

 OM là đường trung bình của  ABP

Mà M là trung điểm của AB nên AP = 2.AM

Tương tự ta có : AP’ = 2.AM’

Do đó AP AP ' 4k không đổi

Lập luận tương tự phần trên, thay M, M’, k bởi P, P’, 4k ta có TT’ đi qua điểm cố định B4 = 2(B3) với B3 = 3(B),

và hai phép nghịch đảo 2 =  (B, BA2) , 3 =  (A, 4k)

Ví dụ 7: Cho đường tròn (O, R) cố định và đường kính di động BC của nó

Giả sử A là điểm cố định khác O, không nằm trên (O) và AB, AC cắt (O) tại

điểm thứ hai lần lượt là B’, C’

a) CMR: các đường tròn (ABC), (AB’C’) đi qua điểm cố định khác

A

b) CMR: Đường tròn ƠLE của ABC đi qua điểm cố định khác O

Lời giải :

a) Xét phép nghịch đảo  1 =  (O, -R2),  1(B) = C

Gọi A1 =  1(A) Do A cố định nên A1 cố định

Khi đó tứ giác ABA1C nội tiếp nên đường tròn (ABC) đi qua A1 cố định Xét phép nghịch đảo 2 =  (A, P A/(O) )

 2(B) = B’ ,  2(C) = C’

  2[(AB’C’)] = BC, mà BC đi qua O cố định

 Đường tròn (AB’C’) đi qua O1 =  2(O) cố định

b) Đường tròn ƠLE của tam giác ABC đi qua trung điểm O của BC, hai chân đường cao B’ , C’ do đó là đường tròn (OB’C’)

Do  2(O) = O1 , 2(B’) = B,  2(C’) = C nên  2[(OB’C’)] = (O1BC)

Vì O1 cố định nên thay vai trò của điểm A ở câu a) bởi O1 ta có (O1BC) đi qua

D =  2(O1) cố định và (OB’C’) đi qua điểm D’ =  2(D) cố định

Ví dụ 8: Cho ba điểm P, A, B thẳng hàng theo thứ tự và đường thẳng d quay

quanh P Gọi (C), (C’) là các đường tròn qua A và B tiếp xúc với d tại M, M’

CMR: Đường tròn (AMM’) đi qua điểm cố định

C

A

B B’

O

O1 C’

A1