Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

8 Chương 2: ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC ..... Do vậy, với mong muốn tìm hiểu kỹ hơn về ứng dụng của phép biến hình để có một số tư liệu qua

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Đinh Văn Thủy, thầy

đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Em xin chân trọng cảm ơn thầy, cô trong tổ hình học, các thầy cô và toàn thể các bạn sinh viên trong khoa đã nhiệt tình góp ý, giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập nghiên cứu để hoàn thành khóa luận

Do trình độ chuyên môn còn hạn chế, thời gian nghiên cứu eo hẹp nên nội dung em trình bày trong khóa luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót,

em kính mong nhận được sự góp ý, phê bình của thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiên hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Phạm Thị Huyền Trang

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận

tình của thầy giáo Đinh Văn Thủy cùng với sự cố gắng của bản thân

Tôi xin cam đoan các vấn đề tôi trình bày trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy giáo Đinh Văn Thủy

Tôi xin chịu mọi trách nhiệm về lời cam đoan của mình

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Phạm Thị Huyền Trang

MỤC LỤC Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mục lục

Mở đầu 4

1 Lý do chọn đề tài 4

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 4

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 5

4 Phương pháp nghiên cứu 5

Chương 1: SƠ LƯỢC VỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO 6

1.1 Khái niệm về phép nghịch đảo 6

1.2 Các tính chất cơ bản 6

1.3 Các định lý quan trọng 8

Chương 2: ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC 15

2.1 Bài toán chứng minh 15

2.2 Sử dụng phép nghịch đảo trong bài toán chứng minh 15

2.3 Ứng dụng phép nghịch đảo để giải một số lớp bài toán chứng minh 16

2.3.1 Bài toán chứng minh mối quan hệ về góc giữa các đường 16

2.3.2 Bài toán chứng minh yếu tố cố định trong hình học 20

2.3.3 Bài toán chứng minh hệ thức mối liên hệ giữa các đại lượng hình học 27

2.3.4 Bài toán chứng minh mối quan hệ giữa các điểm, đường thẳng 33

2.4 Bài tập đề nghị và lời giải 38

Kết luận 47

Tài liệu tham khảo 48

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Mỗi bài tập hình học có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ, phương pháp véctơ và phương pháp biến hình Bài toán chứng minh là bài toán quen thuộc trong hình học Trong đó, phép biến hình có một vai trò quan trọng bởi tác dụng hữu hiệu của

nó khi ứng dụng vào một số bài toán chứng minh

Trong chương trình toán phổ thông các phép biến hình được giới thiệu

đó là: phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự trong hai nội dung chính là phép dời hình và phép đồng dạng Còn phép nghịch đảo

là phép biến hình không được đưa vào chương trình phổ thông chỉ được đề xuất trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh một số lớp chuyên toán

Với tính chất bảo toàn góc, có khả năng biến đường thẳng thành đường thẳng hoặc đường tròn, có khả năng biến đường tròn thành đường tròn hoặc đường thẳng và nhiều tính chất khác quan trọng Phép nghịch đảo có thể đơn giản hóa được một số yếu tố phức tạp trong bài toán chứng minh, giúp cho lời giải trở nên ngắn gọn hơn

Do vậy, với mong muốn tìm hiểu kỹ hơn về ứng dụng của phép biến hình để có một số tư liệu quan trọng cho công tác giảng dạy hình phổ thông,

tôi quyết định nghiên cứu đề tài: “Phép nghịch đảo và các bài toán chứng

minh”

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép nghịch đảo và ứng dụng phép nghịch đảo để giải một số lớp các bài toán chứng minh

Xây dựng các bài tập minh họa có sử dụng phép nghịch đảo vào bài toán chứng minh

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

- Phạm vi nghiên cứu: Một số lớp các bài toán chứng minh trong hình học sơ cấp

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo trình, các tài liệu tham khảo và các bài giảng chuyên đề

CHƯƠNG 1

SƠ LƯỢC VỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO

1.1 Khái niệm về phép nghịch đảo

Trong không gian bảo giác B n cho điểm O và một số thực k ¹0 Phép

biến hình của B n cho ứng mỗi điểm M với điểm M ’ được xác định như sau:

1.2.2 Nếu M, M’ tương ứng nhau qua N (O, k) thì O, M, M’ thẳng hàng

Hiển nhiên theo định nghĩa

1.2.3 Nếu phương tích nghịch đảo k<0 thì phép nghịch đảo không có điểm bất động Nếu phương tích nghịch đảo k>0 thì phép nghịch đảo có tập hợp các điểm bất động là siêu cầu tâm O, bán kính k

Thật vậy, xét phép nghịch đảo N (O, k), k¹0

Do đó M thuộc siêu cầu tâm O, bán kính k ¨

1.2.4 Nếu M, N Ï{O,¥} và đường thẳng MN không đi qua O, N (M) = M’,

Hiển nhiên theo định nghĩa của phép nghịch đảo và tính chất của phương tích

1.2.6 Mọi phép nghịch đảo N (O, k) đều có thể phân tích thành tích của phép nghịch đảo N (O,-k) và phép đối xứng tâm O (Đo)

N (O, k) = Đo N (O,-k)

Hiển nhiên theo định nghĩa phép nghịch đảo và phép đối xứng tâm

1.3 Các định lý quan trọng

1.3.1 Phép nghịch đảo biến siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo thành siêu cầu đi qua cực nghịch đảo, biến siêu cầu đi qua cực nghịch đảo thành siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo

Chứng minh:

Giả sử phép nghịch đảo N (O, k)trong E3, (α) là mặt phẳng không đi qua O, H

là hình chiếu của O lên (α), H ’ = N (H)

"M Î (α), M ’ = N (M) khi đó tứ giác MHH ’M’ nội tiếp

' ' 90

OM H = Þ M Î (OH’) (Mặt cầu đường kính OH’ )

Ngược lại, nếu lấy điểm Q’ Î (OH’ ), Q = N (Q ’), tứ giác HH’QQ’ nội tiếp

Þ · 0

90

OHQ = Do đó Q Î (α)

Tóm lại N [(α)] = (OH ’) ¨

Do tính chất đối hợp của phép nghịch đảo nên phép nghịch đảo biến mặt cầu

đi qua cực nghịch đảo thành mặt phẳng không đi qua cực nghịch đảo

Chứng minh trong E2 tương tự

1.3.2 Phép nghịch đảo biến siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo thành siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo

Tóm lại N [(C)] = (A’B’) ¨

Chứng minh trong E2 tương tự

1.3.3 Phép nghịch đảo biến siêu phẳng đi qua cực nghịch đảo thành chính nó

Hiển nhiên theo định nghĩa của phép nghịch đảo

1.3.4 Nếu A’, B ’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo N (O, k) thì

.' '

Khi M º A thì At, A’t’ cũng là các tiếp tuyến của đường tròn (K0), do

đó nó đối xứng nhau qua đường trung trực của AA’

Theo tính chất của phép đối xứng trục ta có:

Giả sử 4 điểm A, B, C, D nằm trên đường thẳng a đi qua cực O của phép

nghịch đảo N (O, k), có các ảnh tương ứng là A’, B’, C’, D’ ta có:

nghịch đảo N (O, r 2 ) của không gian Bn (n=2, 3) là có n siêu cầu qua hai điểm

đó trực giao với siêu cầu nghịch đảo

1.3.8 Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực nghịch đảo là một phép vị tự

2' ''

Chứng minh:

Giả sử trong En (n=2, 3) có phép nghịch đảo N = N (O1, k1) và phép vị tự V =

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC

2.1 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh là bài toán cơ bản trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng Bài toán chứng minh chứa đựng trong hầu hết các bài toán hình học khác như bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán tính toán

Bài toán chứng minh là bài toán chỉ ra mệnh đề AÞB đúng trong đó A

là giả thiết của bài toán, B là kết luận của bài toán

Để giải bài toán chứng minh thông thường xuất phát từ giả thiết A và những mệnh đề đúng đã biết, bằng lập luận chặt chẽ, quy tắc suy luận logic, dựa vào các định nghĩa, tiên đề, tính chất, định lý, hệ quả của các đối tượng hình học để đi đến kết luận B Trong một số trường hợp có thể phải chứng minh thêm một số bài toán phụ làm cơ sở để chứng minh bài toán ban đầu

2.2 Sử dụng phép nghịch đảo vào bài toán chứng minh

Để giải một số bài toán chứng minh có ứng dụng phép nghịch đảo, thông thường bao gồm các thao tác sau:

+ Nghiên cứu kỹ đề bài, vẽ hình chính xác

+ Xác định rõ yếu tố cần chứng minh, các yếu tố đã cho, các yếu tố cố định và quan hệ ban đầu giữa các yếu tố đó

+ Dựa vào kết quả phân tích ở trên, lựa chọn một phép nghịch đảo với cực nghịch đảo và phương tích nghịch đảo xác định

+ Xác định ảnh và mối quan hệ giữa các ảnh của các yếu tố hình học để

có thể chuyển bài toán về bài toán mới đơn giản hơn

+ Giải bài toán mới

+ Dựa vào tính chất của phép nghịch đảo để suy ra điều phải chứng minh

2.3 Ứng dụng phép nghịch đảo để giải một số lớp các bài toán chứng minh 2.3.1 Bài toán chứng minh mối quan hệ về góc giữa các đường

Do phép nghịch đảo bảo toàn góc giữa các đường nên nó bảo toàn quan

hệ tiếp xúc, song song, trực giao giữa các đường

Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể chứng minh các ảnh của chúng qua một phép nghịch đảo là một đường thẳng và một đường tròn tiếp xúc nhau hoặc là hai đường tròn tiếp xúc nhau

Để chứng minh hai đường tiếp xúc nhau ta có thể chứng minh các ảnh của chúng qua một phép nghịch đảo là hai đường tiếp xúc nhau hoặc là hai đường thẳng song song với nhau

Để chứng minh hai đường thẳng trực giao với nhau, đường thẳng trực giao với đường tròn, hoặc hai đường tròn trực giao với nhau ta có thể chứng minh các ảnh của chúng qua một phép nghịch đảo là các đường trực giao với nhau nếu việc chứng minh quan hệ trực giao trên các ảnh đó thuận lợi hơn

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi B0, C0 lần lượt là hình chiếu của B, C trên AC, AB

CMR: Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) song song với B0C0, từ đó suy ra

Khi đó ta có: N (B0) = C

N (C0) = B

Nên N (B0C0) = (O)

Gọi ta là tiếp tuyến tại A của (O) thì N (ta) = ta

Mặt khác ta tiếp xúc với (O) do đó ta // B0C0 (phép nghịch đảo bảo tồn góc) Khi ấy, ta có AO^B0C0 (vì ta ^ AO)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Một đường tròn tâm O đi qua hai điểm A, C và

cắt đoạn AB, BC lần lượt tai hai điểm K, N Giả sử các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và KBN cắt nhau tại đúng hai điểm phân biệt B, M

90

OMB =

Lời giải:

Gọi R là bán kính đường tròn tâm O, P=KNIAC, S=KC IAN

Ta có B là đối cực của PS qua (O) và ngược lại P sẽ là đối cực của BS qua (O) Do đó S sẽ là đối cực BP qua (O)

)

PM’.PB = PO.PB’ dẫn đến PM ’.PB = PA.PC, tức là M’ Î (ABC)

Thấy rằng PA.PC = PK.PN =PM’.PB, do đó M’ Î (BKN) Hay

M’ º (BKN)I(ABC) º M

90

OMB=

Ví dụ 3: Cho bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng

CMR: Góc giữa hai đường tròn (ABC), (ABD) bằng góc giữa hai đường tròn (CDA), (CDB)

Ví dụ 4: Cho đường tròn (O) và hai dây AA’, BB’ vuông góc với nhau tại P

cố định nằm bên trong đường tròn (O).Gọi I là trung điểm đoạn A’B’

CMR: PI ^AB

2.3.2 Bài toán chứng minh yếu tố cố định trong hình học

Trong hình học thường có các bài toán chứng minh: Đường thẳng đi qua điểm cố định, đường tròn đi qua điểm cố định

Sử dụng tính chất phép nghịch đảo biến hai điểm A, B thành hai điểm tương ứng A’, B’ thì tứ giác ABA’B’ nội tiếp, nếu chỉ ra A cố định thì A’ cũng cố định (cực nghịch đảo và phương tích nghịch đảo cố định) Để chứng minh đường tròn đi qua điểm A cố định ta có thể gián tiếp chứng minh ảnh của đường tròn ấy (là đường thẳng hoặc đường tròn) qua phép nghịch đảo đi qua điểm A’ cố định nào đó Ngược lại để chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định ta có thể chứng minh đường tròn tương ứng của đường thẳng ấy qua một phép nghịch đảo đi qua một điểm cố định

Có thể sử dụng tính chất bảo toàn tính tiếp xúc, tính trực giao giữa các đường của phép nghịch đảo để tìm điểm cố định

Ví dụ 5: Cho ba điểm thẳng hàng O, A, A’ và (C) là một đường tròn có

đường kính OA, d là đường thẳng vuông góc với OA ở A’, một cát tuyến a

thay đổi qua A’cắt đường tròn ở P, Q các đường thẳng OP, OQ cắt d lần lượt

Giả sử Q’’ là ảnh của Q’ qua N (A’, k)

Q’ÎOQ nên Q’’Î G , mặt khác Q’Îd mà d đi qua cực A’ nên Q’’Îd Suy ra giao điểm P’ của d với G là Q’’

Do đó: A P A Q' ' ' ' =k (không đổi vì k= A A A O' ' là phương tích của A’ đối với đường tròn (C))

Ví dụ 6:Cho hai đường tròn bằng nhau (C), (C’) giao nhau ở hai điểmA, B

Một đường tròn thay đổi Gtiếp xúc với AB ở A cắt (C) và (C’)lần lượt tại P

và P’ Chứng minh PP’ luôn đi qua một điểm cố định và đường tròn (BPP’) tiếp xúc với AB tại B

Lời giải:

Gọi O là trung điểm của AB Một cát tuyến bất kỳ qua O cắt (C) tại L, M, ta

có phương tích của O đối với (C) là OL OMuuur uuuur

Gọi K là điểm đối xứng qua O của M, thì K thuộc đường tròn (C’) vì hai đường tròn (C) và (C’) đối xứng với nhau qua O

Như vậy N (P) = P’ với P là giao điểm của (C) và P’ là giao điểm của (C’) với

G, tức là O, P, P’ thẳng hàng hay PP’luôn đi qua điểm O cố định là trung điểm của AB

Mặt khác có OA = OB nên OB2 = OA2 = OP OPuuur uuuur '

nên đường tròn (BPP’) tiếp xúc với AB tại B

Ví dụ 7: Cho đường tròn (C) tâm O bán kính R, một đường thẳng Dvà điểm

Lời giải:

Xét phép nghịch đảo N = N (A, k) bảo toàn đường tròn(C)

Khi đó N (A, k) biến đường tròn tiếp xúc với Dở A và tiếp xúc với (C) (nếu có) thành đường thẳng song song với Dvà tiếp xúc với đường tròn (C)

Dễ thấy tồn tại hai đường thẳng như vậy (song song với Dvà tiếp xúc với (C)) gọi là d1 và d2

Nên T1’, T2’ là hai điểm mút của một đường kính của đường tròn (C)

Suy ra: OT OTuuuur uuuur1' 2'= -R2

Vì N (T1T2) = (AT1’T2’) với T1T2 không đi qua cực A và (AT1’T2’) đi qua cực

A

Suy ra: N (P) = P’ với P = OAIT1T2 và P’ =OAI(AT1’T2’)

Xét đường tròn (AT1’T2’), ta có OA OPuuur uuuur uuuur uuuur '=OT OT1' 2'= -R2

Suy ra P’ là điểm cố định, nên P là điểm cố định

Vậy đường thẳng T1T2 luôn qua điểm cố định P

Ví dụ 8: Cho một đường thẳng Dvà một điểm O cố định ở ngoài đường thẳng ấy Ứng với mỗi điểm M chạy trên Dngười ta vẽ một điểm N trên nửa đường thẳng OM sao cho OM ON = 1

a) CMR: Qũy tích điểm N là một đường tròn (C) đi qua O

b) Cho A là một điểm cố định trên đường thẳng D Người ta vẽ một vòng tròn bất kì đi qua O và A,cắt vòng tròn (C) tại điểm thứ hai P (khác O) và cắt đường thẳng Dtại điểm thứ hai Q (khác A)

CMR: PQ đi qua một điểm cố định trên đưởng tròn (C)

Lời giải:

a) (Hình b)

Ta có OM ON = và O, M, N thẳng hàng 1

Vậy N là ảnh của M qua phép nghịch đảo N (O, 1)

Theo tính chất của phép nghịch đảo thì quỹ tích của N là đường tròn (C) đi qua cực nghịch đảo O

Trong phép nghịch đảo đó, ảnh của đường tròn (C’) đi qua cực nghịch đảo O

là đường thẳng BRS

Vì OB OA =OR.OQ=OP.OS 1= nên tứ giác RQSP nội tiếp, từ đó suy ra

· ·

ORB = QPS vì vậy OF» »=OB

Ta thấy B là một điểm cố định nên F là một điểm cố định

Vậy PQ luôn đi qua điểm cố định F trên đường tròn (C)

Ví dụ 9: Cho một đường tròn (O) cố định, tâm O, một đường kính AB biến

thiên của đường tròn đó, P là một điểm cố định của mặt phẳng Gọi A’, B’ là giao điểm của các đường thẳng PA, PB với đường tròn (O)

CMR:

a) Đường thẳng A’B’ đi qua một điểm cố định

b) Đường tròn (PA’B’) cũng đi qua một điểm cố định thứ hai

Lời giải:

Ta xét đường tròn đi qua P và A, B

Gọi Q là giao điểm của PO với đường tròn

Ta có:

OP OQ =OA.OB

OP OQ= - (R là bán kính của đường tròn (O) đã cho) R

Như vậy đường tròn (PAB) đi qua một điểm cố định thứ hai là Q (Q nằm trên

Vậy đường tròn (PA’B’) đi qua điểm cố định J = N (O)

2.3.3 Bài toán chứng minh hệ thức mối liên hệ giữa các đại lượng hình học

Các hệ thức ở đây là các đẳng thức, bất đẳng thức trong hình học

Với các bài toán thuộc dạng này cần chú ý áp dụng tính chất về mối quan hệ độ dài trong phép nghịch đảo

.' '

Với A’, B’lần lượt là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo N (O, k)

Ví dụ 10: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp

được là:

AC.BD = AB.CD+BC.AD

Lời giải:

Điều kiện cần: Giả sử ABCD là tứ giác nội tiếp, gọi (C ) là đường tròn ngoại

tiếp của nó, ta sẽ chứng minh: AC.BD = AB.CD+BC.AD