Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN =======***======= PHẠM THỊ HUYỀN TRANG PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ CÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học HÀ NỘI - 2014 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Tốn LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Đinh Văn Thủy, thầy tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ em hồn thành khóa luận Em xin chân trọng cảm ơn thầy, tổ hình học, thầy tồn thể bạn sinh viên khoa nhiệt tình góp ý, giúp đỡ em suốt thời gian học tập nghiên cứu để hồn thành khóa luận Do trình độ chun mơn hạn chế, thời gian nghiên cứu eo hẹp nên nội dung em trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót, em kính mong nhận góp ý, phê bình thầy giáo bạn sinh viên để khóa luận em hồn thiên Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Phạm Thị Huyền Trang Phép nghịch đảo tốn chứng minh Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Tốn LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp tơi hồn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo Đinh Văn Thủy với cố gắng thân Tôi xin cam đoan vấn đề tơi trình bày khóa luận kết nghiên cứu hướng dẫn trực tiếp thầy giáo Đinh Văn Thủy Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Phạm Thị Huyền Trang Phép nghịch đảo tốn chứng minh Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Chương 1: SƠ LƯỢC VỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO 1.1 Khái niệm phép nghịch đảo 1.2 Các tính chất 1.3 Các định lý quan trọng Chương 2: ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC 15 2.1 Bài toán chứng minh 15 2.2 Sử dụng phép nghịch đảo toán chứng minh 15 2.3 Ứng dụng phép nghịch đảo để giải số lớp toán chứng minh 16 2.3.1 Bài toán chứng minh mối quan hệ góc đường 16 2.3.2 Bài toán chứng minh yếu tố cố định hình học 20 2.3.3 Bài toán chứng minh hệ thức mối liên hệ đại lượng hình học 27 2.3.4 Bài toán chứng minh mối quan hệ điểm, đường thẳng 33 2.4 Bài tập đề nghị lời giải 38 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Phép nghịch đảo tốn chứng minh Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mỗi tập hình học giải nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ, phương pháp véctơ phương pháp biến hình Bài tốn chứng minh tốn quen thuộc hình học Trong đó, phép biến hình có vai trò quan trọng tác dụng hữu hiệu ứng dụng vào số toán chứng minh Trong chương trình tốn phổ thơng phép biến hình giới thiệu là: phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự hai nội dung phép dời hình phép đồng dạng Còn phép nghịch đảo phép biến hình khơng đưa vào chương trình phổ thơng đề xuất chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh số lớp chun tốn Với tính chất bảo tồn góc, có khả biến đường thẳng thành đường thẳng đường tròn, có khả biến đường tròn thành đường tròn đường thẳng nhiều tính chất khác quan trọng Phép nghịch đảo đơn giản hóa số yếu tố phức tạp toán chứng minh, giúp cho lời giải trở nên ngắn gọn Do vậy, với mong muốn tìm hiểu kỹ ứng dụng phép biến hình để có số tư liệu quan trọng cho công tác giảng dạy hình phổ thơng, tơi định nghiên cứu đề tài: “Phép nghịch đảo toán chứng minh” Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức phép nghịch đảo ứng dụng phép nghịch đảo để giải số lớp toán chứng minh Phép nghịch đảo toán chứng minh Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán Xây dựng tập minh họa có sử dụng phép nghịch đảo vào toán chứng minh Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phép nghịch đảo toán chứng minh - Phạm vi nghiên cứu: Một số lớp toán chứng minh hình học sơ cấp Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo trình, tài liệu tham khảo giảng chuyên đề Phép nghịch đảo tốn chứng minh Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán CHƯƠNG SƠ LƯỢC VỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO 1.1 Khái niệm phép nghịch đảo 1.1.1 Định nghĩa 1: Không gian En ( n=2,3 ) bổ sung phần tử {¥} gọi không gian bảo giác Bn Quy ước: Trong không gian Bn, đường thẳng, mặt phẳng qua {¥} 1.1.2 Định nghĩa 2: Trong không gian bảo giác Bn cho điểm O số thực k ¹ Phép biến hình Bn cho ứng điểm M với điểm M’ xác định sau: + Nếu M º O M’ º ¥ + Nếu M º ¥ M’ º O + Nếu M Ï {O, ¥} M’ nằm đường thẳng OM thỏa mãn OM OM ' = k gọi phép nghịch đảo cực O, phương tích k Ký hiệu: N (O, k) 1.2 Các tính chất 1.2.1 Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp Thật vậy, " M Ỵ Bn, N (M)=M’ Þ N (M)= N (N (M) )= N (M’)=M ị N (O, k)= id Bn ă 1.2.2 Nếu M, M’ tương ứng qua N (O, k) O, M, M’ thẳng hàng Hiển nhiên theo định nghĩa Phép nghịch đảo toán chứng minh Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Tốn 1.2.3 Nếu phương tích nghịch đảo k0 phép nghịch đảo có tập hợp điểm bất động siêu cầu tâm O, bán kính k Thật vậy, xét phép nghịch đảo N (O, k), k ¹ Điểm M Ỵ En (n=2, 3) điểm bất động OM OM = k Û OM = k ìïk > Ûí ïỵOM = k Do M thuộc siêu cầu tâm O, bán kính k ¨ 1.2.4 Nếu M, N Ï {O, ¥ } đường thẳng MN không qua O, N (M) = M’, N (N) = N’ M, N, M’, N’ thuộc đường tròn Chứng minh: Ta có OM OM’= ON ON’ Û ’ Þ ∆OMN đồng dạng với OM ON ' = ON OM ' ·' = ONM ·' ∆ONM’ Þ OMN Do tứ giác MM’NN’ nội tiếp ¨ 1.2.5 Mọi siêu cầu có tính chất phương tích cực nghịch đảo phương tích nghịch đảo siêu cầu bất động Phép nghịch đảo tốn chứng minh Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán Hiển nhiên theo định nghĩa phép nghịch đảo tính chất phương tích 1.2.6 Mọi phép nghịch đảo N (O, k) phân tích thành tích phép nghịch đảo N (O,-k) phép đối xứng tâm O (Đo) N (O, k) = Đo N (O,-k) Hiển nhiên theo định nghĩa phép nghịch đảo phép đối xứng tâm 1.3 Các định lý quan trọng 1.3.1 Phép nghịch đảo biến siêu phẳng không qua cực nghịch đảo thành siêu cầu qua cực nghịch đảo, biến siêu cầu qua cực nghịch đảo thành siêu phẳng không qua cực nghịch đảo Chứng minh: Giả sử phép nghịch đảo N (O, k) E3, (α) mặt phẳng không qua O, H hình chiếu O lên (α), H’ = N (H) ’ ’ ’ " M Ỵ (α), M = N (M) tứ giác MHH M nội tiếp ã ' H ' = 900 ị M ẻ (OH) (Mặt cầu đường kính OH’ ) Do OM Ngược lại, lấy điểm Q’ Ỵ (OH’), Q = N (Q’), tứ giác HH’QQ’ nội tiếp Phép nghịch đảo tốn chứng minh Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán · = 90 Do Q Ỵ (α) ị OHQ Túm li N [()] = (OH) ă Do tính chất đối hợp phép nghịch đảo nên phép nghịch đảo biến mặt cầu qua cực nghịch đảo thành mặt phẳng không qua cực nghịch đảo Chứng minh E2 tương tự 1.3.2 Phép nghịch đảo biến siêu cầu không qua cực nghịch đảo thành siêu cầu không qua cực nghịch đảo Chứng minh: Giả sử E3 cho phép nghịch đảo N (O, k) mặt cầu (C ) tâm I không qua O, đường thẳng OI cắt (C ) A, B Gọi A’ = N (A), B’ = N (B) " M Î (C ), M = N (M) ta có: ’ µ=M ·' Tứ giác MBM’B’ nội tiếp Þ B 1 · A1 = M '2 Tứ giác MAM’A’ nội tip ị ã' + M ã' = à = 900 Þ · A1 + B A ' M ' B ' = 90 ị M ẻ (AB) Do M Ngược lại, lấy P’ Î (A’B’), chứng minh tương tự ta có P = N (P’) Ỵ (C ) Phép nghịch đảo tốn chứng minh Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán Gọi (C1) đường tròn đương kính AC, (C2) đường tròn đường kính BD P nằm XY trục đẳng phương (C1) (C2), P(P/( C1 ))= P(P/( C2 )) Nói cách khác ta có PC.PM = PB.PC = k Xét phép nghịch đảo N = N (P,k) Khi ta có: N (M) = C N (A) = A’ N (D) = D’ N (XY) = XY Suy ra: Tương tự: N (AM) = (PA’C) N (ND) = (PBD’) Do để chứng minh AM, DN, XY đồng quy ta chứng minh XY trục đẳng phương (PA’C) (PBD’) · = PA · ' C = 900 suy Z Î (PA’C) Thật vậy: PZC Tương tự Z Î (PBD’) Do PZ º XY trục đẳng phương (PA’C) (PBD’) Suy (PA’C), (PBD’) PZ qua Z hay AM, XY, ND đồng quy Phép nghịch đảo tốn chứng minh 34 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Tốn Ví dụ 15: Cho đường tròn (O) đường kính BC Một điểm A nằm ngồi đường tròn, gọi B0, C0 giao điểm AC, AB với (O) Gọi H giao điểm BB0, CC0 Gọi M, N tiếp điểm tiếp tuyến từ A đến (O) CMR: H, M, N thẳng hàng Lời giải: Gọi A0 hình chiếu A lên BC Dễ thấy H trực tâm tam giác ABC Xét phép nghịch đảo N = N (A, k) Phương tích Ta có : AB0 AC = AC0 AB = AM = AN = k N (M) = M N (N) = N N (H) = A0 · = ONA · = OA · Dễ thấy OMA A = 90 , Như ta A0 Ỵ (AMN) Suy ra: H, M, N thẳng hàng Ví dụ 16: Giả sử N S hai điểm đối xứng qua tâm đường tròn (C), l đường thẳng tiếp xúc với (C) tai S Từ điểm O nằm ngồi đường tròn (C) khơng nằm tiếp tuyến N Ta dựng tiếp tuyến OA, OB Gọi O’, A’, B’ hình chiếu xuyên tâm N lên l điểm O, A, B CMR: O’ trung điểm đoạn A’B’ Phép nghịch đảo tốn chứng minh 35 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán Lời giải: Xét phép nghịch đảo N = N (N,k) với k=NS2 Ta có: N [(C)] = l N (A) = A’ N (B) = B’ Þ Đoạn thẳng A’B’là ảnh đoạn thẳng AB qua phép nghịch đảo N N [(C1)] =(C2) với (C1) có tâm O, bán kính OA=OB Ta có (C1) trực giao với (C) (C2) trực giao với l Mặt khác tâm đường tròn (C2) nằm đường thẳng NO theo cách dựng ảnh đường tròn (C1) qua phép nghịch đảo N (N, k) tâm đường tròn (C2) hình chiếu O từ đỉnh N xuống l, nghĩa A’B’ đường kính đường tròn (C2) O’ tâm (C2) hay O’A’=O’B’ Vậy O’ trung điêm A’B’ Ví dụ 17: Cho tứ giác ABCD có cặp cạnh đối diện khơng song song hai đường chéo AC, BD cắt O Các đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB OCD cắt X O Các đường tròn ngoại tiếp tam Phép nghịch đảo toán chứng minh 36 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán giác OAD OCB cắt Y O Các đường tròn đường kính AC BD cắt Z T CMR: Bốn điểm X, Y, Z, T thuộc đường tròn Lời giải: Trước tiên ta xét bổ đề sau: Bổ đề: Cho tứ giác ABCD E =AB I CD; F=AD I BC Khi đường tròn đường kính AC, BD, EF có trục đẳng phương Thật vậy, gọi H, K trực tâm tam giác ECB FCD Gọi L, M, N hình chiếu H lên EB, EC, CB P, Q, R hình chiếu K lên DF, CF, CD Khi ta : HL.HC = HM HB = HN HE KP.KC = KQ.KD = KR.KF Từ suy ra: Phép nghịch đảo tốn chứng minh 37 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán P H/(AC)= P H/(BD)= P H/(EF) P K/(AC)= P K/(BD)= P K/(EF) Điều chứng tỏ HK trục đẳng phương chung đường tròn đường kính AC, BD, EF Trở chứng minh toán: Xét phép nghịch đảo N = N (O, k) Ta có : N (A) = A’ N (B) = B’ N (C) = C’ N (D) = D’ N (X) = X’ N (Y) = Y’ N (Z) = Z’ N (T) = T’ Do : N [(OAB)] = A’B’ N [(OBC)] = B’C’ N [(OAD)] = A’D’ N [(OCB)] = C’B’ Suy ra: X’ º A’B’ I C’D’, Y’=A’D’ I B’C’ Z’, T’ giao đường tròn đường kính A’C’ B’D’ Áp dụng bổ đề ta được: Đường tròn (X’Y’) chứa hai điểm Z’, T’ Vậy X, Y, Z, T thuộc đường tròn 2.4 Bài tập đề nghị lời giải: 2.4.1 Đề Phép nghịch đảo tốn chứng minh 38 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Tốn Bài 1: Cho đường tròn (O), điểm S nằm (O) PQ dây cung (O) qua điểm I cố định nằm (O); SP, SQ cắt (O) P’, Q’ Chứng minh P’Q’đi qua điểm cố định Bài 2: Trong không gian cho mặt cầu (C1) tâm O, bán kính R điểm A cố định nằm (C1) Mặt phẳng ( a ) thay đổi qua tâm O cắt (C1) theo đường tròn (S) a) CMR: Mặt cầu (C2) qua A (S) qua điểm cố định khác A b) Điểm M di động (S), AM cắt mặt cầu (C1) N CMR: N di chuyển đường tròn (S’) mặt cầu qua A (S’) qua điểm cố định khác A Bài 3: Cho đường tròn (O), đường kính AB Hai điểm MM’ di động tiếp tuyến A cho AM.AM’=k không đổi Các tiếp tuyến thứ hai xuất phát từ M, M’ với (O) có tiếp điểm T T’ Chứng minh TT’ qua điểm cố định Bài 4: Cho đường tròn (O) điểm A Điểm B nằm OA, B khơng trùng với A Cát tuyến qua B cắt (O) theo thứ tự M, M’ Đường thằng d vng góc với AB B cắt AM AM’ P, P’ Chứng minh BP.BP ' không đổi Bài 5: Cho đường thằng a,b vng góc với điểm A khơng nằm · quay quanh A, cắt a M, M’; B cố định thuộc b chúng Góc vng xAy khơng thuộc a Chứng minh đường tròn (BMM’) qua điểm C cố định khác B Bài 6: Cho đường tròn (C) = (O, r) A thuộc (C), điểm B nằm OA AB =d Cát tuyến qua B cắt (C) M M’ Đường vng góc với AB B cắt AM, AM’ P P’ CMR: BP.BP ' = d2 – 2dr Phép nghịch đảo toán chứng minh 39 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán Bài 7: Cho điểm M nằm tam giác ABC, x = MA, y = MB, z = MC; p, q, n khoảng cách từ M đến BC, CA, AB CMR: æ1 1ử ổ1 1ử ổ1 1ử ỗ + ữ ç + ÷ ç + ÷ p.q.n è x y ø è y z ø è z x ø 2.4.2 Lời giải Bài 1: Lời giải: Xét phép nghịch đảo N = N (I, P I/(O)) Ta có: N 1(P) = Q Gọi S1 = N 1(S) cố định (Do S cố định) Suy tứ giác SPS1Q nội tiếp, đường tròn ( SPQ) qua S1 cố định Xét phép nghịch đảo N = N (S, P S/(O)) Ta có: N 2(P) = P’ N 2(Q) = Q’ Suy ra: N 2((SPQ)) = P’Q’ Do đường tròn(SPQ) qua điểm S1 cố định nên P’Q’ qua điểm S2= N (S1) cố định Phép nghịch đảo toán chứng minh 40 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán Bài 2: Lời giải: a) Gọi CD đường kính (S) Xét phép nghịch đảo N = N (O, -R2), N 1(C) = D Gọi A1 = N 1(A),vì A cố định nên A1 cố định Tứ giác ACA1D nội tiếp hay A1 Ỵ (ACD) Ì (C2) Do mặt cầu (C2) qua A1 cố định b) Ta có AM AN = P A/(C1) = k (k không đổi) Xét phép nghịch đảo N = N (O, k), N 2(M) = N, N 2((C1)) = (C1) Gọi mặt cầu (C) = N 2(( a )) Mà MỴ (S) = ( a ) I (C1) ị N ẻ (C I (C1)= (S’) Do điểm N di chuyển đường tròn (S’) cố định Ta có mặt cầu (C) qua A (S’) Do ( a ) qua O cố định nên (C) = N 2(( a )) qua O = N 2(O) cố định Bài 3: Lời giải: Giả sử BT B’T’ cắt tiếp tuyến A P P’ Ta có: OM ^ AT, BP ^ AT suy OM // BP Phép nghịch đảo tốn chứng minh 41 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Tốn D ABP có O trung điểm AB, OM // BP suy OM đường trung bình M trung điểm AB nên AP= 2AM Tương tự ta có: AP’= 2AM’ Do AP AP ' = 4k không đổi Lập luận tương tự Bài 2, thay M, M’, k P, P’, 4k ta có TT’ qua điểm cố định B4 = N (B3) với B3 = N 3(B), với phép nghịch đảo N = N (B, BA2) N 3=N (A, 4k) Bài 4: Lời giải: Xét phép nghịch đảo N = N (A, AB AC ) , N (C) = B Suy : N ((O)) = d N (M)= P N (M’)= P’ Þ Tứ giác MPM’P’ nội tiếp Phép nghịch đảo toán chứng minh 42 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Tốn Ta có: P B/(MPM’P’)= BP.BP ' = BM BM ' Mặt khác: BM BM ' = P B/(O)=BO2 –AO2 không đổi Vậy BP.BP ' =BO2 –AO2 không đổi Bài 5: Lời giải: Gọi H hình chiếu A a D AMM’ vng A: Phép nghịch đảo toán chứng minh 43 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán HM HM ' = - HA2 Xét phép nghịch đảo N (H, -HA2 ) N (M)= M’ Gọi C= N (B) , B cố định suy C cố định Do tứ giác MBM’C nội tiếp nên đường tròn (BMM’) ln qua điểm C cố định Bài 6: Lời giải: Ta có: P B(O)=BO2 – r2 =(d-r)2 –r2 =d2 -2dr Xét phép nghịch đảo N = N (B,P B/(O)) Khi M’= N (M) Gọi A’= N (A) A’=AB I (C) Suy ra: N (AM’)=(A’MB) Tứ giác A’BPM nội tiếp Þ P ẻ (ABM) ị N (P) ẻ AM Suy P’= N (P) Þ BP.BP ' = P B/(O)=d2 -2dr Phép nghịch đảo toán chứng minh 44 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán Vậy BP.BP ' =d2 -2dr Bài 7: Lời giải: Giả sử đoạn thẳng BC, CA, AB có độ dài a, b, c Tứ giác MQAN nội tiếp đường tròn (AM) Þ NQ = AM sin A = x a 2.R ( R bán kính đường tròn (ABC) ) · =1800 - NAQ ·=B µ +C µ D MNQ có NMQ µ +C à) ị NQ = n +q 2.n.q.cos ( B 2 Suy ra: ì NQ ³ n.sin B + q.sin C í ỵ NQ ³ q.sin B + n.sin C Þ NQ + NQ ³ n.sin B+q.sinC+q.sinB+n.sin C a b c b c ³ n + q + q + n 2.R 2R 2R 2R 2R Þ x Û 2ax ³ nb + qc + qb + nc Û 2ax ³ ( q + n ) ( b + c ) Tương tự : 2by ³ ( n + p ) ( c + a ) Phép nghịch đảo toán chứng minh 45 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán 2cz ³ ( p + q ) ( a + b ) Do đó: 8abcxyz ³ ( p + q ) ( q + n ) ( n + p ) ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) Û 8abcxyz ³ ( p + q ) ( q + n ) ( n + p ) abbcca Û xyz ³ ( p + q ) ( q + n ) ( n + p ) (*) Xét phép nghịch đảo N = N (M, 1) Ta có: N (A) = A1 N (B) = B1 N (C) = C1 N (P) = P1 N (Q) = Q1 N (N) = N1 Theo định nghĩa phép nghịch đảo ta có: MA1 = 1 , MB1 = , MC1 = y x z MP1 = 1 , MQ1 = , MN1 = p q n Vì N [(AQMN)]= N1Q1, N (AM)= MA1, AM trực giao với (AQMN) nên ta có MA1 ^ Q1N1 Tương tự: MB1 ^ N1P1, MC1 ^ P1Q1, A1 Ỵ Q1N1 , B1 Ỵ N1P1, C1 Ỵ P1Q1 Xét D P1Q1N1 áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: MP1.MQ1.MN1 ³ (MA1+MB1).(MB1+MC1).(MC1+MA1) Û ỉ1 1ư ỉ1 1ư ỉ1 1ư ỗ + ữ ỗ + ữ ỗ + ữ pqn è x y ø è y z ø è z x ø Phép nghịch đảo toán chứng minh 46 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán KẾT LUẬN Qua số lớp toán chứng minh cho thấy vài tác dụng tốt phép nghịch đảo giải toán chứng minh Việc nắm chất phép nghịch đảo ứng dụng vào lời giải tốn chứng minh góp phần làm phong phú, đa dạng cách giải khác số toán chứng minh, giúp cho lời giải ngắn gọn, lập luận chặt chẽ, logic, khoa học Ngoài việc nghiên cứu ứng dụng phép nghịch đảo vào tốn chứng minh mở hướng nghiên cứu, phát triển thêm toán từ toán sở ban đầu Tuy nhiên sử dụng phép nghịch đảo toán chứng minh thường gặp nhiều khó khăn người giải Đó dùng phép nghịch đảo nào, xác định cực nghịch đảo phương tích nghịch đảo sao? Khắc phục khó khăn kể người giải đơn giản hóa số yếu tố phức tạp tốn, chuyển quan hệ đường tròn quan hệ đường tròn với đường tròn đường thẳng, đường thẳng đường thẳng, thông qua chứng minh quan hệ ảnh suy quan hệ tạo ảnh, suy tính chất hình học cần chứng minh Do hạn chế thời gian kinh nghiệm làm tập nghiên cứu nên số lượng ví dụ tập đưa chưa nhiều Vì mong thầy tổ hình học, bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khóa luận hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn! Phép nghịch đảo toán chứng minh 47 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Thị Huyền Trang – K36B SP Toán TÀI LIỆU THAM KHẢO Bùi Văn Bình (1993), Bài tập hình học sơ cấp –Tập 2, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, Hà Nội Bùi Văn Bình, Nguyễn Văn Vạn (1993), Giáo trình hình học sơ cấp, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, Hà Nội Đỗ Thanh Sơn (2005), Phép biến hình khơng gian, Nhà xuất giáo dục Đỗ Thanh Sơn (1994), Phép biến hình mặt phẳng, Nhà xuất giáo dục Nguyễn Mộng Hy (1997), Các phép biến hình mặt phẳng, Nhà xuất giáo dục Phép nghịch đảo toán chứng minh 48 ... 15 2.1 Bài toán chứng minh 15 2.2 Sử dụng phép nghịch đảo toán chứng minh 15 2.3 Ứng dụng phép nghịch đảo để giải số lớp toán chứng minh 16 2.3.1 Bài toán chứng minh mối quan... tài: Phép nghịch đảo toán chứng minh Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức phép nghịch đảo ứng dụng phép nghịch đảo để giải số lớp toán chứng minh Phép nghịch đảo tốn chứng minh. .. SP Toán CHƯƠNG ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC 2.1 Bài tốn chứng minh Bài toán chứng minh toán tốn học nói chung hình học nói riêng Bài toán chứng minh