PHÉP vị tự và ỨNG DỤNG GIẢI các bài TOÁN CHỨNG MINH HÌNH học

Trong một phép vị tự khác phép đồng nhất, tâm vị tự là điểm bất động duy nhất và một đường thẳng không đi qua tâm vị tự biến thành một đường thẳng song song với nó.. Đảo lại, nếu O R;

PHÉP VỊ TỰ VÀ ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN

CHỨNG MINH HÌNH HỌC Nguyễn Trường Sơn – THPT Chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình

Các phép biến hình chính là mảng kiến thức hay, khó và thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia, IMO, APMO… Việc học và hiểu, vận dụng các kiến thức về các phép biến hình giúp học sinh có thể xây dựng những ý tưởng và những kỹ năng thích hợp nhất cho việc tiếp thu các kiến thức của toán học hiện đại

Vậy những ý tưởng và những kỹ năng đó là gì?

+ Thứ nhất, đó là ý tưởng ánh xạ rất rõ nét trong cách trình bày và hệ thống các phép biến hình

+ Thứ hai, đó là ý tưởng phân loại và mô tả đầy đủ các lớp phép biến hình (mà tiêu biểu nhất là các phép dời hình)

+ Thứ ba, quan trọng hơn cả là qua việc vận dụng các phép biến hình vào giải toán, tư duy hình học của học sinh sẽ được nâng lên ở một cấp độ mới Trước đây, để chứng minh một bài toán hình học, học sinh thường chỉ biết tính toán và

so sánh các đại lượng hình học như góc, độ dài, diện tích, thì nay với việc sử dụng các phép biến hình, học sinh sẽ được tập quan sát những vận động, những tương tác giữa các yếu tố, những cấu trúc tiềm ẩn trong một hình vẽ để rồi từ đó rút ra được những chứng minh, những kết luận sâu sắc, nêu bật toàn diện bản chất của hình vẽ đó Điều đó sẽ giúp các em biết nhìn nhận sự việc và các hiện tượng xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo cơ sở cho sự ra đời của những phát minh và sáng tạo trong tương lai.

Chính vì những lí do quan trọng như thế, chúng ta cần phải trang bị cho các em những kiến thức về phép biến hình từ cơ bản đến phức tạp Trong bài viết này, tác giả trình bày những kiến thức xoay quanh phép vị tự và ứng dụng phép vị tự để giải một số bài toán

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa Trong mặt phẳng cho một điểm I cố định và k là một số thực

khác không cho trước Phép biến hình của mặt phẳng biến mỗi điểm M thành

điểm M sao cho: ' IM'k IM được gọi là một phép vị tự tâm I , tỉ số k và kí

hiệu là H I k( , ) Điểm I gọi là tâm vị tự và k gọi là hệ số hay tỉ số vị tự

Nhận xét:

+ Một phép vị tự hoàn toàn được xác định nếu có biết tâm I và tỉ số k

+ Điểm M là ảnh của điểm M qua phép vị tự ' H I k( , )

Nếu k  1, khi đó IM' IM(M), tức M đối xứng với M qua điểm ' I

Vậy trong trường hợp này, phép vị tự tỉ số -1 là phép đối xứng qua tâm I

+ Cho hai đoạn thẳng AB, A’B’ có độ dài khác nhau, song song với nhau Khi

đó tồn tại duy nhất một phép vị tự biến A thành A’ và B thành B’ Tâm vị tự đó chính là giao điểm của AA’ với BB’

+ Cho hai tam giác A B C1 1 1 và A B C2 2 2 không bằng nhau và có các cạnh tương ứng song song Khi đó tồn tại duy nhất một phép vị tự biến tam giác A B C1 1 1

thành tam giácA B C2 2 2 Ngoài ra, các đường thẳng A A B B C C1 2, 1 2, 1 2 đồng quy tại tâm vị tự

Tính chất 2 Trong một phép vị tự khác phép đồng nhất, tâm vị tự là điểm bất

động duy nhất và một đường thẳng không đi qua tâm vị tự biến thành một đường thẳng song song với nó Chùm đường thẳng có tâm ở tâm vị tự là tập hợp những đường thẳng bất biến duy nhất của phép vị tự Phép vị tự phẳng sinh ra một phép vị tự trên mọi đường thẳng bất biến đi qua tâm vị tự

3 Tâm vị tự của hai đường tròn

Định lý: Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn Đảo lại, nếu

(O R; ) và (O R2; 2) là hai đường tròn phân biệt của mặt phẳng thì nói chung có hai phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia mà tâm vị tự là các điểm chia trong và chia ngoài đoạn nối tâm theo tỉ số hai bán kính

K

N

hoặc âm tương ứng 2

1

R k R

1

R k

R

  biến đường tròn (O R1; 1) thành đường tròn (O R2; 2) Các điểm I I1, 2 theo thứ được gọi là tâm vị tự ngoài và tâm vị tự trong của hai đường tròn (O R i; i)

Hai trường hợp đặc biệt:

Trường hợp 1 Hai đường tròn đồng tâm O , không cùng bán kính: R1 R2

Khi đó, cả hai phép vị tự cùng tâm I và tỉ số vị tự 2

1

R k

R

  đều biến đường tròn

1

( ;O R) thành đường tròn ( ;O R2)

Trường hợp 2 Hai đường tròn không đồng tâm nhưng cùng bán kính R Khi

đó, phép đối xứng tâm I là phép vị tự duy nhất có hệ số k   1 biến đường tròn

Tâm vị tự thứ hai là điểm chia ngoài hay chia trong đoạn O O1 2 theo tỉ số

+ Nếu hai đường tròn không đựng nhau hoặc ngoài nhau thì giao điểm của O O1 2

và một tiếp tuyến chung ngoài hoặc một tiếp tuyến chung trong của chúng cũng xác định tâm vị tự ngoài I2 hoặc tâm vị tự trong I1 của hai đường tròn (O R1; 1)

b Tích của hai phép vị tự khác tâm

Tích của hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự có tâm thẳng hàng với hai tâm của hai phép vị tự đã cho hoặc đặc biệt là một phép tịnh tiến hay phép đồng nhất

Thí dụ 1 Hai đường tròn (C1),(C2)tiếp xúc trong với nhau tại điểm T Dây cung AB của đường tròn (C1) tiếp xúc với

đường tròn (C2)tại D Chứng minh rằng

TD là tia phân giác của góc ATB

Lời giải Gọi E, F lần lượt là giao điểm

thứ hai của TA, TB với đường tròn (C2)

Do đó TD chính là phân giác của góc ATB

Nhận xét Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp tam giác, đường tròn bàng

tiếp góc A lần lượt tiếp xúc với cạnh BC tại D và E Lấy điểm K trên đường tròn nội tiếp sao cho KD là đường kính Khi đó A, K, E thẳng hàng

Thí dụ 2 ( Bổ đề Sawayama) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ) D là một điểm bất kì chạy trên cạnh BC Đường tròn (1) tiếp xúc với cạnh BD tại

K, tiếp xúc với cạnh AD tại L và tiếp xúc trong với đường tròn ( ) tại T Chứng minh rằng đường thẳng KL đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Lời giải Không mất tính tổng quát, giả sử  1

2

Gọi K’ là giao điểm thứ hai của đường thẳng TK với đường tròn ( )

Gọi L’ là giao điểm thứ hai của đường thẳng TL với đường tròn ( )

Do K là tiếp điểm của tiếp tuyến BC

với đường tròn (1) nên K’ là điểm

chính giữa của cung BC không chứa A Do đó, AK là phân giác trong của góc

2

Lại có: K KB'  K BT' K B' 2 K K K T' ' K J' 2 K B' K J'

Suy ra J là tâm nội tiếp của tam giác ABC Vậy KL đi qua tâm nội tiếp tam giác ABC

Nhận xét Đường tròn (1) xác định như trên được gọi là đường tròn Thebault

của tam giác ABC ứng với đường thẳng AD và đỉnh B

Thí dụ 3 Cho tam giác

ABC ngoại tiếp đường tròn

( ) Gọi D E1, 1 lần lượt là

các điểm tiếp xúc của ( )

với BC, CA Lấy D E2, 2 lần

lượt là các điểm trên cạnh

 (r r1, 2 theo thứ tự là bán kính đường tròn ( ) ,(a)) biến F’ thành F, D2thành Q

Thí dụ 4 Cho tam giác ABC nội tiếp

đường tròn ( )O , đường tròn (O1) tiếp xúc với các cạnh AB, AC tại P, Q và tiếp xúc trong với đường tròn ( )O tại

S Gọi D là giao điểm của AS với PQ Chứng minh rằng  

r trong đó r r1, 2lần lượt là bán kính của đường tròn (O1), ( )O

biến đường tròn ( )O thành đường tròn (O1), biến BC thành B’C’ Do đó:

Suy ra:  

    ( điều phải chứng minh)

Thí dụ 5 Cho tam giác ABC thỏa

mãn ACBC3AB ngoại tiếp

đường tròn ( ) tâm I Gọi D, E theo

thứ tự là điểm tiếp xúc của đường

DKD  KD BD BI IBA Suy ra tứ giác ABIK nội tiếp

Chứng minh tương tự, tứ giác ABLI cũng nội tiếp

Do đó, bốn điểm A, B, K, L cùng nằm trên một đường tròn

Thí dụ 6 Hai đường tròn (a),(b) tiếp xúc trong với đường tròn ( ) theo thứ

tự tại A, B và hai đường tròn đó tiếp xúc ngoài tại điểm T Gọi S là giao điểm của đường tròn ( ) với tiếp tuyến chung qua T của hai đường tròn (a),(b)

C là giao điểm thứ hai của đường thẳng SA với đường tròn (a), D là giao điểm thư hai của đường thẳng SB với đường tròn (b) Đường thẳng AB cắt đường tròn (a) tại điểm E, cắt đường tròn(b) tại điểm F Chứng minh rằng ST, CE,

DF đồng quy

Lời giải Ta có: ST2 SC SA SB SD Do đó tứ giác ABDC nội tiếp

Vậy tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn ( ')

Ta có : ST là trục đẳng phương của hai đường tròn (a),(b)

CE là trục đẳng phương của hai đường tròn (a),( ')

DF là trục đẳng phương của hai đường tròn ( '),( b)

Do vậy, các đường thẳng ST, CE, DF đồng quy

Thí dụ 7 Cho tam giác

nhọn ABC nội tiếp

đường tròn ( )C , M, N,

D, G lần lượt là trung

điểm của cạnh AC, cạnh

AB, chân đường cao hạ

Dễ dàng chứng minh được với trường hợp AB = AC

Xét trường hợp tam giác ABC có AB khác AC, không mất tính tổng quát giả sử

(C ),( ')C BC là trục đẳng phương của hai đường tròn ( ')C và (C1) Do  và

BC cắt nhau nên các trục đẳng phương này đồng quy Giả sử W là giao điểm của các trục đẳng phương này

Do A và D đối xứng nhau qua MN nên WA=WD=WX Do đó W chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADX Lại có,   0

WAOWXO90 trong đó O là tâm của đường tròn ( )C nên   0

A AOX 

Gọi T là giao điểm thứ hai của đường thẳng DX với đường tròn ( )C Ta có:

2

Suy ra ADAT AT BC Do đó, ATCB là hình thang cân nội tiếp đường tròn ( )C

Gọi P là trung điểm của cạnh BC Phép vị tự ( ; 1)

2

H G  biến A thành P, biến B thành M, C thành N, biến điểm T thành điểm K Do đó qua phép vị tự

1

( ; )

2

H G  hình thang cân ATCB biến thành hình thang cân PKNM

Khi đó, KNM TCB, K thuộc đường thẳng BC

TCBCBAMNADNM Do đó, K trùng với D Vậy D, G, T thẳng hàng, suy ra X, D, G thẳng hàng

Thí dụ 8 Cho tam giác ABC, M M M a, b, c lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC, CA, AB T T T a, ,b clần lượt là điểm chính giữa của các cung BC, CA, AB (

không chứa các đỉnh đối diện) Gọi

( ), (C i i a b c, , )là các đường tròn đường kính M T i i Giả sử p i là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (C j), (C k), ( , ,i j ka b c, , )sao cho đường tròn(C i) nằm khác phía so với hai đường tròn (C j), (C Chứng minh rằng các k)đường thẳng p p p a, b, c tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác ABC

Lời giải

Gọi D là giao điểm thứ hai của T T a b với đường tròn (C b), H là giao điểm thứ hai của T T a c với đường tròn (C c), F là giao điểm của T T a b với AC, I là giao điểm của T T a c với AB

ED là tiếp tuyến của đường tròn (C b) tại điểm D ( E thuộc AC), HG là tiếp tuyến của đường tròn (C c) tại điểm H ( H thuộc AB)

Phép vị tự ( ; b a)

b b

T T

H T

T D biến đường tròn (C b) thành đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC, biến đường thẳng ED thành tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm T a Suy ra : ED BC

Tương tự : HG BC

2 a b

Lại có EM b ED và tam giác FDM b vuông tại D

Do đó E là trung điểm của cạnh FM b

Chứng minh tương tự, ta có : G là trung điểm của cạnh IM c

Gọi P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Khi đó ta có :

Chứng minh tương tự ta có : FP BC Như vậy IF BC

Suy ra IF M M c b BC Khi đó tứ giác IFM M b clà hình thang

Do đó IF EG BC  Điều này chứng tỏ bốn điểm H, G, E, D thẳng hàng Suy

ra : p a HD

Tương tự ta cũng xác định được p p b, c

Như vậy, ( , )(1 ) , ( , )(1 ) , ( , )(1 )

Do đó ta dễ dàng suy ra tam giác ABC đồng dạng với tam giác tạo bởi các đường thẳng , ,

AK DL

KB  LC Giả sử hai điểm P,

Q nằm trên đoạn thẳng KL thỏa mãn  APBBCD và

 

CQDABC Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, B, C cùng nằm trên một đường tròn

Lời giải

Do AB CD và AK DL

KB  LC nên các đường thẳng AD, BC, KL đồng quy tại S Gọi X, Y lần lượt là giao điểm thứ hai của đường thẳng SK với đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABP và tam giác CDQ Khi đó:

AXB APB BCD ABC

Suy ra BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP tại B

Dễ dàng chứng minh được BC cũng tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác CDQ tại C

tiếp xúc ngoài tại D Tiếp

tuyến chung của hai đường

sao cho A, E, O1 nằm cùng một phía với 

Chứng minh rằng các đường thẳng , AO1, BO2 và EF đồng quy

Lời giải Dễ thấy E là tâm của phép vị tự h biến đường tròn (O1) thành đường tròn (O3)

Ta có: O D1 , O B3 cùng vuông góc với đường thẳng , do đó O D O B1  3

Lại có O D1 , O B3 nằm cùng phía so với đường thẳng EO nên qua phép vị tự,

1

O D biến thành O B3 Do đó các điểm E, D, B thẳng hàng

Tương tự: F, D, A cũng thẳng hàng

Gọi C là giao điểm của AE và BF

Khi đó, dễ thấy D là trực tâm của tam giác ABC Suy ra CD vuông góc với AB, nên C thuộc đường thẳng 

Gọi P, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng với các đường thẳng EF và đường thẳng AB, N là điểm giao điểm thứ hai của đường thẳng AC với đường tròn (O1) Suy ra DN chính là đường kính của đường tròn (O1)

Ta có: (CDPK)  1 (AE AP AD AK, , , ) 1

Xét chùm (AE AO AD AK, 1, , ): Đường thẳng DN qua O1 song song với AK cắt

AE, AD tại N, D : O1 là trung điểm của DN Do đó : (AE AO AD AK, 1, , ) 1 Điều này suy ra A, P, O1 thẳng hàng

Chứng minh tương tự, ta có B, P, O2thẳng hàng

Vậy các đường thẳng , AO1, BO2 và EF đồng quy tại P

Thí dụ 11 Cho hình thang ABCD có AD BC Gọi P là giao điểm của BD và

AC Lấy điểm Q nằm giữa đường thẳng AD và BC sao cho  

Xét phép vị tự h tâm P, tỉ số t ta có: h B( )D h C, ( ) A

Gọi Q'h Q( ) Khi đó, Q, P và Q’ thẳng hàng

Ta có : Q, P nằm cùng phía so với AD cũng như nằm cùng phía so với BC Do

đó Q’, P nằm cùng phía so với h BC( )AD Vậy Q, Q’ nằm cùng phía so với

AD Hai điểm Q, C nằm cùng phía so với BD, còn Q’, A nằm ở phía đối diện

Theo tính chất của phép vị tự ta có :   AQ D' CQB AQD Do đó, tứ giác AQ’QD nội tiếp Suy ra :    DAQDQ Q' DQ P' BQP( điều phải chứng minh)

Thí dụ 12 Gọi AA ,CC1 1 là các đường cao của tam giác nhọn ABC Đường phân giác của góc nhọn giữa hai đường thẳng AA ,CC1 1 cắt các cạnh AB và BC tại P, Q tương ứng Gọi H là trực tâm tam giác ABC và M là trung điểm của cạnh AC, đường phân giác của 

ABC cắt đoạn HM tại R Chứng minh rằng tứ

giác PBQR nội tiếp được một đường tròn

Lời giải: Hạ đường vuông góc với cạnh AB và BC tại P, Q tương ứng, chúng

cắt nhau tại U Gọi S là giao điểm của UP và HA, T là giao điểm của UQ và HC

Hạ đường vuông góc từ M tới AB, cắt HA tại N và hạ đường vuông góc từ M tới

BC cắt HC tại V

Vì ∆PSH, ∆HTQ có các cạnh tương ứng song song nên PSH HTQ

Do PQ là đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AA ,CC1 1nên

Ta lại có: QHC PHA nên  

của (O1) tại M đồng quy

Do đó KMz, mà Mz cũng

là tiếp tuyến của (O2) Do đó

FMz

Vậy F thuộc đường thẳng Mz vuông góc O O1 2

Thí dụ 14 Cho tam giác nhọn ABC, các điểm D, E chạy trên đoạn thẳng BC

sao cho BD = CE M là trung

điểm đoạn thẳng AD Chứng

minh rằng ME luôn đi qua một

biến thành điểm M Do D chạy

trên đoạn thẳng BC nên M chạy trên đoạn thẳng B C1 1( trong đó

(E)=M Do đó: ME luôn đi qua điểm G

Thí dụ 15 Gọi G, I là trọng tâm, tâm nội tiếp của tam giác ABC Đường thẳng

qua G và song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại B C c, b Các điểm , , ,

điểm trên GI

Lời giải Gọi X là giao điểm của