Bài tập 1 (IMO 1983). Gọi A là một trong hai giao điểm của hai đường tròn với tâm theo thứ tự là .Một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn tiếp xúc với lần lượt tại . Một tiếp tuyến chung ngoài khác của hai đường tròn tiếp xúc với lần lượt tại . lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằng
.
Bài tập 2 (IMO 1992). Trong mặt phẳng cho đường tròn , đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn và M là một điểm trên . Tìm quỹ tích các điểm P thỏa mãn: Tồn tại hai điểm Q, R nằm trên sao cho M là trung điểm của đoạn QR và là đường tròn nội tiếp tam giác .
Bài tập 3. (IMO 1999). Hai đường tròn nằm trong đường tròn và tiếp xúc với đường tròn theo thứ tự tại M, N. Đường tròn đi qua tâm
của đường tròn . Đường thẳng đi qua hai điểm cắt nhau của hai đường tròn cắt đường tròn tại A, B. Đường thẳng MA, MB lần lượt cắt đường tròn tại C và D. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn .
Bài tập 4. (APMO 2000). Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC, N là
chân đường phân giác trong kẻ từ A. Đường thẳng qua N và vuông góc với AN theo thứ tự cắt AM, AB tại Q và P. O là giao điểm của đường thẳng qua P vuông góc với AB và đường thẳng AN. Chứng minh rằng QO vuông góc với BC.
Bài tập 5. Hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm P. Một điểm A chạy trên , không nằm trên đường thẳng đi qua tâm của hai đường tròn. AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn (B, C là các tiếp điểm). E, F theo thứ tự là giao điểm thứ hai của các đường thẳng BP, CP với đường tròn
. Chứng minh rằng đường thẳng EF, tiếp tuyến của đường tròn tại A và tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại P đồng quy.
Bài tập 6. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn , ngoại tiếp đường tròn tâm I. Gọi D, E lần lượt là giao điểm thứ hai của AI, BI với đường tròn . DE cắt AC, BC lần lượt tại F,G. P là giao điểm của đường thẳng qua F, song song với AD với đường thẳng qua G, song song với BE. Chứng minh rằng các đường thẳng AE, BD, KP đồng quy hoặc song song.
Bài tập 7. ( USA TST 2010). Cho tam giác ABC. M, N theo thứ tự nằm trên các
cạnh AC, BC sao cho . P, Q theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, BC sao cho . Đường tròn nội tiếp tam giác CMN tiếp xúc với cạnh AC tại E, đường tròn nội tiếp tam giác BPQ tiếp xúc với cạnh AB tại F. R là giao điểm của EN với AB, S là giao điểm của FQ với AC. Cho biết AE=AF, chứng minh rằng tâm nội tiếp tam giác AEF nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác ARS.
Bài tập 8. Cho tam giác ABC, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, D là
điểm bất kì trên mặt phẳng. AD, BD, CD cắt ba cạnh tam giác lần lượt tại . Dựng đường thẳng đối xứng của BC qua cắt tại . Định nghĩa cho các điểm tương tự. Chứng minh rằng , thẳng hàng.
Bài tập 9. Cho tam giác ABC và các điểm
với cố định. , , , , , . Chứng minh rằng: a, đồng quy. b. đồng quy. Bài tập 10.
a. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định thuộc (O). Một góc có số đo quay xung quanh A có cạnh cắt (O) tại B, C. Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC thuộc một đường tròn cố định.
b. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A và một đường thẳng d. M là một điểm thay đổi trên d. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP đến đường
tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm). AN và AP lần lượt cắt (O’) tại N’ và P’. Chứng minh rằng N’P’ đi qua một điểm cố định.
c. Cho tam giác ABC. Dựng hình vuông có hai đỉnh liên tiếp nằm trên cùng cạnh BC, còn hai đỉnh còn lại lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC.
Bài tập 11. Cho ba đường tròn (O), (I) và (J) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau, A
là tiếp điểm của (O) và (I); B là tiếp điểm của (I) và (J); C là tiếp điểm của (O) và (J). Đường thẳng AB cắt (J) tại điểm thứ hai B’, đường thẳng AC cắt (J) tại điểm thứ hai C’. Chứng minh rằng B’C’ là đường kính của (J).
Bài tập 12. Cho tam giác ABC, bên trong tam giác dựng bốn đường tròn bằng
nhau bán kính r là (O), (I), (J), (Q) sao cho ba đường đầu tiên cùng tiếp xúc với hai cạnh tam giác và (Q) tiếp xúc với ba đường tròn còn lại. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác ABC và tâm đường tròn (Q) thẳng hàng.
Bài tập 13. Cho hai đường tròn (O) và (O’) có bán kính khác nhau cắt nhau tại
A và B. Một đường thẳng tiếp xúc với (O) tại P, tiếp xúc với (O’) tại P’. Gọi Q và Q’ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ P và P’ xuống đường nối tâm. Hai đường thẳng AQ, AQ’ cắt lần thứ hai hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại M và M’. Chứng minh rằng M, M’ và B thẳng hàng.
Ứng dụng của phép vị tự rất đa dạng và áp dụng trong nhiều dạng của toán học, nhưng do thời gian có hạn nên tôi mới đưa vào phần ứng dụng phép vị tự trong mặt phẳng để giải các bài toán chứng minh hình học để học sinh nắm được và tạo điều kiện cho học sinh phát triển tư duy và ý thức tìm tòi. Thực tế phần ứng dụng phép vị tự trong không gian để giải các bài toán chứng minh tôi vẫn để ngỏ và tìm hiểu thêm. Rất mong được sự góp ý của các đồng nghiệp để đề tài của tôi được áp dụng rộng hơn. Xin chân thành cảm ơn.
Tài liệu tham khảo.
+ Hình học tĩnh và động – Thầy Lê Bá Khánh Trình. + http://diendantoanhoc.net, mathscope.org.
+ Geometric transfrormations II- I. M. Yaglom.
+ 107 geometry problems – Titu Andreescu, Michal Rolinek, Josef Tkadlec. + Tạp chí Toán học và tuổi trẻ.