PHÉP BIẾN HÌNH TRONG mặt PHẲNG chuyên đề phép vị tự

Định lí về đường tròn Euler Chứng minh rằng trong một tam giác, trung điểm các cạnh, chân các đường cao và trung điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh cùng nằm trên một đườn

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BIÊN HÒA

Người viết: Hoàng Xuân Bính BÀI THAM GIA HỘI THẢO CÁC

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

MÔN: TOÁN PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

Phép biến hình là một trong những phần quan trọng của nội dung hình học phẳng, tuy nhiên học sinh thường lúng túng, ngại khi học phần này Trong phép biến hình có nhiều phần, tôi chọn nội dung phép vị tự để trình bày trong bài viết này, vì phép vị tự là một trong các phép biến hình giúp chúng ta chứng minh các tính chất hình học mà nếu thực hiện theo các phương án khác thường rất khó và dài, đặc biệt trong các bài toán về tìm quĩ tích điểm và dựng hình thì phép vị tự giúp chúng ta nhanh chóng xác định được các yếu tố về quĩ tích điểm và dựng đượccác hình thỏa mãn yêu cầu của bài toán đặt ra

Chuyên đề này bao gồm một số kiến thức cơ bản về phép vị tự và các dạng bài tập thường gặp về phép vị tự : chứng minh, dựng hình, quĩ tích Cuối chuyên đề

là một số bài tập để người đọc tự rèn luyện

+ Phép vị tự biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng

+ Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó

+ Phép vị tự biến tia thành tia song song hoặc trùng với nó

+ Phép vị tự biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A’B’ và A B' ' k AB.

+ Phép vị tự biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó và tỉ số đồng dạng bằng k

Bài 1 (Định lí về đường tròn Euler) Chứng minh rằng trong một tam giác, trung

điểm các cạnh, chân các đường cao và trung điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh cùng nằm trên một đường tròn, gọi là đường tròn chín điểm hay đườngtròn Euler của tam giác đó Bán kính đường tròn Euler bằng nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và tâm O’ của đường tròn Euler thẳng hàng với tâm O đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm G và trực tâm H trên đường thẳng Euler sao cho O’ là trung điểm của đoạn thẳng OH và bốn điểm H, G, O, O’ làm thành một hàng điểm điều hòa

Giải

A''

C'' B''

G H

Từ đó ta có : HG 2GO 4 'O G và OH  3OG, 3 'O G O O ' O H' Do đó ta có :

 ' . ' 1

'

OH O H HGOO

OG O G

Bài 2 (Đề thi chọn đội tuyển Nhật Bản,1996) Cho tam giác ABC nội tiếp một

đường tròn, M là một điểm tùy ý thuộc đường tròn đó Chứng minh rằng các điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, BC, CA thuộc một đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác ABC

Bài 3 Cho tam giác ABC bên trong tam giác dựng 4 đường tròn

  O1 ; O2 ; O3 ; O4 bằng nhau sao cho 3 đường tròn đầu tiên cùng tiếp xúc với hai cạnh của tam giác Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC và tâm đường tròn (O4) thẳng hàng

Xét phép vị tự VI k,  :O1  A O, 2  B O, 3  C

Do O4 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác O1O2O3 vì O cách đều 3 điểm này.Suy ra : VI k,  :O4  O Do đó : I O O, 4 , thẳng hàng

Bài 4 (Đề thi HSG quốc gia 2000) Cho 2 đường tròn (O) và (O’) có bán kính khác

nhau cắt nhau tại A và B Một đường thẳng tiếp xúc với (O) tại P, tiếp xúc với (O’) tại P’ Gọi Q và Q’ lần lượt là chân đường cao hạ từ P và P’ Đường thẳng AQ và AQ’ cắt lần thứ hai với hai đường tròn tại M và M’ Chứng minh rằng M,M’,B thẳng hàng

Giải

Q'

M' Q

B

A

S O

O'

P

P' A'

M

Hai đường tròn cắt nhau suy ra : R R ', gọi S là tâm vị tự ngoài của hai đường trònXét phép vị tự : ,R' : ' , ' , ', '

s R

Suy ra OAQ OA Q   ' Vậy OAQ O AQ   ' '

Do tam giác MOA và tam giác M’O’A’ cân Suy ra : MOA AOM   '

Suy ra : ABM ABM' 180  0 Do đó M, B, M’ thẳng hàng

Bài 5 (Bài toán bồi dưỡng đội tuyển Anh 1990) Cho tam giác ABC nội tiếp đường

tròn tâm O, bán kính R Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC, E là điểm đối xứng của B qua AC và F là điểm đối xứng của C qua AB Giả sử H là trực tâm tam giác ABC, chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi OH  2R

Giải

C B

G

V 



 

  Phép vị tự này biến A, B, C, A B C2 , 2 , 2lần lượt thành A B C1 , , 1 1,

A, B, C Từ đó phép vị tự này biến 3 điểm D, E, F thành D’, E’, F’

Vậy D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi D’, E’, F’ Theo định lí Simson, các điểm D’, E’, F’ thẳng hàng khi và chỉ khi O thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C2 2 2

tương đương với OH = 2R

Bài 6 Cho hai đường tròn   O1 ; O2có bán kính khác nhau và nằm ngoài nhau Ta xét một đường tròn (O) tiếp xúc ngoài lần lượt với   O1 ; O2 tại A và B Trên

đường tròn (O) ta lấy điểm M bất kì, khác A và B Đường thẳng MA cắt (O1) lần thứ hai tại M1, MB cắt (O2) lần thứ hai tại M2 Chứng minh rằng khi M di động trênđường tròn (O) thì đường thẳng M1M2 đi qua một điểm cố định

Giải

O1 O2

O

A

B M

S

Nhận xét, nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì tiếp điểm là tâm của một phép

vị tự với hệ số vị tự có giá trị tuyệt đối bằng tỉ số hai bán kính, biến đường tròn nàythành đường tròn kia

Ta xét phép vị tự : tâm A biến O1 thành O do đó biến M1 thành M

Xét phép vị tự : tâm B biến O thành O2, do đó biến M thành M2

Như vậy tích của hai phép vị tự tâm A và tâm B biến O1  O2 và M1  M2 nên

1 2

M M đi qua tâm vị tự của hai đường tròn   O1 , O2 Hai đường tròn này cố định nên tâm vị tự của chúng là điểm cố định hay M M1 2đi qua điểm cố định

Bài 7 (Đề thi HSGQG 2003) Trong mặt phẳng, cho hai đường tròn cố định O R1 , 1

và O R2 , 2với điều kiện R1 R2sao cho hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau tại điểm M Xét điểm A nằm trên đường tròn O R2 , 2sao cho 3 điểm A, O1,O2 không thẳng hàng Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O1) với B, C là các tiếp điểm Các đường thẳng MB, MC cắt lần thứ hai đường tròn (O2) tương ứng tại các điểm E và F Gọi D là giao điểm của EF với tiếp tuyến tại A của đường tròn (O2) Chứng minh rằng điểm D di động trên một đường thẳng cố định khi A di động trên (O2) sao cho 3 điểm A, O1, O2 không thẳng hàng

Giải

H

A' D

O2

O1 A

của đường tròn O R1 , 1 Khi đó D’ thuộc trục đẳng phưởng BC của hai đường tròn

O R2 , 2 và (O3)

Thật vậy, gọi H là giao điểm thức hai của (O3) với AM Khi đó O1H vuông góc với

AM nên H là trung điểm của dây cung MA’ Tam giác D’MA’ cân tại D’, do đó D’H vuông góc với AM và D’O1 đi qua H Từ : D H D O' ' 1 D M' 2 Suy ra : D’ cùngphương tích đối với hai đường tròn (O1) và (O3)

Như vậy D’ di động trên tiếp tuyến của đường tròn (O1) tại M và tiếp tuyến đó cố định Phép vị tự tâm M biến đường tròn (O1 ) thành đường tròn (O2) cho nên đườngthẳng BC biến thành đường thẳng EF, tiếp tuyến tại A’ biến thành tiếp tuyến tại A

và D’ thành D Tập hợp các điểm D nằm trên đường thẳng MD’ là tiếp tuyến của (O1)

Bài 7 Trong mặt phẳng, cho hai đường tròn cắt nhau tại X và Y Chứng minh rằng

tồn tại 4 điểm thỏa mãn các tính chất sau :

Với mỗi đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn đã cho tại A và B, và cắt đường thẳng XY tại C và D, thì mỗi đường thẳng trong các đường thẳng AC, AD,

BC, BD phải đi qua một trong 4 điểm ấy

Y

B

P

Q

Gọi (E) là một đường tròn thỏa mãn đầu bài

Vì (E) cắt đường thẳng XY tại C,D nên (E) hoặc cùng tiếp xúc ngoài hoặc cùng tiếp xúc trong với cả hai đường tròn

Ta xét trường hợp tiếp xúc trong, trường hợp tiếp xúc ngoài chứng minh tương tự.Giả sử đường thẳng CA cắt đường tròn (AXY) tại một điểm P khác nữa và CB cắt đường tròn (BXY) tại một điểm Q khác nữa, khi đó C nằm trên XY, theo tính chất phương tích ta có : CA CP CX CY CB CQ  

Vậy các tam giác CAB và CQP đồng dạng, suy ra CAB CQP  

Kẻ đường thẳng CR tiếp xúc với (E) với R nằm cùng phía với B đối với đường thẳng XY Lúc đó : BCR CAB CQP    

Suy ra : CR // PQ Xét hai phép vị tự, tâm lần lượt là A và B, biến (E) thành hai đường tròn đã cho Một trong hai phép vị tự này biến đường thẳng CR thành tiếp tuyến tại P của một trong hai đường tròn này và phép vị tự kia biến CR thành tiếp tuyến tại Q của đường tròn còn lại Cả hai đường thẳng ảnh đều song song với CR, nên chúng trùng với đường thẳng PQ vì thế nó phải là tiếp tuyến chung của hai đường tròn này.

Kết luận : Bốn tiếp điểm tạo bởi hai tiếp tuyến chung của hai đường tròn đã cho có tính chất của đề bài

Bài 8 Cho tam giác ABC cân tại C, có đường cao CD Cho P là điểm nằm trên

cạnh CD Gọi E, F lần lượt là giao điểm của đường thẳng AP với cạnh BC, đường thẳng BP với cạnh AC Giả sử hai đường tròn nội tiếp tam giác ABP và tứ giác PECF bằng nhau Chứng minh rằng hai đường tròn nội tiếp các tam giác ADP và BCP cũng bằng nhau

D'

Gọi (H1) và (H2) lần lượt là hai đường tròn nội tiếp tứ giác CEFP và tam giác ABP Trong các tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn này, ta xét tiếp tuyến gần A nhất, tiếp tuyến này cứt BC và BD tại hai điểm tương ứng C’ và D’ Khi đó C’D’//

CD Gọi giao điểm của hai đoạn thẳng C’D’ và BF là P’ Khi đó (H1) và (H2) cũng lần lượt là hai đường tròn nội tiếp tam giác BC’P’ và BD’P’

Xét phép vị tự ,

' '

CD B

Từ đó ta có đpcm

Bài 9 (Bulgaria, Problem 11.3.2001) Trên mỗi cạnh của một tam giác có các góc

0 0 0

tạo thành một tam giác vuông cân Hỏi cạnh huyền của tam giác mới này có giá trị

A C B  Giả sử đường tròn (K) đường kính A1B1

cắt AB tại X C1 Dễ thấy nếu 0 0

    thì X nằm trong đoạn AB Vẽ tiếp tuyến d của (K) sao cho d//AB và tiếp điểm Y thuộc cung nhỏ C1X Gọi B2, A2 lần lượt là giao điểm của d với CA và CB

Xét phép vị tự tâm C sao cho ảnh B2 là A, A2 là B Khi đó qua phép vị tự tâm C nàythì ảnh của tam giác B1A1Y nội tiếp trong tam giác ABC và cạnh huyền của nó bé hơn B1A1 Do vậy, không mất tính tổng quát, giả sử AB là tiếp tuyến của đường tròn (K)

.sin sin sin

os sin 90 sin

2 os

Khi đó : giá trị bé nhất cần tìm của B1A1 là :

Với giả thiết tam giác ABC có các góc 30 ,60 ,90 0 0 0 và có độ dài cạnh huyền bằng 1, trong các trường hợp của tam giác vuông nội tiếp trong tam giác này thì B1A1 có 3 giá trị tính được là : 39 3, 21 3, 3

Bài 10 (Thi vô địch Ba Lan,1999) Gọi D là điểm nằm trên cạnh BC của tam giác

ABC sao cho AD > BC Gọi E là điểm nằm trên cạnh AC sao cho :

EC AD BCChứng minh rằng : AD > BE

Giải

A

E

Ta cố định các điểm B, C, D và khoảng cách AD Cho A thay đổi Quĩ tích điểm A

là một đường tròn tâm D Từ phương trình ở đầu bài, ta có tỉ số AE

đó

Thật vậy, trong trường hợp nói trên, các điểm B, D, C, E, A thẳng hàng theo thứ tự

đó Khi đó, từ đẳng thức ở đầu bài ta được :

AE ( AC – BD ) = AE ( AD – BC ) = EC BD

Suy ra : AE AC = ( AE + EC ) BD = AC BD Do đó : AE = BD, suy ra AD = BE(đpcm)

Bài 11 Cho hai đường tròn (C1) và (C2) nằm bên trong và tiếp xúc với đường tròn (C) theo thứ tự tại M và N Giả sử đường tròn (C1) đi qua tâm của (C2) Đường nối hai điểm chung của (C1) và (C2) cắt (C) tại A và B Các đường thẳng MA, MB cắt (C1) tương ứng tại E và F

Chứng minh rằng đường thẳng EF là tiếp tuyến của (C2)

Giải

Y V W

F E

N

Gọi O O O r r r, , 1 2 , , , 1 2 lần lượt là tâm và bán kính của các đường tròn (C), (C1), (C2) tương ứng Giả sử EF cắt O1O2 tại W Đặt O2W= x Ta cần chứng minh x = r2 Chọn hệ trục trực chuẩn có gốc là O2, O2O1 là trục hoành, giả sử O có tọa độ là (a,b) Nx: O và M không nằm trên O2O1 Giả sử AB cắt O2O1 tại V

Dễ thấy :

2 2 2

Việc phát hiện và dự đoán quĩ tích điểm tương đối phức tạp, tuy nhiên nhờ phép vị

tự mà việc định hướng quĩ tích các điểm cần tìm với các yếu tố ban đầu của bài toán trở nên dễ dàng hơn.

Bài 1 Chứng minh rằng quỹ tích những điểm của mặt phẳng mà tỷ số khoảng cách

từ đó đến hai đường thẳng cắt nhau ở một điểm O bằng k (k>0) không đổi gồm hai đường thẳng đi qua O

Giải

x

y

x' y'

M' B

O H

K M1

H1

K1

Giả sử hai đường thẳng xx’ và yy’ là hai đường thẳng cho trước cắt nhau tại O M

là một điểm của mặt phẳng sao cho MH/MK = k (hằng số dương cho trước) Gọi

M1 là điểm tương ứng của điểm M trong một phép vi tự thay đổi tâm O Vậy quĩ tích này sẽ gồm các đường thẳng đi qua O Khi đó quỹ tích của những điểm cần tìmtrên một cát tuyến AB của hai đường thẳng Ox, Oy sao cho OA = OB Với mỗi điểm M của AB các tam giác vuông MAH và MBK có các góc nhọn bằng nhau ở A

và B thì đồng dạng với nhau và ta có : MH MA

MK MB Điểm M sẽ là một điểm của quĩ tích nếu tỷ số MH k

MK  hay là : MA k

MB  Khi đó tỷ số k 1thì trên AB có hai điểm M

và M’ đáp ứng điều kiện đòi hỏi của bài toán Vậy quỹ tích cần tìm bao gồm hai đường thẳng OM và OM’ liên hợp điều hòa đối với hai đường thẳng Ox, Oy đã cho

vì hàng điểm ABMM’ điều hòa

Bài 2 Cho 2 đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A, (O’) nằm trong (O),

BC là một dây cung của (O) tiếp xúc với (O’) Tìm tập hợp tâm đường tròn nội tiếptam giác ABC khi dây cung BC thay đổi

Giải

, M là điểm thuộc đường tròn (O))

Ta thấy tia AM là tia phân giác của góc BAC

Thật vậy : MAB MCB MAC MBC   ,   

Ta có : O’M//OM’ Mà O’M vuông góc với BC nên OM’ vuông góc với BC do đó OM’ là đường kính chia đôi dây BC Suy ra : tam giác M’BC cân

Từ đó ta có : M BC M CB '   '  M AB M AC '  ' suy ra : I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thuộc MA

Theo tính chất phân giác ta có : MI BM AB BM AB AI

V 

 



 

Bài 3 Cho đường tròn (O,R) và một đường kính PQ cố định của đường tròn Trên

tia PQ ta lấy một điểm S cố định khác P và Q Với mỗi điểm A thuộc đường tròn,

ta dựng tia Px vuông góc với tia PA và nằm cùng phía với nó đối với đường thẳng

PQ Gọi B là giao điểm của Px và SA Tìm tập hợp điểm B, khi điểm A di động trên đường tròn (O,R)

Giải

Giải

S C

N

B M

Ta có : BM // CN Hai tam giác BMS và NCS đồng dạng nên ta có :

'

R k

R R



Bài 5 Trong mặt phẳng cho hai đường tròn đồng tâm, bán kính R, r (R > r) P là

một điểm cố định trên đường tròn bán kính r, còn B là điểm chuyển động trên đường tròn bán kính R Đường thẳng BP cắt đường tròn bán kính R ở điểm thứ hai

C và đường thẳng l vuông góc với đường thẳng BP tại P cắt đường tròn bán kính r

ở điểm thứ hai A (nếu l là tiếp tuyến cảu đường tròn thì PA)

a) Tìm tập hợp các giá trị của biểu thức : BC2 CA2 AB2

b) Tìm quĩ tích trung điểm của AB

2.Nếu điểm B chạy trên đường tròn lớn thì điểm C cũng chạy trên đường tròn này, còn điểm M chạy trên đường tròn vị tự với nó có bán kính bằng

2

R

và tâm là trung điểm OP

Vậy quĩ tích trung điểm M của AB là đường tròn bán kính

Bài 1 Dựng một đường tròn tiếp xúc với một đường tròn (O) cho trước và với một

đường thẳng d cho trước, biết một trong các tiếp điểm

Giải

d D

H

C

B A

Giả sử ( E) là một đường tròn tiếp xúc với (O) tại A và đường thẳng d tại B Khi đó

ta có một phép vị tự tâm A là tiếp điểm của (E) và (O) Thật vậy (O) là ảnh của (E) trong một phép vị tự tâm A biến B thành một trong hai đầu mút C hoặc D của đường kính CD của (E) vuông góc với d Ta xét hai trường hợp như bài toán đã đặt

ra :

+ Nếu điểm A cho trước trên đường tròn (O), đường thẳng CA cắt d tại điểm B Khi đó phép vị tự VA k, với k AB

AC

 sẽ biến đường tròn (O) thành đường tròn (E) tiếp xúc với (O) ở A và đường thẳng d tại B (Trường hợp thứ 2 thực hiện tương tự với đường thẳng DA)

+ Nếu điểm B cho trước trên đường thẳng d thì đường thẳng CB cắt (O) tại điểm A

C B

P

M E

N

Giả sử ta dựng được hai điểm E, F sao cho thỏa mãn đầu bài Qua A kẻ đường thẳng song song với EF cắt tia BF tại M, qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng BC tại N Ta có :

+ Dựng đường tròn tâm A, bán kính AB

+ Trên tia CA lấy CP = AB

+ Qua P dựng đường thẳng song song với BC cắt đường tròn tại M BM cắt AC tại

F

+ Qua F kẻ đường thẳng song song với AM cắt AB tại E

Ta có tứ giác BEFC là hình vị tự của tứ giác BAMN trong phép vị tự tâm B với tỉ