CHUYÊN đề PHÉP vị tự

Trong các phép biến hình thì phép vị tự có rất nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toánhình học và trong các kì thi học sinh giỏi số lượng các bài toán liên quan đến việc sử dụng phép

PHÉP VỊ TỰ A.PHẦN MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài

Các phép biến hình sơ cấp là một phần quan trọng của hình học và là một mảng khó trongchương trình hình học THPT chuyên Chính vì thế trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thiOlympic Toán quốc tế và khu vực, những bài toán có liên quan ít nhiều đến các phép biến hìnhcũng hay được đề cập và thường được xem là những dạng toán khó, những câu phân loại của kìthi Các em học sinh bậc Trung học phổ thông thường gặp một số khó khăn khi tiếp cận các kháiniệm liên quan đến phép biến hình, đặc biệt là kỹ năng ứng dụng các phép biến hình vào việclàm bài tập Những học sinh mới bắt đầu làm quen với khái niệm biến hình thường chưa hiểutường tận tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt là khâu vận dụng kiến thứcbiến hình vào giải toán trong những tình huống khác nhau Để hiểu và vận dụng tốt lý thuyếtbiến hình và vận dụng kiến thức biến hình vào giải toán thì thông thường học sinh phải có kiếnthức nền tảng hình học tương đối đầy đủ và chắc chắn trên tất cả các lĩnh vực của hình học sơcấp Đó là một khó khăn rất lớn đối với giáo viên và học sinh khi giảng dạy và học tập phần cácphép biến hình

Trong các phép biến hình thì phép vị tự có rất nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toánhình học và trong các kì thi học sinh giỏi số lượng các bài toán liên quan đến việc sử dụng phép

vị tự khá nhiều Các bài toán khi giải bằng phương pháp sử dụng phép vị tự trong các kì thi họcsinh giỏi thường khá hay và đặc sắc, thể hiện khả năng sáng tạo của học sinh Bằng cách giảibằng cách sử dụng phép vị tự giúp học sinh thấy được bản chất của bài toán và phát hiện ra cáctính chất thú vị khác của bài toán Tuy nhiên khó khăn lớn nhất của giáo viên khi dạy phần này làlàm sao để học sinh hứng thú học và có khả năng vận dụng phép vị tự vào giải các bài toán hìnhhọc, cần trang bị cho các em những kiến thức gì? Cần bắt đầu từ những bài toán nào? Cần phândạng các bài tập áp dụng phép vị tự và những dấu hiệu của các bài toán như thế nào thì dùngphép vị tự? Với tất cả những khó khăn và thuận lợi trên chúng tôi chọn đề tài “phép vị tự” đểtrao đổi và đưa ra một số dạng bài tập đặc trưng giải bằng sử dụng phép vị tự

2.Mục đích của đề tài

Đề tài “phép vị tự” được chọn để giới thiệu với các thầy cô giáo và các em học sinhnhững kinh nghiệm của chúng tôi khi giảng dạy chủ đề phép vị tự trong chương trình THPTchuyên, và đồng thời thông qua đề tài này chúng tôi muốn nhấn mạnh tầm quan trọng của phép

vị tự trong các bài toán chứng minh đồng quy và thẳng hàng và một số bài toán khác xuất hiệntrong các kì thi Quốc tế, khu vực và Olympic quốc gia của một số nước Các bài toán đồng quythẳng hàng mà lời giải sử dụng phép vị tự thường là những bài tập khó, các bài tập chúng tôi đưa

ra đề là các đề thi Olympic Quốc tế, khu vực và một số nước có truyền thống về toán, trong cácbài tập này chúng tôi có phân tích dấu hiệu của bài toán mà có thể sử dụng để giải bằng cáchdùng phép vị tự Những bài toán này nếu không sử dụng phép vị tự thường rất khó và rất dễ phụthuộc vào hình vẽ

Thông qua đề tài “phép vị tự” chúng tôi cũng rất mong muốn nhận được góp ý trao đổicủa các bạn đồng nghiệp, các bậc cha mẹ học sinh và các em học sinh Chúng tôi mong muốn đề

tài này góp một phần nhỏ để việc dạy phần phép vị tự hiệu quả nhất và giúp các em học sinh cókhả năng vận dụng phép vị tự vào giải các bài toán hình học một cách tốt nhất.

OMuuuuur= k OMuuuur được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k và được kí hiệu là V O k hoặc V(O k; )

Điểm M’ được gọi là ảnh của điểm M, điểm M được gọi là tạo ảnh của M’, O gọi là tâm vị tự, k

gọi là tỉ số vị tự

Nếu k >0 thì V O k được gọi là phép vị tự dương

Nếu k <0 thì V O k được gọi là phép vị tự âm

Tính chất 2.1 Phép vị tự V O k với k ≠ 1 có một điểm bất động duy nhất, đó là điểm O

Tính chất 2.2 Nếu điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép vị tự V O k thì O, M, M’ thẳng hàng

Tính chất 2.3 Nếu A’, B’ lần lượt là ảnh của hai điểm phân biệt A, B qua phép vị tự V O k thì' '

Tính chất 2.5 Phép vị tự V O k biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng theo thứ tự đó

Chứng minh Giả sử A’, B’, C’ lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự V O k Giả sử B nằmgiữa A và C Khi đó theo tính chất 3 ta có: A B' '= k AB B C, ' '= k BC C A, ' '= k CA, kết hợpvới AB BC AC + = ⇒ A B B C ' ' + ' ' = A C ' ' ⇒ A B C ', ', ' thẳng hàng và B’ nằm giữa A’ và C’

Từ tính chất 5 ta có các kết quả rất quan trọng sau:

Hệ quả Phép vị tự V O k biến:

a) Đường thẳng d thành đường thẳng d’ và d d || ' hoặc d d ≡ '

b) Tia Sx thành tia S x ' ' và hai tia đó hoặc song song hoặc cùng nằm trên một đườngthẳng

c) Đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A’B’ và A B' '= k AB

d) Tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ và hai tam giác này đồng dạng với nhau theo tỉ số

V S →S và OSuuur'=kOSuuur'

' : '

k O

V S →S M → M ⇒ S Muuuuur=k SMuuur

' ' : ' , ' '' '' ' '

k O

V S → S M → M ⇒ SMuuuur=k SMuuuur

Từ hai đẳng thức trên ta được: SMuuuur''=k k SM '.uuur Do đó H V= O k''oV O k là một phép vị tự tâm làđiểm S và tỷ số vị tự là k k '.

Chứng minh tương tự ta cũng được V V O k o O k'' cũng là một phép vị tự

b)Với mỗi điểm M bất kì trong mặt phẳng ta có:

k O

V M →M ⇒OMuuuuur=k OMuuuur

' ' : ' '' ' '' ' ' ' ' ' ' ''

k O

V M → M ⇒O Muuuuuur=k O Muuuuuur⇒O Muuuuuur=k O Muuuuuur

Chứng minh tương tự ta cũng được V V O k o O k'' là một phép tịnh tiến

Nhận xét Nếu k k, '∉{ }0;1 , ' 1k k ≠ thì V O k''oV O k là một phép vị tự có tâm nằm trên đường thẳngOO’ và có tỉ số vị tự là k k '

Tính chất 2.7 Cho phép vị tự V O k với k∉{ }0;1 và phép tịnh tiến T u ur, r r≠0

Khi đó phép biếnđổi T V ur o O k hoặc V O koT ur là một phép vị tự

V S →S và OSuuur'=kOSuuur;: '

Hệ thức này chứng tỏ H có điểm bất động duy nhất là điểm S

Với điểm M tùy ý khác điểm S, thì

k O

3 Tâm vị tự của hai đường tròn.

Định lí 3.1 Cho hai đường tròn (O R1; 1) và (O R2; 2) phân biệt Khi đó tồn tại phép vị tự biếnđường tròn (O R1; 1) thành đường tròn (O R2; 2)

tròn (O R1; 1) thành đường tròn (O R2; 2)là: 21

1

R R O

V và

2 1 1

R R O

Ta lấy M M1' 2' là đường kính của đường tròn (O R2; 2) và O M1 là một bán kính của (O R1; 1)

sao cho hai vector O Muuuuuur2 1'

và O Muuuur1

cùng hướng Đường thẳng O O1 2 cắt MM1' và MM2' lầnlượt tại I1 và I2

Khi đó phép vị tự 21

1

R R I

V và

2 1 2

R R I

V− biến đường tròn (O R1; 1) thành đường tròn (O R2; 2) Điểm I1 được gọi là tâm vị tự ngoài của hai đương tròn (O R1; 1) và (O R2; 2) Điểm I2 được gọi

là tâm vị tự trong của hai đương tròn (O R1; 1) và (O R2; 2)

II Ứng dụng của phép vị tự

1.Ứng dụng trong các bài toán chứng minh các điểm thẳng hàng

Có nhiều cách để chứng minh ba điểm A B C, , thẳng hàng, một trong các cách đó là dùngphép vị tự Để chứng minh ba điểm A B C, , bằng cách sử dụng phép vị tự người ta có thể thựchiện một trong các hướng sau:

+) Chỉ ra có một phép vị tự tâm A, tỷ số k biến điểm B thành điểm C suy ra

1 Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC tại D Gọi M, E lần lượt

là trung điểm của BC, AD Chứng minh rằng E, O, M thẳng hàng.

A

Gọi F, R, S lần lượt là tiếp điển của đường tròn bàng tiếp (J) của góc A của tam giác ABC với các đường thẳng BC, CA, AB Kẻ đường kính DN.

Từ (1) và (2) ta được MD MF= hay M là trung điểm của DF.

Do E, I, M lần lượt là trung điểm của AD, DN, DF nên EI AN IM NF|| , || ⇒ để chứng

cắt ( )O2 lần thứ hai tại M2 Chứng minh rằng khi M thay đổi trên đường tròn (O) thì

đường thẳng M M1 2 đi qua một điểm cố định

Lời giải.

S B

1 1:

R R A

2

2

2 :

R R B

Do đó đường thẳng M M1 2 đi qua tâm vị tự ngoài của hai đường tròn ( ) ( )O1 , O2

3 (Russia MO 2008, grade 9) Cho tam giác không cân ABC với H, M lần lượt là trực tâm

và trọng tâm của tam giác đó Các đường thẳng qua A, B, C lần lượt vuông góc với AM,

BM, CM cắt nhau tạo thành một tam giác có trọng tâm G Chứng minh rằng G nằm trên

đường thẳng MH.

Lời giải.

C B

A

Để chứng minh bài toán ta cần hai bổ đề sau:

Bổ đề 1 Cho tam giác ABC và L là một điểm nằm trong tam giác đó Gọi H, I, K lần lượt

là hình chiếu vuông góc của L lên các đường thẳng BC, CA, AB Khi đó L là trọng tâm của tam giác HIK khi và chỉ khi L là điểm Lemoine của tam giác ABC.

Đây chính là bài 34, trang 47, tài liệu chuyên toán hình học 10.

Bổ đề 2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và H là trực tâm của nó Kẻ đường

kính AM Khi đó AH và AM đối xứng với nhau qua phân giác trong của góc ·BAC

Chứng minh

M

O H

C B

A

Gọi D là giao điểm thứ hai của phân giác trong góc ·BAC với đường tròn (O)

Do AM là đường kính nên AD DM⊥ suy ra:

Từ (1) và (2) ta được ( AM AD, ) (≡ AD AH, ) (modπ ) ⇒ AM, AH đối xứng với nhau qua

phân giác của góc ·BAC

Trở lại bài toán:

Do A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên B C C A A B1 1, 1 1, 1 1 nên theo bổ đề 1

ta được M là điểm Lemoine của tam giác A B C1 1 1 suy ra A M1 đối xứng với trung tuyến

kẻ từ A1 của tam giác A B C1 1 1 qua phân giác trong của góc ·

1

BA C (3)

Do MM BC a, cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn nên tứ giác BMCM a là hình bình hành,kết hợp với MB⊥ AC MC1 1, ⊥ A B1 1⇒ M C a ⊥ A C M B1 1, a ⊥ A B1 1 suy ra M a là trực tâmtam giác A BC1 (4)

Do tứ giác HBAC1 tiếp và A H1 là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác A BC1

Do V M−1:A→M B a, →M C b, →M c suy ra V M−1 biến trực tâm tam giác ABC thành trực

tâm tam giác M M M a b c⇒V M−1:H →G suy ra G nằm trên đường thẳng MH.

4 Cho tam giác ABC Bên trong tam giác ta dựng bốn đường tròn ( ) ( ) ( ) ( )O1 , O2 , O3 , O4sao cho ba đường tròn đầu tiên bằng nhau, cùng tiếp xúc với đường tròn ( )O4 và mỗiđường tròn đó còn tiếp xúc với hai cạnh tam giác Chứng minh rằng tâm các đường tròn

nội, ngoại tiếp tam giác ABC và tâm đường tròn ( )O4 thẳng hàng

Lời giải.

M

O

O 4 I

O 3

O 2

O 1

C B

A

Gọi I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC Gọi M, N lần lượt

là tiếp điểm của đường thẳng AB với các đường tròn ( ) ( )O1 , O2

5 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn tâm I Giả sử bên trong tứ giác ta vẽ được

bốn đường tròn bằng nhau cùng đi qua một điểm S và mỗi đường tròn tiếp xúc với hai cạnh liên tiếp của tứ giác đó Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn và tâm đường tròn đó nằm trên đường thẳng SI.

Lời giải.

N M

D

C

B A

Giả sử bốn đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán là ( ) ( ) ( ) ( )O1 , O2 , O3 , O4 ; gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của đường thẳng AD với ( ) ( )O1 , O2

suy ra VI k biến tứ giác O O O O1 2 3 4 thành tứ giác ABCD (1).

Do bốn đường tròn ( ) ( ) ( ) ( )O1 , O2 , O3 , O4 có bán kính bằng nhau và cùng đi qua điểm S

nên SO SO1 = 2 = SO3 = SO4 suy ra tứ giác O O O O1 2 3 4 nội tiếp đường tròn có tâm S.

Do đó theo (1) thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O và

k

I

V S → ⇒O IO k ISuur= uur⇒ I O S thẳng hàng hay O nằm trên đường thẳng SI.

6 Cho hai đường tròn ( ) ( )O1 , O2 nằm ngoài nhau và có bán kính khác nhau Trên mỗi tiếp

tuyến chung trong lấy các điểm M, N Qua M kẻ hai tiếp tuyến đến ( ) ( )O1 , O2 (khác tiếp

tuyến chung trong chứa M), qua N kẻ hai tiếp tuyến đến ( ) ( )O1 , O2 (khác tiếp tuyến

chung trong chứa N) Các tiếp tuyến từ M, N (khác tiếp tuyến chung trong) đến ( )O1 cắt

nhau tại P; các tiếp tuyến từ M, N (khác tiếp tuyến chung trong) đến ( )O2 cắt nhau tại

điểm Q Chứng minh rằng đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M, N thay

đổi

Lời giải.

L K

Ta sẽ chứng minh tứ giác KPLQ là tứ giác ngoại tiếp đường tròn Thật vậy, ta sẽ chứng

Do đó tứ giác KPLQ là tứ giác ngoại tiếp đường tròn (O).

Gọi R R R lần lượt là bán kính đường tròn , ,1 2 ( ) ( ) ( )O , O1 , O Khi đó ta có:2

( ) ( )1

1:

R R P

( ) ( )

2

2:

R R Q

Suy ra

( ) ( )

2 2

1 1

R R R

R

Do đó đường thẳng PQ sẽ đi qua tâm vị tự ngoài của hai đường tròn ( ) ( )O1 , O 2

7 Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O) Gọi ( ) ( ) ( )O a , O b , O lần lượt là c

đường tròn ngoại tiếp các tam giác OBC, OCA, OAB Chứng minh rằng tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác O O O nằm trên đường thẳng Euler của tam giác ABC a b c

O O O O O O lần lượt là trung trực của OA, OB, OC

Ta có tứ giác MEO C nội tiếp nên b

trong đó ( ) ( )O1 , O lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 O O O , DEF a b c

Từ kết quả trên ta suy ra O O O thẳng hàng (1)., ,1 2

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, kết hợp với D, E, F lần lượt là trung điểm của BC,

G

V− O → O ⇒O G O thẳng hàng (2).

Từ (1) và (2) suy ra O O O G thẳng hàng Mặt khác đường thẳng OG là đường thẳng, ,1 2,

Euler của tam giác ABC suy ra tâm ngoại tiếp của tam giác O O O nằm trên đường a b c thẳng Euler của tam giác ABC.

8 (IMO Shortlisted 2007, G8) Cho điểm P nằm trên cạnh AB của tứ giác lồi ABCD Cho

ω là đường tròn nội tiếp tam giác CPD, và có tâm là điểm I Giả sử đường tròn ω tiếp

xúc lần lượt với đường tròn nội tiếp tam giác APD và BPC tương ứng tại K và L Đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E, và đường thẳng AK và BL cắt nhau tại F Chứng minh rằng E, I, và F thẳng hàng.

Lời giải.

M

A

I F E

L K

P

D

C

B A

Gọi (J R là đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng AB, AD, BC và ; ) ( )I r;(I R a; a) (, I R lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác PCD, ADP, BCP Đường b; b)tròn (I R tiếp xúc với AB, AD lần lượt tại M, N và đường tròn a; a) (I R tiếp xúc với; )

Từ (1) và (2) suy ra giao điểm của AK và BL thuộc đường thẳng IJ hay F thuộc đường

Xét tứ giác APCD, theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta được:

AP CD+ =AM MP DQ QC+ + + =AN PL DN CL+ + + =AD CP+ suy ra tứ giác APCD

ngoại tiếp đường tròn ( J r a; a)

Tương tự ta chứng minh được tứ giác BCDP ngoại tiếp đường tròn (J r b; b)

V I r → J r

Suy ra : ;( ) ( ; )

a a

V I r → J r

Suy ra : ;( ) ( ; )

a a

R r

Do đó tâm vị tự của (I), (J) là giao điểm của BD và IJ (4)

Từ (3) và (4) ta có giao điểm của AC và BD nằm trên đường thẳng IJ hay E thuộc đường

Từ (3) và (5) suy ra ba điểm I, E, F thẳng hàng.

Nhận xét Ngoài cách chứng minh trên ta có thể sử dụng định lí Desargues như sau:

1) Ta chứng minh AB, KL, I I đồng quy Do đó, áp dụng định lí Desargues cho hai tam a b

giác AI K BI L ta được a , b J = AI aI BI I b, =I K I L F a I b , =KA LBI thẳng hàng.

2) Ta chứng minh AB, CD, J J đồng quy Do đó, áp dụng định lí Desargues cho hai a b

tam giác J AC J BD ta được a , b I =J C J D J a I b , =AJ aI BJ E b, =AC BDI thẳnghàng

2 Ứng dụng trong các bài toán chứng minh các đường thẳng đồng quy

Để chứng minh ba đường thẳng AA BB CC', ', ' đồng quy ta có thể thực hiện một trong các

hướng sau:

+) Ta chỉ ra các đường thẳng AA BB CC', ', ' cùng đi qua điểm S , chẳng hạn để chứng minh AA'

đi qua điểm S ta chỉ ra có một phép vị tự tâm S, tỷ số k biến điểm A thành điểm A' suy ra

+) Ta chứng minh kết quả sau (kết quả này rất quan trọng trong các bài toán chứng minh đồngqua bằng cách sử dụng phép vị tự)

Bổ đề 2.2.1 Cho hai tam giác ABC A B C, ' ' 'cùng hướng và AB A B BC B C CA C A|| ' ', || ' ', || ' '.

Khi đó nếu đường thẳng AA BB CC', ', ' không đôi một song song thì tồn tại một phép vị tự

V A→A B→B C→C suy ra AA BB CC', ', ' cùng đi qua điểm S

Cách 2 Giả sử hai đường thẳng AA BB', ' cắt nhau tại điểm S , hai đường thẳng BB CC', ' cắt

nhau tại điểm 'S Khi đó theo định lí Talet ta có:

9 (Russia MO 1998, grade 11) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) và nội tiếp

đường tròn (O) Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D,

E, F Gọi K, L, M lần lượt là điểm chính giữa của cung BC (không chứa điểm A), cung

CA (không chứa điểm B), cung AB (không chứa điểm C) Chứng minh rằng KD, LE, MF

đồng quy tại một điểm

Lời giải.

Từ (1) và (2) ta được BNM FDB· = · ⇒ DF KM|| Chứng minh tương tự ta được

10 (Canada MO 2007) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA,

AB lần lượt tại D, E, F Kí hiệu ω ω ω ω, , ,1 2 3 lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác

ABC, AEF, BDF, CDE Đường tròn ω và ω1 cắt nhau tại A và P, đường tròn ω và ω2

cắt nhau tại B và Q, đường tròn ω và ω3 cắt nhau tại C và R.

a Chứng minh rằng các đường tròn ω ω ω1, ,2 3 có một điểm chung.

b Chứng minh rằng PD, QE, RF đồng quy.

A

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với

cạnh BC, CA, AB lần lượt tại các điểm D, E, F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A và P Khi đó đường thẳng PD đi qua điểm chính giữa cung BC không chứa điểm A.

O I

Xét hai tam giác PBF và PCE ta có:

(BF BP, ) (≡ CE CP, ) (modπ) (do tứ giác APBC nội tiếp)

QE, RF với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó theo bổ đề trên thì P’ là điểm

chính giữa của cung BC không chứa điểm A, Q’ là điểm chính giữa của cung CA không chứa điểm B, R’ là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm C

Do đó việc chứng minh PD, QE, RF đồng quy tương đương với chứng minh P’D, Q’E,

R’F đồng quy Theo kết quả bài toán 9 ta được P’D, Q’E, R’F đồng quy.