CHUYÊN đề vận DỤNG ĐỊNH LUẬT vạn vật hấp dẫn và BA ĐỊNH LUẬT KEPLER GIẢI các bài TOÁN THIÊN văn học

Ba định luật Kepler a Định luật 1: Các hành tinh chuyển động xung quanh Mặt trời theo quỹ đạo elip mà Mặt trời nằm tại một trong hai tiêu điểm của elip quỹ đạo... Biểu thức: c Định luật

V C

P H a

O F2 • F1•

•

Hình 1

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH

TRƯỜNG THPT VÙNG CAO VIỆT BẮC

CHUYÊN ĐỀ : VẬN DỤNG ĐỊNH LUẬT VẠN VẬT HẤP DẪN VÀ BA ĐỊNH LUẬT KEPLER GIẢI CÁC BÀI TOÁN THIÊN VĂN HỌC

những kiến thức này Do vậy tôi đã chọn đề tài: Vận dụng định luật vạn vật hấp dẫn và

ba định luật Kepler giải các bài toán Thiên văn học.

II CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Định luật vạn vật hấp dẫn

Hai chất điểm bất kì luôn hút nhau một lực tỉ lệ thuận với tích hai khối lượng và tỉ

lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng

Biểu thức:

Với: m1; m2 là khối lượng của hai chất điểm (kg)

r: khoảng cách giữa hai chất điểm (nếu chất điểm có hình cầu thì r được tính từ tâm củacầu nọ đến tâm của cầu kia) (m)

G = 6,67.10-11 Nm2/kg2 : hằng số hấp dẫn

2 Ba định luật Kepler

a) Định luật 1: Các hành tinh chuyển động xung quanh

Mặt trời theo quỹ đạo elip mà Mặt trời nằm tại một trong

hai tiêu điểm của elip quỹ đạo

Biểu thức: r =

1

với r = F1H

p là thông số của elip, p = F1P

ϕ là góc cận điểm thực tức là góc hợp bởi bán kính vectơ của hành tinh r và bánkính vectơ tại cận điểm rc

b) Định luật 2: Bán kính vectơ của mỗi hành tinh quét được những góc bằng nhau trong

những khoảng thời gian bằng nhau

Biểu thức:

c) Định luật 3: Bình phương chu kì chuyển động của các hành tinh quanh Mặt trời tỉ lệ

với lập phương bán trục lớn của quỹ đạo elip

Biểu thức:

Với:

T: chu kì chuyển động của các thiên thể

G = 6,67.10-11 Nm2/kg2 : hằng số hấp dẫn

M, m: lần lượt là khối lượng của Mặt trời và hành tinh

a: bán trục lớn của quỹ đạo elip

chú ý: Tại cận điểm rc = a(1 – e)

Tại viễn điểm rv = a(1 + e)

e: Tâm sai của elip; e =

b: bán trục nhỏ của elip; b2 = p.a

C =

Độ dẹt của elip: ε =

3 Quan hệ giữa vận tốc và các thông số quỹ đạo

- Quỹ đạo hình tròn: e = 0; r = a

với K = G(m + M); r là bán kính quỹ đạo

- Quỹ đạo elip: e < 1; p = a(1 – e2)

b) Vận tốc tại viễn điểm

Thay (3) và (4) vào ta được:

=

Bài 2

Tính phần bổ xung vận tốc tối thiểu để một vệ tinh đang ở trên quỹ đạo cách bề mặtTrái đất 230km đi tới cận điểm quỹ đạo của mặt trăng? Bỏ qua lực hấp dẫn của Mặt trăng.Biết bán trục lớn quỹ đạo Mặt trăng là 384000km và tâm sai quỹ đạo mặt trăng e =

Dựa vào đặc điểm nhìn thấy của Thủy tinh

và Kim tinh, tính khoảng cách từ chúng tới Mặt

trời và chu kì chuyển động của chúng biết

khoảng cách từ Trái đất tới Mặt trời bằng một

đơn vị thiên văn và chu kì chuyển động quanh

mặt trời bằng một năm Coi các hành tinh chuyển

động quanh mặt trời theo quỹ đạo tròn

Giải

Kí hiệu: Trái đất: Đ; (hình 2); Kim tinh: K; Thủy tinh: T; Mặt trời: M

Dựa vào chuyển động nhìn thấy của Kim tinh và Thủy tinh ta có:

= 480; = 280; RĐ = 6400km = ĐM

RK = KM = = ĐM.sin480 = 4756,1(km)

RT = ĐM.sin280 = 3004,6 (km)

* Chu kì chuyển động của Kim tinh

Dựa vào định luật ba Kepler có: => TK = 223,8 (ngày)

* Chu kì chuyển động của Thủy tinh

Giải

a) Giả sử trái đất ở điểm F1 của quỹ đạo elip của vệ tinh nhân tạo

4

Đ

T1 a1

Hình 3

=> Bán kính vectơ của vệ tinh:

Tại cận điểm: rc = a(1- e)

Tại viễn điểm: rv = a(1 + e)

=> Vận tốc dài của vệ tinh ở cận điểm

Xa nhất tại viễn điểm với rv = RĐ +hv => hV = rv - RĐ = a(1 + e) – RĐ = 5630(km)

Gần nhất tại cận điểm: rc = RĐ +hc => hc = rc - RĐ = a(1 - e) – RĐ = 1630(km)

Bài 5

Người ta phóng một trạm vũ trụ chuyển động quanh Mặt trời theo quỹ đạo tròntrong mặt phẳng Hoàng đạo Các trạm quan sát từ Mặt đất thấy trạm này dao động quanhmặt trời với biên độ xác định bằng 450 (hình 3)

a) Tính bán kính quỹ đạo và chu kỳ chuyển động T1 của trạm

(coi trái đất chuyển động quanh Mặt trời theo quỹ đạo tròn với bán

kính bằng một đơn vị thiên văn (đvtv) và chu kì 1 năm)

b) Giả sử tại điểm O trên quỹ đạo tròn của trạm (Hình 4)

người ta tăng vận tốc cho trạm tức thời đến vận tốc parabol (trạm bắt

đầu chuyển động theo quỹ đạo parabol nhận điểm O làm đỉnh) hãy

tính thời gian trạm chuyển từ điểm O đến điểm T Cho biết phương

trình parabol trong hệ xOy là y2 = 2px trong đó p là khoảng cách từ

5

tiêu điểm đến đường chuẩn Chú ý định luật 2 Kepler cũng đúng với chuyển độngparabol.

6

7

a) Từ hình 3 ta thấy

8

Bán kính quỹ đạoo chuyển động của trạm

9

a1 = TM = ĐMsin450 = (đvtv)

10

Chu kì chuyển động T1 của trạm

11

O M T

Người ta muốn phóng một vệ tinh nhân tạo theo phương án sau:

a) Từ mặt đất cung cấp cho vệ tinh vận tốc v0 theo phương thẳng đứng

b) Khi vệ tinh lên đến độ cao h có vận tốc bằng 0, người ta cung cho nó vận tốc v1

theo phương ngang ( vr1 ⊥vr0

) để vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo elip có tâm sai e vàthông số p được xác định trước Bỏ qua sức cản của không khí

Hãy tính các vận tốc v0 và v1 Cho biết bán kính của Trái Đất là R0 và gia tốc trọng trường

a) Chọn gốc thế năng tại tâm Trái Đất

Vì chuyển động trong trường trọng lực xuyên tâm ta áp dụng định luật bảo toànmômen xung lượng và cơ năng

Tại mặt đất vệ tinh có cơ năng là:

2 0

0 h 0 0

v = 2(- g r + g R )

→

2 2

h 2 0

R

g = g r

b) Khi vệ tinh lên đến độ cao h

Do quỹ đạo là elip, mà vận tốc được cung cấp v1

r

có hướng vuông góc với v0

r

nênđiểm cung cấp chỉ có thể tại hai đỉnh của elip (cận điểm, viễn điểm)

* Điểm lên quỹ đạo là cực cận

Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có:

2 2

c 1

0

mv mv

* Điểm lên quỹ đạo là cực cận

Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có:

2 2

1 0

mv mv

- mg( h + R ) + = - mgr +

v

15

2 0 0 v

Giải

Tính chu kỳ quay của vệ tinh Mặt trăng

Gọi R là bán kính quỹ đạo của vệ tinh Mặt Trăng ta có:

17

rT F L

O f Hình 5

O b

Hình 6

a2 R

C

T 2

2r b

R = a

→

Thế rT từ (4) vào (6) ta được:

1 2

a L

R = b

a f (7)

Thế rT từ (4) và R từ (7) vào (3) ta được:

1

2 T 2

a Lb b

T = 4π

a g a f

Thay số: T ≈

6,23.104s

Bài 8

19

quanh Mặt Trăng theo quỹ đạo tròn bán kính R = 3,4.106m

a) Hỏi từ con tàu phải ném một vật theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo với vận tốcbằng bao nhiêu để nó rơi lên mặt đối diện của Mặt Trăng

b) Sau thời gian bao lâu nó sẽ rơi lên Mặt Trăng Cho biết gia tốc rơi tự do củamọi vật ở gần bề mặt Mặt Trăng nhỏ hơn trên Trái Đất 6 lần Bán kính Mặt Trăng RT =1,7.106m

Giải

a) Vận tốc cần phải ném

20

Vật được ném ra khỏi con tàu chuyển động theo quỹ đạo elip tiếp xúc với bề mặt MặtTrăng (Hình 7) Trục lớn quỹ đạo elip là 2a = R + RT.

Thế năng hấp dẫn của vật tại A và B:

T A

M m

W = - G

R

T B

Thay vào (1) ta được:

2

1 0

0 2

b) Thời gian để vật rơi lên Mặt Trăng.

Chu kỳ quay của con tàu:

T

2R 2πR

có thể chiếm một phần cực đại bằng bao nhiêu khối lượng vệ tinh

22

R

Hình 9

2R A

Tỉ số khối lượng của trạm và khối lượng vệ tinh

Khi trạm m từ vệ tinh M1 tại A, để lợi về năng lượng thì vận tốc u

0 0

v +vm

= G v = G

(2)

Ở rất xa Trái Đất động năng và thế năng của trạm m đều bằng 0 nên theo định luật

bảo toàn cơ năng ta có:

B cận Trái Đất, theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có:

a) Hỏi khoảng cách xa Mặt Trời nhất của sao chổi Halley (gọi là khoảng cáchviễn nhật rv) bằng bao nhiêu?

b) Tâm sai của quỹ đạo sao chổi Halley là bao nhiêu?

Giải

a) Từ định luật 3 Kepler ta suy ra:

1 3 2

GM

a = 4π

Θ

 

 Với khối lượng Mặt Trời Mʘ = 1,99.1030kg, T = 7,6 năm = 2,4.109s

Vậy bán trục lớn của quỹ đạo sao chổi Halley là: a = 2,7.1012m

Thay số vào ta được: rc = 5,3.1012(m)

b) Tâm sai e của quỹ đạo sao chổi Halley

của ngôi sao không trông thấy (vật tối)

Giải

Khối tâm của hệ sao đôi nằm trên đường nối tâm của chúng

Gọi O là khối tâm của hệ, r1, r2 lần lượt là khoảng cách m1, m2 đến tâm O

25

Đặt r = r1 + r2.

Lực hấp dẫn của vật tối lên ngôi sao trông thấy:

1 2 2

Gm m

F =r

1 1

a) Động năng của quả bóng gỗ là bao nhiêu?

b) Thế năng của quả bóng gỗ là bao nhiêu?

c) Cơ năng của quả bóng gỗ là bao nhiêu?

Giải

a) Chọn hệ quy chiếu gắn với tâm Trái Đất, gốc thế năng ở tâm Trái Đất

Bán kính quỹ đạo của quả bóng:

r = R + h = 6370 + 350 = 6,72.103km = 6,72.106 m (trong đó R là bán kính TráiĐất)

Lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên quả bóng:

2

GMm

F =r

(1)

26

Lực F đóng vai trò lực hướng tâm:

2 mv

F = r

(2)

Từ (1) và (2) ta có:

2

2 2

Vì quả bóng chuyển động trên quỹ đạo tròn nên ta có: W = Wt + Wđ = - 214 (MJ)

a) Chu kỳ và tốc độ của hai con tàu trên quỹ đạo tròn là bao nhiêu?

b) Tại điểm cố định (giả sử điểm P trên Hình 10) Sally muốn vượt Igor bèn cho phụtkhí về phía trước để giảm tốc độ của cô 1% Sau đó, Sally đi theo quỹ đạo elip (đường vẽnét đứt) Tính tốc độ, động năng và thế năng con tàu của cô ngay sau khi phụt khí?

c) Trên quỹ đạo mới hình elip, cơ năng toàn phần, bán trục lớn và tốc độ trên quỹđạo của Sally là bao nhiêu?

27

R

Hình 10

r TĐ

mv

W = = 5,87.10 J

2

.Thế năng của nó vẫn không đổi:

28

B F1

Hình 11

F2

10 t

GMm

W = - = - 11,8.10 (J)

r

.c) Cơ năng toàn phần mới của tàu Sally:

W = Wt + Wđ = - 6,02.1010 (J)

Tacó:

Bài 15

Khoảng cách trung bình giữa sao Hỏa và Mặt Trời là 5,2 lần khoảng cách từ TráiĐất đến Mặt Trời Theo định luật 3 Kepler, hãy tính xem sao Hỏa cần bao nhiêu năm đểquay được một vòng xung quanh Mặt Trời

Với T1, a1 là chu kỳ và khoảng cách trung bình giữa Trái Đất và Mặt Trời,

T2, a2 là chu kỳ và khoảng cách trung bình giữa sao Hỏa và Mặt Trời

Vậy chu kỳ quay của sao Hỏa là:

3 2 2

1

a

T = T = 684,5a

Giải

Mặt Trăng m chuyển động tròn chịu tác dụng của lực hấp dẫn đóng vai trò lực hướng

tâm:

2 2

quay của Mặt Trăng

2π

ω = T

Từ (1) suy ra:

2 3

24 2

A Hình 12

R

Một vệ tinh được đặt trên một quỹ đạo tròn có bán kính bằng nửa bán kính quỹđạo của Mặt Trăng Chu kỳ quay của nó (tính theo tháng Mặt Trăng) là bao nhiêu (Mộttháng Mặt Trăng là chu kỳ quay của Mặt Trăng)

Giải

Chu kỳ quay của vệ tinh được xác định theo biểu thức:

3 2

Tức là chu kỳ quay của vệ tinh bằng 0,354 tháng Mặt Trăng

Một hệ sao đôi gồm hai sao, mỗi sao có khối lượng bằng khối lượng Mặt Trời,quay quanh khối tâm của chúng Khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ Trái Đấtđến Mặt Trời Chu kỳ quay của chúng là mấy năm?

m + m

(1)Trong đó m1 = m2 = Mʘ = 1,99.1030kg, r1 = r2 = r/2 = 75.1010m

Từ (1) ta suy ra:

1 1 2 1

2 2

2πr (m +m ) rT=

Mặt Trăng chuyển động xung quanh Trái Đất với chu kỳ T = 27,32 ngày Như vậy

mỗi ngày nó dịch chuyển một góc:

0

0

360

13,177 27,32≈

Mặt Trời lại chuyển động biểu kiến xung quanh Trái Đất với chu kỳ T = 365,2422 ngày

Như vậy mỗi ngày nó dịch chuyển một góc:

T' a

Hình 13

M

Đ T''

T

M' M''

a'

Khi Mặt Trăng dịch chuyển được một vòng (trở lại vị trí T) thì Mặt Trời mới tới điểm M'

Để Mặt Trăng tới vị trí giao hội (T') thì nó phải quay thêm một góc a (bằng góc mà MặtTrời dịch chuyển trong 27,32 ngày)

a = 27,32.0,986Thời gian để Mặt Trăng quay được một góc a là:

27,32.0,986 a' = 0,986

Cứ tiếp tục như thế đến khi nào Mặt Trăng và Mặt Trời giao hội được với nhau, ta sẽ rút

ra chu kỳ giao hội như sau:

T = TT + T1 + T2 + +Tn

33

KẾT LUẬN

Chuyên đề bài tập Thiên văn là chuyên đề rất rộng lớn, trong khuôn khổ báo cáo

này chúng tôi đã chọn một mảng nhỏ là Vận dụng định luật vạn vật hấp dẫn và ba

định luật Kepler giải các bài toán Thiên văn học Chúng tôi hy vọng rằng đã cung cấp

được một số bài tập cho các em học sinh và các thầy cô giáo tham khảo Báo cáo này cóthể còn những vấn đề phải bàn luận mong được sự góp ý kiến và trao đổi của đồngnghiệp và của các em học sinh

34

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Giáo trình Thiên văn - Phạm Viết Trinh, Nguyễn Đình Noãn

2 Cơ sở Vật lí (tập 1, 2) – David Haliday, Robert Rennich, Jearl Walker

3 121 Bài tập Vật lí nâng cao lớp 10 – Vũ Thanh Khiết (chủ biên)

4 Tuyển tập các câu hỏi và bài tập Vật lý đại cương – Trần Văn Nhạc

5 Thiên văn Vật lí – Donat G.Wentzenl, Nguyễn Quang Diệu, Phạm Viết Trinh, Nguyễn

Đình Noãn, Nguyễn Đình Huân

35