Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán chứng minh hình học bằng phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC −−−−−−−−− ĐOÀN VĂN HUY RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ CHO HỌC SINH LỚP 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN Hà Nội – 2021 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC −−−−−−−−− ĐOÀN VĂN HUY RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ CHO HỌC SINH LỚP 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: Lý luận Phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 8140209.01 Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thanh Hồng Hà Nội – 2021 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian học tập nghiên cứu tai Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc Gia Hà Nội, đến giai đoạn Luận văn nghiên cứu tơi hồn thành Trong khoảng thời gian từ bắt đầu nhập học, trình học tập giảng đường sau đại học thời gian nghiên cứu chuẩn bị cho viết Luận văn này, tác giả nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ, ủng hộ nhiệt tình quý Thầy Cơ, gia đình bạn bè ủng hộ em học sinh trình tiến hành thực nghiệm giảng dạy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm toàn thể quý thầy cô khoa sư phạm, Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc Gia Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thanh Hồng tận tình, bảo, giúp đỡ tác giả trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, bạn đồng nghiệp tổ Tốn Tin tồn thể em học sinh lớp 11A1, 11A3 trường THPT Ứng Hòa B, Ứng Hòa, Hà Nội, gia đình, bạn bè nhiệt tình, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình thực nghiệm sư phạm để hồn thiện luận văn Mặc dù cố gắng thời gian trình độ nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong góp ý chân thành qúy thầy bạn để luận văn hồn thiện Hà nội, ngày 03 tháng 12 năm 2020 tác giả Đoàn Văn Huy i DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT STT Cụm từ viết tắt Nội dung GV Giáo viên HS Học sinh NXB Nhà xuất SGK Sách giáo khoa THCS Trung học sở THPT Trung học phổ thông TNSP Thực nghiệm sư phạm TT Thực tiễn ii DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU Bảng 1.1 Bảng 1.2 Bảng thống kê kết điều tra giáo viên 26 Bảng thống kê kết điều tra học sinh 28 Bảng 3.1 Bảng phân bố kết kiểm tra thứ Bảng 3.2 Bảng thống kê tỷ lệ học sinh giỏi, khá, TB, yếu kiểm tra thứ Bảng 3.3 Bảng thống kê mô tả tham số đặc trưng kiểm tra thứ Bảng 3.4 Bảng phân bố kết kiểm tra thứ hai Bảng 3.5 Bảng thống kê tỷ lệ học sinh giỏi, khá, TB, yếu kiểm tra thứ hai Bảng 3.6 Bảng thống kê mô tả tham số đặc trưng kiểm tra 68 69 69 70 71 thứ hai 71 iii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 3.1 So TNSP Hình 3.2 So TNSP sánh sánh kết kết kiểm tra lần sau kiểm tra lần sau iv thực thực nghiệm lớp 70 nghiệm lớp 71 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ MỤC LỤC MỞ ĐẦU 0.1 Lý chọn đề tài 0.2 Mục đích nghiên cứu 0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu 0.4 Khách thể Đối tượng nghiên cứu 0.4.1 Khách thể nghiên cứu 0.4.2 Đối tượng nghiên cứu TẮT i ii iii iv v 1 2 3 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 4 Phạm vi nghiên cứu Giả thuyết khoa học Phương pháp nghiên cứu Dự kiến đóng góp luận văn Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 1.2 1.3 Khái niệm toán Phương pháp giải toán 1.1.1 Bài toán 1.1.2 Phân loại toán 1.1.3 Chức tập toán 1.1.4 Bài toán chứng minh Kỹ 1.2.1 Kỹ gì? 1.2.2 Đặc điểm kỹ 1.2.3 Sự hình thành phát triển kỹ 1.2.4 Các yếu tố ảnh hưởng đến hình thành kỹ Kỹ giải toán 1.3.1 Khái niệm kỹ giải toán 1.3.2 12 12 12 Vai trị kỹ giải tốn 13 v 1.4 1.5 1.6 1.3.3 1.3.4 1.3.5 Chứng Các yêu cầu rèn luyện kỹ giải tốn cho học Phân loại kỹ mơn tốn Dạy học phương pháp giải tập toán minh toán học dạy học chứng minh sinh 14 15 16 19 1.4.1 Chứng minh 1.4.2 Bác bỏ 1.4.3 Chứng minh phản chứng 1.4.4 Dạy học chứng minh 1.4.5 Phân loại chứng minh 1.4.6 Phương pháp tìm tịi chứng minh 1.4.7 Phương pháp chứng minh vectơ Một số kỹ giải tốn chứng minh hình học 1.5.1 Nhóm kỹ chung giải tập tốn 1.5.2 Nhóm kỹ giải nội dung hình học 11 Chủ đề vectơ chương trình phổ thơng 1.6.1 Nội dung chủ đề vectơ chương trình THPT 19 19 19 19 20 20 21 21 21 22 23 23 1.6.2 1.7 1.8 Mục đích, yêu cầu việc dạy học chủ đề vectơ bậc THPT Liên hệ thực tiễn dạy học chủ đề vectơ lớp 11 1.7.1 Thực trạng vấn đề dạy học giải tốn hình học khơng gian phương pháp vectơ trường THPT 1.7.2 Thực trạng vấn đề kỹ giải tốn hình học không gian phương pháp vectơ trường THPT Kết luận chương 23 25 25 27 28 CHƯƠNG MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ 2.1 Quy trình chung cho việc rèn luyện kỹ 2.2 Các nguyên tắc xậy dựng biên pháp 2.2.1 Phù hợp với định hướng đổi phương pháp dạy học mơn Tốn trường THPT 2.2.2 Phù hợp với Lý luận dạy học môn 2.2.3 Phù hợp với Yêu cầu chương trình 2.2.4 Phù hợp với Đối tượng học sinh vi 30 30 31 31 32 32 32 2.3 2.4 Một số kỹ chứng minh phương pháp vectơ hình học 11 33 2.3.1 Kỹ chứng minh điểm thẳng hàng 33 2.3.2 Kỹ chứng minh vectơ song song đồng phẳng 39 2.3.3 Kỹ chứng minh 2.3.4 Kỹ chứng minh 2.3.5 Kỹ chứng minh Kết luận chương liên quan đến quan hệ vng góc hệ thức Bất đẳng thức CHƯƠNG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 3.2 3.3 3.4 Mục đích thực nghiệm sư phạm Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm Phương pháp thực nghiệm sư phạm Kế hoạch, nội dung đánh giá thực nghiệm sư phạm 3.4.1 Công tác chuẩn bị 3.4.2 Đối tượng thực nghiệm thời gian thực nghiệm 3.4.3 Nội dung thực nghiệm 3.4.4 Đánh giá thực nghiệm sư phạm 3.5 Kết luận chương KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1.Kết luận 2.Khuyến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 53 57 63 64 64 64 64 64 64 65 66 67 72 73 73 73 75 PHỤ LỤC I vii MỞ ĐẦU 0.1 Lý chọn đề tài Từ năm 2018 đến nay, chương trình giáo dục phổ thơng xây dựng theo định hướng phát triển phẩm chất lực người học, việc biên soạn sách giáo khoa, giáo án, tổ chức dạy học đóng vai trị vô quan trọng việc tạo môi trường học tập rèn luyện giúp người học phát triển hài hịa thể chất tinh thần; có phẩm chất tốt đẹp lực cần thiết để đáp ứng nhu cầu cơng nghiệp hóa đại hóa đất nước Nghị số 29 Trung ương khóa XI ngày tháng 11 năm 2013, Nghị số 88 Quốc hội khóa XIII ngày 28 tháng 11 năm 2014, chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể năm 2017, chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn năm 2018 với cách thức diễn đạt khác đến thống quan điểm: Chuyển giáo dục từ chủ yếu truyền thụ kiến thức sang phát triển lực cho người học Cụ thể nữa, chương trình giáo dục phổ thơng mơn tốn Bộ giáo dục đào tạo ban hành năm 2018 có nêu rõ yêu cầu giáo dục phổ thơng mơn tốn học sinh hình thành phát triển tính chăm chỉ, kỉ luật, kiên trì, xác, chủ động, linh hoạt, độc lập, sáng tạo, hợp tác, trung thực; thói quen tự học, hứng thú niềm tin học Tốn, với góp phần hình thành phát triển cho học sinh nhóm lực cần thiết, phù hợp với xu là: tự chủ tự học; giao tiếp hợp tác; giải vấn đề sáng tạo Đặc biệt, học sinh hình thành phát triển lực toán học học bậc THCS, nhằm đạt mục tiêu giáo dục Toán học bậc THPT Đối với học sinh trung học phổ thông (THPT), khái niệm vectơ dường mẻ, đặc biệt sử dụng vectơ để giải toán lại hoi nhiều Khả huy động kiến thức liên quan đến vectơ điều bị hạn chế dẫn đến hạn chế khả phân tích, biến đổi, nhiều thời gian mà khơng tìm hướng giải Những năm trở lại có nghiên cứu phương pháp vectơ nhằm áp dụng vào giải tốn, nhiên chưa có luận văn đề cập cách −−→ Phân tíchCho A1 C thơng qua ba vectơ vừa chọn −−→ −−→ Tính tích vơ hướng hai vectơ M N A1 C −−→ −−→ Kết luận góc hai vectơ M N A1 C Trả lời câu hỏi thay B đỉnh khác PHIẾU HỌC TẬP 01 Nhóm 03 Bài tập 01 Cho hình lập phương ABCD.A1 B1 C1 D1 Gọi M , N trung điểm −−→ −−→ AD BB1 Chứng minh M N ⊥ A1 C Hồn thành cơng việc sau: Lựa chọn ba vectơ gốc có đỉnh xuất phát đỉnh C −−→ Phân tíchCho M N thông qua ba vectơ vừa chọn −−→ Phân tíchCho A1 C thơng qua ba vectơ vừa chọn −−→ −−→ Tính tích vơ hướng hai vectơ M N A1 C −−→ −−→ Kết luận góc hai vectơ M N A1 C Trả lời câu hỏi thay C đỉnh khác PHIẾU HỌC TẬP 01 Nhóm 04 Bài tập 01 Cho hình lập phương ABCD.A1 B1 C1 D1 Gọi M , N trung điểm −−→ −−→ AD BB1 Chứng minh M N ⊥ A1 C Hồn thành cơng việc sau: Lựa chọn ba vectơ gốc có đỉnh xuất phát đỉnh D −−→ Phân tíchCho M N thơng qua ba vectơ vừa chọn −−→ Phân tíchCho A1 C thông qua ba vectơ vừa chọn −−→ −−→ Tính tích vơ hướng hai vectơ M N A1 C −−→ −−→ Kết luận góc hai vectơ M N A1 C Trả lời câu hỏi thay D đỉnh khác PHIẾU HỌC TẬP 02 XXXI Nhóm 01 Bài tập 01 Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi AH đường cao tứ diện xuất phát từ A, gọi O trung điếm AH Chứng minh OB , OC , OD đơi vng góc với Hồn thành cơng việc sau: Lựa chọn ba vectơ gốc có đỉnh xuất phát đỉnh A −−→ −→ −−→ Phân tíchCho OB ,OC ,OD thơng qua ba vectơ vừa chọn −−→ −→ Tính tích vô hướng hai vectơ OB OC −−→ −→ Kết luận góc hai vectơ OB OC Trả lời câu hỏi thay A đỉnh khác PHIẾU HỌC TẬP 02 Nhóm 02 Bài tập 01 Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi AH đường cao tứ diện xuất phát từ A, gọi O trung điếm AH Chứng minh OB , OC , OD đôi vuông góc với Hồn thành cơng việc sau: Lựa chọn ba vectơ gốc có đỉnh xuất phát đỉnh A −−→ −→ −−→ Phân tíchCho OB ,OC ,OD thông qua ba vectơ vừa chọn −−→ −→ Tính tích vơ hướng hai vectơ OB OC −−→ −→ Kết luận góc hai vectơ OB OC Trả lời câu hỏi thay B đỉnh khác PHIẾU HỌC TẬP 02 Nhóm 03 Bài tập 01 Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi AH đường cao tứ diện xuất phát từ A, gọi O trung điếm AH Chứng minh OB , OC , OD đôi vng góc với Hồn thành cơng việc sau: Lựa chọn ba vectơ gốc có đỉnh xuất phát đỉnh A XXXII −−→ −→ −−→ Phân tíchCho OB ,OC ,OD thơng qua ba vectơ vừa chọn −−→ −→ Tính tích vơ hướng hai vectơ OB OC −−→ −→ Kết luận góc hai vectơ OB OC Trả lời câu hỏi thay C đỉnh khác PHIẾU HỌC TẬP 02 Nhóm 04 Bài tập 01 Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi AH đường cao tứ diện xuất phát từ A, gọi O trung điếm AH Chứng minh OB , OC , OD đơi vng góc với Hồn thành công việc sau: Lựa chọn ba vectơ gốc có đỉnh xuất phát đỉnh A −−→ −→ −−→ Phân tíchCho OB ,OC ,OD thơng qua ba vectơ vừa chọn −−→ −→ Tính tích vơ hướng hai vectơ OB OC −−→ −→ Kết luận góc hai vectơ OB OC Trả lời câu hỏi thay D đỉnh khác XXXIII BÀI KIỂM TRA SỐ Cho hai hình bình hành ABCD AB1 C1 D1 có chung đỉnh A Chứng minh hai tam giác BC1 D B1 CD1 có trọng tâm Nếu hai hình bình hành khơng thuộc mặt phẳng, chứng minh BC , DB1 , C1 D1 song song mặt phẳng ĐÁP ÁN BÀI KIỂM TRA SỐ a) Theo quy tắc tam giác quy tắc hình bình hành ta có: −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ CC1 =AC1 − AC = AB1 + AD1 − AB + AD −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ = AB1 − AB + AD1 − AD = BB1 + DD1 −−→ −−→ −−→ → − Suy BB1 + C1 C + DD1 = Do hai tam giác có trọng tâm BC1 D B1 CD1 b) Hai tam giác BDC1 , B1 CD1 có −−→ −−→ −−−→ → − trọng tâm nên BC + DB1 + C1 D1 = −−→ −−→ −−−→ Suy BC , DB1 , C1 D1 đồng phẳng XXXIV BÀI KIỂM TRA SỐ Bài Cho tứ diện ABCD cạnh AC = a, BD= b Trên đường thẳng AB lấy hai điểm P , P1 ; đường thẳng CD lấy hai điểm Q, Q1 cho a AP CQ = = , b PB QD AP1 CQ1 a = = − Chứng minh P Q⊥P1 Q1 biết a = b b P1 B Q1 D Bài Cho hình lập phương ABCD.A1 B1 C1 D1 cạnh a M điểm AA1 a) Tìm điểm N BC điểm P D1 C1 cho DB⊥(M N P ) b) Dựng đường vng góc chung DB B1 C tính độ dài đoạn thẳng vng góc chung ĐÁP ÁN BÀI KIỂM TRA SỐ Bài Để ý bốn điếm (A, B, P1 , P ) lập thành hàng điều hòa tỉ số đơn a b Tương tự với bốn điểm (C, D, Q1 , Q) Gọi O điểm không gian Do ba điểm A, P, Q thẳng hàng a AP = nên ta có: b PB −→ −−→ −→ b · OA + a · OB OP = a+b −→ −−→ −→ b · OC + a · OD Tương tự, OQ = a+b Do −→ −→ −→ P Q = OQ − OP −→ −→ −−→ −−→ b · OC − OA + a · OD − OB = (3.1) a+b Hoàn toàn tương tự ta −→ −→ −−→ −−→ −−−→ −b · OC − OA + a OD − OB P Q1 = a−b (3.2) XXXV Nhân (3.1) với (3.2) theo vế ta −→ −→ −−→ −−→ −b2 · OC − OA + a2 · OD − OB −→ −−−→ P Q · P1 Q1 = a2 − b − → −−→ −b2 · AC + a2 · BD2 = a2 − b −→ Vì AC −−−→ P1 Q1 = −→ = a2 BA 2 −→ = b2 nên P Q · −→ −−−→ Vậy P Q⊥P1 Q1 Bài −−→ −→ → − −−→ − −c a) Đặt AA1 = → a ; AB = b ; AD = → −−→ −−→ − AM = k · AA1 = k · → a (k số cho) −−→ −−→ −c BN = x · BC = x · → → − −−→ −−−→ D1 P = y · D1 C1 = y · b −−−→ Ta cần tìm x, y cho D1 C1 ⊥(M N P ) tức −−→ −−→ −−→ −−→ BD⊥M N ; DB⊥M P −−→ −−→ DB · M N = −−→ −−→ DB · M P = −−→ → − −−→ (3.3) (3.4) − −−→ −−→ → −c ;M N = M A+ b + BN = Ta có DB = b − → → − − − −k.→ a + b +→ c → − → (3.3) ⇔ b − −c → − − − −k·→ a + b +→ c =0 → − → − − → − − −c → − − Để ý → a · b = b ·→ c =→ a = → a = b (3.3) ⇔ a2 − x · a2 = ⇔ x = Vậy N trùng với C −−→ −−→ −−−→ −−→ −−−→ −−→ −c = → = a2 ta → − → − −c + y b = (1 − k)→ − −c = y b Ta có M P = M A + A1 D1 + D1 P = A1 D1 − AM + → a +→ Do (2.14) ⇔ → − → b − −c 1−k − − −c + y.→ ·→ a +→ b =0 ⇔ y · a2 − a2 = ⇔ y = Vậy P trùng C1 Khi (M N P ) mặt phẳng (M CC1 ) DB⊥(M CC1 ) b) Gọi IJ đường vuông góc chung BD CB1 ; I ∈ BD; J ∈ CB1 −→ −−→ −→ −−→ Đặt BI = m · BD; CJ = n · CB1 XXXVI Vì IJ vng góc với BD CB1 nên ta có  → −−→ − IJ · BD = → −−→ − IJ · CB1 = Ta có − → −→ −−→ −→ −−→ − −−→ IJ = IB + BC + CJ = −m · BD + → c + n · CB1 − −c − → −c + n · (→ − −c ) = −m · (→ b )+→ a −→ → − − −c = n·→ a + m · b − (m + n − 1) · → → − −−→ − → −−→ → BD = −c − b ; CB1 = → a − −c Do hệ tương đương với  → − − − −c )(→ −c − →  (n · → a + m · b − (m + n − 1) · → b) =0 → − − −c )(→ − −c ) =  (n · → a + m · b − (m + n − 1) · → a −→ ⇔   −m · a2 − (m + n − 1) · a2 =  −n · a2 + (m + n − 1) · a2 = ⇔   −2m − n + =  m + 2n − = ⇔m=n= Vậy chân đường vng góc chung I, J BD CB1 cho −→ −−→ −→ −−→ BI = DB; CJ = CB1 3 → − − →2 → − −c )2 = · (a + b + c)2 = · 3a2 = · a2 Ta có (IJ) = (n · a + n · b − (m + n − 1) · → 9 √ − → a Do |IJ| = XXXVII ... học sinh lớp 11 góp phần rèn luyện kỹ giải tốn chứng minh hình học phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11, tạo cho học sinh thêm nhiều hội rèn luyện kỹ góp phần phát triển lực toán học 0.7 Phương. .. thời đại kỹ thuật số Để có thêm phương pháp giải toán chứng minh cho tốn hình học tơi định chọn đề tài ? ?Rèn luyện kỹ giải toán chứng minh hình học phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11" 0.2 Mục... luận thực tiễn đề tài ? ?Rèn luyện kỹ giải tốn chứng minh hình học phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11? ?? không xác định hình thức biện pháp nhằm rèn luyện kỹ chứng minh cho học sinh mà cịn góp phần