Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán lượng giác

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ TƢƠI RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TỐN LƢỢNG GIÁC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS ĐÀO THỊ HOA HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Trƣớc tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Đào Thị Hoa tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ em suốt trình em thực đề tài Em xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo tổ phƣơng pháp giảng dạy, ban chủ nhiệm khoa Toán bạn sinh viên khoa tạo điều kiện cho em hồn thành tốt khóa luận Em xin trân trọng cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Tƣơi LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp trình học tập, nghiên cứu nỗ lực thân em dƣới bảo thầy, cô giáo, đặc biệt bảo, hƣớng dẫn tận tình giáo Đào Thị Hoa Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Rèn luyện kĩ giải tốn lượng giác” khơng có trùng lặp với khóa luận khác kết thu đƣợc đề tài hoàn toàn xác thực Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Tƣơi MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chƣơng CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Khái niệm toán lời giải toán 1.1.1 Khái niệm toán 1.1.2 Khái niệm lời giải toán 1.2 Vai trò, ý nghĩa việc giải tốn 1.2.1 Củng cố kiến thức cho học sinh 1.2.2 Rèn luyện phát triển tƣ cho học sinh 1.2.3 Rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức toán học cho học sinh 1.2.4 Bồi dƣỡng phát triển nhân cách cho học sinh 1.3 Phân loại toán 1.3.1 Phân loại theo hình thức tốn 1.3.2 Phân loại theo phƣơng pháp giải toán 1.3.3 Phân loại theo nội dung toán 1.3.4 Phân loại theo ý nghĩa giải toán 1.4 Phƣơng pháp chung để giải toán 1.5 Những kĩ thƣờng sử dụng dạy học giải toán 11 Chƣơng RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN LƢỢNG GIÁC 15 2.1 Mục tiêu dạy học toán lƣợng giác 15 2.2 Những kiến thức lƣợng giác chƣơng trình Tốn trung học phổ thơng 16 2.2.1 Giá trị lƣợng giác góc lƣợng giác 16 2.2.2 Các tính chất góc lƣợng giác 16 2.2.3 Các công thức lƣợng giác 17 2.2.4 Phƣơng trình lƣợng giác 18 2.2.4.1 Phƣơng trình lƣợng giác 18 2.2.4.2 Một số phƣơng trình lƣợng giác đơn giản 20 2.2.5 Hệ thức lƣợng tam giác 24 2.3 Các dạng toán lƣợng giác 24 2.3.1 Các toán biến đổi lƣợng giác: 24 2.3.1.1 Phƣơng pháp giải 24 2.3.1.2 Hệ thống tập 25 2.3.2 Các toán bất đẳng thức lƣợng giác: 37 2.3.2.1 Phƣơng pháp giải 37 2.3.2.2 Hệ thống tập 39 2.3.3 Các toán nhận dạng tam giác 49 2.3.3.1 Phƣơng pháp giải: 49 2.3.3.2 Hệ thống tập 50 2.3.4 Phƣơng trình lƣợng giác 59 2.3.4.1 Phƣơng pháp giải: 59 2.3.4.2 Hệ thống tập: 60 2.3.5 Hệ phƣơng trình lƣợng giác 74 2.3.5.1 Phƣơng pháp giải 74 2.3.5.2 Hệ thống tập 75 KẾT LUẬN 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO 84 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học có nguồn gốc thực tiễn, có ứng dụng rộng rãi thực tiễn Những tri thức, kỹ toán học phƣơng pháp làm việc toán học trở thành công cụ để học tập nhiều môn học khác nhà trƣờng, công cụ nhiều ngành khoa học khác, công cụ để thực hoạt động đời sống thực tế Mục đích việc giảng dạy mơn tốn trung học trang bị cho học sinh kiến thức môn toán, phƣơng pháp giải toán, rèn luyện kỹ giải toán, giúp học sinh khai thác hoạt động tiềm ẩn nội dung mơn tốn, phát triển tƣ logic lực trí tuệ học sinh Chƣơng trình tốn trung học phổ thơng có nhiều dạng tốnkhó có tốn lƣợng giác Các toán phong phú, đa dạng, phạm vi rộng, xun suốt chƣơng trình tốn trung học phổ thơng, kỳ thi chọn học sinh giỏi, đặc biệt kỳ thi tuyển sinh đại học, toán thƣờng xuất dƣới hình thức phong phú khác Để giải đƣợc toán lƣợng giác đòi hỏi ngƣời học sinh phải nắm kiến thức bản, biết vận dụng linh hoạt liên hệ kiến thức với Trong sách giáo khoa sách tập toán đề cập đến hệ thống tập thuộc loại nhƣng chƣa nhiều Khi giải tốn lƣợng giác học sinh ln gặp khó khăn nhƣ chƣa biết phân tích tốn, vận dụng cơng thức chƣa hợp lí, chí vận dụng sai công thức… Để nghiên cứu sâu tốn lƣợng giác từ giúp học sinh có kỹ giải tốn Em xin lựa chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ giải tốn lượng giác” Mục đích nghiên cứu Rèn luyện cho học sinh trung học phổ thông kỹ giải tốn lƣợng giác thơng qua nâng cao chất lƣợng hiệu việc dạy học mơn tốn phổ thơng; phát triển tƣ cho học sinh giải toán Nhiệm vụnghiên cứu  Nghiên cứu sở lý luận, thực tiễn việc giải toán  Hệ thống kiến thức bản, dạng tập phƣơng pháp giải tƣơng ứng  Xây dựng hệ thống tập rèn luyện kĩ giải toán lƣợng giác Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Các tốn lƣợnggiác chƣơng trình trung học phổ thông Phƣơng pháp nghiên cứu  Nghiên cứu lý luận  Quan sát điều tra  Thực nghiệm giáo dục Giả thuyết khoa học Nếu học sinh đƣợc rèn luyện kĩ giải toán lƣợng giác học sinh nắm vững kiến thức, kĩ việc giải tốn này, từđó góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học 7.Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận gồm hai chƣơng Chƣơng Cơ sở lí luận Chƣơng Rèn luyện kỹ giảicác toán lƣợng giác NỘI DUNG Chƣơng CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Khái niệm tốn lời giải toán 1.1.1 Khái niệm toán Theo GPOLYA: Bài toán việc đặt cần thiết tìm kiếm cách có ý thức phƣơng tiện thích hợp để đạt đến mục đích định trông thấy rõ ràng, nhƣng đạt đƣợc Trên sở định nghĩa khái quát G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài tốn đòi hỏi phải đạt tới đích Nhƣ vậy, tốn đồng với số quan niệm khác toán nhƣ: đề bài, tập,… 1.1.2 Khái niệm lời giải toán Lời giải toán đƣợc hiểu tập thứ tự thao tác cần thực để đạt tới mục đích đặt ra.Nhƣ vậy, ta thống lời giải, giải, cách giải, đáp án tốn Một tốn có thể: có lời giải; khơng có lời giải nhiều lời giải Giải toán đƣợc hiểu tìm trình bày lời giải tốn trƣờng hợp tốn có lời giải, lí giải đƣợc tốn khơng giải đƣợc trƣờng hợp khơng có lời giải 1.2 Vai trò, ý nghĩa việc giải tốn 1.2.1 Củng cố kiến thức cho học sinh Trong thực tế, toán chứa đựng nhiều kiến thức khái niệm toán học kết luận tốn học Khi giải tốn đòi hỏi ta phải phân tích kiện tốn, huy động kiến thức cho đề toán kiến thức biết khác có liên quan tới toán, tổng hợp lại để đề kiến thức Và nhƣ vậy, kiến thức tìm lại kiến thức biết trƣớc đƣợc phân tích, tổng hợp lại để kiến thức Cuối đến đƣợc lời giải toán Nhƣ vậy, giải tốn khơng kiến thức có toán mà cảmột hệ thống kiến thức liên quan tới toán đƣợc củng cố qua lại nhiều lần 1.2.2 Rèn luyện phát triển tƣ cho học sinh Đặc điểm toán học nhƣ mơn tốn khoa học suy diễn, đƣợc xây dựng phƣơng pháp tiên đề Do vậy, lời giải toán hệ thống hữu hạn thao tác có thứ tự chặt chẽ để đến mục đích rõ rệt Vì giải tốn có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta lực sử dụng phép suy luận hợp logic, suy luận có đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn,… Chúng ta biết rằng, khơng thể có phƣơng pháp chung để giải đƣợc tốn Mỗi tốn có hình vẻ khác nhau, muốn tìm lời giải tốn phải biết phân tích: phải biết cách dự đoán kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới vấn đề tƣơng tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hoá…Nhƣ vậy, qua việc giải toán lực tƣ sáng tạo đƣợc rèn luyện phát triển 1.2.3 Rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức toán học cho học sinh Một yêu cầu việc nắm vững kiến thức môn khoa học hiểu, nhớ vận dụng kiến thức môn khoa học vào việc giải nhiệm vụ đặt ra, tức giải đƣợc toán đặt lĩnh vực khoa học Trong việc giảng dạy tốn tốn lại tham gia vào tình q trình dạy học mơn tốn Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán đƣợc sử dụng để tổ chức, gây tình để dẫn dắt cho học sinh đến định nghĩa khái niệm; Bài toán đƣợc sử dụng để nêu làm ví dụ phản ví dụ minh hoạ cho khái niệm; Bài toán đƣợc sử dụng để luyện tập củng cố vận dụng khái niệm Trong giảng dạy định lí tốn học: Bài tốn đƣợc sử dụng để tổ chức gây tình dẫn dắt cho học sinh phát nội dung định lí tốn học; Bài tốn đƣợc sử dụng học sinh tập vận dụng định lí Đặc biệt việc tổ chức hƣớng dẫn học sinh chứng minh định lí việc tổ chức hƣớng dẫn cho học sinh tập tìm lời giải tốn có nhiều ứng dụng phần hay chƣơng mơn học Trong luyện tập toán học: Bài toán phƣơng tiện chủ yếu tiết luyện tập tốn học Trong ngƣời giáo viên phải xây dựng đƣợc hệ thống tập có liên quan chặt chẽ với để nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức hình thành số kĩ 1.2.4 Bồi dƣỡng phát triển nhân cách cho học sinh Đặc điểm tính cách ngƣời hoạt động có mục đích rõ ràng Khi giải tốn ta ln có hƣớng mục đích rõ rệt, việc giải tốn sẽgóp phần tích cực vào việc rèn luyện lực hoạt động ngƣời Để giải toán, tốn khó ngƣời giải phải vƣợt qua nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại nhiều ngƣời ta phải có tâm lớn để giải tốn Nói theo cách G.POLYA “ Khát vọng tâm giải đƣợc toán nhân tố chủ yếu trình giải sin x  ⇔ (sin x  1)(4sin x  1)  ⇔  sin x  1  Từ ta tìm đƣợc x Khai thác tốn: ∗ Ngồi cách giải tốn giải theo cách khác nhƣ sau: + Ta có (1) ⇔ 4(3sin x  4sin x)  4(1  2sin x)  5(sin x  1)  + Đặt t  sin x ⤇ 1  t  Giải phƣơng trình ẩn t : 12t  16t   8t  5t   ∗ Từ tốn ta có tốn tƣơng tự: “ Giải phƣơng trình: 4(sin6x  cos4x)  5(sin2x 1) ” Để giải toán ta làm tƣơng tự nhƣ toán Bài 9: Giải phƣơng trình sin x  4sin3 x  cos x  (1) Hƣớng dẫn: Ta thấy cos x  khơng thoả mãn phƣơng trình (1) Chia hai vế phƣơng trình (1) cho cos3 x , ta đƣợc: tan x(tan x  1)  tan x  tan x   Đặt t  tan x ta đƣợc phƣơng trình: t  t  4t   ⇔ 3t  t  t   ⇔ (t  1)(3t  2t  1)  ⇔ t  ( 3t  2t   ) t  1⇔ tan x  1⇔ x    k ( k  ) Khai thác tốn: ∗Ngồi cách giải tốn giải theo cách khác nhƣ sau: 70 Ta có (1) ⇔ cos x  sin x  2sin x  4sin3 x  ⇔ cos x  sin x  2sin x(1  2sin x)  2 ⇔ cos x  sin x  2sin x(cos x  sin x)  ⇔ (cos x  sin x) 1  2sin x(cos x  sin x)   ⇔ (cos x  sin x) (cos x  sin x)2  sin x   ⇔ cos x  sin x Do cos x  khơng phải nghiệm phƣơng trình nên phƣơng trình có nghiệm x    k ∗ Từ tốn ta có tốn tƣơng tự: “ Giải phƣơng trình: sin2x  4sin3 2x  cos2x  ” Để giải toán ta làm tƣơng tự nhƣ tốn Bài 10: Giải phƣơng trình: cot x  tan x  16(1  cos4 x) cos2 x (1) Hƣớng dẫn:   x  m sin x       Điều kiện xác định: cos x  ⇔  x   m ⇔ x  n ( n ) cos x     m  x    cos2 x sin x cos4 x  sin x  Ta có: cot x  tan x   sin x cos2 x sin x cos2 x  4(cos2 x  sin x) 4cos2 x  sin 2 x sin 2 x Với điều kiện xác định ta có: 71 (1) ⇔  16(1  cos4 x) ⇔ 4.sin 2 x.(1  cos x)  sin x ⇔ 2.(1  cos4x).(1  cos4x)  ⇔  2cos2 4x  ⇔ cos8x  ⇔ x  (2k  1)  (k ) 16 Các giá trị thoả mãn điều kiện xác định (2k  1)  n  ⇔ 16 2k   4n (đúng k , n  ) Vậy phƣơng trình có nghiệm x  (2k  1)  16 (k ) Khai thác toán: ∗ Sai lầm học sinh giải toán thiếu điều kiện sin x  , cos x  ∗ Khó khăn học sinh giải tốn: - Học sinh khơng kết hợp điều kiện xác định - Học sinh cách xét xem nghiệm tìm đƣợc có thoả mãn điều kiện xác định khơng Bài 11: Giải phƣơng trình  sin3 x  cos3 x  cos2 x  sin3 x (1) Hƣớng dẫn:  cos x  Điều kiện xác định:  ⇔ x   k sin x  (k ) 1  cos3 x  cos2 x  cos3 x 1  Ta có (1) ⇔ ⇔ cos x  sin x  sin x  sin3 x (1  cos x)(1  cos x) (1  cos x)(1  cos x  cos x)  ⇔  sin x (1  sin x  sin x) 72 cos x  ⇔ 1  cos x  cos x  cos2 x     sin x  sin x  sin x  x  2k ⇔ 2 cos x  sin x  sin x.cos x.(cos x  sin x)  + Giải phƣơng trình: cos2 x  sin x  sin x.cos x.(cos x  sin x)  Khai thác toán: ∗Những sai lầm mà học sinh mắc phải: + Thiếu điều kiện xác định + Khi biến đổi phƣơng trình dạng (1  cos x)(1  cos x) (1  cos x)(1  cos x  cos x)  họcsinh chia vế  sin x (1  sin x  sin x) phƣơng trình cho  cos x làm nghiệm toán Bài 12: Cho phƣơng trình (cos x  1)(cos x  m cos x)  m sin x (1) Tìm m để phƣơng trình có nghiệm thuộc [0; 2 ] Hƣớng dẫn: Ta có ⇔ (cos x  1)(cos2x  m cos x)  m(1  cos x)(1  cos x) ⇔ (cos x  1)(cos2x  m)  ⇔ (1  cos x)(2cos x  m  1)  (2) Đặt t  cos x , x [0; 1 2 ] ⤇ t [ ;1] t  1 Từ (2) ⤇ (t  1)(2t  m  1)  ⇔  m  t   2 t  1 không thoả mãn điều kiện t [ 73 1 ;1] Biện luận m để phƣơng trình t  1 m 1 có nghiệm t [ ;1] 2 Khai thác toán: ∗ Những sai lầm mà học sinh mắc phải: + Khi biến đổi (1)⇔ (cos x  1)(cos2x  m cos x)  m(1  cos x)(1  cos x) học sinh chia vế phƣơng trình cho cos x  (1) ⇔ (cos x  1)(cos2x  m cos x)  m(1  cos x)(1  cos x) ⇔ cos2x  m cos x  m(1  cos x) • Sau biến đổi (1) ⇔ (1  cos x)(2cos x  m  1)  học sinh đặt t  cos x , x [0; 1 2 ] nhƣng không xác định điều kiện t [ ;1] 2.3.5 Hệ phƣơng trình lƣợng giác 2.3.5.1 Phương pháp giải ∗ Các hệ phƣơng trình lƣợng giáccơ bản: x  y  a Loại 1:  cos x  cos y  b + cos x  cos y  b ⇔ 2cos x y x y cos b 2 x  y  a  + Hệ tƣơng đƣơng với cos x  y  b a  2cos  74 Nếu b a 2cos  tồn  [0, ] cho cos  b a 2cos nên hệ x  y  a tƣơng đƣơng với  x  y    2k   x  y  a Loại 2:   tan x  tan y  b + Biến đổi phƣơng trình tan x  tan y  b thành b sin( x  y) 2sin( x  y)  cos x.cos y cos( x  y)  cos( x  y) + Tính đƣợc cos( x  y) Từ có hệ: x  y  a  ' cos( x  y)  b x  y  a Loại 3:  sin x.sin y  b + Biến đổi sin x.sin y  b thành: cos( x  y)  cos( x  y)  2b Nếu 2b  cos a  1thì tồn  [0, ]sao cho: cos  2b  cos a x  y  a Lúc hệ tƣơng đƣơng với hệ:   x  y    2k Các hệ phƣơng trình lƣợng giác khác: Ta thƣờng sử dụng phƣơng pháp thế, phƣơng pháp cộng 2.3.5.2 Hệ thống tập sin x  sin y  Bài 1: Giải hệ:   x y   75 Hƣớng dẫn: x y x y  2sin cos 1  2 Hệđã cho ⇔  x  y     x y x y   x  y 2sin cos  cos      k 2 2 ⇔ ⇔ ⇔ (k )    x  y  x  y  x  y     3     x  y  4k  x   k 2  ⇔ (k )  (k ) ⇔  x  y   y   k 2       x   k 2 Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm:  (k )   y   k 2  Khai thác toán: ∗ Ngồi cách giải tốncó thể giải theo cách giải khác nhƣ sau:   y  x  Hệđã cho ⇔  sin x  sin(   x)        y   x  y   x ⇔ ⇔  cos x  sin x  sin(   x)        y   x  x   k 2   ⇔ (k ) ⇔ (k )      x   k 2  y   k 2   3 76 ∗ Từ tốn ta có tốn tƣơng tự:    x  y  Giải hệ phƣơng trình:  cos x  cos y   Bài 2: Giải hệ phƣơng trình: sin x  sin y  2(*)  cos x  cos y  2(**) Hƣớng dẫn: x y x y  2sin cos   2 Hệ phƣơng trìnhđã cho⇔  2cos x  y cos x  y   2 ⤇ tan x y x y  cos  nghiệm hệ phƣơng 2 trình ⇔ x y     k ( k  )⇔ y   x  k 2 Thay y    x  k 2 vào (*) ta đƣợc:  sin x  sin(  x  k 2 )  2  ⇔ sin x  cos x  ⇔ cos( x  )  ⇔x    h2 ⇔ x   h2 ( h ) 4    x   h2 ⤇ Hệ phƣơng trìnhđã cho có nghiệm:  ( k , h )   y   (k  h)2  77 Khai thác tốn: ∗ Ngồi cách giải tốncó thể giải theo cách giải khácnhƣ sau: (sin x  cos x)  (sin y  cos y)  Hệđã cho ⇔  (sin x  cos x)  (sin y  cos y)  2    sin( x  )  sin( y  )0  4 ⇔  sin( x   )  sin( y   )  2  4    sin( x  )  sin( y  )0  4    sin( x  )  sin( y  )    ⇔ ⇔ sin( x  )  sin( x   )  sin( y   )      4 sin( y  )      x    k 2     x   k 2    ⇔  y    h2 ( k , h )⇔  ( k , h )   y   h2      sin( x  )  sin( y  )   4 cos x  cos x  sin y  0(*) Bài 3: Giải hệ phƣơng trình:  sin x  sin y  cos x  0(**) Hƣớng dẫn: Lấy (*) cộng (**) ta đƣợc sin3 x  cos3 x  ⇔ sin3 x   cos3 x ⇔ tan3 x  1 ⇔ tan x  1⇔ x   Thay x     k ( k  )   k vào (*) ta đƣợc: sin y  cos x  cos3 x  cos x(1  cos x) 78 1     cos x sin x  sin x.sin x  sin( )sin(  k )   sin(  k ) 2 4 Nếu k chẵn sin y  Nếu k lẻ sin y   Đặt sin   4 (    2 )     x   m    x   (2m  1)   Vậy hệ có nghiệm:   y    h2 y    h2    y      h2  y      h2 ( h, m ) 1  sin x.cos y  (*)  Bài 4: Giải hệ phƣơng trình:   tan x.cot y  1(**) Hƣớng dẫn: Điều kiện: cos x.sin y  1 1 [sin( x  y )  sin( x  y )]   2 Hệđã cho ⇔   sin x.cos y    cos x.sin y sin( x  y )  sin( x  y )  1 sin( x  y )  sin( x  y )  1 ⇔ ⇔ sin x cos y  sin y cos x  sin( x  y )    sin( x  y)  1  x  y    k 2 ⇔ ⇔ ( h, k  ) sin( x  y )     x  y  h 79    x    ( k  h )  h, k  ⇔ ( ) (thoả mãnđiều kiện)    y    ( k  h)     x    ( k  h )  h, k  Vậy hệđã cho có nghiệm:  ( )    y    ( k  h)  Khai thác tốn: ∗Ngồi cách tốn có cách giải khác: (**) ⇔ sin x.cos y  ⇔ sin x.cos y  cos x.sin y cos x.sin y 1  sin x cos y   Thế (*) vào (**) ta đƣợc  cos x.sin y  1    sin( x  y)  1  x  y    k 2 ⇔ ⇔ ( h, k  ) sin( x  y )     x  y  h    x    ( k  h )  h, k  ⇔ ( )    y    ( k  h)  ∗ Sai lầm mà học sinh mắc phải: + Học sinh quên không xác địnhđiều kiện + Sau tìm đƣợc nghiệm học sinh quên khơng đối chiếu nghiệm tìm đƣợc vớiđiều kiện  sin x  sin y  Bài 5: Cho hệ phƣơng trình:   cos x  cos y  m 80 a, Giải hệ m   b, Tìm m để hệ có nghiệm Hƣớng dẫn:  sin x  sin y  Hệđã cho ⇔  2 (1  2sin x)  (1  2sin y)  m 1   sin x  sin y  sin x  sin y    2 ⇔ ⇔ sin x  sin y   m (sin x  sin y)2  2sin x sin y   m   2 1   sin x  sin y  sin x  sin y    2 ⇔ ⇔   2sin x sin y   m sin x sin y  3  m   Đặt X  sin x , Y  sin y với X , Y  X ,Y nghiệm phƣơng trình: m t  t    (*) Khi m   , giải phƣơng trìnhẩn t Từđó ta tìm đƣợc x, y b, Ta có (*) ⇔ m  t  t  2 Xét y  t  t  (C) D  [  1;1] y '  2t  y'  0⇔t  81 Ta lậpbảng biến thiên: Hệđã cho có nghiệm⇔ (*) có nghiệm D  [  1;1] ⇔y ⇔ m cắt (C) điểm tiếp xúc D  [  1;1] 1 m   ⇔  m  16 Khai thác tốn: ∗Ta làm câu b theo cách khác nhƣ sau: Hệ có nghiệm⇔ f (t )  8t  4t   2m  có nghiệm t1, t2 thoả mãn 1  t1  t2   '  28  16m  a f (1)   2m   ⇔ a f (1)   2m   1  S   82 KẾT LUẬN Các toán lƣợng giác trung học phổ thơng dạng tốn khó, phức tạp Vì việc rèn luyện cho học sinh kĩ giải toán lƣợng giác cần thiết.Trƣớc phong phú, đa dạng dạng toán học sinh thƣờng gặp nhiều khó khăn, sai lầm tìm hƣớng giải Đề tài “Rèn luyện kĩ giải toán lƣợng giác” hệ thống đầy đủ kiến thức bản, phƣơng pháp giải toán lƣợng giác, xây dựng hệ thống tập Từ giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức, rèn luyện kĩ giải tập thuộc loại nói riêng tập tốn nói chung Do khả tổng kết kinh nghiệm thân chƣa nhiều nhƣ thân em bƣớc đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên khóa luận em khơng tránh khỏi khiếm khuyết, sai sót Em mong đƣợc góp ý thầy bạn để em hồn thiện tốt đề tài Em mong khóa luận trở thành tài liệu nghiên cứu cho em học sinh trung học phổ thông nhƣ giáo sinh dạy học vấn đề 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Trần Văn Hạo (2004),Chuyên đề luyện thi vào đại học giác,NXB Giáo dục 2.Nguyển Vũ Thanh(1998),Giải đề thi tuyển sinh đại học mơn tốn năm 1995.1996.1997, NXB Đà Nẵng Vũ Quốc Anh (2001),trong Nhận diện tam giác (đề thi vào đại học cao đẳngtoàn quốc), NXB đại học quốc gia Hà Nội Lê Quí Mậu, Lê Quang Ánh (1999),Phương pháp giải tốn lượnggiác11, NXB Đà Nẵng Phan Hồng Ngân (1999), Tuyển tập 450 toán lượng giác, NXB Đà Nẵng Lê Mạnh Hùng (2005), Bất đẳng thức tam giác Đinh Thi Thủy (2004), Rèn luyện khả khái quát hóa, đặc biệt hóa tương tự cho học sinh trung học phổ thông qua chủ đề hàm số lượng giác Đỗ Văn Lễ (2013), Rèn luyện kĩ giải toán hệ phương trình cho học sinh lớp 10 Phạm Thị Hà (2013), Rèn luyện kĩ sử dụng công thức lượng giác giải phương trình lượng giác 84 ... luận Chƣơng Rèn luyện kỹ giảicác toán lƣợng giác NỘI DUNG Chƣơng CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Khái niệm tốn lời giải toán 1.1.1 Khái niệm toán Theo GPOLYA: Bài toán việc đặt cần thiết tìm kiếm cách có ý thức... chia toán thành loại khác nhƣ sau: Bài toán số học Bài toán đại số Bài tốn hình học 1.3.4 Phân loại theo ý nghĩa giải toán Ngƣời ta dựa vào ý nghĩa việc giải toán để phân loại toán: Bài toán. .. thống lời giải, giải, cách giải, đáp án tốn Một tốn có thể: có lời giải; khơng có lời giải nhiều lời giải Giải toán đƣợc hiểu tìm trình bày lời giải tốn trƣờng hợp tốn có lời giải, lí giải đƣợc