Luận văn sư phạm Phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích

Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán Tr ng đ i h c s ph m hà n i Khoa toán ********** đinh th qu nh liên phép ngh ch đ o tốn qu tích Khóa lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngành: Hình h c Hà n i – 2009 Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán Tr ng đ i h c s ph m hà n i Khoa toán ********** đinh th qu nh liên phép ngh ch đ o toán qu tích Khóa lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngành: Hình h c ng ih ng d n khoa h c GV đinh v n th y Hà n i – 2009 Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPTốn L ic m n Trong q trình nghiên c u hồn thành khố lu n này, em nh n đ c s quan tâm, giúp đ v v t ch t, tinh th n c a th y giáo, giáo t Hình h c nói riêng khoa Tốn tr ng i h c s ph m Hà N i nói chung v i s h tr giúp đ c a b n sinh viên Em xin bày t lòng bi t n sâu s c đ i v i th y giáo t n tình h inh V n Thu , ng ng d n em su t th i gian qua đ em hoàn thành đ i c khóa lu n Do trình đ th i gian nghiên c u h n ch nên nh ng v n đ mà em trình bày khố lu n s khơng tránh kh i nh ng thi u xót Em kính mong nh n đ c s ch b o đóng góp ý ki n c a th y giáo, cô giáo, b n sinh viên đ khoá lu n c a em đ c hoàn thi n h n Em xin chân thành c m n! Sinh viên inh Th Qu nh Liên Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán L i cam đoan Em xin cam đoan v n đ em trình bày khố lu n k t qu nghiên c u c a riêng em d is h ng d n tr c ti p c a th y inh V n Thu , không trùng v i tác gi khác N u sai em hoàn toàn ch u trách nhi m Sinh viên inh Th Qu nh Liên Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán M cl c Ph n 1:M đ u Lý ch n đ tài .6 M c đích, nhi m v nghiên c u Ph it ng, ph m vi nghiên c u ng pháp nghiên c u .7 Ph n 2: N i dung Ch ng 1:Phép ngh ch đ o 1.1 Các đ nh ngh a 1.1.1 Không gian b o giác 1.1.2 Phép ngh ch đ o 1.2 Các tính ch t 1.3 Các đ nh lý 1.4 Phép ngh ch đ o h to đ Ch vng góc 15 ng 2:Phép ngh ch đ o toán qu tích 17 2.1 Bài tốn qu tích 17 2.2 Gi i tốn qu tích nh phép ngh ch đ o 17 2.2.1 Ph ng pháp chung 17 2.2.2 Các ví d minh ho 17 2.2.3.Bài t p t luy n 31 2.2.4 H ng d n .34 K t lu n .50 Tài li u tham kh o .51 Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán M đ u Ph n 1: Lý ch n đ tài Hình h c mơn h c h p d n thu hút nhi u h c sinh yêu toán Vi c gi i t p, tìm nhi u cách gi i, có nh ng cách gi i hay, đ c đáo s phát huy tính sáng t o ni m say mê đ i v i môn h c M i t p hình h c có th gi i b ng nhi u ph ph ng pháp khác nhau: ph ng pháp vect ph Trong nhi u tr ng pháp t ng h p, ph ng pháp t a đ , ng pháp bi n hình ng h p, phép bi n hình cơng c h u hi u cho phép gi i h p lý ng n g n toán c a hình h c nh tốn ch ng minh, tốn qu tích, tốn d ng hình tốn tính tốn Trong ch ng trình tốn ph thông, h c sinh đ c h c phép bi n hình: phép đ i x ng tr c, phép đ i x ng tâm, phép quay, phép t nh ti n, phép v t Phép ngh ch đ o phép bi n hình khơng đ a vào ch xu t luy n h c sinh chuyên, b i d nh ng tính ch t khác bi t c a đ a đ n h ng trình ph thơng, ch đ cđ ng h c sinh gi i Phép ngh ch đ o v i ng gi i quy t m i m t s l p tốn c a hình h c góp ph n làm rõ tính u vi t c a vi c s d ng phép bi n hình vào gi i tốn c a hình h c, sâu nghiên c u v lý thuy t phép bi n hình ng d ng c a phép bi n hình đ gi i quy t tốn hình h c Trong khn kh m t khoá lu n t t nghi p, th i gian nghiên c u có h n nên ch t p trung khai thác ng d ng c a phép ngh ch đ o vi c gi i tốn qu tích ó lý l a ch n đ tài: phép ngh ch đ o tốn qu tích M c đích, nhi m v nghiên c u - Nghiên c u ki n th c c b n c a phép ngh ch đ o ng d ng c a vi c gi i tốn qu tích Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán - Xây d ng h th ng ví d minh ho t p t luy n th hi n vi c s d ng ph ng pháp bi n hình vào gi i tốn qu tích it ng, ph m vi nghiên c u - it ng nghiên c u: phép ngh ch đ o - Ph m vi nghiên c u: ng d ng phép ngh ch đ o vi c gi i toán qu tích m t ph ng khơng gian Ph ng pháp nghiên c u Nghiên c u sách giáo trình, gi ng chuyên đ tài li u tham kh o có liên quan Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán Ph n 2: Ch N i dung Phép ngh ch đ o ng 1: 1.1 Các đ nh ngh a 1.1.1 Không gian b o giác Không gian E n  n  2,3 b sung ph n t  (đi m vô c c) g i không gian b o giác Bn Trong không gian b o giác Bn, m i đ ng th ng hay m t ph ng đ u qua m  1.1.2 Phép ngh ch đ o Trong không gian b o giác Bn cho m O c đ nh s th c k  Phép bi n hình n : B  Bn cho: M a M '  n M  N u M  O M '   N u M   M ' O O,M,M ' thẳng hàng N u M O,   OM.OM '  k n đ c g i phép ngh ch đ o c c O , ph Kí hi u n k O ng tích k ho c n  O,k  Nh n xét: n  O,k   X Oon  O, k  , X O phép đ i x ng tâm O 1.2 Các tính ch t 1.2.1 Tính ch t Phép ngh ch đ o phép bi n hình đ i h p : n phép đ ng nh t 1.2.2 Tính ch t N u M ' nh c a qua n  O,k  O, M, M ' th ng hàng Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPTốn N u M,O,N khơng th ng hàng M ', N ' l n l t nh c a M, N qua n  O,k  t giác MM ' N' N t giác n i ti p 1.2.3 Tính ch t ng tích ngh ch đ o k  phép ngh ch đ o n  O,k  có t p N u ph m b t đ ng siêu c u tâm O , bán kính N u ph k (g i siêu c u ngh ch đ o) ng tích ngh ch đ o k < phép ngh ch đ o n  O,k  khơng có m b t đ ng 1.3 Các đ nh lý 1.3.1 nh lý Phép ngh ch đ o bi n siêu ph ng không qua c c ngh ch đ o thành siêu c u qua c c ngh ch đ o bi n siêu c u qua c c ngh ch đ o thành siêu ph ng không qua c c ngh ch đ o Ch ng minh: Ta ch ng minh E Vi c ch ng minh E hoàn toàn t + Phép ngh ch đ o bi n đ ng t ng th ng không qua c c ngh ch đ o thành đ ng tròn qua c c ngh ch đ o Gi s E cho phép ngh ch đ o n  O,k  d đ ng th ng khơng qua O H OH  d, H  d, H'  n  H  Xét M b t kì thu c d M '  n  M  Khi đó: OM.OM '  OH.OH'  k Hình 1.1  T giác MM ' N'H t giác n i ti p   H'M ',MM '    H'H,MH   90o Khóa lu n t t nghi p Do OH' c đ nh  M ' n m đ Ng c l i l y m N ' b t k inh Th Qu nh Liên _K31A SPTốn ng trịn đ đ ng kính OH' ng trịn đ ng kính OH' , N  n  N'  , t ng t nh ta có:  N'H',NN'    NH,HH'   90 o  OH  HN  N d V y n  d   OH'  + Do tính ch t: phép ngh ch đ o phép bi n hình đ i h p nên phép ngh ch đ o bi n đ ng tròn qua c c ngh ch đ o đ ng th ng không qua c c ngh ch đ o 1.3.2 nh lý Phép ngh ch đ o bi n siêu c u không qua c c ngh ch đ o thành siêu c u không qua c c ngh ch đ o Ch ng minh: Ta ch ng minh E Gi s cho phép ngh ch đ o n (O,k)  C đ ng trịn Hình 1.2 khơng qua O  C có tâm I , OI c t  C t i A, B G i A ', B' th t nh c a A, B qua phép ngh ch đ o n (O,k)  C'  đ ng trịn đ ng kính A 'B' Ta ch ng minh  C'   n  C • M   C , M '  n (M) N u M  A ho c B M ' trùng A ' ho c B' , t c M '   A 'B'  N u M A,B ta có t giác AMM 'A ' t giác n i ti p 10 Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán G i B' giao m c a P'x Q' y B, B' hai m t ngh ch đ o N ng ng phép Ta có : T giác IP'B'Q' hình vng c nh R  IB'  R  Qu tích m B' đ ng trịn tâm I, bán kính R  Qu tích m B nh c a (I, R ) qua phép ngh ch đ o N Bài Xét phép ngh ch đ o N c c O, ph ng tích R2 v i R bán kính c a (O) S,T giao m c a (O) (OIJ) Khi đó: N  S  S, N  T   T  N  F  J, N  E  I  N  IJ   OEF  (M, EF ) OP  IJ  O, M, P th ng hàng N  EF   OIJ  Q  N  M    OIJ R2  OM.OQ=R hay OM.OP= R OM= 2  M thu c đ ng tròn tâm O bán kính R Hình 3.4 Do qu tích m P đ    O, ng tròn  O,R  tr m A, B, C, D nên qu tích M R tr đi m trung m c a OA, OB, OC, OD  Bài 37 Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPTốn (b) (a) Hình 3.5 G i J giao m th hai c a hai đ Xét phép ngh ch đ o N c c I, ph ng tròn ( IAA' ) ( IBB' ) ng tích k  Khi (O),  O'  , (IAA' ) bi n thành đ ng th ng c, c', d , A  N  A  , B1  N  B, A'1  N  A'  B1 '  N  B'  , c  A 1B1, c'  A'1B'1 , d  A1A'1, d'  B1B'1 I, A1, B'1 th ng hàng I, A'1, B1 th ng hàng G i J1 giao m c a d d' Xét t giác tồn ph n A1B'1B1A'1 I, J1 hai m liên h p v i đ i v i c p đ ng th ng c, c'  T p h p J1 đ ng đ i c c m c a m I đ i v i c p đ  T p h p m J nh c a đ ng th ng c, c' ng th ng m qua phép ngh ch đ o ch n Bài 6: 38 Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPTốn Hình 3.6 a Xét phép ngh ch đ o N1 c c A, ph ng tích k, v i k h ng s không đ i cho AM.AM '  k  M '  N  M  Gi s B'  N 1(B) B' m c đ nh n m đ Xét phép ngh ch đ o N 2c c B ph ng ng tròn ( BMM' ) tích BA2 N  M   N, N  M '   N' ,  N  BMM'   NN'  NN' qua m c đ nh P  N  B'  b Ta có: OM  AT, BT  AT  OM // BT G i U giao m c a BT AM OM đ ng trung bình c a tam giác ABU ng v i c nh BU  AU  2AM T ng t n u BT' c t AM t i U' ta có: AU '  2AM '  AU.AU '  4AM.AM '  4k - không đổi L p lu n t ng t ý a) thay M, M', k b i U, U', 4k ta c ng có TT' qua m c đ nh Q  N  B''  v i B'' nh c a B qua phép ngh ch đ o N  A,4k  c G i I giao m c a ti p n th hai qua M, M' v i (O) J giao m c a OI v i TT' Hi n nhiên OI  TT' , Q m c đ nh c a TT' 39 Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán  T p h p J cung tròn c a đ ng trịn đ ng kính OQ n m đ ng tròn (O) Xét phép ngh ch đ o N c c O, ph ng tích R2 OTI vng t i T, TJ  OI  OI.OJ  OT2  R2  I J hai m t ng ng phép ngh ch đ o N V y t p h p m I hai tia Xx, Yy vng góc v i AB v i X, Y giao m c a (O) đ ng trịn đ ng kính OQ Bài a G i H tr c tâm c a tam giác ABC Ta có: HBO vµ ACO hai tam giác đ ng d ng  OB OC  hay OA.OB  OC.OH OH OA Ta ln có: OC.OH  OA.OB   p O Xét phép ngh ch đ o N1 c T p h p m C đ c O, ph  C ng tích k   p O Hình 3.7  C H  N  C ng tròn  C'   T p h p m H nh c a đ tròn  C'  qua phép ngh ch đ o c c O, ph ng tích  p O ng  C b Ch n  C ,  C'  th đ qu tích  C Ta có N1 O,p    X O C O   N O, p O  C  X O phép đ i x ng tâm O N u qu tích (C) t c  C  N  C'    C'   N  C  X O  N  C  X O  C Hay (C)  C'  hai đ ng tròn đ i x ng qua O 40 Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPTốn c Qu tích  C'  t c ta có:  C'   N  C'  kpO  C'  pO  C'   p O pO  C'  pO  C  C 0 V y, đ qu tích  C'  ta ph i ch n m O cho: p O  C'   p O  C  Bài a G i H chân đ xu ng đ ng vng góc h t A ng th ng a Ta có HM.HM '  HA - s không đ i Xét phép ngh ch đ o N c c H, ph ng tích k  HA Hình 3.8 Khi M, M' hai m t Gi s Q  N  B ng ng v i phép ngh ch đ o N B c đ nh  Q m c đ nh n m đ ng tròn ngo i ti p BMM ' Do HB.HQ  HA   B  Q V y n u B c đ nh  BMM'  ln qua m c đ nh khác B b Tìm t p h p tâm c a  BMM' B c đ nh Theo ch ng minh a,  BMM'  qua hai m c đ nh B, Q  t p h p tâm c a  BMM'  đ ng trung tr c c a đo n th ng BQ c Khi B di đ ng b, tìm t p h p Q Khi B di đ ng b, Q  N  B nên t p h p Q nh c a đ phép ngh ch đ o N ng th ng b qua ch n 41 Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán Bài a Do P m c đ nh nên p P  O s không đ i Xét phép ngh ch đ o ph N có c c P, ng tích k  p P  O Ta có: PA.PA '  PB.PB'  k  N  A   A ',N  B  B' Do qua phép ngh ch đ o th ng AB bi n thành đ đ N ng ng trịn Hình 3.9 ngo i ti p PA 'B' Do PH  AB  PH qua tâm c a đ ng tròn  PA 'B'  , PA 'B' vuông t i P  Tâm  PA 'B'  trung m I c a đ ng th ng A'B' I  PH , t c P, H, I th ng hàng b Ch ng minh PH.PI không đ i G i K giao m th hai c a PH v i đ ng tròn  PA 'B'  Khi H K hai m t ng đ oN : N  H   K PK  2PI  PH.PK  k  p  PH.PI  P  O , k k  PH.PI  2 s không đ i c G i J giao m th hai c a đ đ ng v i phép ngh ch ng tròn (C) qua P ti p xúc v i (O) t i A ng tròn  C'  qua P ti p xúc v i (O) t i A' 42 Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán Ax, A'y th t ti p n c a (O) t i A, A' J' giao m c a hai ti p n Vì N  A   A ' , (C) ti bi n thành đ T ng t p xúc v i (O) t i A nên qua phép ngh ch đ o ch n (C) ng th ng A 'y  C' bi n thành đ Vì J' c c c a đ ng th ng Ax ng th ng AA' , Pc đ nh thu c A' Do J' n m đ ng th ng đ i c c c a m P đ i v i (O) Vì N  J  J'  J  N  J'  T p h p m J nh c a đ c c c a P đ i v i (O) qua phép ngh ch đ o Gi s đ N ng th ng đ i ch n ng đ i c c p c a P đ i v i (O) vng góc v i OP t i Q, ta có: OP.OQ  r (r bán kính c a (O)) Mà   OP.OQ  OP OP  PQ  OP2  OP.PQ =k+r  OP.PQ  r  k  OP.PQ   OP.QP  k  OP.PQ  k  Q O hai m t ng ng v i phép ngh ch đ o V y nh c a đ ng th ng p qua phép ngh ch đ o ch n đ OP, hay qu tích giao m th hai c a  C  C'  đ ng tròn đ ng tròn đ ng kính ng kính OP Bài 10 a Do (O) (C) tr c giao nên p O  C  R2 ( R bán kính c Xét phép ngh ch đ o ph ng tích k  p O N  C a (O)) c c O,  R2 Khi (C) có nh qua phép ngh ch 43 Khóa lu n t t nghi p đ o ch n (O) đ inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán ng tròn ngh ch đ o Gi s A *  N  A  A* m c đ nh A *   C G i B giao c a OA (O) ta có: R2 R * * OA.OA  R  OA OB   OA *  2 Hình 3.10  A * trung m c a OB  Các đ ng trịn (C) ln qua hai m c đ nh A, A*  (C) thu c chùm eliptic xác đ nh b i A A* c l i: M i đ Ng ng trịn (C) qua A A* ta có: p O  C  OA.OA *  R2  (C) tr V y đ c giao v i (O) ng tròn qua A tr c giao v i  O l p thành m t chùm b Tìm qu tích m A' m xuyên tâm đ i c a A (C)  G i I tâm c a (C)  Do t p h p (C) chùm eliptic xác đ nh b i A A*  T p h p I trung tr c c a đo n th ng AA*    V i m i I: A' m xuyên tâm đ i c a A (C) nên AA '  2AI  A' nh c a I qua phép v t tâm A t s  T p h p A' nh c a đ ng trung tr c đo n th ng AA* qua phép v t tâm A t s 2: Là đ ng th ng qua A* vng góc v i OA c G i PQ tr c đ ng ph ng c a (O)  C Ta ch ng minh PQ qua m c đ nh Do  O   C  PQ đ ng đ i c c c a m I đ i v i đ đ ng d trung tr c c a AA* đ D: c c c a đ ng th ng d đ i v i đ ng tròn (O) Khi I di ng đ i c c PQ qua m c đ nh ng tròn (O) R AA * R 2R  5R G i T trung m c a AA '  OT  OA     2 * 44 Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán D c c c a d đ i v i O  D  OA vµ OD.OT  R2 R2  OD   R OT ng c a (O) (C) qua m c đ nh m D  OA V y tr c đ ng ph OD  R Bài 11: G i H hình chi u vng góc c a S (P) SH  h Xét phép ngh ch đ o ph N c c S ng tích k  h2 V i m i m M   P , M' n m đ Hình 3.11 ng th ng SM th a mãn SM.SM '  h2  M M' hai m t ng phép ngh ch đ o ng N : N  M   M' T p h p m M (P)  t p h p m M' nh c a m t ph ng (P) qua phép ngh ch đ o N : m t c u (W) đ c xác đ nh nh sau: Do S  P  S  W  SH  h2  N  H   H SH   P  (W) m t c u đ ng kính SH Bài 12 Ta có th gi i tốn b ng m t hai cách sau: Cách 1: Dùng t a đ Ch n h tr c t a đ cho g c t a đ trùng v i tâm O c a m t c u (W) Khi (W) có ph ng trình x2  y2  z2  Xét phép ngh ch đ o N c c O ph ng tích k  45 Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán M   x,y,z  (W) M '  OM vµ OM.OM'   M '  N  M  Gi s M '   x',y',z'  ta có:  x' y' z'  x  y  z     ฀   xx' yy' zz'  x  y  z2        x'2  y'2  z'2       2 2 2 x' y' z'      x'  y'2  z'2     Hình 3.12  M' n m m t c u có ph ng trình x2  y2  z2  M thay đ i m t c u (W)  t p h p m M' m t c u có ph ng trình x2  y2  z2  ây m t c u có tâm trùng v i tâm c a (W), bán kính r  Cách 2: Theo gi thi t M   W   OM  OM.OM '  vµ M'  OM  OM'=2 Do O c đ nh  M ' n m m t c u tâm O bán kính T p h p m M m t c u (W)  t p h p m M' m t c u tâm O bán kính Bài 13: (P) qua M c t (O,R) theo giao n đ ng tròn (S) tâm I  OI   P A  OI, B   S cho AB ti p n c a (O, R)  AB  OB 46 Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán Nh v y ABO : tam giác vuông t i B, BI  AO  OI.OA  OB2  R2 Xét phép ngh ch đ o N c c O ph ng tích R2 A  N  I  M t khác, OI   P  OI  IM , M, O c đ nh  T p h p m I m t c uđ Hình 3.13 ng kính OM  T p h p m A nh c a m t c u đ ng kính OM qua phép ngh ch đ o N Vì (O, R) m t c u ngh ch đ o c a phép ngh ch đ o N ,m tc uđ ng kính OM n m  O,R nên khơng có m chung v i  O,R Do t p h p m A m t m t ph ng khơng có m chung v i m t c u đ ng kính OM (O, R) Bài 14: Theo gi thi t (P) c t (O, R) theo giao n đ ng tròn (S) tâm I  OI   P , I, M   P  IM  OI  T p h p m I ph n m t c u đ ng kính OM n m m t c u (O, R) A  OI, B   S mà AB ti p n c a (O, R) Xét ABO: AB  OB (do AB ti p n c a (O, R)) , IB  OA (do OA   P , đ ng th ng IB n m (P))  OI.OA  OB2  R2 Hình 3.14 47 Khóa lu n t t nghi p Xét phép ngh ch đ o inh Th Qu nh Liên _K31A SPTốn N c c O ph ng tích R2 ta có: A  N  I  (O,R) m t c u ngh ch đ o phép ngh ch đ o T p h p A nh c a ph n m t c u đ ngh ch đ o N ng kính MO n m (O, R) qua phép : Là ph n m t ph ng qua giao n c a (O, R) m t c u đ N ng kính OM tr ph n n m m t c u (O, R) Bài 15: Gi s S, ph Do N phép ngh ch đ o th a mãn u ki n c a toán, O , R  N bi n (O2, R2) thành  k  p S p  O2 , R2  S  O , R   p  O , R   S n m m t ph ng đ ng ph ng c a S 1 (O1, R1) (O2, R2) (vì có c c ng tích k bi n (O1, R1) thành  k  p S N N ây m t ph ng qua A vuông góc v i O1O2, tr m A p S O , R   p S O , R   ) 1 2 Bài 16: Gi s (O1, R1) ti p xúc v i (O2, R2) t i A3 , (O2, R2) ti p xúc v i (O3, R3) t i A1 , (O3, R3) ti p xúc v i (O1, R1) t i A2 Theo ch ng minh ta có k t qu : T p h p m S giao m c a ba m t ph ng: + (P1) qua A1 vng góc v i O2O3 + (P2) qua A2 vng góc v i O1O3 + (P3) qua A3 vng góc v i O1O2 48 Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán t giao n c a (P1), (P2), (P3) v i m t ph ng  O1 O2O3  G i d , d2 , d3 l n l d1  O2O3 , d2  O1O3 , d3  O1O2 Ta ch ng minh d1, d2, d3 đ ng quy Th t v y g i I giao m c a d1và d2 Ta có: p I O , R  p O , R  p p I p I I O , R  v×I  d2 O , R  v×I  d1 I O , R  p I Hình 3.15 O , R   I   P3  Mà I   O1 O2O3   I  d3  P3   O1 O2O3  V y d1, d2, d3 đ ng quy t i I IA  IA  IA  I tâm đ ng tròn ngo i ti p A 1A 2A tâm đ ng tròn n i ti p tam giác O1 O2O3 V y t p h p m S đ tâm đ ng th ng vng góc v i m t ph ng  O1 O2O3  t i ng tròn ngo i ti p A 1A 2A 49 Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán K t lu n Qua trình xem xét ví d t p ta có k t lu n sau: i v i m t tốn qu tích, thơng th ng đ gi i ph i ch ng minh c ph n thu n ph n đ o Trong hai ph n này, vi c ch ng minh ph n thu n d dàng ch ng minh ph n đ o th ng khó kh n h n Tuy nhiên, nh tính ch t đ i h p c a phép ngh ch đ o nên gi i tốn qu tích nh phép ngh ch đ o c ph n thu n ph n đ o c a toán qu tích đ c gi i quy t m t lúc ây u m c a vi c s d ng phép ngh ch đ o vào gi i tốn qu tích Khi gi i tốn qu tích nh phép ngh ch đ o, u quan tr ng nh t xu t phát t gi thuy t c a toán, t tính ch t c a phép ngh ch đ o, ta ph i l a ch n đ c phép ngh ch đ o thích h p, đ a toán cho tr thành toán đ n gi n h n Do phép nghich đ o có kh n ng bi n đ ng tròn thành đ ng th ng, m t c u thành m t ph ng nên nh ng tốn qu tích có liên quan đ n nhi u đ hay m t c u đ c chuy n v tốn có đ ng tròn ng tròn, m t c u h n gi i quy t d dàng h n 50 Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán Tài li u tham kh o [1]: Bùi V n Bình, Nguy n V n V n, Giáo trình hình h c s c p, t p 2, HSP Hà N i 2, 1993 [2]: Bùi V n Bình, Bài t p hình h c s c p, t p 1, HSP Hà N i 2, 1993 [3]: Nguy n M ng Hy, Các phép bi n hình m t ph ng, NXBGD, 2000 [4]: Thanh S n, Các phép bi n hình m t ph ng, NXBGD, 2006 [5]: Thanh S n, Các phép bi n hình khơng gian, NXBGD, 2006 51 ... thơng, h c sinh đ c h c phép bi n hình: phép đ i x ng tr c, phép đ i x ng tâm, phép quay, phép t nh ti n, phép v t Phép ngh ch đ o phép bi n hình khơng đ a vào ch xu t luy n h c sinh chuyên, b... phép ngh ch đ o h to đ vng góc, có c c trùng v i g c to đ ph ng tích k(k  0) 16 Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán ng 2 :Phép ngh ch đ o tốn qu tích Ch 2.1 Bài tốn qu tích Bài. .. i h p c a phép ngh ch đ o nên gi i tốn qu tích nh phép ngh ch đ o c ph n thu n ph n đ o c a toán qu tích đ c gi i quy t m t lúc ây u m c a vi c s d ng phép ngh ch đ o vào gi i tốn qu tích Khi