Phép nghịch đảo với bài toán quỹ tích

trường đại học sư phạm hà nội khoa toán Ngô thị thủy PHẫP NGHCH O VI BI TON QU TCH khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyờn ngnh : Hỡnh hc Ngi hng dn khoa hc GV Đinh văn thủy Hà Nội - 2012 Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy LI CM N Trong quỏ trỡnh nghiờn cu ti: " Phộp nghch o vi bi toỏn qu tớch" tụi ó nhn c s giỳp ca cỏc thy cụ T b mụn hỡnh hc trng HSP H Ni Tỏc gi khúa lun xin gi ti cỏc thy cụ li cm n chõn thnh v sõu sc nht, c bit l thy giỏo inh Vn Thy ngi ó tn tỡnh giỳp tụi hon thnh khúa lun ny H Ni, ngy 10 thỏng 05 nm 2012 Tỏc gi khúa lun Ngụ Th Thy SVTH: Ngụ Th Thy K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy LI CAM OAN Tụi xin cam oan cỏc tụi trỡnh by khúa lun l kt qu nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn trc tip ca thy inh Vn Thy, khụng trựng vi cỏc tỏc gi khỏc Nu sai tụi hon ton chu trỏch nhim H Ni, ngy 10 thỏng 05 nm 2012 Tỏc gi khúa lun Ngụ Th Thy SVTH: Ngụ Th Thy K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy MC LC M U 1 Lý ch ti Mc ớch, nhim v nghiờn cu i tng phm vi nghiờn cu .2 Phng phỏp nghiờn cu .2 NI DUNG .3 CHNG 1: PHẫP NGHCH O 1.1 Cỏc nh ngha .3 1.1.1 Khụng gian bo giỏc 1.1.2 Phộp nghch o 1.2 Cỏc tớnh cht 1.3 Cỏc nh lý 1.4 Phộp nghch o h ta cỏc vuụng gúc 10 CHNG 2: PHẫP NGHCH O VI BI TON QU TCH 12 2.1 Bi toỏn qu tớch 12 2.2 Phng phỏp chung gii bi toỏn qu tớch 12 2.3 Cỏc vớ d minh 12 2.4 Bi t luyn 27 2.5 Hng dn 30 KT LUN .42 TI LIU THAM KHO 43 SVTH: Ngụ Th Thy K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy M U Lý chn ti Hỡnh hc l mụn hc hp dn thu hỳt nhiu hc sinh yờu toỏn Vic gii cỏc bi tp, tỡm nhiu cỏch gii, ú cú nhng cỏch gii hay, c ỏo s phỏt huy tớnh sỏng to v nim say mờ i vi mụn hc Mi bi hỡnh hc cú th gii bng nhiu phng phỏp khỏc nhau: phng phỏp tng hp, phng phỏp ta , phng phỏp vect v phng phỏp bin hỡnh Trong nhiu trng hp, phộp bin hỡnh l cụng c hu hiu cho phộp gii hp lý v ngn gn cỏc bi toỏn ca hỡnh hc nh bi toỏn chng minh, bi toỏn qu tớch, bi toỏn dng hỡnh v bi toỏn tớnh toỏn Trong chng trỡnh toỏn ph thụng, hc sinh c hc cỏc phộp bin hỡnh: phộp i xng trc, phộp i xng tõm, phộp quay, phộp tnh tin, phộp v t Phộp nghch o l phộp bin hỡnh khụng a vo chng trỡnh ph thụng, ch c xut luyn hc sinh chuyờn, bi dng hc sinh gii Phộp nghch o vi nhng tớnh cht khỏc bit ca nú a n hng gii quyt mi mt s lp bi toỏn ca hỡnh hc gúp phn lm rừ tớnh u vit ca vic s dng phộp nghch o v gii cỏc bi toỏn ca hỡnh hc, tụi i vo nghiờn cu lý thuyt phộp nghch o v ng dng ca phộp nghch o gii quyt cỏc bi toỏn hỡnh hc Trong khuụn kh mt khúa lun tt nghip, thi gian nghiờn cu cú hn nờn tụi ch trung khai thỏc ng dng ca phộp nghch o vic gii cỏc bi toỏn qu tớch ú chớnh l lý tụi la chn ti: "phộp nghch o vi bi toỏn qu tớch" 2.Mc ớch, nhim v nghiờn cu - Nghiờn cu cỏc kin thc c bn ca phộp nghch o v ng dng ca nú vic gii bi toỏn qu tớch SVTH: Ngụ Th Thy K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy - Xõy dng h thng vớ d minh v bi t luyn th hin vic s dng phộp nghch o vo gii bi toỏn qu tớch 3.i tng, phm vi nghiờn cu - i tng nghiờn cu: phộp nghch o - Phm vi nghiờn cu: ng dng ca phộp nghch o vic gii bi toỏn qu tớch mt phng v khụng gian 4.Phng phỏp nghiờn cu -Nghiờn cu sỏch giỏo trỡnh, bi ging chuyờn v cỏc ti liu tham kho cú liờn quan SVTH: Ngụ Th Thy K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy NI DUNG CHNG 1: PHẫP NGHCH O 1.1 Cỏc nh ngha 1.1.1 Khụng gian bo giỏc Khụng gian E n ( n = 1, 2, 3) b sung phn t (im vụ cc ) gi l khụng gian bo giỏc Bn Trong khụng gian bo giỏc Bn mi ng thng hay mt phng u i qua im 1.1.2 Phộp nghch o Trong khụng gian bo giỏc Bn cho im O c nh v s thc k Phộp bin hỡnh N : B Bn cho: M M ' N (M) Nu M O thỡ M' Nu M thỡ M' O O, M,M ' thng hng Nu M O, thỡ OM.OM ' k thỡ N c gi l phộp nghch o cc O , phng tớch k Kớ hiu N k O hoc N (O,k) Nhn xột: N (O,k) X o N (O,-k) ú X o l phộp i xng tõm O 1.2 Cỏc tớnh cht 1.2.1 Tớnh cht Phộp nghch o l bin hỡnh i hp : N l phộp ng nht 1.2.2 Tớnh cht Nu M' l nh ca M qua N (O,k) thỡ O, M, M' thng hng SVTH: Ngụ Th Thy K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy Nu M, O, N khụng thng hng M', N' ln lt l nh ca M, N qua N (O,k) thỡ t giỏc MM'N'N l t giỏc ni tip 1.2.3 Tớnh cht Nu phng tớch nghch o k > thỡ phộp nghch o N (O,k) cú cỏc im bt ng l siờu cu tõm O , bỏn kớnh k ( gi l siờu cu nghch o) Nu phng tớch nghch o k thỡ phộp nghch o N (O,k) khụng cú im bt ng 1.3 Cỏc nh lý 1.3.1 nh lý Phộp nghch o bin siờu phng khụng i qua cc nghch o thnh siờu cu i qua cc nghch o v bin siờu cu i qua cc nghch o thnh siờu phng khụng i qua cc nghch o Chng minh: Ta chng minh E Vic chng minh E3 hon ton tng t +) Phộp nghch o bin ng thng khụng i qua cc nghch o thnh ng trũn i qua cc nghch o Gi s E cho phộp nghch o N (O,k) v d l ng thng no ú khụng i qua O H OH d, Hd, H' N (H) Xột M bt k thuc d v M' N (M) Khi ú OM.OM ' OH.OH ' k T giỏc MM'N'H l t giỏc ni tip ( H'M', MM') (H'H, MH) 90 Do OH' c nh M' nm trờn ng trũn ng khớnh OH SVTH: Ngụ Th Thy K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy Ngc li, ly im N' bt k trờn ng trũn ng kớnh OH', N N (N') , tng t nh trờn ta cú : (N'H', NN') ( NH, HH') 90 OH HN Nd Vy N (d) (OH') +) Do tớnh cht: Phộp nghch o l phộp bin hỡnh i hp nờn phộp nghch o bin ng trũn i qua cc nghch o thnh ng thng khụng i qua cc nghch o 1.3.2 nh lý Phộp nghch o bin siờu cu khụng i qua cc nghch o thnh siờu cu khụng i qua cc nghch o Chng minh: Ta chng minh E Gi s cho phộp nghch o N (O,k) v (C) l ng trũn khụng i qua O (C) cú tõm I, OI ct (C) ti A,B Gi A', B' th t l nh ca A, B qua phộp nghch o N (O,k) v (C') l ng trũn ng kớnh A'B' Ta chng minh (C') N (C) +) M (C), M' N (M) Nu M A hoc B thỡ M' trựng A' hoc B' tc M' (A'B') Nu M A, B thỡ ta cú t giỏc AMM'A' l t giỏc ni tip SVTH: Ngụ Th Thy K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy AMO AA 'M ' T giỏc BMM'B' ni tip A 'B'M ' BMM ' Do M (C) AMB 90 tc M' (C') (1) +) N' (C') u cú A, B l nh ca A', B' qua phộp nghch o N N N (N') nm trờn ng trũn ng kớnh AB Vy N' (C') u cú N(C) cho N (N) N' (2) T (1) v (2) suy (C') N (C) H qu: Cỏc siờu cu cú tớnh cht : Phng tớch ca cc nghch o i vi nú bng phng tớch nghch o l hỡnh kộp 1.3.3 nh lý Phộp nghch o bin siờu phng i qua cc nghch o thnh chớnh nú nh lý ny c suy t nh ngha v tớnh cht 1.3.4 nh lý Nu A', B' th t l nh ca A, B qua phộp nghch o N (O,k) thỡ ta cú: A'B' k AB OA.OB Chng minh: +) Nu A, B, O thng hng ta cú: OA ' k k , OB' OA OB A 'B' OB' OA ' k A'B' k k k OB OA OA OB BA k OA.OB OA.OB AB OA.OB SVTH: Ngụ Th Thy K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy Bi 9: Cho trc mt mt phng (P) v mt im S cỏch (P) mt khong h (h > 0) Vi mt im M thuc (P), ta xỏc nh mt im M' nm trờn ng thng SM v tha iu kin SM.SM ' h Tỡm hp im M' M bin thiờn (P) Bi 10: Trong khụng gian cho mt cu (W) cú tõm O, bỏn kớnh R = M l im di ng trờn (W) Vi mi im M ta xỏc nh im M' nm trờn ng thng OM v tha iu kin OM.OM ' Tỡm hp im M' M bin thiờn trờn (W) Bi 11: Cho mt cu tõm O bỏn kớnh R v mt im M c nh nm hỡnh cu nhng khụng trựng vi tõm O ca hỡnh cu ú Vi mi mt phng (P) i qua M ct (O,R) theo mt ng trũn (S) tõm I Trờn tia OI ta ly im A cho vi im B bt k thuc ng trũn (S), ng thng AB l tip tuyn ca (O,R) Tỡm hp im A (P) quay quanh M Bi 12: Cho mt cu (O,R) v mt im M c nh nm ngoi mt cu Ta xột mt mt phng (P) i qua M ct (O,R) theo mt ng trũn (S) cú tõm I Trờn OI ta ly im A cho vi mi im B thuc (S) ng thng AB l tip tuyn ca (O,R) Tỡm hp iờm A (P) bin thiờn Bi 13: Cho hai mt cu (O1, R1) v (O2, R2) tip xỳc vi ti A Tỡm hp im S cho phộp nghch o tõm S bin mt cu (O1,R1) thnh chớnh nú v (O2, R2) thnh chớnh nú SVTH: Ngụ Th Thy 29 K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy Bi 14: Cho ba mt cu (O1, R1), (O2, R2), (O3, R3) ụi mt tip xỳc ngoi vi Tỡm hp im S cho phộp nghch o cc S bin (O1, R1) thnh chớnh nú, (O2, R2) thnh chớnh nú, (O3, R3) thnh chớnh nú 2.5 Hng dn Bi Xột phộp nghch o N (O, R2) Do (O) trc giao vi (O') nờn t giỏc OAA'O' ni tip ng kớnh OO', (O) l ng trũn nghch o ca phộp nghch o N (O, R2) P O (O') OO' R ' R 2 (O') cú nh l chớnh nú qua phộp nghch o N (O, R2) Do ú N (A) = A, N (B) = B Phộp nghch o N (O, R2) bin ng thng AB thnh ng trũn ngoi tip OAB : l ng trũn ng kớnh OO' MAB, O= N (M) P (OAB) Vy, hp cỏc im P l ng trũn ng kớnh OO' Tng t, vi phộp nghch o N '(O', R'2) Qua phộp nghch o N ' ng thng AB bin thnh ng trũn ngoi tip O'AB cú ng kớnh OO' Q = N ' (M) (O'AB) Vy hp cỏc im P, Q l ng trũn ng kớnh OO' Bi Xột phộp nghch o N = N (A, AB2) SVTH: Ngụ Th Thy 30 K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy Khi ú N (B) = B, N (AB) = AB, N [(C)] = c, N [(C')] = c' Do (C) v (C') l hai ng trũn bng v ct ti A, B nờn AB l phõn giỏc ca gúc to bi c v c' N [(O)] = (O1), N [(O')] = O '1 Do tớnh cht bo tn gúc gia hai ng cong ca phộp nghch o nờn c, c' l hai tip tuyn chung ca (O1) v (O'1) , v (O1) tip xỳc vi (O'1) ti M' l nh ca M qua phộp nghch o N D thy qu tớch M' l hai ng phõn giỏc ca gúc hp bi c v c', mt chỳng l ng thng AB, phõn giỏc cũn li l ng thng d i qua B v vuụng gúc vi AB Vy qu tớch M l N (AB) N (d) = AB (AB), tr hai im A, B Nhn xột: Trong bi toỏn trờn nu ta thay i gi thit: cho hai ng trũn bng (C) v (C') bng gi thit cho hai ng trũn (C) v (C') Vi cỏch gii tng t nh trờn, ta cng tỡm c qu tớch M Ta cng cú th gii bi toỏn trờn bng cỏch chn phộp nghch o cc B phng tớch BA2 Bi Gi s (C) cú tõm I, bỏn kớnh R (C1), (C2) l hai ng trũn cựng i qua A, B tip xỳc vi (C) v trc giao vi nhau, P, Q th t l cỏc tip im ca (C1) (C2) vi (C) SVTH: Ngụ Th Thy 31 K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy Xột phộp nghch o N cú cc l A, phng tớch k = P A (C) Khi ú: (C) cú nh l chớnh nú P' = N (P), Q' = N (Q), N [(C1)] = P'x, N [(C2)] = Q'y Do tớnh cht bo tn gúc gia hai ng cong ca phộp nghch o nờn P'x, Q'y th t l cỏc tip tuyn ca (C) ti P', Q' Do (C1) (C ) P 'x Q' y Gi B' l giao im ca P'x' v Q'y' thỡ B, B' l hai im tng ng phộp nghch o N Ta cú: T giỏc IP'B'Q' l hỡnh vuụng cnh R IB' R Qu tớch im B' l ng trũn tõm I, bỏn kớnh R Qu tớch im B l nh ca (I ,R ) qua phộp nghch o N Bi Xột phộp nghch o N cc O, phng tớch R2 vi R l bỏn kớnh ca (O) S, T l giao im ca (O) v (OIJ) Khi ú: N (S) = S, N (T) = T N (F) = J , N (E) = I EF N (IJ) = (OEF) = M, OP IJ O, M, P thng hng N (EF) = (OIJ) Q = N (M) (OIJ) R2 v OM.OQ R hay OM.OP 2 OM R SVTH: Ngụ Th Thy 32 K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy M thuc ng trũn tõm O bỏn kớnh R Do qu tớch im P l ng trũn (O,R) tr im A, B, C, D nờn qu R tớch M l O, tr i im l trung im ca OA, OB, OC, OD Bi Gi J l giao im th hai ca hai ng trũn (IAA') v (IBB') Xột phộp nghch o N cc I, phng tớch k Khi ú (O), (O'), (IAA') bin thnh cỏc ng thng c, c', d A1 = N (A), B1 = N (B), A'1 = N (A'), B'1 = N (B'), c = A 1B1, c' = A'1B'1, D =A1A'1, d = B1B'1 I, A1, B'1 thng hng v I, A'1, B1 thng hng Gi J1 l giao im ca d v d' Xột t giỏc ton phn A1B'1B1A'1 thỡ I, J1 l hai im liờn hp vi i vi cp ng thng c, c' Tp hp J1 l ng i cc m ca im I i vi cp ng thng c, c' SVTH: Ngụ Th Thy 33 K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy Tp hp im J l nh ca ng thng m qua phộp nghch o ó chn Bi 6: a Xột phộp nghch o N1 cc A, phng tớch k, vi k l hng s khụng i ó cho AM.AM ' k M' = N1 (M) Gi s B' = N1 (B) thỡ B' l im c nh nm trờn ng trũn (BMM') Xột phộp nghch o N2 cc B phng tớch BA2 thỡ N2 (M) = N, N2 (N') = N' N2 BMM ' NN ' NN' i qua im c nh P = N2 (B') b Ta cú: OM AT, BT AT OM // BT Gi U l giao im ca BT v AM thỡ OM l ng trung bỡnh ca tam giỏc ABU ng vi cnh BU AU 2AM Tng t nu BT' ct AM ti U' thỡ ta cú: AU ' 2AM ' AU.AU ' 4AM.AM ' 4k - khụng i Lp lun tng t ý a) thay M, M', k bi U, U', 4k ta cng cú TT' i qua im c nh Q = N (B'') vi B'' l nh ca B qua phộp nghch o N3(A,4k) c Gi I l giao im ca tip tuyn th hai qua M, M' vi (O) v J l giao im ca OI vi TT' Hin nhiờn OI TT', Q l im c nh ca TT' SVTH: Ngụ Th Thy 34 K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy Tp hp J l cung trũn ca ng trũn ng kớnh OQ nm ng trũn (O) Xột phộp nghch o N cc O, phng tớch R2 OIT vuụng ti T, JT OI OI.OJ OT R I v J l hai im tng ng phộp nghch o N Vy hp cỏc im I l hai tia Xx, Yy vuụng gúc vi AB vi X, Y l giao im ca (O) v ng trũn ng kớnh OQ Bi a Gi H l trc tõm ca tam giỏc ABC Ta cú: HBO v ACO l hai tam giỏc ng dng OB OC OH OA hay OA.OB = OC.OH (C) Ta luụn cú: OC.OH OA.OB = - P O Xột phộp nghch o N1 cc O, phng tớch k = - P O (C) thỡ H= N1(C) Tp hp cỏc im C l ng trũn (C') Tp hp cỏc im H l nh (C) ca ng trũn (C') qua phộp nghch o cc O, phng tớch - P O b Chn (C), (C') th no qu tớch trờn l (C) Ta cú: N1 (O,- P O (C) )= X O N2 (O, P O (C) ) = X O N2 (O, P O (C) ) Trong ú XO l phộp i xng tõm O Nu qu tớch trờn l (C) tc (C) = N1 C ' SVTH: Ngụ Th Thy 35 K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy (C') = N1 C = XO N2 C = XO C ' Hay (C) v (C') l hai ng trũn i xng qua O c Qu tớch trờn l (C'') tc ta cú: (C'') = N1 C ' k=P O (C') O (C') = P O (C) P O P O (C') (C) P Vy qu tớch trờn l (C') thỡ ta phi chn v im O cho: P O (C') P O (C) Bi 8: a Gi H l chõn ng vuụng gúc h t A xung ng thng a Ta cú HM HM ' HA2 - l s khụng i Xột phộp nghch o N cc H, phng tớch k = - HA2 Khi ú M, M l hai im tng ng vi phộp nghch o N Gi s Q = N (B) thỡ B c nh Q l im c nh nm trờn ng trũn ngoi tip BMM ' Do HB.HQ HA B Q Vy nu B c nh thỡ (BMM') luụn i qua im c nh Q khỏc B b Tỡm hp tõm ca (BMM') B c nh SVTH: Ngụ Th Thy 36 K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy Theo chng minh a, (BMM') luụn i qua hai im c nh l B, Q hp tõm ca (BMM') l ng trung trc ca on thng BQ c Khi B di ng trờn b, tỡm hp Q Khi B di ng trờn b, Q = N (B) nờn hp Q l nh ca ng thng b qua phộp nghch o N ó chn Bi 9: Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca S trờn (P) thỡ SH = h Xột phộp nghch o N cc S, phng tớch k = h2 Vi mi im M ( P) , M' nm trờn ng thng SM v tha SM.SM ' h M v M' l hai im tng ng phộp nghch o N : N(M) = M' Tp hp cỏc im M l (P) hp cỏc im M' l nh ca mt phng (P) qua phộp nghch o N : l mt cu (W) c xỏc nh nh sau: Do S P S (W) SH h N H H SH (P) (W) l mt cu ng kớnh SH Bi 10: Ta cú th gii bi toỏn bng mt hai cỏch sau: Cỏch 1: Dựng ta SVTH: Ngụ Th Thy 37 K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy Chn h trc ta cho gc ta trựng tõm O ca mt cu (W) Khi ú (W) cú phng trỡnh: x2 + y2 + z2 = Xột phộp nghch o N cc O phng tớch k = M = (x, y, z) (W) M' OM v OM.OM ' M' = N (M) Gi s M' = (x', y', z',) thỡ ta cú: x' y' z' x y z ( ) xx ' yy ' zz ' x y2 z (x '2 y '2 z '2 ) 2 2 (x ' y ' z ' ) 1 x '2 y '2 z '2 M' nm trờn mt cu cú phng trỡnh x y z M thay i trờn mt cu (W) hp im M' l mt cu cú phng trỡnh x y z õy l mt cu cú tõm trựng vi tõm ca (W), bỏn kớnh r = Cỏch 2: Theo gi thit M (W) OM = OM.OM ' v M' OM OM' = Do O c nh M' nm trờn mt cu tõm O bỏn kớnh Tp hp im M l mt cu (W) hp im M' l mt cu tõm O bỏn kớnh Bi 11: (P) i qua M ct (O,R) theo giao tuyn l ng trũn (S) tõm I SVTH: Ngụ Th Thy 38 K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy OI (P) A OI, B (S) cho AB l tip tuyn ca (O,R) AB OB Nh vy ABO l tam giỏc vuụng ti B BI AO OI.OA OB2 R Xột phộp nghch o N cc O,phng tớch R thỡ A = N (I) Mt khỏc, OI (P) OI IM M, O c nh Tp hp im I l mt cu ng kớnh OM Tp hp im A l nh ca mt cu ng kớnh OM qua phộp nghch o N nm (O,R) nờn khụng cú im chung vi (O,R) Do ú hp im A l mt mt phng khụng cú im chung vi mt cu ng kớnh OM v (O,R) Bi 12: Theo gi thit (P) ct (O,R) theo giao tuyn l ng trũn (S) tõm I OI (P), I, M (P) IM OI Tp hp im I l phn mt cu ng kớnh OM nm mt cu (O, R) A OI, B (S) m AB l tip tuyn ca (O,R) Xột ABO : AB OB (do AB l tip tuyn ca (O,R)) OI.OA OB2 R Xột phộp nghch o N cc O phng tớch R2 thỡ ta cú: A = N (I) v (O,R) l mt cu nghch o phộp nghch o N SVTH: Ngụ Th Thy 39 K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy Tp hp A l nh ca phn mt cu ng kớnh MO nm (O,R) qua phộp nghch o N: L phn mt phng i qua giao tuyn ca (O,R) v mt cu ng kớnh OM tr i phn nm mt cu (O,R) Bi 13: Gi s N l phộp nghch o tho iu kin ca bi toỏn, N cú cc l S, phng tớch k Do N bin (O1, R1) thnh chớnh nú k = P S N bin (O2, R2) thnh chớnh nú k = P S P (O1,R1) (O2 ,R ) S (O ,R ) = P S (O ,R ) S nm trờn mt phng ng 1 2 phng ca (O1, R1) v (O2, R2) õy l mt phng qua A v vuụng gúc vi O1O2, tr im A (vỡ P S (O ,R ) = P S (O ,R ) ) 1 2 Bi 14: Gi s O1,R1 tip xỳc vi O ,R ti A , O , R tip xỳc vi O3 ,R ti A1 , O3 ,R tip xỳc vi O1,R1 ti A Theo chng minh bi ta cú cỏc kt qu: Tp hp cỏc im S l giao im ca ba mt phng: + (P1) qua A1 v vuụng gúc vi O2O3 + (P2) qua A2 v vuụng gúc vi O1O3 + (P3) qua A3 v vuụng gúc vi O1O2 Gi d1, d2, d3 ln lt l giao tuyn ca (P1), (P2), (P3) vi mt phng (O1O2O3) thỡ d1 O 2O3 , d O1O3 , d3 O1O Ta chng minh d1, d2, d3 ng quy SVTH: Ngụ Th Thy 40 K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy Tht vy, gi I l giao im ca d1 v d2 Ta cú: I (O ,R ) P I (O ,R ) vỡ I d P I (O ,R ) P I (O ,R ) vỡ I d P I (O , R ) P I (O ,R ) I P P 1 3 1 2 M I O1O 2O3 I d3 = (P3 ) O1O 2O3 Vy d1, d2, d3 ng quy ti I v IA1 = IA2 = IA3 I l tõm ng trũn ngoi tip A1A 2A cựng l tõm ng trũn ni tip tam giỏc O1O2O3 Vy hp cỏc im S l ng thng vuụng gúc vi mt phng (O1O2O3) ti tõm ng trũn ngoi tip A1A 2A3 SVTH: Ngụ Th Thy 41 K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy KT LUN Qua quỏ trỡnh xem xột cỏc vớ d v bi trờn ta cú cỏc kt lun sau: i vi mt bi toỏn qu tớch, thụng thng gii chỳng ta phi chng minh c phn thun v phn o Trong hai phn ny, vic chng minh phn thun khỏ d dng cũn chng minh phn o thng khú khn hn Tuy nhiờn, nh tớnh cht i hp ca phộp nghch o nờn gii bi toỏn qu tớch nh phộp nghch o thỡ c phn thun v phn o ca bi toỏn qu tớch c gii quyt cựng mt lỳc õy l u im ca vic s dng phộp nghch o vo bi toỏn qu tớch Khi gii bi toỏn qu tớch nh phộp nghch o, iu quan trng nht l xut phỏt t gi thuyt ca bi toỏn, t tớnh cht ca phộp nghch o, ta phi la chn c phộp nghch o thớch hp, a bi toỏn ó cho tr thnh bi toỏn n gin hn Do phộp nghch o cú kh nng bin ng trũn thnh ng thng, mt cu thnh mt phng nờn nhng bi toỏn qu tớch cú liờn quan n nhiu ng trũn hay mt cu c chuyn v bi toỏn cú ớt ng trũn, mt cu hn v gii quyt d dng hn SVTH: Ngụ Th Thy 42 K34B SP Toỏn Khúa lun tt nghip GVHD: inh Vn Thy TI LIU THAM KHO [1]: Bựi Vn Bỡnh, Nguyn Vn Vn, Giỏo trỡnh hỡnh hc s cp, 2, HSP H Ni 2, 1993 [2] : Bựi Vn Bỡnh, Bi hỡnh hc s cp, 1, HSP H Ni 2, 1993 [3]: Nguyn Mng Hy, Cỏc phộp bin hỡnh mt phng, NXBGD, 2000 [4]: Thanh Sn, Cỏc phộp bin hỡnh mt phng, NXBGD, 2006 [5]: Thanh Sn, Cỏc phộp bin hỡnh khụng gian, NXBGD, 2006 SVTH: Ngụ Th Thy 43 K34B SP Toỏn [...]... phương trình (**) xác định một phép nghịch đảo trong hệ tọa Đềcác vuông góc, có cực trùng với gốc tọa độ và phương tích là k (k  0) SVTH: Ngô Thị Thủy 11 K34B – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Văn Thủy CHƯƠNG 2: PHÉP NGHỊCH ĐẢO VỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH 2.1 Bài toán quỹ tích Bài toán quỹ tích là bài toán tìm quỹ tích (hay tập hợp) những điểm có tính chất  cho trước Quỹ tích này rất đa dạng: có thể... đổi và khác 0 Quỹ tích D, E là trung trực của đoạn thẳng AB Do đó nếu ta chọn phép nghịch đảo N (C,k) với k  CA.CB thì D’, E’ lần lượt là ảnh của D, E qua phép nghịch đảo đó tức là quỹ tích các điểm D’, E’ là ảnh của đường thẳng d qua phép nghịch đảo đã chọn Giải Ta có: CA.CB  CD.CD'  CE.CE '  k  P PM1.PM 2  PA.PB  k Xét phép nghịch đảo N (C,k) Khi đó, N (D) = D’, N (E) = E’ Quỹ tích D là đường... ngoài với nhau Tìm tập hợp điểm S sao cho phép nghịch đảo cực S biến (O1, R1) thành chính nó, (O2, R2) thành chính nó, (O3, R3) thành chính nó 2.5 Hướng dẫn Bài 1 Xét phép nghịch đảo N (O, R2) Do (O) trực giao với (O') nên tứ giác OAA'O' nội tiếp đường kính OO', (O) là đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo N (O, R2) P O (O')  OO'  R '  R 2 2 2 (O') có ảnh là chính nó qua phép nghịch đảo N... ra quỹ tích của những điểm M có tính chất  là ảnh của quỹ tích những điểm M’ có tính chất  ' qua phép nghịch đảo đã chọn ở trên (Do tính chất đối hợp của phép nghịch đảo) 2.3 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) Hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau tại P cố định trong vòng tròn (C) là đường tròn qua P tiếp xúc với (O) tại A (C') là đường tròn qua P tiếp xúc với (O) tại A’ Tìm quỹ tích. .. thẳng hàng Vậy quỹ tích giao điểm thứ hai của (C) và (C’) là đường tròn đường kính OP Nhận xét: Ta thấy bài toán vẫn được giải nếu ta không sử dụng phép biến hình Tuy nhiên, ta sẽ gặp nhiều khó khăn trong quá trình giải bài toán nếu như ta không dự đoán trước được quỹ tích cần tìm Khó khăn này sẽ được khắc phục nếu ta dùng phép nghịch đảo để tìm quỹ tích đó SVTH: Ngô Thị Thủy 15 K34B – SP Toán Khóa luận... với nhau trong phép nghịch đảo N (O,k), (k  0) là có n siêu cầu đi qua M, N trực giao với siêu cầu nghịch đảo Chứng minh: Ta chứng minh trong E 2 : SVTH: Ngô Thị Thủy 7 K34B – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Văn Thủy +) Điều kiện cần : Giả sử cho phép nghịch đảo N (O,k) (k  0), (C) là đường tròn nghịch đảo và M, M' là 2 điểm tương ứng với nhau trong phép nghịch đảo trên Ta phải chứng minh... liên hợp với nhau đối với đường tròn (O)  Tập hợp điểm I là đường đối cực d của điểm A đối với đường tròn (O)  Tập hợp điểm B là ảnh của d qua phép nghịch đảo N (A,k) (AMQ), (ANP) qua phép nghịch đảo N (A,k) lần lượt biến thành các đường thẳng NP, MQ Gọi J là giao điểm của NP và MQ thì J và C là hai diểm tương ứng với nhau trong phép nghịch đảo N (A,k) Mặt khác, A và J là hai điểm liên hợp đối với đường... chính nó Nhận xét: Ta đã biết siêu cầu (S) có ảnh là chính nó trong phép nghịch đảo N có cực O, phương tích k nếu phương tích nghịch đảo k bằng phương tích của cực  (S) nghịch đảo O đối với siêu cầu (S): k = P O Vận dụng điều này để giải quyết bài toán Giải Gọi N là phép nghịch đảo có cực là S, phương tích k (k  , k  0)  S (S ) = k N biến (S )= (O ,R ) thính chính nó  P  S =k (S )  Từ (1), (2)... giải bài toán quỹ tích ta cần tiến hành theo hai bước: Bước 1 (phần thuận): Chứng minh những điểm có tính chất  thuộc hình (H) Bước 2 (phần đảo) : Chứng minh mọi điểm thuộc hình (H) đều có tính chất  2.2 Phương pháp chung để giải bài toán quỹ tích Để tìm tập hợp những điểm M có tính chất  ta chọn phép nghịch đảo thích hợp biến mỗi điểm M có tính chất  thành điểm M’ có tính chất  ' và quỹ tích. .. đường tròn (C) và (C') Với cách giải tương tự như trên, ta cũng tìm được quỹ tích M Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách chọn phép nghịch đảo cực B phương tích BA2 Bài 3 Giả sử (C) có tâm I, bán kính R (C1), (C2) là hai đường tròn cùng đi qua A, B tiếp xúc với (C) và trực giao với nhau, P, Q thứ tự là các tiếp điểm của (C1) (C2) với (C) SVTH: Ngô Thị Thủy 31 K34B – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp ... hợp phép nghịch đảo nên giải toán quỹ tích nhờ phép nghịch đảo phần thuận phần đảo toán quỹ tích giải lúc Đây ưu điểm việc sử dụng phép nghịch đảo vào toán quỹ tích Khi giải toán quỹ tích nhờ phép. .. Thủy CHƯƠNG 2: PHÉP NGHỊCH ĐẢO VỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH 2.1 Bài toán quỹ tích Bài toán quỹ tích toán tìm quỹ tích (hay tập hợp) điểm có tính chất  cho trước Quỹ tích đa dạng: tập rỗng, tập hữu... 1.4 Phép nghịch đảo hệ tọa độ Đềcác vuông góc 10 CHƯƠNG 2: PHÉP NGHỊCH ĐẢO VỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH 12 2.1 Bài toán quỹ tích 12 2.2 Phương pháp chung để giải toán quỹ tích