Phép đồng dạng với bài toán chứng minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN _ _ _ _***_ _ _ _ NGUYỄN THỊ MAI PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Hà Nội - 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN _ _ _ _***_ _ _ _ NGUYỄN THỊ MAI PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ĐINH VĂN THỦY Hà Nội - 2012 Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy, cô giáo tổ hình học, thầy cô khoa Toán tạo điều kiện giúp đỡ em bốn năm học em làm khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy ĐINH VĂN THỦY, người trực tiếp hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc giúp em hoàn thành khóa luận Do lần làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thời gian lực thân hạn chế nên có nhiều cố gắng song không tránh khỏi nhiều thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Mai Nguyễn Thị Mai K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan kết nghiên cứu đề tài nỗ lực, cố gắng thân em hướng dẫn bảo nhiệt tình thầy ĐINH VĂN THỦY giúp đỡ nhiệt tình bạn khoa Toán Đề tài nghiên cứu em không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu có không trung thực em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Mai Nguyễn Thị Mai K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT §1: Một số kiến thức chuẩn bị vấn đề định hướng Mặt phẳng định hướng Góc định hướng hai tia 2.1 Định nghĩa 2.2 Nhận xét 2.3 Tập giá trị 2.4 Hệ thức Chales Góc định hướng hai đường thẳng 3.1 Định nghĩa 3.2 Nhận xét 3.3 Tập giá trị 3.4 Hệ thức Chales §2: Sơ lược phép biến hình mặt phẳng Phép biến hình khái niệm liên quan 1.1 Định nghĩa 1.2 Phép biến hình đảo ngược 1.3 Phép biến hình tích 1.4 Phép biến hình đối hợp Nguyễn Thị Mai K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp 1.5 Điểm bất động Hình kép Hình bất động Phép biến hình aphin 2.1 Định nghĩa: 2.2 Sự xác định phép biến hình aphin 2.3 Phân loại Phép biến hình đẳng cự 3.1 Định nghĩa: 3.2 Tính chất 3.3 Sự xác định phép đẳng cự 3.4 Phân loại 3.5 Các phép dời hình đặc biệt 3.5.1 Các định nghĩa 3.5.2 Một số tính chất §3 Các phép đồng dạng mặt phẳng Phép đồng dạng 1.1 Định nghĩa 1.2 Các tính chất phép đồng dạng 10 1.3 Sự xác định phép đồng dạng mặt phẳng 10 1.4 Phân loại 10 1.5 Sự đồng dạng hình 11 1.6 Dạng tắc phép đồng dạng 12 Phép vị tự 13 2.1 Định nghĩa 13 2.2 Một số tính chất 13 Chương II: ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 15 §1 GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẰNG PHÉP ĐỒNG DẠNG 15 Nguyễn Thị Mai K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp Khái niệm toán chứng minh 15 Giải toán chứng minh phép đồng dạng 15 §2 CÁC VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH 16 Ứng dụng phép đồng dạng thuận vào toán chứng minh 16 Ứng dụng phép đồng dạng nghịch vào toán chứng minh 31 Ứng dụng phép vị tự vào toán chứng minh 36 CHƯƠNG III: HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 42 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 Nguyễn Thị Mai K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong nhà trường trung học phổ thông hình học môn học khó học sinh tính chặt chẽ, tính logic tính trừu tượng cao môn học khác toán học Trong môn hình học sơ cấp, có nhiều toán rắc rối phức tạp khó giải phương pháp thông thường như: phương pháp vecto, phương pháp tọa độ hay phương pháp tổng hợp…do mà người ta đưa công cụ phép biến hình Ngoài ra, dựa vào toán hình học cụ thể với phép biến hình có khả sáng tạo toán khác việc làm mang lại nhiều hứng thú việc tìm tòi nghiên cứu hình học Hơn có nhiều toán mà việc sử dụng phép biến hình như: phép đối xứng, phép tịnh tiến, phép quay, phép vị tự chưa có lời giải ngắn gọn mà ta phải sử dụng đến tích hai phép biến hình giải toán cách hiệu Do khuôn khổ khóa luận tốt nghiệp thời gian nghiên cứu hạn chế nên vào tìm hiểu trình bày kiến thức phép biến hình đồng dạng ứng dụng việc giải lớp toán hình học toán chứng minh mặt phẳng Đó lí chọn đề tài: “ Phép đồng dạng với toán chứng minh ’’ Nguyễn Thị Mai -1- K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức có liên quan tới phép đồng dạng kiến thức phép đồng dạng với việc trình bày sở lý thuyết phương pháp giải toán chứng minh hình học phẳng phép đồng dạng Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa tập luyện tập thể phương pháp sử dụng phép đồng dạng để giải lớp toán chứng minh Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo tài liệu khác có liên quan đến nội dung đề tài Nguyễn Thị Mai -2- K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT §1: Một số kiến thức chuẩn bị vấn đề định hướng Mặt phẳng định hướng Trên mặt phẳng cho điểm O xung quanh O có hai chiều quay Ta gọi chiều ngược với chiều kim đồng hồ chiều dương, chiều ngược lại chiều âm Khi ta nói mặt phẳng định hướng Góc định hướng hai tia 2.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng định hướng cho hai tia Ox, Oy.Góc định hướng hai tia: tia đầu Ox, tia cuối Oy kí hiệu (Ox, Oy) góc thu quay Ox xung quanh O tới trùng tia cuối Oy 2.2 Nhận xét Góc định hướng (Ox, Oy) không xác định Quy ước giá trị (Ox, Oy) dương âm tùy theo chiều quay dương âm mặt phẳng 2.3 Tập giá trị Ta gọi φ giá trị (hoặc đầu) góc định hướng giá trị Ox, Oy thu quay Ox theo góc hình học nhỏ tới trùng Oy (Ox, Oy) = φ + k2л ( k  Z ) Nguyễn Thị Mai -3- K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp Nhận xét: Trong toán điều quan trọng phải chứng minh phép đồng dạng Z1 = Z(O, 600, 2): M  E Z2 = Z(O, - 600, 2): N  D Ứng dụng phép đồng dạng nghịch vào toán chứng minh Các ví dụ hầu hết sử dụng phép đồng dạng thuận để giải toán Sau em xin đưa số ví dụ có vận dụng phép đồng dạng nghịch để giải toán Ví dụ 9: Cho hình thang ABCD (AB// CD) có hai đường chéo AC, BD cắt O cho góc AOB  1200 Giả sử Ox đường phân giác góc AOB A’, B’ hai điểm đối xứng A, B qua Ox, cho biết BDB '  600 Chứng minh rằng: a Tam giác OA’C b Hình thang ABCD hình bình hành Lời giải x B’ A B A’ O D Nguyễn Thị Mai C -31- K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp Theo định lý Thales ta có: Đặt k  OA OB OB OD    OC OD OA OC OB OD  k OA OC Ta có ĐOx: A  A’, B  B’ nên suy OA = OA’, OB = OB’ Từ phép đồng dạng nghịch: Z = VOk ĐOx: A  B C D A’  B’ Suy Z: ACA '  BDB '  ACA '  BDB ' Mà BDB '  600 nên ACA '  600 Hay OCA '  600 Mặt khác AOB  1200 (giả thiết) nên BOC  600 Từ tam giác OCA’ có OCA '  600  nên ∆OCA’ tam giác đều.(đpcm)  A ' OC  60 a Theo câu a tam giác OCA’ nên OA’ = OC Mà OA = OA’ OA AB  OC CD  AB OA ' OC     AB  CD CD OC OC Do hình thang ABCD (AB//CD) có AB = CD nên hình bình hành.(đpcm) Ví dụ 10: Trong phẳng cho hai tam giác ABC A’B’C hướng cho A’, B’ không trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng A’B, AB’, I, J Nguyễn Thị Mai -32- K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp trung điểm đoạn thẳng OA’, OB’ Chứng minh rằng: OIN  OJM Lời giải B’ C J O’ N I A’ O M A B Để chứng minh hai góc OIN OJM ta chứng minh hai tam giác OIN OJM đồng dạng nghịch Thông thường ta nghĩ đến việc tìm phép đồng dạng nghịch biến tam giác thành tam giác Nhưng ta phải chứng minh giántiếp cách dựng thêm hình phụ Gọi O’ điểm thuộc AO AO = OO’, ta có (CO, CO ')  600 60 Xét phép đồng dạng Z1 = VA QC , ta có: Q V A '   B '  N Z1: Q V O   O '  O Suy O điểm bất động phép đồng dạng Z1 ta có: Nguyễn Thị Mai -33- K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp  ON   mà : OI  OA ',  OA ' 2 (OA ', ON )  600  OI  ON nên  (OI , ON )  60  tam giác OIN (1) Tương tự với phép đồng dạng Z2 = VB QC 600 ta có O điểm bất động Z2: B’  M đó:  OM   mà : OJ  OB '  OB ' 2 (OB ', OM )  600  OM  OJ nên :  (OJ, OM )  60  tam giác OJM (2) Từ (1), (2) suy OIN  OJM = 600 Ví dụ 11: Cho tứ giác nội tiếp ABCD có AB  CD = E, AD  BC=F Chứng minh phân giác góc E, F cắt điểm nằm đường nối trung điểm hai đường chéo tứ giác Lời giải Nguyễn Thị Mai -34- K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp A v J u B P I E C D Gọi Eu, Fv phân giác góc E, F ta có tam giác EAC EDB đồng dạng có góc E chung BAC  BDC ( chắn cung BC) mà hai tam giác ngược hướng nên tồn phép đồng dạng nghịch Z1 = Z( E, Eu, EC ) ta có: EB Z1: B  C D A  Z1: I  J Suy Eu phân giác góc IE J & EI EC  EJ EB Gọi P = Eu  IJ Theo tính chất đường phân giác có: PI EI EC AC    (1) PJ EJ EB BD Tương tự ta có tam giác FDB FCA đồng dạng ngược hướng nên có phép đồng dạng nghịch Z2 = Z ( F, Fv, Nguyễn Thị Mai -35- FC ) ta có FD K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp Z2: D  C B A I J Suy Fv phân giác góc IFJ Khi gọi Q giao điểm Fv IJ ta có: QI FI FC AC    (2) QJ FJ FB BD Từ (1), (2) suy PI QI  hay P  Q PJ QJ Vậy Eu, Fv cắt P thuộc IJ (điều phải chứng minh) Nhận xét: + Đối với toán cần tìm tam giác đồng dạng quan tâm tới hướng chúng + Đối với toán ta có kết tương tự đường phân giác Ứng dụng phép vị tự vào toán chứng minh Ví dụ 12: Cho tam giác ABC M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB Gọi H, G, O trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng Lời giải Theo giả thiết, tam giác MNP ảnh tam giác ABC phép vị tự tâm G, tỉ số vị tự k = Nguyễn Thị Mai 1 Ta có: -36- K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp A N P O I H G B C M GM GN GP 1    GA GB GC Mặt khác H trực tâm tam giác ABC O trực tâm tam giác MNP nên O ảnh H phép vị tự tâm G, tỉ số k = 1  1  Khi ta có GO  GH Vậy ba điểm G, H, O thẳng hàng Chú ý: - Nếu I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP ta có:  1  GI  GO Vậy bốn điểm G, H, O, I thuộc đường thẳng mang tên đường thẳng Ơle Theo ta có V(O, 1 ): H  O; O  I Suy I trung điểm đoạn HO, G tâm vị tự nghịch đường tròn tâm O đường tròn tâm I Vậy hai đường tròn có tâm vị tự thuận nằm đường thẳng OI tâm vị tự Nguyễn Thị Mai -37- K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp điểm H Do đó: HI  suy bốn điểm H, G, O, I làm thành HO hàng điểm điều hòa nghĩa là: HI GI  hay (IOHG) = - HO GO Ví dụ 13: Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt hai điểm A, B, tiếp tuyến chung MN ( M (O), N  (O’)) cắt đường thẳng OO’ điểm P Kẻ đường kính MM’ với OO’, gọi I giao điểm MM’ với OO’ Chứng minh góc IAP vuông Lời giải M N A O C O’ I P C1 B M1 Do OMP  O ' NP  900 nên OM // O’N Đặt k  PO ' PN O ' N R ' R'    , ta có R R PO PM OM Do VPk: O  O’; (O)  (O’) M N Do OM1 // O’N nên Nguyễn Thị Mai IO ' R '  = k (1) IO R -38- K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp Mặt khác, nối PA cắt (O’) điểm thứ hai C Do A  (O), C  (O’) nên P, C, A thẳng hàng Hơn đoạn thẳng PA nằm (O), đoạn PC nằm (O’) nên VPk: A  C Suy OA // O’C Kẻ đường kính CC1, ta có O’C1 // OA Gọi I’ giao điểm đoạn OO’ với AC1, ta có I ' O ' O ' C1 R '    k (2) R I 'O OA Từ (1), (2) suy I’ ≡ I hay góc IAP nội tiếp chắn đường kính CC1, ta có đpcm Ví dụ 14: Mọi điểm mặt phẳng tô hai màu đỏ xanh Chứng tỏ tồn tam giác có đỉnh trọng tâm tô màu Lời giải A’ A G B C B’ C’ Trước hết tìm tam giác ABC với ba đỉnh màu trái lại điểm đỏ phải nằm đường thẳng, điểm xanh phải nằm đường thẳng, trái với giả thiết điểm mặt phẳng tô màu Nguyễn Thị Mai -39- K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp Không tính tổng quát, giả sử màu ba điểm A, B, C xanh Nếu trọng tâm G tam giác ABC xanh tam giác ABC tam giác cần tìm Nếu G đỏ ta tiến hành phép vị tự VG4: A  A’; B  B’; C  C’ Nếu ba điểm A’, B’, C’ đỏ ∆A’B’C’ tam giác cần tìm Ngược lại, ba đỉnh A’, B’, C’ có đỉnh xanh, A’ chẳng hạn, ta có ∆A’BC tam giác cần tìm Vậy toán chứng minh xong  Nhận xét chung + Đối với toán yêu cầu chứng minh tính chất hình, ta quy việc chứng minh hình đồng dạng với Tùy điều kiện mà ta chọn phép đồng dạng thích hợp + Đôi ta không phép đồng dạng Z: H  H’, ta chứng minh gián tiếp cách dựng thêm hình phụ phép đồng dạng: Z1: H  H1, Z2:H’  H2, Z3: H1  H2 Và theo tính chất bắc cầu ta có H đồng dạng với H’ + Có toán mà việc dùng trực tiếp định nghĩa tính chất phép đồng dạng suy kết Bài tập luyện tập Bài 1: Cho tam giác vuông ABC A đuường cao AD, điểm I, J theo thứ tự chia BA, AC theo tỉ số k Chứng minh góc IDJ vuông Bài 2: Lấy hai cạnh AB AD hình vuông ABCD hai điểm M, N cho AM = AN Qua A dựng AP vuông góc với BN P Chứng minh góc CDM vuông Nguyễn Thị Mai -40- K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp Bài 3: Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt A, B Các điểm M, M’ thứ tự di động (O), (O’) cho (OA, OM )  (O ' A ', O ' M ') Chứng minh a Hai tam giác AMM’ tam giác AOO’ đồng dạng b Ba điểm M, M’, B thẳng hàng c Trung trực đoạn MM’ qua điểm cố định Bài 4: Từ đỉnh tứ giác lồi hạ đường vuông góc xuống đường chéo Chứng minh tứ giác tạo chân đường vuông góc đồng dạng với tứ giác ban đầu Bài 5: Giả sử I, J, K trung điểm cạnh BC, CA, AB tương ứng tam giác ABC Gọi M, N, P đỉnh tam giác vuông cân BCM, CAN, ABP dựng phía tam giác ABC Tìm ảnh vecto IN qua Z(C, 2, 450 ) Z (B, , 450 ) , từ so sánh hai tam giác BMC, MCP Chứng minh AM, BN, CP đồng quy Bài 6: Cho tứ giác lồi ABCD Trên cạnh AB, CD ta dựng phía ta dựng phía tam giác vuông cân MAB (MA = MB), NCD (NC = ND) Trên cạnh BC, DA dựng phía tam giác vuông cân PBC ( PB = PC), QAD (QA = QD) Chứng minh MN = PQ Nguyễn Thị Mai -41- K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG III: HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Bài 1: Đặt k  DA , để ý phép đồng dạng Z (D, -900, k): B DB  A; A  C; BA  AC; I thuộc vào BA biến thành I’ thuộc vào AC cho I’ chia AC theo tỉ số IB/IA, hay I’ trùng J Vậy Z: I  J có góc IDJ 900 Bài 2: Gọi Q giao điểm AP BC Ta thấy tam giác PAN, PAB, PBQ đồng dạng hướng Suy phép đồng dạng thuận Z( P, -900, PA/PN), ta có: Z: N  A; A  B; B  Q; M  M’  M '  BQ    BM ' AB BC  AM  AN  AM  M '  C  PM '  PC Bài 3: a Đặt   ( AO, AO '), k  AO ' xét phép đồng dạng AO Z1 = Z(A,, k) b Gọi E, F trung điểm MM’, OO’ Đặt   ( AO, AM ) Hai tam giác AOO’ tam giác AMM’ đồng dạng chiều Xét phép đồng dạng Z2 = Z (A, , AM/AO) Z2(F) = E Xét phép đồng dạng Z3= Z (A, , AF/AO),   ( AO, AF)  ( AM , AE ) Trên sở có kết toán Bài 4: Tìm ảnh I, N qua Z (C , 2, 45 )  Z1 Nguyễn Thị Mai -42- K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp Tìm ảnh M, A qua Z ( B, / 2, 45 )  Z   Z Z ( Khi có: IN )  IP Ta tìm ảnh M, N, B qua Q(I, 900) C, P, M Suy PC = MN, PC  MN Hoàn toàn tương tự ta nhận AM = PN, AM  PN, BN = PM, BN  PM Ta có điều phải chứng minh Bài 5: Ta cần phép đồng dạng nghịch Z: ABCD  A1B1C1D1 Gọi O giao điểm AC BD, giả sử AOB    90 Ta gọi d đường phân giác góc AOB Ta có phép đồng dạng nghịch Z( O, d, cos) Z: A  A1 B  B1 C  C1 D  D1 Từ suy điều phải chứng minh Bài 6: Phép đồng dạng Z1  VB QB 45 : M  A, P  A,  AC  MP Phép đồng dạng Z  VD QD 45 : N  C , Q  A,  AC  NP Dựa vào ta suy điều phải chứng minh Nguyễn Thị Mai -43- K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Trong khóa luận ″ Phép đồng dạng với toán chứng minh ”, đưa khái niệm phép biến hình mặt phẳng sâu vào xét phép đồng dạng mặt phẳng, kết nghiên cứu số vấn đề: số định nghĩa, định lý phép biến hình có liên quan phép đồng dạng, toán vận dụng phép đồng dạng để chứng minh toán Do thời gian hoàn thành nghiên cứu lực hạn chế nên khóa luận đạt số kết định Trong khóa luận em chủ yếu sâu vào xét toán phẳng chưa vào tìm hiểu toán không gian nên đề tài tiếp tục nghiên cứu sau Em mong đóng góp ý kiến quý thầy cô toàn thể bạn khoa để vấn đề nêu khóa luận đầy đủ hoàn thiện Đồng thời em có thêm kinh nghiệm nghiên cứu Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Mai Nguyễn Thị Mai -44- K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Văn Bình, Nguyễn Văn Vạn, Giáo trình hình học sơ cấp, NXB Hà Nội 1993 [2] Bùi Văn Bình, Hình học sơ cấp, NXB Hà Nội 1993 [3] Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB GD 2004 [4] Nguyễn Đăng Phất, Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải toán Hình học, NXB GD 2005 [5] Vũ Dương Thụy (chủ biên), 40 năm Olympic toán học quốc tế (Tập 1), NXB GD 2001 [6] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Đăng Phất, Đỗ Thanh Sơn, Hình học số vấn đề liên quan, NXB GD 2008 Nguyễn Thị Mai -45- K34A- Toán [...]... phép đồng dạng tỉ số k = 1 - Phép đảo ngược của phép đồng dạng tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số 1/k - Tích của một phép đồng dạng với tỉ số k1 với phép đồng dạng tỉ số k2 là phép đồng dạng với tỉ số k1.k2 1.5 Sự đồng dạng của các hình a Định nghĩa 1: Nếu hình H’ là ảnh của hình H qua phép đồng dạng thì H’ là hình đồng dạng với hình H, tỉ số đồng dạng k b Nhận xét: + Hai đa giác A1A2…An và B1B2…Bn là đồng. .. biết chắc một bài toán cần giải có sử dụng được phép đồng dạng thì chúng ta cần phải cân nhắc lựa chọn phép đồng dạng nghịch hay phép đồng dạng thuận sao cho hợp lý Nguyễn Thị Mai -15- K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp §2 CÁC VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH Thông thường đối với những bài toán sử dụng phép đồng dạng ta cần xác định xem bài toán đó sử dụng được phép đồng dạng nào đã... giác đó đồng dạng với tỉ số đồng dạng bằng |k| + Góc xSy thành góc x’S’y’ và hai góc đó bằng nhau + Đường tròn (I, R) thành (I’, R’), R’ = |k|.R Nguyễn Thị Mai -14- K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp Chương II: ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG §1 GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẰNG PHÉP ĐỒNG DẠNG 1 Khái niệm bài toán chứng minh Bài toán chứng minh là bài toán cần... xác định phép đồng dạng trong mặt phẳng a Định lý: Trong mặt phẳng một phép đồng dạng hoàn toàn xác định bởi một cặp tam giác đồng dạng tương ứng b Hệ quả: Phép đồng dạng cũng là một phép aphin ( phép aphin đặc biệt ) 1.4 Phân loại Có hai loại phép đồng dạng: a Phép đồng dạng được gọi là phép đồng dạng thuận nếu nó là phép aphin loại 1 Phép đồng dạng thuận có thể phân tích thành tích của một phép dời... giải bài toán chứng minh thông thường ta xuất phát từ giả thiết A hay mệnh đề đúng đã biết, bằng lập luận chặt chẽ và suy diễn logic để dẫn tới kết luận B 2 Giải bài toán chứng minh bằng phép đồng dạng Gồm 3 bước chính sau: + Lựa chọn phép đồng dạng + Thực hiện phép đồng dạng + Rút ra kết luận của bài toán Đây là những bước chính khi biết chắc rằng bài toán cần giải có sử dụng được phép đồng dạng Do... -11- K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp 1.6 Dạng chính tắc của phép đồng dạng a Định lý 1: - Trong mặt phẳng, tích của một phép vị tự và một phép dời hình là phép đồng dạng thuận - Trong mặt phẳng tích của một phép vị tự và một phép phản chiếu là phép đồng dạng nghịch Ngược lại trong mặt phẳng, một phép đồng dạng có thể phân tích bằng vô số cách thành tích của một phép vị tự với một phép dời hoặc phép phản... phép dời hình thuận và một phép vị tự hoặc tích của một phép vị và một phép dời hình thuận b Phép đồng dạng được gọi là phép đồng dạng nghịch nếu nó là phép aphin loại 2 Phép đồng dạng nghịch có thể phân tích thành tích của phép phản chiếu và phép vị tự hoặc ngược lại c Nhận xét: - Từ định nghĩa trên ta suy ra phép đồng dạng thuận không đổi hướng cuả mặt phẳng còn phép đồng dạng nghịch đổi hướng mặt... sử dụng phép đồng dạng với tâm khác nhau, chứng tỏ vai trò như nhau của các đỉnh A, B, C, D trong việc chọn làm tâm của các phép đồng dạng thích hợp Chú ý tỷ số đồng dạng nhỏ hơn 1 3) Qua việc sử dụng phép đồng dạng ở trên ta hiểu rõ hơn việc chọn điểm phụ trong cách chứng minh thông thường của bài toán này Ví dụ 7: Cho hai tam giác ABC và A1B1C1 đồng dạng thuận nhưng không bằng nhau Chứng minh rằng... thực dương cho trước) được gọi là phép đồng dạng tỉ số k Kí hiệu Zk Nguyễn Thị Mai -9- K34A- Toán Khóa luận tốt nghiệp 1.2 Các tính chất cơ bản của phép đồng dạng - Phép đồng dạng là phép aphin - Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn của góc phẳng - Trong mặt phẳng, phép đồng dạng biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng k lần bán kính đường tròn ban đầu - Phép đồng dạng biến một đường thẳng thành một... thuộc phép đồng dạng là thuận hay nghịch b Định lý 2: - Trong mặt phẳng, một phép đồng dạng thuận có thể phân tích thành tích của một phép quay và một phép vị tự với tâm quay và tâm vị tự tùng nhau, tỉ số đồng dạng bằng tỉ số vị tự - Trong mặt phẳng, một phép đồng dạng nghịch có thể phân tích thành tích của một phép phản chiếu và một phép vị tự có tâm là điểm bất động của phép phản chiếu, tỉ số đồng dạng ... toán chứng minh phép đồng dạng 15 §2 CÁC VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH 16 Ứng dụng phép đồng dạng thuận vào toán chứng minh 16 Ứng dụng phép đồng dạng. .. II: ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG §1 GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẰNG PHÉP ĐỒNG DẠNG Khái niệm toán chứng minh Bài toán chứng minh toán cần mệnh đề... Tích phép đồng dạng với tỉ số k1 với phép đồng dạng tỉ số k2 phép đồng dạng với tỉ số k1.k2 1.5 Sự đồng dạng hình a Định nghĩa 1: Nếu hình H’ ảnh hình H qua phép đồng dạng H’ hình đồng dạng với