Phép đồng dạng với bài toán chứng minh

13 Chương II: ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG .... Do đó trong khuôn khổ của một khóa luận tốt nghiệp và do thời gian nghiên cứu hạn chế n

_ _ _ _***_ _ _ _

NGUYỄN THỊ MAI

PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Hà Nội - 2012

KHOA TOÁN

_ _ _ _***_ _ _ _

NGUYỄN THỊ MAI

PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học ĐINH VĂN THỦY

Hà Nội - 2012

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy, cô giáo trong tổ hình học, các thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong bốn năm học và trong khi em làm khóa luận

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy ĐINH VĂN

THỦY, người đã trực tiếp hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc giúp em

hoàn thành khóa luận này

Do lần đầu tiên làm quen với việc nghiên cứu khoa học, hơn nữa do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên mặc dù đã có nhiều

cố gắng song không tránh khỏi nhiều thiếu sót Em rất mong nhận được

sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Thị Mai

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong đề tài này là do sự nỗ lực, cố gắng của chính bản thân em dưới sự hướng dẫn chỉ bảo nhiệt

tình của thầy ĐINH VĂN THỦY và sự giúp đỡ nhiệt tình của các bạn

trong khoa Toán Đề tài nghiên cứu của em không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác

Nếu có gì không trung thực em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Thị Mai

MỤC LỤC Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Phương pháp nghiên cứu 2

NỘI DUNG 3

Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3

§1: Một số kiến thức chuẩn bị về vấn đề định hướng 3

1 Mặt phẳng định hướng 3

2 Góc định hướng giữa hai tia 3

2.1 Định nghĩa 3

2.2 Nhận xét 3

2.3 Tập giá trị 3

2.4 Hệ thức Chales 4

3 Góc định hướng giữa hai đường thẳng 4

3.1 Định nghĩa 4

3.2 Nhận xét 4

3.3 Tập giá trị 4

3.4 Hệ thức Chales 5

§2: Sơ lược về các phép biến hình trong mặt phẳng 5

1 Phép biến hình và các khái niệm liên quan 5

1.1 Định nghĩa 5

1.2 Phép biến hình đảo ngược 5

1.3 Phép biến hình tích 5

1.4 Phép biến hình đối hợp 6

1.5 Điểm bất động Hình kép Hình bất động 6

2 Phép biến hình aphin 6

2.1 Định nghĩa: 6

2.2 Sự xác định phép biến hình aphin 7

2.3 Phân loại 7

3 Phép biến hình đẳng cự 7

3.1 Định nghĩa: 7

3.2 Tính chất 7

3.3 Sự xác định phép đẳng cự 7

3.4 Phân loại 7

3.5 Các phép dời hình đặc biệt 8

3.5.1 Các định nghĩa 8

3.5.2 Một số tính chất 9

§3 Các phép đồng dạng trong mặt phẳng 9

1 Phép đồng dạng 9

1.1 Định nghĩa 9

1.2 Các tính chất cơ bản của phép đồng dạng 10

1.3 Sự xác định phép đồng dạng trong mặt phẳng 10

1.4 Phân loại 10

1.5 Sự đồng dạng của các hình 11

1.6 Dạng chính tắc của phép đồng dạng 12

2 Phép vị tự 13

2.1 Định nghĩa 13

2.2 Một số tính chất 13

Chương II: ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 15

§1 GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẰNG PHÉP ĐỒNG DẠNG 15

1 Khái niệm bài toán chứng minh 15

2 Giải bài toán chứng minh bằng phép đồng dạng 15

§2 CÁC VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH 16

1 Ứng dụng phép đồng dạng thuận vào bài toán chứng minh 16

2 Ứng dụng phép đồng dạng nghịch vào bài toán chứng minh 31

3 Ứng dụng phép vị tự vào bài toán chứng minh 36

CHƯƠNG III: HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 42

KẾT LUẬN 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong nhà trường trung học phổ thông hình học luôn là môn học khó đối với học sinh bởi tính chặt chẽ, tính logic và tính trừu tượng cao hơn các môn học khác của toán học

Trong môn hình học sơ cấp, có rất nhiều bài toán rắc rối phức tạp khó

có thể giải được bằng các phương pháp thông thường như: phương pháp vecto, phương pháp tọa độ hay phương pháp tổng hợp…do đó mà người ta đã đưa ra công cụ mới đó là phép biến hình Ngoài ra, có thể dựa vào bài toán hình học cụ thể nào đó với phép biến hình chúng ta còn có khả năng sáng tạo

ra các bài toán mới khác nhau và đây là việc làm mang lại nhiều hứng thú trong việc tìm tòi nghiên cứu hình học Hơn nữa có nhiều bài toán mà việc sử dụng một phép biến hình như: phép đối xứng, phép tịnh tiến, phép quay, phép

vị tự vẫn chưa có lời giải đúng và ngắn gọn nhất mà ta phải sử dụng đến tích của hai phép biến hình mới giải quyết được bài toán một cách hiệu quả

Do đó trong khuôn khổ của một khóa luận tốt nghiệp và do thời gian nghiên cứu hạn chế nên tôi đã đi vào tìm hiểu và trình bày những kiến thức

cơ bản về phép biến hình đồng dạng và ứng dụng của nó trong việc giải một lớp bài toán của hình học là bài toán chứng minh trong mặt phẳng

Đó chính là lí do tôi chọn đề tài:

“ Phép đồng dạng với bài toán chứng minh ’’

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các kiến thức có liên quan tới phép đồng dạng và các kiến thức về phép đồng dạng cùng với việc trình bày cơ sở lý thuyết cùng phương pháp giải bài toán chứng minh trong hình học phẳng bằng phép đồng dạng

Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa và bài tập luyện tập thể hiện phương pháp sử dụng phép đồng dạng để giải lớp bài toán chứng minh

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo và các tài liệu khác

có liên quan đến nội dung đề tài

NỘI DUNG

Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

§1: Một số kiến thức chuẩn bị về vấn đề định hướng

1 Mặt phẳng định hướng

Trên mặt phẳng cho điểm O khi đó xung quanh O có hai chiều quay Ta gọi chiều ngược với chiều kim đồng hồ là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm Khi đó ta nói mặt phẳng đã được định hướng

2 Góc định hướng giữa hai tia

2.1 Định nghĩa

Trong mặt phẳng định hướng cho hai tia Ox, Oy.Góc định hướng giữa hai tia: tia đầu là Ox, tia cuối là Oy được kí hiệu (Ox, Oy) là góc thu được khi quay Ox xung quanh O tới trùng tia cuối Oy

2.2 Nhận xét

Góc định hướng (Ox, Oy) không xác định duy nhất

Quy ước giá trị của (Ox, Oy) dương hoặc âm tùy theo chiều quay dương hoặc âm của mặt phẳng

2.3 Tập giá trị

Ta gọi φ là giá trị chính (hoặc đầu) của góc định hướng là giá trị của Ox,

Oy thu được khi quay Ox theo góc hình học nhỏ nhất tới trùng Oy

(Ox, Oy) = φ + k2л ( k  Z )

Trong mặt phẳng định hướng cho hai đường thẳng a, b Khi đó

 Nếu a  b = O   a b , – là góc định hướng giữa hai đường thẳng có đường thẳng đầu là a, đường thẳng cuối là b   a b , là góc thu được khi quay

a xung quanh O tới trùng đường thẳng b

 Nếu a, b cùng phương thì   a b , = kл ( k  Z)

3.2 Nhận xét

Góc định hướng   a b , không xác định duy nhất, có vô số giá trị Quy ước giá trị của   a b , dương hoặc âm theo đường thẳng a quay quanh O tới b theo chiều âm hay dương của mặt phẳng

3.3 Tập giá trị

Nếu góc α là giá trị của góc định hướng   a b , khi quay a theo góc hình học nhỏ nhất tới trùng b:

 a b , = α + kл ( k  Z)

3.4 Hệ thức Chales

Trong mặt phẳng định hướng cho các đường thẳng a1, a2,…, an khi

đó ta có hệ thức Chales:

( , a a1 2) (  a a2, 3) (   an1, an)  ( , a a1 n)  k  ( k  Z)

§2: Sơ lược về các phép biến hình trong mặt phẳng

1 Phép biến hình và các khái niệm liên quan

Ta kí hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là P khi đó mỗi hình

H bất kỳ của mặt phẳng đều là một tập con của P kí hiệu là H  P

1.1 Định nghĩa

Một song ánh f: P  P từ tập điểm của P lên chính nó được gọi là phép biến hình của mặt phẳng

1.2 Phép biến hình đảo ngược

Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho phép biến hình f: M  M’ ta có f(M) = M’ Khi đó phép biến hình biến điểm M’ thành điểm M gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f đã cho

Phép biến hình biến M thành M’ được gọi là tích của hai phép biến hình f và g theo thứ tự đó

 Hình H được gọi là hình kép đối với phép biến hình f nếu f(H) = H

 Hình H được gọi là hình bất động đối với phép biến hình f nếu mọi

điểm của H đều bất động

3.1 Định nghĩa: Phép biến hình của mặt phẳng bảo tồn khoảng cách giữa

hai điểm được gọi là phép biến hình đẳng cự

3.2 Tính chất

- Phép đẳng cự là phép biến hình aphin

- Phép đẳng cự bảo toàn độ lớn của góc phẳng

- Phép đẳng cự biến đường tròn thành đường tròn bằng nó

3.3 Sự xác định phép đẳng cự

Trong mặt phẳng một phép đẳng cự hoàn toàn được xác định bởi hai tam giác bằng nhau

3.4 Phân loại

Phép đẳng cự được gọi là phép dời nếu nó là phép aphin loại 1

Phép đẳng cự được gọi là phép phản chiếu nếu nó là phép aphin loại 2

 Chú ý: Một phép dời hay phép phản chiếu đều biến một đường thẳng

thành một đường thẳng, một tia thành một tia, một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó, một góc thành một góc bằng với góc đã cho ( cùng hướng nếu

là phép dời hình, ngược hướng nếu là phản chiếu)

3.5 Các phép dời hình đặc biệt

3.5.1 Các định nghĩa

a Phép tịnh tiến: Trong mặt phẳng cho vecto v

, phép biến hình biến

mỗi điểm M thành M’ sao cho MM'v

gọi là phép tịnh tiến theo vecto v 

b Phép đối xứng trục: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d, phép

biến hình của mặt phẳng cho tương ứng mỗi điểm M thành điểm M’ được xác định như sau:

 Nếu M  d thì d là trung trực của đoạn thẳng MM’

 Nếu M d thì M  M’

Được gọi là phép đối xứng trục với trục đối xứng là d

Kí hiệu Đd

c Phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng cho điểm O cố định, phép

biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho OM '  OM

được gọi là phép đối xứng tâm

Kí hiệu Đo

d Phép quay: Trong mặt phẳng cho điểm O và góc định hướng φ,

phép biến hình của mặt phẳng cho tương ứng với mỗi điểm M thành M’ sao

được gọi là phép quay quanh điểm O với góc quay φ

Kí hiệu: QO hay Q (O, φ)

Kí hiệu Zk

1.2 Các tính chất cơ bản của phép đồng dạng

- Phép đồng dạng là phép aphin

- Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn của góc phẳng

- Trong mặt phẳng, phép đồng dạng biến đường tròn thành đường tròn

có bán kính bằng k lần bán kính đường tròn ban đầu

- Phép đồng dạng biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng k lần đoạn thẳng ban đầu

1.3 Sự xác định phép đồng dạng trong mặt phẳng

a Định lý: Trong mặt phẳng một phép đồng dạng hoàn toàn xác định

bởi một cặp tam giác đồng dạng tương ứng

b Hệ quả:

Phép đồng dạng cũng là một phép aphin ( phép aphin đặc biệt )

1.4 Phân loại

Có hai loại phép đồng dạng:

a Phép đồng dạng được gọi là phép đồng dạng thuận nếu nó là phép

aphin loại 1 Phép đồng dạng thuận có thể phân tích thành tích của một phép dời hình thuận và một phép vị tự hoặc tích của một phép vị và một phép dời hình thuận

b Phép đồng dạng được gọi là phép đồng dạng nghịch nếu nó là phép

aphin loại 2 Phép đồng dạng nghịch có thể phân tích thành tích của phép phản chiếu và phép vị tự hoặc ngược lại

c Nhận xét: - Từ định nghĩa trên ta suy ra phép đồng dạng thuận

không đổi hướng cuả mặt phẳng còn phép đồng dạng nghịch đổi hướng mặt phẳng

- Phép đồng dạng tuy không bảo toàn khoảng cách giữa hai

điểm giống như phép dời hình, phép đồng dạng bảo toàn góc ( bảo toàn độ lớn thông thường của góc, bao gòm góc giữa hai tia, giữa hai vecto, giữa hai đường thẳng) Vì vậy người ta nói phép đồng dạng là một phép biến hình bảo giác

k gọi là tỉ số đồng dạng của hai đa giác

+ Trong các hình đồng dạng,các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, các góc tương ứng bằng nhau

d Định lý: Mọi phép đồng dạng khác phép dời có một điểm bất động

ta gọi điểm bất động này là tâm của phép đồng dạng

b Định lý 2: - Trong mặt phẳng, một phép đồng dạng thuận có thể

phân tích thành tích của một phép quay và một phép vị tự với tâm quay và tâm vị tự tùng nhau, tỉ số đồng dạng bằng tỉ số vị tự

- Trong mặt phẳng, một phép đồng dạng nghịch có thể phân tích thành tích của một phép phản chiếu và một phép vị tự có tâm là điểm bất động của phép phản chiếu, tỉ số đồng dạng bằng tỉ số vị tự

c Định lý 3: - Trong mặt phẳng, một phép đồng dạng thuận (kí hiệu

Zr) không phải là phép vị tự hay đẳng cự đều có thể phân tích thành tích giao hoán được cuả một phép vị tự và một phép quay ( trong đó tâm vị tự và tâm quay trùng nhau nghĩa là:

Zr = QOα VOk = VOk QOα = Z (O, k, α))

- Một phép đồng dạng nghịch ( kí hiệu ZN) có thể phân tích thành tích giao hoán được của một phép vị tự và một phép đối xứng với tâm vị tự thuộc trục của phép đối xứng nghĩa là:

ZN = Đd VOk = VOk Đd = Z (O, k, d)

Sau đây chúng ta sẽ đề cập đến một phép đồng dạng đặc biệt, đó

được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k

Kí hiệu V0k hay V(O,k)

Một phép vị tự hoàn toàn được xác định nếu cho biết tâm O và tỉ số k Điểm M’ gọi là ảnh của điểm M, M gọi là tạo ảnh của M’, O là tâm của phép vị tự, k là hệ số vị tự

Phép vị tự gọi là thuận nếu k > 0,nghịch nếu k < 0

Cho hình H, tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc H trong phép biến đổi

V0k lập thành một hình H’ được gọi là phép vị tự của hình H trong phép biến đổi đó và được kí hiệu;

Mọi phép vị tự dương hay âm đều là phép đồng dạng thuận

Phép vị tự tâm O tỉ số k biến:

+ Đường thẳng d thành đường thẳng d’ và d // d’ hoặc d  d’

+ Tia Sx thành tia S’x’ và Sx // S’x’ hoặc Sx  S’x’

+ Đoạn thẳng PQ thành P’Q’ và P’Q’ = |k| PQ

+ Tam giác ABC thành A’B’C’ và hai tam giác đó đồng dạng với tỉ số đồng dạng bằng |k|

+ Góc xSy thành góc x’S’y’ và hai góc đó bằng nhau

+ Đường tròn (I, R) thành (I’, R’), R’ = |k|.R

Chương II: ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG HÌNH

HỌC PHẲNG

§1 GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẰNG PHÉP ĐỒNG DẠNG

1 Khái niệm bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề A  B là đúng trong đó A là giả thiết, B là kết luận

Để giải bài toán chứng minh thông thường ta xuất phát từ giả thiết A hay mệnh đề đúng đã biết, bằng lập luận chặt chẽ và suy diễn logic để dẫn tới kết luận B

2 Giải bài toán chứng minh bằng phép đồng dạng

Gồm 3 bước chính sau:

+ Lựa chọn phép đồng dạng + Thực hiện phép đồng dạng + Rút ra kết luận của bài toán Đây là những bước chính khi biết chắc rằng bài toán cần giải có

sử dụng được phép đồng dạng Do đó khi biết chắc một bài toán cần giải có

sử dụng được phép đồng dạng thì chúng ta cần phải cân nhắc lựa chọn phép đồng dạng nghịch hay phép đồng dạng thuận sao cho hợp lý

§2 CÁC VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI BÀI

TOÁN CHỨNG MINH

Thông thường đối với những bài toán sử dụng phép đồng dạng

ta cần xác định xem bài toán đó sử dụng được phép đồng dạng nào đã học.Sau đây chúng ta sẽ đi vào xét các bài toán có sử dụng phép đồng dạng thuận

1 Ứng dụng phép đồng dạng thuận vào bài toán chứng minh

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, AC lần lượt dựng ra

ngoài,dựng vào phía trong tam giác các tam giác đều ABM, CAN Gọi K, H lần lượt là tâm của tam giác ABM và tam giác CAN I, J lần lượt là trung

điểm của AK, AH Chứng minh rằng B C  2 3 I J

Lời giải

Từ giả thiết ta có:

0

2 3 AJ

( , ) (AJ, ) 30

AB AC AI

Z: I  B

J  C

 Z: IJ  BC hay BC = 2 3 IJ (điều phải chứng minh)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC trên các cạnh AB, AC dựng ra phía ngoài

của tam giác các tam giác ∆ABM, ∆CAN có góc

ta sẽ tạo ra các cặp tam giác đồng dạng cùng hướng để từ đó có thể sử dụng phép đồng dạng thuận

Dựng điểm Q sao cho: (BQ BP, ) (CQ CP, )450,

Suy ra các cặp tam giác ∆BMA và ∆BQP; ∆CAN và ∆CQP đồng dạng

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC bất kỳ, dựng ra phía ngoài các tam giác

ABC1, BCA1, CAB1 sao cho:

,

C AB B AC C BA BCA ABC ACB

Dựng ra phiá ngoài tam giác ABC tam giác BCD cân tại D với góc