Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 48 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
48
Dung lượng
369,37 KB
Nội dung
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ HẢI HƯỜNG PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên nghành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ĐINH VĂN THUỶ HÀ NỘI – 2012 1 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy giáo Đinh Văn Thủy đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này. Em cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt các thầy cô trong tổ Hình Học đã góp phần làm cho khóa luận thêm hoàn thiện. Trong quá trình nghiên cứu, với sự hạn chế về mặt thời gian cũng như về mặt kiến thức của bản thân, khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót, kính mong được sự chỉ bảo của các thầy cô cùng những ý kiến đóng góp của các bạn sinh viên. Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Nguyễn Thị Hải Hường 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận này hoàn thành do sự cố gắng, tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của thầy giáo Đinh Văn Thủy cũng như các thầy cô trong tổ Hình Học khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2. Một lần nữa tôi xin cam đoan rằng khóa luận này chưa từng được công bố tại bất kì khóa luận nào khác. Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Hải Hường 3 4 MỤC LỤC Mở đầu 5 Nội dung 7 Chương 1: Cơ sở lý luận 7 §1: Bổ túc về vấn đề định hướng 7 Mặt phẳng định hướng 7 Góc định hướng giữa hai tia 7 Góc định hướng giữa hai đường thẳng 7 Định hướng trong không gian 8 §2: Đại cương về phép biến hình trong En (n=2, 3) 9 Phép biến hình và một số khái niệm liên quan 9 Phép biến hình afin 9 Phép biến hình đẳng cự 10 Phép vị tự 13 Phép đồng dạng 13 Chương 2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích 16 §1: Bài toán quỹ tích 16 Định nghĩa 16 Chứng minh quỹ tích 16 Giới hạn quỹ tích và biện luận quỹ tích 16 §2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích và ví dụ 17 Phương pháp chung 17 Phát triển bài toán quỹ tích nhờ phép đồng dạng 18 Ví dụ 18 §3: Một số bài toán luyện tập 36 Hướng dẫn 38 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 5 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Hình học là một môn học có vị trí quan trọng trong toán học. Theo quan điểm của toán học hiện đại hình học nghiên cứu các tính chất của các hình bất biến đối với nhóm biến hình nào đó của không gian hình học. Học hình học giúp học sinh rèn luyện tư duy, nâng cao khả năng tưởng tượng không gian. Tuy vậy trong trường phổ thông hình học chưa được quan tâm xứng đáng với vai trò của nó. Phép biến hình là nội dung khá quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Đây là công cụ khá mạnh để giải các bài toán đồng thời còn nâng cao, phát triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh. Nhưng trên thực tế việc vận dụng phép biến hình vào giải toán trong mặt phẳng và trong không gian học sinh mới chỉ làm quen bước đầu. Với mục đích làm sáng tỏ hơn việc vận dụng phép biến hình trong việc giải toán tôi chọn đề tài : “ Phép đồng dạng với toán quỹ tích ” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phép đồng dạng trong phẳng và trong không gian. Ứng dụng giải bài toán quỹ tích trong phẳng và trong không gian. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Phép đồng dạng, bài toán quỹ tích. Phạm vi nghiên cứu: Trong E2 và trong E3. Nhiệm vụ Trình bày cơ sở lý thuyết. Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản về phép đồng dạng. 6 Xây dựng hệ thống ví dụ và bài tập về ứng dụng phép đồng dạng giải bài bài toán quỹ tích. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo và tài liệu có liên quan. Tổng kết từ kinh nghiệm giải toán. 7 NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN §1: BỔ TÚC VỀ VẤN ĐỀ ĐỊNH HƯỚNG Mặt phẳng định hướng Định nghĩa Xung quanh mỗi điểm của mặt phẳng có hai chiều quay: Chiều kim đồng hồ và chiều ngược lại. Nếu gọi một trong hai chiều đó là chiều thuận thì chiều kia sẽ là chiều nghịch, và như thế ta nói rằng mặt phẳng đã được định hướng. Thông thường người ta gọi chiều ngược kim đồng hồ là chiều thuận. Góc định hướng hai tia Định nghĩa Trong mặt phẳng định hướng cho hai tia Ox và Oy, góc định hướng giữa hai tia đầu là Ox, tia cuối là Oy được ký hiệu là (Ox, Oy) là góc thu được khi quay Ox xung quanh O tới trùng với Oy. Hệ thức Chales Nếu trong mặt phẳng định hướng cho các tia OA1,…, OAn. Khi đó: (OA1, OA2) + (OA2, OA3) +…+ (OAn-1, OAn) = (OA1, OAn) + K2Π K Z Góc định hướng hai đường thẳng Định nghĩa Trong mặt phẳng được định hướng, cho hai đường thẳng a và b. Nếu a∩b = {O} thì mỗi đường thẳng bị O chia làm hai tia và ta định nghĩa: Góc định hướng giữa hai đường thẳng a và b là góc định hướng giữa hai tia ai và bi (i=1, 2). Kí hiệu: ( a, b ) 8 a1 b2 O b1 a2 Hệ thức Chales: Trong mặt phẳng định hướng cho các đường thẳng a1, a2, …, an. Khi đó: ( a1 , a2 ) + ( a2 , a3 ) +… + ( an1 , an ) = ( a1 , an ) + KΠ , K Z Định hướng không gian a) Không gian định hướng theo trục Trong không gian cho trục a. Khi đó xung quanh trục a có hai chiều quay. Đặt vặn nút chai theo trục a sao cho mũi của vặn nút chai chỉ hướng dương. Chiều quay của vặn nút chai tiến theo chiều dương của a được gọi là chiều dương của không gian còn chiều ngược lại gọi là chiều âm của không gian. Khi đó không gian được gọi là định hướng theo trục a. b) Nhị diện định hướng Cho nhị diện [α, a, β]. Nhị diện định hướng có diện đầu α, diện cuối β, [ a , ] là nhị diện thu được khi quay diện đầu α quanh a tới trùng diện cuối β. c) Định hướng góc tam diện Cho góc tam diện O.ABC đỉnh O. Nếu nhìn từ O chiều quay từ A đến B, từ B đến C là ngược chiều kim đồng hồ thì ta nói góc tam diện O.ABC có hướng dương, ngược lại được gọi là góc tam diện có hướng âm. 9 §2: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG En (n=2, 3) Phép biến hình số khái niệm liên quan Định nghĩa Một song ánh từ không gian En vào chính nó là một phép biến hình của En. Phép biến hình đảo ngược Cho phép biến hình f: En En. Khi đó ánh xạ ngược f-1 của f cũng là một song ánh nên cũng là một phép biến hình của En. Ta gọi phép biến hình đó là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f. Phép biến hình tích Cho f và g là hai phép biến hình của En. Dễ thấy ánh xạ tích của f và g cũng là một song ánh của En nên nó cũng là một phép biến hình của En. Ta gọi phép biến hình đó là phép biến hình tích của f và g. Phép biến hình đối hợp Phép biến hình f : En En được gọi là phép biến hình đối hợp nếu f2 = IdEn Điểm bất động, hình kép, hình bất động phép biến hình Cho phép biến hình f: En En ta có: Điểm MEn được gọi là điểm bất động của phép biến hình f nếu f(M)=M. Hình H được gọi là hình kép đối với phép biến hình f nếu f(H)= H. Hình H được gọi là hình bất động đối với phép biến hình f nếu mọi điểm của hình H đều bất động đối với f. Phép biến hình afin a) Định nghĩa Phép biến hình của không gian En biến đường thẳng thành đường thẳng được gọi là phép biến hình afin (gọi tắt là phép afin). 10 Gọi M và M’ theo thứ tự là trung điểm BC và B’C’ ta có MM’//BB’//CC’ MM’//AA’ Trong mặt phẳng xác định bởi AA’ và MM’ Gọi I là giao điểm của AM và A’M’. Khi đó I cũng là giao điểm của AM và a. G là trọng tâm của ∆ABC. GM G ' M ' GA G ' A ' GG’//AA’ IG ' IG (hằng số) IA ' IA Vậy xét : VI : A ' G ' Bây giờ ta đi tìm quỹ tích điểm A. C A B A' A1 C a B' C1 B1 Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B, C trên a. Ta có : AA’//BB’//CC’ Góc giữa AA’, BB’, CC’ và mặt phẳng (a) là bằng nhau. Vậy AA ' A1 BB ' B1 CC ' C1 ∆AA’A1 ~ ∆BB’B1 ~ ∆CC’C1 34 AA ' BB ' CC ' AA ' BB ' CC ' (1) AA1 BB1 CC1 AA1 BB1 CC Do A, B, C và (a) cố định nên AA1+BB1+CC1=h - hằng số (*). Từ (1) và (2) AA ' k - hằng số AA1 h AA ' k AA h Xét trên mặt phẳng (a) A1 A ' AA '2 AA12 AA12 ( k2 AA1 1 h k2 1) h2 Vậy quỹ tích điểm A là đường tròn tâm A bán kính AA1 k2 1 h2 Theo trên VI : A ' G ' Vậy quỹ tích điểm G’ là vòng tròn (C) có bán kính AA1 k2 1 với h2 IG IA và tâm A2 : VI : A1 A2 Ví dụ 10 Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh bên SA vuông góc với (ABCD) M điểm thuộc đường tròn nội tiếp tam giác SBC Gọi N giao điểm mặt phẳng qua M vuông góc với BC M’ điểm thuộc ABCD cho tam giác MNM’ cân N Tìm quỹ tích trung điểm AM’ M di động đường tròn nội tiếp tam giác SBC. 35 Lời giải S M A B I N M' D C Theo cách dựng M, N ta có : MNBC MN//SB M’NBC M’N//AB (NM, NM’)=(BS, BA)=a Mà MN=M’N a Vậy QBC : M M ' (1) Theo giả thiết I là trung điểm của AM’ Vậy VA2 : M ' I (2) a Từ (1) và (2) ta có VA2 QBC :M I Vậy I di chuyển trên (O’) là ảnh của (O) qua phép đồng dạng Z a VA2 QBC 36 §3: MỘT SỐ BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho một điểm M chuyển động trên nửa vòng tròn đường kính AB. Dựng ra ngoài ∆AMB một hình vuông MBCD. Tìm quỹ tích điểm D. Bài 2: Cho một đường thẳng d và một điểm A cố định không thuộc d. Với mỗi điểm B d, ta dựng tam giác ABC vuông cân tại B. Tìm tập hợp điểm C khi B thay đổi. Bài 3: Tam giác ABC biến đổi luôn luôn đồng dạng và cùng hướng với chính nó sao cho trực tâm K cố định và đỉnh A di động trên đường thẳng d đã cho. Tìm quỹ tích các điểm B, C Bài 4: Cho đường tròn (O, R) và điểm A cố định không nằm trên (O). Với mỗi điểm B thuộc đường tròn ta dựng điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B. Tìm tập hợp các điểm C khi B thay đổi trên (O). Bài 5: Lục giác đều ABCDEG biến đổi sao cho điểm A cố định, điểm B di động trên đường tròn (O, R) đã cho và hướng của lục giác không thay đổi. Tìm tập hợp điểm C, D, E và G khi B di động trên đường tròn (O, R). Bài 6: Cho đường tròn (O) và tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn, có cạnh BC cố định, đỉnh A thay đổi. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và dựng hình bình hành GBCF. Tìm tập hợp điểm F khi A biến thiên trên đường tròn (O). Bài 7: Cho đường tròn (O) và một đường thẳng d. Với mỗi điểm A thuộc (O) và điểm B thuộc d ta dựng tam giác vuông cân ABC ( A = 1v ). Tìm tập hợp điểm C khi các đỉnh A và B cùng thay đổi. Bài 8: Một hình vuông ABCD có đỉnh D cố định và đỉnh A chuyển động trên một đường () không đi qua D. Tìm quỹ tích các điểm B, C và tâm O hình vuông ABCD trong các trường hợp sau đây: a) () là một đường thẳng. b) () là một đường tròn (S, R). 37 Bài 9: Một điểm P chuyển động trên đường thẳng chứa cạnh BC của một tam giác ABC không vuông đã cho. Các đường thẳng đi qua P vuông góc với AC và AB theo thứ tự cắt các đường thẳng AB và AC ở M và N. Tìm quỹ tích của điểm Q đối xứng với P qua trung điểm của MN. Bài 10: Cho S(I, R) và điểm O cố định sao cho OI=2R. Một điểm N chuyển động trên S, phân giác NIO cắt ON tại M. Tìm quỹ tích điểm M. Bài 11: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC, một đường tròn (O) thay đổi qua A không tiếp xúc với các đường thẳng AB, AC và có tâm chuyển động trên BC. Đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác AMN. Bài 12: Cho ba tia Ox, Oy, Oz và một đường thẳng d. A, B, C lần lượt là ba điểm trên ba tia Ox, Oy, Oz thay đổi sao cho mặt phẳng (ABC) luôn vuông góc với d. Tìm tập hợp: a) Trọng tâm G của tam giác ABC. b) Trực tâm H của tam giác ABC. Bài 13: Cho đường tròn (O) và một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại A, vuông góc với OA và M là một điểm trên d. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác MBC khi: a) BC cố định, M di động trên d. b) M cố định, BC di động và luôn vuông góc với OA. 38 HƯỚNG DẪN Bài 1: Do BD và MBD 450 ta xét phép đồng dạng BM Z(B, 2, ) : M D Mặt khác do M chạy trên nửa đường tròn đường kính AB nên D chạy trên nửa đường tròn đường kính BA’ đồng dạng với nửa đường tròn đã cho. Bài 2: Xét phép đồng dạng Z(A, 2, 450 ) : B C Do B chạy trên đường thẳng d nên C chạy trên đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép đồng dạng Z(A, 2, 450 ). Bài 3: d' B' d B A a A' K C D d'' C' Gọi A’B’C’ là một vị trí của tam giác ABC khi A’K d 39 Đặt a= A ' KB ' và k KB' KA' Khi đó xét phép đồng dạng : Z(K, k, -a): A’ B’ Do d đi qua A’ và d KA’ nên ảnh d’ của d phải qua B’ và vuông góc với KB’. Lại có ∆ABC ~∆A’B’C’ suy ra AKB A ' KB ' a KB KB ' k KA KA ' Hơn nữa hai tam giác đó cùng hướng nên : Z(K, k, -a) : A B Mà tập hợp các điểm A là đường thẳng d nên tập hợp điểm B là đường thẳng d’. Chứng minh tương tự ta có tập hợp các điểm C là đường thẳng d’’ với d’’ là đường thẳng đi qua C’ và vuông góc với KC’. Bài 4: A O" C' O C B O' Ta có AC 2 AB Xét phép đồng dạng Z(A, , 450) và Z(A, , -450) 40 Khi đó điểm C là ảnh của B qua phép đồng dạng Z(A, , 450) hoặc Z(A, , -450). Gọi (O’) là ảnh của (O) qua phép đồng dạng Z(A, , 450) và gọi (O’’) là ảnh của (O) qua phép đồng dạng Z(A, , -450). Khi điểm B di động trên (O) thì tập hợp điểm C là hai đường tròn (O’) và (O”) thứ tự là ảnh của (O) qua các phép đồng dạng Z(A, , 450) và Z(A, , -450). Bài 5: Do ABCDEG là lục giác đều nên BAC 300 và AC AB Xét Z = Z(A, 3, 300 ) : B C O O1 ∆AOO1 ~ ∆ABC và cùng hướng và Z(OB)=O1C hay O1C 3OB 3R Vậy tập hợp các điểm C là đường tròn (O, 3R ) Tương tự Z(A, 2, -600) : (O, R) (O2, 2R), B D Z(A, , -900) : (O, R) (O3, R), B E Z(A, 1, -1200) : (O, R) (O4, R), B G Vậy tập hợp các điểm C, D, G lần lượt là các đường tròn (O2, 2R), (O3, R), (O4, R) Bài 6: A H F G O C B O' O1 41 Gọi H là trực tâm tam giác ABC Khi đó OH 3OG G VO3 ( H ) Mà quỹ tích điểm H là đường tròn (O1) đối xứng (O) qua BC BGFC là hình bình hành BC GF F T (G ) BC F TBCVO ( H ) Vậy quỹ tích F là ảnh của đường tròn (O) qua phép đồng dạng Z= T V 3S BC O BC Bài 7: d' d B A O C O' Xem B là điểm cố định Xét phép đồng dạng Z Z ( B, 450 , 2) : A C Đường tròn (O) biến thành đường tròn (O’) chứa C 42 Tam giác BOO’ vuông cân tại O QO90 : B O ' đường thẳng d biến thành đường thẳng d’ vuông góc với d tại O’ Khi B thay đổi trên d thì O’ thay đổi trên d’. Vậy tập hợp điểm C là hợp các đường tròn tâm (O’) với tâm O’ thuộc đường thẳng d’. Bài 8: Giả sử hình vuông ABCD có hướng thuận. Thế thì Z ( D, , 2) : A B QD2 : A C và VD2 : B O a) Gọi H là hình chiếu của D trên A rồi dựng hình vuông DHH’K có hướng thuận. Thế thì ta được tập hợp điểm B là đường thẳng b vuông góc với DH’ ở H’; Tập hợp điểm C là đường thẳng c vuông góc với DK tại K; Tập hợp điểm O là đường tròn đường kính HK. b) Dựng hình vuông DSS1S2 có hướng thuận (cùng hướng với ABCD) Gọi I là trung điểm của DS1. Khi đó quỹ tích điểm B là đường tròn ( S , R 2) ; Quỹ tích của C là đường tròn ( S2 , R 2) và quỹ tích của O là đường tròn ( I , R ) Bài 9: Chứng minh P là trực tâm của ∆AMN và do đó, Q là điểm xuyên tâm đối với điểm A trên đường tròn (O) ngoại tiếp ∆AMN. Quỹ tích của Q là đường thẳng q, nhận được từ đường thẳng a=(BC) bởi phép vị tự - đối xứng Z(A, ∆=Ap, k), trong đó Ap là phân góc BAC và k cos A 43 Bài 10: O I M N t Dựa vào tính chất đường phân giác Z ( A, k , ):M I MO IO MN IM VO2 :(O) (O ') Quỹ tích điểm M là (O’) với VO2 :(O) (O ') Bài 11: A H B O N C M D 44 Dễ thấy A 900 thì HA với mọi (O) Xét khi A nhọn Ta gọi D là điểm xuyên tâm đối của A trên (O). Thế thì M, N theo thứ tự chính là hình chiếu vuông góc của D trên [AC], [AB] ∆AHM’ ~ ∆ADM MAD HAM ' AH AM ' cos BAC k AD AM Vậy Z(A, pA, K) : O H , pA là phân giác góc A Bài 12: O B0 G0 A0 C0 B G A x C z y a) Gọi A0, B0, C0 lần lượt là ba điểm cố định thuộc Ox, Oy, Oz sao cho mặt phẳng (A0B0C0) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Gọi A, B, C lần lượt là ba điểm di động thuộc Ox, Oy, Oz sao cho mặt phẳng (ABC) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Dễ thấy (A0B0C0)//(ABC) Tồn tại một số k (k 0) sao cho OA0 OB0 OC0 k OA OB OC VOk : A A0 ; B B0 ; C C0 45 VOk : ∆ABC ∆A0B0C0; G G0 (G, G0 lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác A0B0C0) Vậy quỹ tích điểm G thuộc tia OG0 b) Tương tự a) quỹ tích trực tâm H thuộc tia OH0 với H0 là trực tâm của tam giác A0B0C0. Bài 13: d M A C I B O a) VI3 : M G Ta có (MHO) BC 60 QBC : G G0 Vậy quỹ tích điểm G là d’ với d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng 60 QBC VI3 b) VI3 :I G Gọi A’ là điểm xuyên tâm đối của A Ta kết luận khi I di động trên [AA’] trừ hai điểm A, A’ thì G di động trên [MM’] trừ hai điểm M, M’ với M’ là ảnh của A’ qua phép vị tự VI3 46 KẾT LUẬN Bài toán quỹ tích là bài toán khó đối với học sinh phổ thông. Phép biến hình là công cụ khá hữu ích để giải lớp bài toán này. Nó không những giúp học sinh có được lời giải đẹp mà còn cho học sinh thấy được mối quan hệ giữa các hình nhờ ánh xạ 1-1. Nhờ đó mà phát triển tư duy cho học sinh. Nhằm góp phần đạt được mục tiêu trên, khóa luận đã đưa ra hệ thống lí thuyết và các ví dụ minh họa nhằm làm cho người đọc thấy được phương pháp tư duy để giải bài toán quỹ tích nhờ phép đồng dạng, cách trình bày lời giải, sáng tạo bài toán để từ đó thấy được tính ưu việt của phép đồng dạng trong bài toán quỹ tích. Do là một sinh viên mới bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, còn nhiều hạn chế về thời gian và khả năng nên chắc chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Tôi kính mong thầy cô cùng các bạn sinh viên đóng góp, trao đổi ý kiến để luận văn hoàn thiện hơn. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới quý thầy Đinh Văn Thủy, người hướng dẫn và chỉ bảo tận tình tôi nghiên cứu đề tài này. Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn tới quý thầy cô trong tổ Hình học đã đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn. 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đỗ Thanh Sơn Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông (phép biến hình phẳng) – NXBGD – 2005 Đỗ Thanh Sơn Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông (phép biến hình không gian) – NXBGD – 2005 Bùi Văn Bình – Nguyễn Văn Vạn Giáo trình hình học sơ cấp tập 1 – ĐHSPHN 2 – 1993 Bùi Văn Bình – Nguyễn Văn Vạn Giáo trình hình học sơ cấp tập 2 – ĐHSPHN 2 – 1993 Bùi Văn Bình Bài tập hình học sơ cấp tập 2 – ĐHSPHN 2 – 1993 Nguyễn Mộng Hy Các phép biến hình mặt phẳng – NXBGD – 1996 48 [...]... thành tích của một phép dời hình và một phép vị tự mà tâm vị tự tùy ý, tỷ số vị tự là k hoặc –k tùy theo phép đồng dạng là thuận hay nghịch. Hệ quả Trong E2, tích của một phép vị tự và một phép dời hình là phép đồng dạng thuận. Tích của một phép vị tự và một phép phản chiếu là phép đồng dạng nghịch. Định lý 3 Trong E3, một phép đồng dạng Zk đều có thể phân tích thành tích của một phép vị tự và một phép quay quanh trục với tỉ số vị tự là k tùy theo Zk là ... động và dạng chính tắc của phép đồng dạng Định lý Mọi phép đồng dạng khác đẳng cự đều có điểm bất động duy nhất. Định lý về dạng chính tắc của phép đồng dạng Trong E2, mọi phép đồng dạng thuận đều có thể biểu diễn được dưới dạng tích giao hoán được của phép vị tự và phép quay. Trong E2, phép đồng dạng nghịch biểu diễn duy nhất thành tích giao hoán được của một phép vị tự và một phép đối xứng trục. ... tỉ số vị tự bằng tỉ số đồng dạng. d) Phân loại phép đồng dạng và hai hình đồng dạng Phân loại Phép đồng dạng xác định bởi hai đơn hình cùng hướng được gọi là phép đồng dạng thuận. 15 Phép đồng dạng xác định bởi hai đơn hình ngược hướng gọi là phép đồng dạng nghịch. Hai hình đồng dạng Hai hình H và H’ gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng Z biến hình này thành hình kia: Z(H)=... hoán được của một phép vị tự và một phép đối xứng trục. Trong E3, phép đồng dạng hoặc là phép đẳng cự hoặc là phép vị tự hoặc là tích giao hoán được của một phép vị tự và một phép quay quanh trục. 16 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH §1: BÀI TOÁN QUỸ TÍCH 1 Định nghĩa Bài toán quỹ tích là bài toán tìm một tập hợp những điểm (còn gọi là một hình) có tính chất α cho trước (bởi những điều kiện nhất định). ... 1-1 của phép đồng dạng ta suy ra được quỹ tích các điểm M là Zk-1(H). Ta xét ngay phép đồng dạng Zk-1 để suy ra quỹ tích của điểm M khi biết điểm M’ chạy trên hình H nào đó. 18 2 Phát triển bài toán quỹ tích nhờ phép đồng dạng Từ bài toán quỹ tích tìm những điểm M có tính chất α đã giải được là quỹ tích (C) bằng phép biến hình f hoặc tích những phép biến hình, ta ... Trong E2, phép đồng dạng được xác định hoàn toàn duy nhất bởi một cặp tam giác đồng dạng tương ứng. Hệ quả 14 Phép đồng dạng là phép afin đặc biệt. Định lý 2 Trong E3, tích một phép dời hình và một phép vị tự tỷ số k, hoặc theo thứ tự ngược lại là một phép đồng dạng tỷ số k. Phép đồng dạng là thuận hay nghịch tùy theo k âm hay dương. Ngược lại, mọi phép đồng dạng tỷ số k trong E3 luôn có thể phân tích ... GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH VÀ VÍ DỤ 1 Phương pháp chung Giả sử Zk: En En (n=2, 3) M M’ là một phép biến hình đồng dạng của En thì do tính chất 1-1 của phép biến hình ta có : - Nếu quỹ tích của điểm M là hình H thì quỹ tích những điểm M’ là hình H’=Zk(H). - Ngược lại nếu quỹ tích những điểm M’ là hình H’ thì quỹ tích những điểm M là hình Zk-1(H’)=H. Do đó nếu sử dụng phép biến hình vào bài toán quỹ tích thì cùng lúc cả ... một phép vị tự và một phép quay quanh trục với tỉ số vị tự là k tùy theo Zk là thuận hay nghịch. Hệ quả Trong E2, một phép đồng dạng thuận đều là tích của một phép quay và một phép vị tự với tâm quay và tâm vị tự trùng nhau, tỉ số vị tự bằng tỉ số đồng dạng. Một phép đồng dạng nghịch có thể phân tích thành tích của một phép phản chiếu và một phép vị tự có tâm là điểm bất động của phép phản chiếu và ... Do đó nếu sử dụng phép biến hình vào bài toán quỹ tích thì cùng lúc cả hai phần thuận và đảo đều được khẳng định. Nguyên tắc chung để áp dụng phép biến hình đồng dạng vào bài toán tìm quỹ tích những điểm M thỏa mãn một tính chất α nào đó là: lựa chọn phép đồng dạng Zk thích hợp biến điểm M thành M’=Zk(M) sao cho quỹ tích những điểm M’ là hình H’ tìm được dễ dàng. Khi đó do tính chất 1-1 của phép đồng dạng ta suy ra được quỹ tích các điểm M là ... tính chất không thiếu của quỹ tích) + H K: Tức mọi điểm nằm trên hình H đều có tính chất α (đảm bảo tính chất không thừa của quỹ tích) 3 Giới hạn quỹ tích và biện luận quỹ tích Trong khi chứng minh phần thuận của nhiều bài toán quỹ tích ta thường tìm được môt hình H1 chứa tất cả các điểm M có tính chất α. Nhưng do điều kiện hạn chế của bài toán, tập các điểm cần tìm là hình H lại chỉ là bộ phận thực sự của hình H1. Khi đó ta cần tiến hành bước giới hạn quỹ tích nhằm loại ... Giới hạn quỹ tích và biện luận quỹ tích 16 §2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích và ví dụ 17 Phương pháp chung 17 Phát triển bài toán quỹ tích nhờ phép đồng dạng. .. hoặc là tích giao hoán được của một phép vị tự và một phép quay quanh trục. 16 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH §1: BÀI TOÁN QUỸ TÍCH Định nghĩa Bài toán quỹ tích là bài toán tìm ... Trong E2, tích của một phép vị tự và một phép dời hình là phép đồng dạng thuận. Tích của một phép vị tự và một phép phản chiếu là phép đồng dạng nghịch. Định lý Trong E3, một phép đồng dạng Zk đều có thể phân tích thành tích của