Phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Trường đại học sư phạm hà nội Khoa toán ********** đinh thị quỳnh liên phép nghịch đảo toán quỹ tích Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học Hà nội – 2009 Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Trường đại học sư phạm hà nội Khoa toán ********** đinh thị quỳnh liên phép nghịch đảo toán quỹ tích Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học người hướng dẫn khoa học GV đinh văn thủy Hà nội – 2009 Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Khóa luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Trong trình nghiên cứu hoàn thành khoá luận này, em nhận quan tâm, giúp đỡ vật chất, tinh thần thầy giáo, cô giáo tổ Hình học nói riêng khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội nói chung với hỗ trợ giúp đỡ bạn sinh viên Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo Đinh Văn Thuỷ, người tận tình hướng dẫn em suốt thời gian qua để em hoàn thành khóa luận Do trình độ thời gian nghiên cứu hạn chế nên vấn đề mà em trình bày khoá luận không tránh khỏi thiếu xót Em kính mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo, bạn sinh viên để khoá luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Đinh Thị Quỳnh Liên Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Lời cam đoan Em xin cam đoan vấn đề em trình bày khoá luận kết nghiên cứu riêng em hướng dẫn trực tiếp thầy Đinh Văn Thuỷ, không trùng với tác giả khác Nếu sai em hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Đinh Thị Quỳnh Liên Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Mục lục Phần 1:Mở đầu Lý chọn đề tài .6 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu .7 Phần 2: Nội dung Chương 1:Phép nghịch đảo 1.1 Các định nghĩa 1.1.1 Không gian bảo giác 1.1.2 Phép nghịch đảo 1.2 Các tính chất 1.3 Các định lý 1.4 Phép nghịch đảo hệ toạ độ Đềcác vuông góc 15 Chương 2:Phép nghịch đảo toán quỹ tích 17 2.1 Bài toán quỹ tích 17 2.2 Giải toán quỹ tích nhờ phép nghịch đảo 17 2.2.1 Phương pháp chung 17 2.2.2 Các ví dụ minh hoạ 17 2.2.3.Bài tập tự luyện 31 2.2.4 Hướng dẫn .34 Kết luận .50 Tài liệu tham khảo .51 Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Khóa luận tốt nghiệp Phần 1: Mở đầu Lý chọn đề tài Hình học môn học hấp dẫn thu hút nhiều học sinh yêu toán Việc giải tập, tìm nhiều cách giải, có cách giải hay, độc đáo phát huy tính sáng tạo niềm say mê môn học Mỗi tập hình học giải nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ, phương pháp vectơ phương pháp biến hình Trong nhiều trường hợp, phép biến hình công cụ hữu hiệu cho phép giải hợp lý ngắn gọn toán hình học toán chứng minh, toán quỹ tích, toán dựng hình toán tính toán Trong chương trình toán phổ thông, học sinh học phép biến hình: phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến, phép vị tự Phép nghịch đảo phép biến hình không đưa vào chương trình phổ thông, đề xuất luyện học sinh chuyên, bồi dưỡng học sinh giỏi Phép nghịch đảo với tính chất khác biệt đưa đến hướng giải số lớp toán hình học Để góp phần làm rõ tính ưu việt việc sử dụng phép biến hình vào giải toán hình học, sâu nghiên cứu lý thuyết phép biến hình ứng dụng phép biến hình để giải toán hình học Trong khuôn khổ khoá luận tốt nghiệp, thời gian nghiên cứu có hạn nên tập trung khai thác ứng dụng phép nghịch đảo việc giải toán quỹ tích Đó lý lựa chọn đề tài: phép nghịch đảo toán quỹ tích Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu kiến thức phép nghịch đảo ứng dụng việc giải toán quỹ tích Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán - Xây dựng hệ thống ví dụ minh hoạ tập tự luyện thể việc sử dụng phương pháp biến hình vào giải toán quỹ tích Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: phép nghịch đảo - Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng phép nghịch đảo việc giải toán quỹ tích mặt phẳng không gian Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo trình, giảng chuyên đề tài liệu tham khảo có liên quan Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Khóa luận tốt nghiệp Phần 2: Nội dung Phép nghịch đảo Chương 1: 1.1 Các định nghĩa 1.1.1 Không gian bảo giác Không gian E n  n  2,3 bổ sung phần tử  (điểm vô cực) gọi không gian bảo giác Bn Trong không gian bảo giác Bn, đường thẳng hay mặt phẳng qua điểm  1.1.2 Phép nghịch đảo Trong không gian bảo giác Bn cho điểm O cố định số thực k  Phép biến hình n : B  Bn cho: M a M '  n M  Nếu M  O M '   Nếu M   M '  O O,M,M ' th¼ng hµng Nếu M  O,   OM.OM '  k n gọi phép nghịch đảo cực O , phương tích k Kí hiệu n k O n  O,k  Nhận xét: n  O,k   X Oon  O, k  , X O phép đối xứng tâm O 1.2 Các tính chất 1.2.1 Tính chất Phép nghịch đảo phép biến hình đối hợp : n phép đồng 1.2.2 Tính chất Nếu M ' ảnh qua n  O,k  O, M, M ' thẳng hàng Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Khóa luận tốt nghiệp Nếu M,O,N không thẳng hàng M ', N ' ảnh M, N qua n  O,k  tứ giác MM ' N' N tứ giác nội tiếp 1.2.3 Tính chất Nếu phương tích nghịch đảo k  phép nghịch đảo n  O,k  có tập điểm bất động siêu cầu tâm O , bán kính k (gọi siêu cầu nghịch đảo) Nếu phương tích nghịch đảo k < phép nghịch đảo n  O,k  điểm bất động 1.3 Các định lý 1.3.1.Định lý Phép nghịch đảo biến siêu phẳng không qua cực nghịch đảo thành siêu cầu qua cực nghịch đảo biến siêu cầu qua cực nghịch đảo thành siêu phẳng không qua cực nghịch đảo Chứng minh: Ta chứng minh E Việc chứng minh E hoàn toàn tương tự + Phép nghịch đảo biến đường thẳng không qua cực nghịch đảo thành đường tròn qua cực nghịch đảo Giả sử E cho phép nghịch đảo n  O,k  d đường thẳng không qua O Hạ OH  d, H  d, H'  n  H  Xét M thuộc d M '  n  M  Khi đó: OM.OM '  OH.OH'  k Hình 1.1  Tứ giác MM ' N'H tứ giác nội tiếp   H'M ',MM '    H'H,MH   90o Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Do OH' cố định  M ' nằm đường tròn đường kính OH' Ngược lại lấy điểm N ' đường tròn đường kính OH' , N  n  N'  , tương tự ta có:  N'H',NN'    NH,HH'   90 o  OH  HN  N d Vậy n  d   OH'  + Do tính chất: phép nghịch đảo phép biến hình đối hợp nên phép nghịch đảo biến đường tròn qua cực nghịch đảo đường thẳng không qua cực nghịch đảo 1.3.2 Định lý Phép nghịch đảo biến siêu cầu không qua cực nghịch đảo thành siêu cầu không qua cực nghịch đảo Chứng minh: Ta chứng minh E Giả sử cho phép nghịch đảo n (O,k)  C đường tròn Hình 1.2 không qua O  C có tâm I , OI cắt  C A, B Gọi A ', B' thứ tự ảnh A, B qua phép nghịch đảo n (O,k)  C'  đường tròn đường kính A 'B' Ta chứng minh  C'   n  C • M   C , M '  n (M) Nếu M  A B M ' trùng A ' B' , tức M '   A 'B'  Nếu M A,B ta có tứ giác AMM 'A ' tứ giác nội tiếp 10 Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Khóa luận tốt nghiệp Gọi B' giao điểm P'x Q' y B, B' hai điểm tương ứng phép nghịch đảo N Ta có : Tứ giác IP'B'Q' hình vuông cạnh R  IB'  R  Quỹ tích điểm B' đường tròn tâm I, bán kính R  Quỹ tích điểm B ảnh (I, R ) qua phép nghịch đảo N Bài Xét phép nghịch đảo N cực O, phương tích R2 với R bán kính (O) S,T giao điểm (O) (OIJ) Khi đó: N  S  S, N  T   T  N  F  J, N  E  I  N  IJ   OEF  (M, EF ) OP  IJ  O, M, P thẳng hàng N  EF   OIJ  Q  N  M    OIJ R2  OM.OQ=R hay OM.OP= R OM= 2  M thuộc đường tròn tâm O bán kính Hình 3.4 R Do quỹ tích điểm P đường tròn  O,R  trừ điểm A, B, C, D nên quỹ tích M    O, R trừ điểm trung điểm OA, OB, OC, OD  Bài 37 Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Khóa luận tốt nghiệp (b) (a) Hình 3.5 Gọi J giao điểm thứ hai hai đường tròn ( IAA' ) ( IBB' ) Xét phép nghịch đảo N cực I, phương tích k  Khi (O),  O'  , (IAA' ) biến thành đường thẳng c, c', d , A  N  A  , B1  N  B, A'1  N  A'  B1 '  N  B'  , c  A 1B1, c'  A'1B'1 , d  A1A'1, d'  B1B'1 I, A1, B'1 thẳng hàng I, A'1, B1 thẳng hàng Gọi J1 giao điểm d d' Xét tứ giác toàn phần A1B'1B1A'1 I, J1 hai điểm liên hợp với cặp đường thẳng c, c'  Tập hợp J1 đường đối cực m điểm I cặp đường thẳng c, c'  Tập hợp điểm J ảnh đường thẳng m qua phép nghịch đảo chọn Bài 6: 38 Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Khóa luận tốt nghiệp Hình 3.6 a Xét phép nghịch đảo N cực A, phương tích k, với k số không đổi cho AM.AM '  k  M '  N  M  Giả sử B'  N 1(B) B' điểm cố định nằm đường tròn ( BMM' ) Xét phép nghịch đảo N cực B phương tích BA2 N  M   N, N  M '   N' ,  N  BMM'   NN'  NN' qua điểm cố định P  N  B'  b Ta có: OM  AT, BT  AT  OM // BT Gọi U giao điểm BT AM OM đường trung bình tam giác ABU ứng với cạnh BU  AU  2AM Tương tự BT' cắt AM U' ta có: AU '  2AM '  AU.AU '  4AM.AM '  4k - kh«ng ®æi Lập luận tương tự ý a) thay M, M', k U, U', 4k ta có TT' qua điểm cố định Q  N  B''  với B'' ảnh B qua phép nghịch đảo N  A,4k  c Gọi I giao điểm tiếp tuyến thứ hai qua M, M' với (O) J giao điểm OI với TT' Hiển nhiên OI  TT' , Q điểm cố định TT' 39 Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Khóa luận tốt nghiệp  Tập hợp J cung tròn đường tròn đường kính OQ nằm đường tròn (O) Xét phép nghịch đảo N cực O, phương tích R2 OTI vuông T, TJ  OI  OI.OJ  OT2  R2  I J hai điểm tương ứng phép nghịch đảo N Vậy tập hợp điểm I hai tia Xx, Yy vuông góc với AB với X, Y giao điểm (O) đường tròn đường kính OQ Bài a Gọi H trực tâm tam giác ABC Ta có: HBO vµ ACO hai tam giác đồng dạng  OB OC  hay OA.OB  OC.OH OH OA Ta có: OC.OH  OA.OB   p O Xét phép nghịch đảo  C Hình 3.7 N cực O, phương tích k   p O  C H  N  C Tập hợp điểm C đường tròn  C'   Tập hợp điểm H ảnh đường tròn  C'  qua phép nghịch đảo cực O, phương tích  p O  C b Chọn  C ,  C'  để quỹ tích  C Ta có N1 O,p    X O C O   N O, p O  C  X O phép đối xứng tâm O Nếu quỹ tích (C) tức  C  N  C'    C'   N  C  X O  N  C  X O  C Hay (C)  C'  hai đường tròn đối xứng qua O 40 Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Khóa luận tốt nghiệp c Quỹ tích  C'  tức ta có:  C'   N  C'  kpO  C'  pO  C'   p O pO  C'  pO  C  C 0 Vậy, để quỹ tích  C'  ta phải chọn điểm O cho: p O  C'   p O  C  Bài a Gọi H chân đường vuông góc hạ từ A xuống đường thẳng a Ta có HM.HM '  HA - số không đổi Xét phép nghịch đảo N cực H, phương tích k  HA Hình 3.8 Khi M, M' hai điểm tương ứng với phép nghịch đảo Giả sử Q  N  B N B cố định  Q điểm cố định nằm đường tròn ngoại tiếp BMM ' Do HB.HQ  HA   B  Q Vậy B cố định  BMM'  qua điểm cố định khác B b Tìm tập hợp tâm  BMM' B cố định Theo chứng minh a,  BMM'  qua hai điểm cố định B, Q  tập hợp tâm  BMM'  đường trung trực đoạn thẳng BQ c Khi B di động b, tìm tập hợp Q Khi B di động b, Q  N  B nên tập hợp Q ảnh đường thẳng b qua phép nghịch đảo N chọn 41 Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Khóa luận tốt nghiệp Bài a Do P điểm cố định nên p P  O số không đổi Xét phép nghịch đảo N có cực P, phương tích k  p P  O Ta có: PA.PA '  PB.PB'  k  N  A   A ',N  B  B' Do qua phép nghịch đảo N đường thẳng AB biến thành đường tròn Hình 3.9 ngoại tiếp PA 'B' Do PH  AB  PH qua tâm đường tròn  PA 'B'  , PA 'B' vuông P  Tâm  PA 'B'  trung điểm I đường thẳng A'B' I  PH , tức P, H, I thẳng hàng b Chứng minh PH.PI không đổi Gọi K giao điểm thứ hai PH với đường tròn  PA 'B'  Khi H K hai điểm tương ứng với phép nghịch đảo N : N  H   K PK  2PI  PH.PK  k  p  PH.PI  P  O , k k  PH.PI  2 số không đổi c Gọi J giao điểm thứ hai đường tròn (C) qua P tiếp xúc với (O) A đường tròn  C'  qua P tiếp xúc với (O) A' 42 Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Khóa luận tốt nghiệp Ax, A'y thứ tự tiếp tuyến (O) A, A' J' giao điểm hai tiếp tuyến Vì N  A   A ' , (C) tiếp xúc với (O) A nên qua phép nghịch đảo chọn (C) biến thành đường thẳng A 'y Tương tự  C'  biến thành đường thẳng Ax Vì J' cực đường thẳng AA' , Pcố định thuộc A' Do J' nằm đường thẳng đối cực điểm P (O) Vì N  J  J'  J  N  J'  Tập hợp điểm J ảnh đường thẳng đối cực P (O) qua phép nghịch đảo N chọn Giả sử đường đối cực p P (O) vuông góc với OP Q, ta có: OP.OQ  r (r bán kính (O)) Mà   OP.OQ  OP OP  PQ  OP2  OP.PQ =k+r  OP.PQ  r  k  OP.PQ   OP.QP  k  OP.PQ  k  Q O hai điểm tương ứng với phép nghịch đảo Vậy ảnh đường thẳng p qua phép nghịch đảo chọn đường tròn đường kính OP, hay quỹ tích giao điểm thứ hai  C  C'  đường tròn đường kính OP Bài 10 a Do (O) (C) trực giao nên p O  C  R2 ( R bán kính (O)) Xét phép nghịch đảo phương tích k  p O N  C cực O,  R2 Khi (C) có ảnh qua phép nghịch 43 Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán đảo chọn (O) đường tròn nghịch đảo Giả sử A *  N  A  A* điểm cố định A *   C Gọi B giao OA (O) ta có: R2 R * * OA.OA  R  OA OB   OA *  2 Hình 3.10  A * trung điểm OB  Các đường tròn (C) qua hai điểm cố định A, A*  (C) thuộc chùm eliptic xác định A A* Ngược lại: Mọi đường tròn (C) qua A A* ta có: p O  C  OA.OA *  R2  (C) trực giao với (O) Vậy đường tròn qua A trực giao với  O lập thành chùm b Tìm quỹ tích điểm A' điểm xuyên tâm đối A (C)  Gọi I tâm (C)  Do tập hợp (C) chùm eliptic xác định A A*  Tập hợp I trung trực đoạn thẳng AA*    Với I: A' điểm xuyên tâm đối A (C) nên AA '  2AI  A' ảnh I qua phép vị tự tâm A tỉ số  Tập hợp A' ảnh đường trung trực đoạn thẳng AA* qua phép vị tự tâm A tỉ số 2: Là đường thẳng qua A* vuông góc với OA c Gọi PQ trục đẳng phương (O)  C Ta chứng minh PQ qua điểm cố định Do  O   C  PQ đường đối cực điểm I đường tròn (O) Khi I di động d trung trực AA* đường đối cực PQ qua điểm cố định D: cực đường thẳng d đường tròn (O) R AA * R 2R  5R Gọi T trung điểm AA '  OT  OA     2 * 44 Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Khóa luận tốt nghiệp D cực d O  D  OA vµ OD.OT  R2 R2  OD   R OT Vậy trục đẳng phương (O) (C) qua điểm cố định điểm D  OA OD  R Bài 11: Gọi H hình chiếu vuông góc S (P) SH  h Xét phép nghịch đảo N cực S phương tích k  h2 Với điểm M   P , M' nằm Hình 3.11 đường thẳng SM thỏa mãn SM.SM '  h2  M M' hai điểm tương ứng phép nghịch đảo N : N  M   M' Tập hợp điểm M (P)  tập hợp điểm M' ảnh mặt phẳng (P) qua phép nghịch đảo N : mặt cầu (W) xác định sau: Do S  P  S  W  SH  h2  N  H   H SH   P  (W) mặt cầu đường kính SH Bài 12 Ta giải toán hai cách sau: Cách 1: Dùng tọa độ Chọn hệ trục tọa độ cho gốc tọa độ trùng với tâm O mặt cầu (W) Khi (W) có phương trình x2  y2  z2  Xét phép nghịch đảo N cực O phương tích k  45 Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Khóa luận tốt nghiệp M   x,y,z  (W) M '  OM vµ OM.OM'   M '  N  M  Giả sử M '   x',y',z'  ta có:  x' y' z'  x  y  z        xx' yy' zz'  x  y  z2        x'2  y'2  z'2       2 2 2 2  x'  y'  z'    x'  y'  z'    Hình 3.12  M' nằm mặt cầu có phương trình x2  y2  z2  M thay đổi mặt cầu (W)  tập hợp điểm M' mặt cầu có phương trình x2  y2  z2  Đây mặt cầu có tâm trùng với tâm (W), bán kính r  Cách 2: Theo giả thiết M   W   OM  OM.OM '  vµ M'  OM  OM'=2 Do O cố định  M ' nằm mặt cầu tâm O bán kính Tập hợp điểm M mặt cầu (W)  tập hợp điểm M' mặt cầu tâm O bán kính Bài 13: (P) qua M cắt (O,R) theo giao tuyến đường tròn (S) tâm I  OI   P A  OI, B   S cho AB tiếp tuyến (O, R)  AB  OB 46 Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Khóa luận tốt nghiệp Như ABO : tam giác vuông B, BI  AO  OI.OA  OB2  R2 Xét phép nghịch đảo N cực O phương tích R2 A  N  I  Mặt khác, OI   P  OI  IM , M, O cố định  Tập hợp điểm I mặt Hình 3.13 cầu đường kính OM  Tập hợp điểm A ảnh mặt cầu đường kính OM qua phép nghịch đảo N Vì (O, R) mặt cầu nghịch đảo phép nghịch đảo N , mặt cầu đường kính OM nằm  O,R nên điểm chung với  O,R Do tập hợp điểm A mặt phẳng điểm chung với mặt cầu đường kính OM (O, R) Bài 14: Theo giả thiết (P) cắt (O, R) theo giao tuyến đường tròn (S) tâm I  OI   P , I, M   P  IM  OI  Tập hợp điểm I phần mặt cầu đường kính OM nằm mặt cầu (O, R) A  OI, B   S mà AB tiếp tuyến (O, R) Xét ABO: AB  OB (do AB tiếp tuyến (O, R)) , IB  OA (do OA   P , đường thẳng IB nằm (P))  OI.OA  OB2  R2 Hình 3.14 47 Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Khóa luận tốt nghiệp Xét phép nghịch đảo N cực O phương tích R2 ta có: A  N  I  (O,R) mặt cầu nghịch đảo phép nghịch đảo N Tập hợp A ảnh phần mặt cầu đường kính MO nằm (O, R) qua phép nghịch đảo N : Là phần mặt phẳng qua giao tuyến (O, R) mặt cầu đường kính OM trừ phần nằm mặt cầu (O, R) Bài 15: Giả sử N phép nghịch đảo thỏa mãn điều kiện toán, N có cực S, phương tích k Do biến (O1, R1) thành  k  p S N O , R  N biến (O2, R2) thành  k  p S p  O2 , R2  S  O , R   p  O , R   S nằm mặt phẳng đẳng phương S 1 2 (O1, R1) (O2, R2) Đây mặt phẳng qua A vuông góc với O1O2, trừ điểm A (vì p S O , R   p S O , R   ) 1 2 Bài 16: Giả sử (O1, R1) tiếp xúc với (O2, R2) A3 , (O2, R2) tiếp xúc với (O3, R3) A1 , (O3, R3) tiếp xúc với (O1, R1) A2 Theo chứng minh ta có kết quả: Tập hợp điểm S giao điểm ba mặt phẳng: + (P1) qua A1 vuông góc với O2O3 + (P2) qua A2 vuông góc với O1O3 + (P3) qua A3 vuông góc với O1O2 48 Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Khóa luận tốt nghiệp Gọi d1, d2, d3 giao tuyến (P1), (P2), (P3) với mặt phẳng  O1 O2O3  d1  O2O3 , d2  O1O3 , d3  O1O2 Ta chứng minh d1, d2, d3 đồng quy Thật gọi I giao điểm d1và d2 Ta có: p I O , R  p O , R  p p I p I I O , R  v×I  d2 O , R  v×I  d1 I O , R  p I Hình 3.15 O , R   I   P3  Mà I   O1 O2O3   I  d3  P3   O1 O2O3  Vậy d1, d2, d3 đồng quy I IA  IA  IA  I tâm đường tròn ngoại tiếp A 1A 2A tâm đường tròn nội tiếp tam giác O1 O2O3 Vậy tập hợp điểm S đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  O1 O2O3  tâm đường tròn ngoại tiếp A 1A 2A 49 Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Kết luận Qua trình xem xét ví dụ tập ta có kết luận sau: Đối với toán quỹ tích, thông thường để giải phải chứng minh phần thuận phần đảo Trong hai phần này, việc chứng minh phần thuận dễ dàng chứng minh phần đảo thường khó khăn Tuy nhiên, nhờ tính chất đối hợp phép nghịch đảo nên giải toán quỹ tích nhờ phép nghịch đảo phần thuận phần đảo toán quỹ tích giải lúc Đây ưu điểm việc sử dụng phép nghịch đảo vào giải toán quỹ tích Khi giải toán quỹ tích nhờ phép nghịch đảo, điều quan trọng xuất phát từ giả thuyết toán, từ tính chất phép nghịch đảo, ta phải lựa chọn phép nghịch đảo thích hợp, đưa toán cho trở thành toán đơn giản Do phép nghich đảo có khả biến đường tròn thành đường thẳng, mặt cầu thành mặt phẳng nên toán quỹ tích có liên quan đến nhiều đường tròn hay mặt cầu chuyển toán có đường tròn, mặt cầu giải dễ dàng 50 Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Tài liệu tham khảo [1]: Bùi Văn Bình, Nguyễn Văn Vạn, Giáo trình hình học sơ cấp, tập 2, ĐHSP Hà Nội 2, 1993 [2]: Bùi Văn Bình, Bài tập hình học sơ cấp, tập 1, ĐHSP Hà Nội 2, 1993 [3]: Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXBGD, 2000 [4]: Đỗ Thanh Sơn, Các phép biến hình mặt phẳng, NXBGD, 2006 [5]: Đỗ Thanh Sơn, Các phép biến hình không gian, NXBGD, 2006 51 [...]... k  Hệ phương trình (**) xác định một phép nghịch đảo trong hệ toạ độ Đềcác vuông góc, có cực trùng với gốc toạ độ và phương tích là k(k  0) 16 Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Chương 2 :Phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích 2.1 Bài toán quỹ tích Bài toán quỹ tích là bài toán tìm quỹ tích (hay tập hợp) những điểm có tính chất α cho trước Quỹ tích này rất đa dạng: có thể là tập rỗng,... tích của cực nghịch đảo đối với nó bằng phương tích nghịch đảo là hình kép 1.3.3 Định lý 3 Phép nghịch đảo biến siêu phẳng đi qua cực nghịch đảo thành chính nó Định lý này được suy ra ngay từ định nghĩa và tính chất 1.3.4 Định lý 4 Điều kiện cần và đủ để 2 điểm M, N tương ứng với nhau trong phép nghịch đảo n (O,k)  k  0 là có n siêu cầu đi qua M và N , trực giao với siêu cầu nghịch đảo Chứng minh:... thẳng AB Do đó nếu ta chọn phép nghịch đảo N (C,k) với k = CA.CB thì D', E' lần lượt là ảnh của D, E qua phép nghịch đảo đó tức là quỹ tích các điểm D', E' là ảnh của đường thẳng d qua phép nghịch đảo đã chọn Giải: Ta có: CA.CB = CD.CD' = CE.CE' = k = PC  O Xét phép nghịch đảo N (C,k) Khi đó, N  D = D', N  E  = E' Hình 2.2 Quỹ tích D, E là đường thẳng d  Quỹ tích D', E' là ảnh của đường... tiếp tuyến chung c và c' của hai đường tròn (O) và ( O ' ) qua phép nghịch đảo N  Quỹ tích giao điểm thứ hai của (I) và ( I ' ) Gọi N ' là giao điểm của 2 tiếp tuyến chung c và c ' của (O) và ( O' ), và N là ảnh của N ' qua phép nghịch đảo N đã chọn, tức ta có:  MA 2  MN'.MN  AN  MN' hay ANN'  900 Hình 2.7 (1) Giao điểm thứ hai của (I) và ( I ' ) là ảnh của N ' qua phép nghịch đảo N  M, MA  2... trong quá trình giải bài toán nếu như ta không dự đoán trước được quỹ tích các cần tìm Khó khăn này sẽ được khắc phục nếu ta dùng phép nghịch đảo để tìm quỹ tích đó Như vậy mặc dù phép nghịch đảo không được đưa vào chương trình toán phổ thông nhưng nếu ta có một số hiểu biết về nó thì cũng có tác dụng tốt trong việc giải toán hình học, chẳng hạn, ta có thêm một cách dự đoán quỹ tích cần tìm góp phần... 2.2.4 Hướng dẫn Bài 1   Xét phép nghịch đảo N O,R 2 Do (O) trực giao với ( O' ) nên tứ giác OAA 'O' nội tiếp đường tròn đường kính OO' , (O) là đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo N  O,R 2  , 34 Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Khóa luận tốt nghiệp PO (O')  OO'2  R'2  R2  ( O' ) có ảnh là chính nó qua phép nghịch đảo N  O,R 2  Do đó N  A   A, N  B  B  Phép nghịch đảo Hình 3.1... đi qua B và vuông góc với AB Vậy, quỹ tích M là N  AB   N  d   AB  (AB), trừ hai điểm A, B Nhận xét : Trong bài toán trên nếu ta thay đổi giả thiết: cho hai đường tròn bằng nhau (C) và ( C' ) bằng giả thiết cho hai đường tròn (C) và ( C' ) Với cách giải tương tự như trên, ta cũng tìm được quỹ tích M Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách chọn phép nghịch đảo cực B, phương tích BA2 Bài 3 Giả... vô hạn điểm Thông thường, để giải bài toán quỹ tích ta cần tiến hành theo 2 bước sau: Bước 1 (phần thuận): Chứng minh những điểm có tính chất α thuộc hình (H) Bước 2 (phần đảo) : Chứng minh mọi điểm thuộc hình (H) đều có tính chất α 2.2 Giải bài toán quỹ tích nhờ phép nghịch đảo 2.2.1 Phương pháp chung Để tìm tập hợp những điểm M có tính chất α ta chọn phép nghịch đảo thích hợp biến mỗi điểm M có tính... Quỳnh Liên _K31A SPToán Khóa luận tốt nghiệp Cho (O) và điểm A cố định nằm ngoài (O) Các cát tuyến thay đổi AMN và APQ cắt (O) tại M, N, P, Q Giả sử giao điểm thứ hai của các cặp đường tròn (AMP) và (ANQ), (AMQ) và (ANP) thứ tự là B, C Tìm quỹ tích điểm B, C Giải Xét phép nghịch đảo cực A, phương tích k  PA (O) thì M và N, P và Q là hai cặp điểm tương ứng với nhau Khi đó: (AMP) và (ANQ) lần lượt biến... qua phép nghịch đảo cực O, phương tích OH2 Hình 2.9 Giải Đặt OH  h Khi đó ta có: OM.OM'  h2 Xét phép nghịch đảo N cực O , phương tích k  h 2 thì : M '  f(M) 28 Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán Khóa luận tốt nghiệp Vì M  (P)  M ' thuộc mặt cầu (W) là ảnh của mặt phẳng (P) qua phép nghịch đảo N với (W) là mặt cầu đường kính OH Mặt khác, M thuộc mặt cầu đi qua O và đường tròn (S) nên M ' thuộc vào ... 1.4 Phép nghịch đảo hệ toạ độ Đềcác vuông góc 15 Chương 2 :Phép nghịch đảo toán quỹ tích 17 2.1 Bài toán quỹ tích 17 2.2 Giải toán quỹ tích nhờ phép nghịch đảo ... nghịch đảo vào giải toán quỹ tích Khi giải toán quỹ tích nhờ phép nghịch đảo, điều quan trọng xuất phát từ giả thuyết toán, từ tính chất phép nghịch đảo, ta phải lựa chọn phép nghịch đảo thích... phần đảo thường khó khăn Tuy nhiên, nhờ tính chất đối hợp phép nghịch đảo nên giải toán quỹ tích nhờ phép nghịch đảo phần thuận phần đảo toán quỹ tích giải lúc Đây ưu điểm việc sử dụng phép nghịch