Các cấu trúc tự do và bài toán phân tích

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********** NGUYỄN THỊ HÀ CÁC CẤU TRÚC TỰ DO VÀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ HÀ NỘI – 2009 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********** NGUYỄN THỊ HÀ CÁC CẤU TRÚC TỰ DO VÀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ Ngƣời hƣớng dẫn khoa học GVC VƢƠNG THÔNG HÀ NỘI - 2009 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà Lời cảm ơn Trong trình nghiên cứu thực khóa luận: “ Các cấu trúc tự toán phân tích ” với cố gắng thân, em nhận hướng dẫn,giúp đỡ tận tình thầy giáo Vương Thông Đồng thời em nhận giúp đỡ, động viên thầy, cô bạn sinh viên khoa toán Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Vương Thông giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hoàn thành tốt khóa luận Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa toán thầy cô giáo bạn sinh viên khoa tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2009 Sinh viên N guyễn Thị Hà Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà Lời cam đoan Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu bên cạnh em nhận quan tâm giúp đỡ thầy cô giáo khoa toán đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Vương Thông Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận em có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Vì em xin khẳng định đề tài : “ cấu trúc tự toán phân tích ”.không có trùng lặp với đề tài tác giả khác Sinh viên Nguyễn Thi Hà Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà Mục lục Trang Lời nói đầu Chương 1.những kiến thức chuẩn bị 1.1 phép toán đại số 2-ngôi 1.2 Nhóm 1.3 Nhóm abel 1.4 Nhóm xyclic 1.5 Cấp nhóm,cấp phần tử 1.6 Nhóm 1.7 Định lý Lagrage 1.8 Nhóm sylow 10 1.9 Nhóm chuẩn tắc 10 1.10 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp 10 Chương Các cấu trúc tự 12 2.1 Nhóm tự 12 2.1.1 Định nghĩa 12 2.1.2 Tính chất 12 2.2 Nhóm abel tự 17 2.2.1 Định nghĩa 17 2.2.2 Tính chất 18 2.3 Nhóm abel hữu hạn sinh 22 2.3.1 Định nghĩa 22 2.3.2 Tính chất 22 2.4 Nhóm đồng cấu nhóm 23 2.4.1 Định nghĩa 23 2.4.2 Tính chất 23 2.5 Nhóm giải 27 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà 2.5.1 Chuỗi chuẩn tắc 27 2.5.2 Chuỗi hợp thành 27 2.5.3 Định nghĩa nhóm giải 27 2.5.4 Tính chất 27 2.6 Mô đun tự 29 2.6.1 Môđun sinh tập,tập sinh 29 2.6.2 Tập độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 29 2.6.3 Cơ sở Môđun 29 2.6.4 Định nghĩa ví dụ môđun tự 30 2.6.5 Các điều kiện tương đương 30 Chương 3.Bài toán phân tích 32 3.1 Sự phân tích nhóm 32 3.2 Sự phân tích nhóm xyclic 33 3.2.1 Sự phân tích nhóm xyclic vô hạn 33 3.2.2 Sự phân tích nhóm xyclic hữu hạn 34 3.3 Sự phân tích nhóm abel 36 3.4 Sự phân tích nhóm abel hữu hạn sinh 39 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà Lời nói đầu Đại số nghành chiếm vị trí quan trọng khoa học toán học Nó sở nhiều nghành toán học khác như: đại số tuyến tính, giải tích, phương trình đạo hàm riêng…Tuy nhiên để sâu nghiên cứu đại số cần có hiểu biết sâu sắc cấu trúc đại số Đối tượng chủ yếu cấu trúc đại số nhóm, vành, trường ,…trong lớp cấu trúc tự khái niệm quan trọng đại số đại Để nghiên cứu sâu lớp cấu trúc khái niệm thông thường nhóm, nhóm con,…còn có khái niệm tích trực tiếp, tổng trực tiếp nhóm, phân tích nhóm, nhóm abel, nhóm abel hữu hạn sinh,…qua cho ta nhìn tổng quát cấu trúc lớp cấu trúc tự Vì tất ý nghĩa trên,và nhờ có động viên, bảo, hướng dẫn thầy Vương Thông em mạnh dạn chọn đề tài: “ cấu trúc tự toán phân tích ” Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu môn đại số bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Nội dung khóa luận gồm chương: Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị Chương 2: Các cấu trúc tự Chương : toán phân tích Mặc dù có nhiều cố gắng song điều kiện thời gian kinh nghiệm nghiên cứu thân nhiều hạn chế nên khóa luận em tránh khỏi thiếu sót.vì em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2009 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà Chƣơng1 Những kiến thức chuẩn bị 1.1 Phép toán đại số 2-ngôi Định nghĩa1 cho X tập hợp khác rỗng Ta gọi phép toán đại số 2-ngôi xác định X ánh xạ f : X  X  X x, y  f x, y   x  y 1.2 Nhóm Định nghĩa Cho X tập khác rỗng tùy ý Trên X ta xác định phép toán đại số 2-ngôi kí hiệu (  ) X nhóm khi: - phép toán (  ) có tính chất kết hợp tức x   y  z   x  y   z - x  X , e  X cho ex  xe  x - x  X , x'  X cho xx'  x' x  e Đối với phép toán cộng phần tử e gọi phần tử trung lập(trung hòa) Phần tử x ' gọi phần tử đối xứng Đối với phép toán nhân phần tử e gọi phần tử đơn vị Phần tử x ' gọi phần tử nghịch đảo - Nếu nhầm lẫn phép toán 2-ngôi nhóm tùy ý thường kí hiệu theo lối nhân “ ” 1.3 Nhóm abel Định nghĩa Nhóm (G, ) gọi giao hoán (hay nhóm abel ) xy  yx, x, y  G Hệ Một nửa nhóm X nhóm khi: - e  X , x  X cho ex  x - x  X , x'  X cho x ' x  e Hệ Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà Một nửa nhóm X nhóm phương trình ax  b ya  b có nghiệm X, a, b  X 1.4 Nhóm xyclic 1.4.1 Định nghĩa Cho (G, ) nhóm G gọi nhóm xyclic phần tử lũy thừa phần tử a  G ta gọi a phần tử sinh nhóm xyclic G Kí hiệu G = Theo định nghĩa nhóm xyclic G với phần tử sinh a viết dạng G = {an l n  Z } Nếu phép toán 2-ngôi x phép toán ( + ) G  {na l n  Z } 1.4.2 Phân loại nhóm xyclic Nếu a n  a m với cặp số nguyên khác n,m cấp nhóm xyclic vô hạn ta có nhóm xyclic vô hạn Nếu tồn số nguyên n  m cho a n  a m  a  n  a  m , nên giả sử n  m  a nm  a n a  m  a m a  m  e Vậy tồn số tự nhiên r  bé cho a r  e Ta chứng minh G  a  e, a1 , a , , a r 1 Thật tồn số i,j giả sử i  j, o  i, j  r  cho  a j   j  e điều trái với tính bé r j  i  r Vậy  a j Giả sử a k  G với k số nguyên k  nr  m.0  m  r ta có   a k  a nr  m  a r n a m  a m Vậy trường hợp ta chứng minh G nhóm hữu hạn có cấp số bé r có tính chất a r  e Bổ đề Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà Cho X  a , Y  b nhóm xyclic cấp Khi ánh xạ f : X  X a m  bm Là đẳng cấu nhóm Chứng minh +) x, y  X , x  a m , y  a n , m.n   Ta có f  xy   f  a m a n   f  a m n   b mn  b m b n  f  x  f  y   f đồng cấu nhóm +) f đơn cấu Thật vậy: x, y  X , mà f(x) = f( y) với x  a m , y  a n  bm  bn  bmn  eY Mà giả sử X Y cấp k nên  m  n  k  m  n  ks  m  n  ks Vậy am  an a ks  a n  a k   a n  eX   a n  x  y s s +) f toàn cấu y  Y  b  y  b m  x  a m  a  X cho f  x   y  Nhận xét: - Các nhóm xyclic cấp vô hạn đẳng cấu với Z - Các nhóm xyclic cấp n hữu hạn đẳng cấu với nhóm  n 1.5 Cấp nhóm, cấp phần tử Định nghĩa1 Cho G nhóm với phép toán (.) Cấp nhóm G số phần tử nhóm G Định nghĩa Cấp phần tử a  G cấp nhóm Chú ý: Cấp phần tử a n n số nguyên dương bé để a n  e Khi a  a  e, a1 , a , , a n1 Nếu không tồn số nguyên khác không để a n  e 10 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà Nếu X phân tích thành tích trực tiếp nhóm chuẩn tắc A B phần tử A giao hoán với phần tử B phần tử gX biểu diễn dạng g  ab, a  A, b  B Chứng minh: * a  A, b  B ta phải chứng minh ab  ba   ab  ba   e 1 Thật ta có: -  ab  ba    ab   a 1b1    aba 1  b1  B B  X 1 -  ab ba    ab   a 1b 1   a ba 1b 1   A A  X 1 Từ điều suy  ab  ba   A  B  e   ab  ba   e  ab  ba 1 1 * Do g  X mà X  AB  g  ab * Ta chứng minh biểu diễn Thật giả sử g  ab  a1b1 ta chứng minh a  a1 , b  b1 Ta có a 1a1  a 1a1  b1b11   a 1  a1b1  b11  a 1  ab  b11  a 1abb11  ebb11  bb11  B  a 1a1  B Mà ta có a1a1  A  bb11  A Định lý 2: Giả sử X phân tích thành tích trực tiếp nhóm chuẩn tắc A,B X đẳng cấu với tích trực tiếp P  A B Chứng minh: Do phần tử x  X biểu diễn dạng x  ab , a  A, b  B xét ánh xạ f : X  A  B x  ab   a, b   f  x  Ta chứng minh f đẳng cấu nhóm Thật vậy: x, y  X , x  ab, y  cd f  xy   f  ab  cd    f  a  bc  d   f  a  cb  d   f  ac  bd    ac, bd    a, b  c, d  35 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà  f  ab  f  cd   f  x  f  y   f đồng cấu nhóm - f đơn cấu x, y  X , x  ab, y  cd giả sử a  c f  x   f  y    a, b    c, d     ab  cd  x  y b  d - f toàn cấu y  A  B  y   a, b  Mặt khác X phân tích thành tích trực tiếp A B nên ` a  A, b  B để x  ab cho f  x   f  ab    a, b   y Vậy X  P  A B 3.2 Sự phân tích nhóm xyclic 3.2.1 nhóm xyclic cấp  Bổ đề Nhóm (Z, +) không phân tích Chứng minh: Giả sử tồn nhóm không tầm thường A,B (Z, +) cho A  B  0 Z  A  B A  0 , B  0 nên   a  A,  b  B Ta có ab  A nhóm nhóm (Z, + ) nên ab  A B nhóm nhóm (Z, + ) nên ab  B Vậy  ab  A  B  0 < mâu thuẫn > điều giả sử sai ta có điều phải chứng minh 3.2.2 nhóm xyclic cấp hữu hạn Định nghĩa Nhóm xyclic cấp p m , m   p số nguyên tố gọi nhóm xyclic nguyên sơ Vậy nhóm xyclic trường hợp đặc biệt p-nhóm Ví dụ 8 ,8  23 nhóm xyclic nguyên sơ 36 Khóa luận tốt nghiệp Bổ đề Nguyễn Thị Hà Giả sử p số nguyên tố , m    Khi nhóm cộng  p số nguyên m mod p m không phân tích Chứng minh: Giả sử A,B nhóm chuẩn tắc  p cho A  B  o m   p m  A  B   p m  A  B, A  B  Ta có A B nhóm xyclic Giả sử A  a , B  b  a l p m b l p m ( theo định lý Lagrange ) Do p nguyên tố  a  p r , b  p s  r , s  m Do pr a  0, p s b  ( đơn vị nhóm  p ) m Mặt khác p r a  p r  a.1   p r a 1      p s b  p s b.1  p s b   pr a pm mr  a  p k   s m m s    p b p b  p l Mà  p m   Trường hợp 1: s  r, s  r  a1 , a1   Ta có k.b  k p ms l  k p ms l.1      k p m  r a1  l.1  k p mr p a1 l.1  k l p a1 p m r  l p a1 k p m r  a  A Mặt khác ta có k b  b  B  k b  A  B A  B  0 Trường hợp 2: r  s, r  s  b1 , b1   Ta có l.a  l p mr k  l p m s b  k  k l p b  p m s 1  k p b l p m s 1  b  B 1 Mặt khác l.a  a  A  l.a  A  B  A  B  0 Vậy  p phân tích thành tổng trực tiếp nhóm thực m 37 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà Nhận xét: Mọi nhóm xyclic nguyên sơ cấp p m đẳng cấu với  p  m nhóm xyclic nguyên sơ không phân tích Bổ đề Nếu n  t.s,  t , s   n  t   s Chứng minh:    n  0, , n  n  t.s  t , s  n ,1  t , s  n  Đặt A  t  n n  t.s  n  t.s  s.t   t  s  A  0,1.t , 2.t , ,  s  1 t Đặt B  s n tương tự s  t  B  0,1.s, 2.s, ,  t  1 s      A B  Vì  t , s    k , m để k.t  m.s    k '  n ta có k '  k '  k ' k t  m.s  k ' k t  m.s  k 'k t  k ' m.s  A  B   n  A  B Mặt khác A  b  n a  b  A  B, a  A,  a  n b  B  b  n  a  b  n Do n  A  B, A  B  0   n  A  B Mà A   s , B  t n  t   s ta có điều phải chứng minh Định lý Nếu số tự nhiên n có phân tích : n  p1m p2m prm r Trong pi , i  1, r r số nguyên tố khác n   p   p    p m1 m2 mr r Chứng minh: Quy nạp theo r - r =  n  p1m n   p  r  định lý m1 Giả sử định lý với r-1 số nguyên tố  r  1 ta chứng minh định lý 38 Khóa luận tốt nghiệp với r số nguyên tố Nguyễn Thị Hà Thật đặt t  p1m p2m prm1 , s  prm   t , s   ` r 1 r theo bổ đề ta có n  t   s   p m1 m2 mr 1 p2 pr 1   pmr   pm1   pm2    pmr r r Nhận xét: Từ định lý ta có kết luận sau: 1) Một nhóm xyclic không tầm thường không phân tích  nhóm vô hạn hay nguyên sơ 2) Mọi nhóm xyclic cấp hữu hạn phân tích thành tổng trực tiếp nhóm xyclic nguyên sơ 3.3 Sự phân tích nhóm abel Định nghĩa1 Giả sử A nhóm abel B,C nhóm Nếu B  C  A B  C  ánh xạ B  C  A cho  x, y   x  y đẳng cấu thay cho cách viết A  B  C ta viết A  B  C nói A tổng trực tiếp B C kí hiệu tương tự dùng tổng trực tiếp số hữu hạn nhóm B1 , , Bn cho B1   Bn  A Bi 1   B1   Bi   Trong trường hợp ta viết: A  B1   Bn Định lý Mỗi p-nhóm abel đẳng cấu với tích p-nhóm xyclic Hai phân tích khác thứ tự nhân tử Chứng minh: Giả sử A p-nhóm abel, a1 phần tử có cấp cực đại p r , A gọi A1 nhóm xyclic sinh a1 Bước 1: Sự tồn phân tích Chứng minh quy nạp theo A 39 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà Giả sử a1 phần tử có cấp cực đại, kí hiệu p r A Đặt A1  a1 theo giả thiết quy nạp A A1 nhận biểu diễn dạng tích A A1  A2   As , Trong Ai nhóm xyclic cấp p s Giả sử  a1  phần tử sinh Ai i ( i = 2,3,…,s ) Khi tồn đại biểu   A có cấp với   , tức ord(ai) = p s , gọi Ai nhóm xyclic sinh i Ta chứng minh rằng: A  A1  A2   As Thật x  A , gọi  x  lớp x A A1 Do giả thiết tồn phân tích cho A A1 , có số nguyên m2 , , ms để cho:  x  m2  a2    ms  as  Suy x  m2 a2   ms as  A1 tồn số nguyên m1 cho x  m1a1   ms as nghĩa A  A1  A2   As Tiếp theo giả sử m1, , ms số nguyên không âm thỏa mãn hệ thức m1a1  m2 a2   ms as  Vì có bậc p r nên giả sử mi  p r ,  i  1, 2, , s  Chiếu đẳng thức lên i A A1 , ta có m2  a2    ms  as   Từ m2   ms  Bởi A A1  A2   As Như m1a1  , m1  Vậy A  A1   As Bước 2: Sự phân tích ( sai khác thứ tự) Giả sử có hai phân tích p-nhóm abel hữu hạn A: A  A1   As  B1   Bt Trong Ai , Bj p-nhóm xyclic, ta chứng minh t = s, Ai  Bi Ai  Bi ,  i  1, 2, , s  Chứng minh quy nạp theo A , ta có pA p-nhóm Abel với cấp pA  A p 40 Khóa luận tốt nghiệp Ta có phân tích pA: Nguyễn Thị Hà pA   pA1     pAs    pB1     pBt  Gọi s’ t’ số nguyên có tính chất sau: A1   As'  p, As' 1   As  p B1   Bt '  p, Bt ' 1   Bt  p Khi pAs 1   pAs  pBt 1   pBt  ' ' Từ ta có hai phân tích pA thành tích p-nhóm xyclic:    pA   pA1    pAs'   pB1    pBt '  Theo giả thiết quy nạp, Vì pA  A nên s '  t ' pAi  pBi nghĩa i  1, 2, , s  Ai  Bi , ' tính A dựa cách phân tích A ta có: A  A1 As' p s s  B1 Bs' pt s từ suy t = s Ai  Bi  p, ' ' i  s  1, , s   ' Ví dụ: Theo định lý tất nhóm Abel với cấp 36  22.32 liệt kê đây: Z Z Z Z 4  Z  Z 36  Z  Z  Z  Z 18  Z  Z  Z Z 12  Z  Z  Z  Z  Z 3.4 Sự phân tích nhóm abel hữu hạn sinh Bổ đề Mỗi nhóm abel có n phần tử đẳng cấu với tổng trực tiếp n nhóm xyclic t1 , t2 , , tn :  t1  t2   tn   ti 1  ti ti 1   Chứng minh: Giả sử X nhóm abel có n phần tử sinh.khi X đẳng cấu với nhóm thương nhms abel tự hạng n chẳng hạn F, r( F ) = n 41 Khóa luận tốt nghiệp F G Nguyễn Thị Hà  X , G  F , với G nhóm abel tự r( G ) = m1 s ni 1  ni ,1  i  s Vì nhóm n đẳng cấu vơi tổng trực tiếp số hữu hạn nhóm i xyclic nguyên sơ, nhóm G biểu diễn dạng tổng trực tiếp nhóm xyclic nguyên sơ từ biểu diễn nhóm G dạng tổng trực tiếp nhóm xyclic nguyên sơ, ta có cách trở phân tích nhóm G dạng n  n   n n1 >1 ni 1  ni ,1  i  s s ta cần chứng minh rằng: Đối với số nguyên tố p số dương r số lần xuất nhóm xyclic nguyên sơ  p biểu diễn nhóm G dạng tỏng trực tiếp r nhóm xyclic nguyên sơ chi phụ thuộc vào nhóm G Giả sử G biểu diễn dạng tổng trực tiếp nhóm xyclic nguyên sơ p số nguyên tố , n số lớn số nguyên r cho nhóm xyclic nguyên sơ  p xuất phân tích cho r Gọi   p, r  số lần xuất nhóm  p ,  r  n phân tích r Ta kí hiệu G  p  tập phần tử cấp p nhóm G tập G  p  nhóm nhóm G Từ biểu diễn nhóm G dạng tổng trực tiếp nhóm xyclic nguyên sơ, ta suy nhóm G  p   p r G đẳng cấu với tổng trực tiếp :     p , n     p , r 1 p với  r  n Vậy ta có p  p,n   p,r 1  Card G  p p r G Do   p, n      p.r  1   log cardG  p   p r G  log p 46 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà Vậy với  r  n tổng phụ thuộc vào nhóm G cho r nhận giá trị từ n-1 đến o, ta suy số   p, n  ,   p, n  1 , ,   p,1 phụ thuộc vào nhóm G ta có điều phải chứng minh 47 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà Kết luận Trên toàn nội dung khóa luận( cấu trúc tự toán phân tích) Qua trình tìm hiểu, nghiên cứu giúp em thấy vai trò quan trọng cấu trúc tự lý thuyết đại số Mặc dù có nhiều cố gắng song với thời gian chuẩn bị chưa nhiều bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận em chắn không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy, cô giáo bạn sinh viên để khóa luận em thực có ý nghĩa Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2009 Sinh viên Nguyễn thị Hà 48 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà Tài liệu tham khảo [1], Nguyễn Tự Cường, Giáo trình đại số đại, Nxb Đại học Quốc Gia ,Hà Nội [2], Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội [3], Trần trọng Huệ (2001), Đại số đại cương,Nxb Đại học quốc gia, Hà Nội [4], Hoàng Xuân Sính (2000), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục 49 [...]... môđun tự do với cơ sở {  i 1 | i  I } Chƣơng 3: Bài toán phân tích 3.1 Sự phân tích nhóm * Phân tích một nhóm thành tích trực tiếp của các nhóm con Định nghĩa 1 Cho A  X , B  X , nếu X  AB và A  B  e thì ta nói X phân tích được thành tích trực tiếp của 2 nhóm con A và B Định lý 1 34 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà Nếu X phân tích được thành tích trực tiếp của 2 nhóm con chuẩn tắc A và B... rõ ràng X sinh ra M và mọi hệ thức  x iJ  I i i  0   i  0, i  J ( J hữu hạn) 2.6.4 Định nghĩa và ví dụ môđun tự do *) Định nghĩa môđun tự do Cho M là R- môđun M là môđun tự do khi và chỉ khi môđun M có một cơ sở hoặc nó là môđun 0 *) Các ví dụ Ví dụ 1, mọi vành có đơn vị R là môđun tự do trên chính nó,một cơ sở là {1} Ví dụ 2 Mỗi Z- môđun tự do được gọi là nhóm abel tự do Giả sử M là nhóm... trƣc tiếp của các nhóm 1.9.1 Định nghĩa ( tích trực tiếp) Cho 2 nhóm A ,B trên tập tích đề các P = A  B ta xác định phép toán sau:  a, b  c, d    ac, bd  Khi đó P là một nhóm gọi là tích trực tiếp của A và B 12 Khóa luận tốt nghiệp Có 2 đơn cấu iA : A  A  B Nguyễn Thị Hà và iB : B  A  B a   a, eB  b   eA , b  Gọi là các phép nhúng tự nhiên Có 2 toàn cấu p A : A  B  A và  a, b ... pB : A  B  B  a, b   b Là các phép chiếu tự nhiên Do iA Và iB là các phép nhúng nên đồng nhất A với i(A) , b với i(B) do đó coi A, B là các nhóm con chuẩn tắc của P Nhận xét: Ta có thể mở rộng khái niệm tích trực tiếp cho 1 họ bất kì các nhóm Cho họ các nhóm  X i iI kí hiệu P   X i là tích đề các của chúng iI P  X 1  X 2   X i ,  i  I  Xác định phép toán  xi iI  yi iI  ... không còn là tự do nữa nhóm tự do F được xác định chỉ bởi tập S Từ nhận xét này giúp làm rõ tại sao F gọi là tự do nghĩa là không phụ thuộc Còn nhóm X phụ thuộc vào các hệ thức trong < R > Ví dụ 2.1: 19 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà Giả sử X là nhóm xyclic cấp n sinh bởi a  X khi đó X hoàn toàn xác định bởi {a} và hệ thức an = e Do đó X = { an = ao = e, a, a2, …, an-1} 2.2 Nhóm abel tự do 2.2.1... là đơn ánh  đồng nhất S với f(S) và F = và ánh xạ g: S  X đều mở rộng duy nhất thành đồng cấu h: F  X do đó nói gọn F là nhóm abel tự do xác định trên S Định lý 2.8 : 23 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà Mọi nhóm abel đều đẳng cấu với nhóm thương của nhóm abel tự do Tập sinh S được gọi là cơ sở, Kí hiệu là FS Định lý 2.9 Giả sử FS, FT là các nhóm abel tự do xác định tương ứng trên S, T khi... Thị Hà Chƣơng2: Các cấu trúc tự do 2.1 Nhóm tự do 2.1.1 Định nghĩa Cho S là một tập tuỳ ý, ta gọi là nhóm tự do xác định trên X là cặp (F, f) trong đó S là một nhóm , f: S  F là ánh xạ sao cho với mọi ánh xạ g: S  X , X là nhóm thì tồn tại duy nhất đồng cấu nhóm h: F  X sao cho hf = g, tức là sơ đồ tam giác sau giao hoán f S F  !h g X 2.1.2 Tính chất Định lí 2.1 Nếu (F, f) là nhóm tự do xác định trên... K cũng thoả mãn: Kf = (iAh)f= iA(hf) = iAg = f ( Do( F,f) là nhóm tự do )  1F = K Mà 1F là toàn ánh  K là toàn ánh  iA là toàn ánh  A=F  F = Tức là f(S) là tập sinh của nhóm F Định lý 2.2 (  ! Nhóm tự do ) Giả sử (F, f) và (F’, f’) là các nhóm tự do cùng xác định trên tập S khi đó tồn tại đẳng cấu j : F  F’ sao cho jf = f’ và tồn tại đẳng cấu k: F’  F sao cho kf’ = f tức là 2 sơ đồ tam... f  x  f  y   f là đồng cấu nhóm - f là đơn cấu x, y  X , x  ab, y  cd giả sử a  c f  x   f  y    a, b    c, d     ab  cd  x  y b  d - f là toàn cấu y  A  B  y   a, b  Mặt khác do X phân tích thành tích trực tiếp của A và B nên ` a  A, b  B để x  ab sao cho f  x   f  ab    a, b   y Vậy X  P  A B 3.2 Sự phân tích của các nhóm xyclic 3.2.1 nhóm xyclic... F để tam giác ngoài giao hoán  jk = 1F’  j là toàn cấu Vậy j là đẳng cấu  k = j-1 cũng là đẳng cấu Định lý 2.3: (tồn tại nhóm tự do) Với mọi tập S luôn tồn tại nhóm tự do trên S Chứng minh : *) Xác định nhóm F: Xác định tập F: Kí hiệu T = S  1,1 Thay cho cách viết (a, 1) bằng a1 , (a, -1) bằng a-1 , a S Đưa vào khái niệm “ chữ ” Chữ w là tích hình thức hữu hạn những phần tử của T tức là có ... môđun tự với sở {  i 1 | i  I } Chƣơng 3: Bài toán phân tích 3.1 Sự phân tích nhóm * Phân tích nhóm thành tích trực tiếp nhóm Định nghĩa Cho A  X , B  X , X  AB A  B  e ta nói X phân tích. .. 30 2.6.5 Các điều kiện tương đương 30 Chương 3 .Bài toán phân tích 32 3.1 Sự phân tích nhóm 32 3.2 Sự phân tích nhóm xyclic 33 3.2.1 Sự phân tích nhóm xyclic... luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********** NGUYỄN THỊ HÀ CÁC CẤU TRÚC TỰ DO VÀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ Ngƣời hƣớng