Phương pháp toạ độ và bài toán quỹ tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* LÊ THỊ MAI HƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀ BÀI TỐN QUỸ TÍCH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* LÊ THỊ MAI HƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ThS ĐINH THỊ KIM THÚY HÀ NỘI – 2018 Lời cảm ơn Để hồn thành khóa luận tốt nghiệp này, ngồi cố gắng, nỗ lực thân, em nhận hướng dẫn, bảo tận tình chu đáo thạc sĩ Đinh Thị Kim Thúy - giảng viên tổ Hình Học, khoa Tốn trường Đại học sư phạm Hà Nội Đồng thời em nhận ý kiến bảo, giúp đỡ, hướng dẫn từ thầy giáo khoa Tốn bạn bè Nhân dịp này, em xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Đinh Thị Kim Thúy, người tận tình quan tâm giúp đỡ em suốt thời gian qua, xin cảm ơn cô thầy cô, bạn bè gia đình tạo điều kiện để em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2018 Tác giả khóa luận Lê Thị Mai Hương Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận "Phương pháp tọa độ tốn quỹ tích" cơng trình nghiên cứu riêng em hướng dẫn ThS Đinh Thị Kim Thúy Các nội dung nghiên cứu khóa luận hồn tồn trung thực có sử dụng số tài liệu danh mục tài liệu tham khảo Em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm khóa luận Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2018 Tác giả khóa luận Lê Thị Mai Hương i Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức tọa độ 1.1 1.2 Tọa độ mặt phẳng 1.1.1 Hệ trục tọa độ mặt phẳng 1.1.2 Tọa độ vecto, điểm mặt phẳng 1.1.3 Đường thẳng 1.1.4 Đường tròn 10 1.1.5 Ba đường cônic 11 Tọa độ không gian 14 1.2.1 Hệ trục tọa độ không gian 14 1.2.2 Tọa độ vecto, điểm không gian 15 1.2.3 Mặt phẳng không gian 17 1.2.4 Đường thẳng không gian 18 1.2.5 Khoảng cách góc không gian 20 1.2.6 Mặt cầu không gian 22 Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số tốn quỹ tích 24 2.1 24 Một vài nét tốn quỹ tích ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 2.3 Lê Thị Mai Hương 2.1.1 Bài tốn quỹ tích 24 2.1.2 Cách giải toán quỹ tích 25 Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số tốn quỹ tích mặt phẳng 27 2.2.1 Quỹ tích điểm đường thẳng 28 2.2.2 Quỹ tích điểm đường tròn 32 2.2.3 Quỹ tích điểm đường elip 36 2.2.4 Quỹ tích điểm đường hypebol 39 2.2.5 Quỹ tích điểm đường Parabol 42 2.2.6 Bài tập đề nghị 44 Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số tốn quỹ tích khơng gian 46 2.3.1 Quỹ tích điểm khơng gian 46 2.3.2 Bài tập đề nghị 53 Kết Luận 55 Tài liệu tham khảo 56 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Mai Hương Lời mở đầu Lý chọn đề tài Trong trình học tập trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, em nghiên cứu chuyên ngành hình học nhận thấy mơn học thú vị, có vai trò quan trọng đời sống thực tiễn nghiên cứu khoa học Hình học mơn học khó tính trừu tượng hóa cao, đòi hỏi logic, chặt chẽ tư Mỗi tập hình học có nhiều phương pháp giải khác như: Phương pháp tọa độ, phương pháp tổng hợp, phương pháp biến hình, phương pháp vecto Trong nhiều trường hợp, phương pháp tọa độ công cụ hữu hiệu cho phép giải hợp lý ngắn gọn toán hình học như: tốn quỹ tích, tốn chứng minh, tốn tính tốn Đặc biệt, quỹ tích dạng tốn khó học sinh Việc giải tốn quỹ tích đòi hỏi phải nắm vững kiến thức, tư logic kỹ thực hành Chính lý trên, với giúp đỡ bảo thạc sĩ Đinh Thị Kim Thúy, em tìm hiểu nghiên cứu đề tài " Phương pháp tọa độ tốn quỹ tích" Qua việc nghiên cứu nội dung này, em có điều kiện củng cố khắc sâu kiến thức học cho thân để sau trường áp dụng vào thực tiễn giảng dạy Luận văn gồm hai chương: Chương 1: "Kiến thức tọa độ" Chương 2: "Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số tốn quỹ tích" Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Mai Hương Chương trình bày toàn lý thuyết tọa độ, đường, mặt mặt phẳng không gian phạm vi chương trình THPT lớp 10 lớp 12 Chương giới thiệu tốn quỹ tích nêu ví dụ điển hình tốn quỹ tích giải phương pháp tọa độ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức phương pháp tọa độ ứng dụng vào việc giải tốn quỹ tích Nhiệm vụ nghiên cứu ∗ Tóm tắt kiến thức liên quan đến phương pháp tọa độ ∗ Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa tập luyện tập nhằm làm bật việc sử dụng phương pháp tọa độ giải tốn quỹ tích Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 4.1 Đối tượng nghiên cứu Kiến thức phương pháp tọa độ mặt phẳng khơng gian tốn quỹ tích 4.2 Phạm vi nghiên cứu Chương trình hình học trường trung học phổ thông Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tài liệu có liên quan đến nội dung Trong trình thực hiện, cố gắng xong khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn sinh viên để khóa Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Mai Hương luận hoàn thiện Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2018 Tác giả khóa luận Lê Thị Mai Hương Chương Kiến thức tọa độ 1.1 1.1.1 Tọa độ mặt phẳng Hệ trục tọa độ mặt phẳng Định nghĩa 1.1 Cho hai trục x Ox, y Oy vng góc với gốc chung O Gọi i, j thứ tự vecto đơn vị trục x Ox y Oy Hệ hai trục xác định gọi hệ trục tọa độ Oxy (hệ trục tọa độ Đề-cac vuông góc) Trong x Ox trục hồnh, y Oy trục tung, O gốc hệ trục (gốc tọa độ) Hình 1.1: Hệ trục tọa độ Oxy Mặt phẳng có gắn hệ trục tọa độ Oxy gọi mặt phẳng tọa độ Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Mai Hương ⇔ (1 − e2 )x2 − 2px + p2 + y = y + p2 p x+ =0 ⇔x −2 − e2 − e2 p y + p2 p2 ⇔ x− + =0 − − e2 (1 − e2 )2 − e2 p e2 p2 y2 ⇔ x− = (∗) + − e2 − e2 (1 − e2 )2 Đặt a = √ ep b = a e2 − a > 0, b > (∗) trở thành: − e2 a2 p x− − e2 y2 − = b Dùng phép tịnh tiến hệ trục tọa độ X = x − p , Y = y − e2 Y2 X2 hệ trục tọa mới, ta có − = phương trình đường a b Hypebol 2.2.5 Quỹ tích điểm đường Parabol Ví dụ 2.2.11 Cho tam giác ABC vng A có AC = b, AB = c −−→ −→ −−→ −→ Lấy hai điểm D Esao cho AD = aAC BE = aBA Đường thẳng qua E song song với AC cắt đường thẳng BD điểm H Tìm quỹ tích điểm H a thay đổi Lời giải • Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho Ox đường thẳng qua B song song với AC, Oy ≡ BA • Khi B = (0; 0), A = (0; c), C = (b; c), D = (ab; c), E = (0; ac) Đường thẳng d qua E song song với AC có phương trình: y = ac 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Mai Hương Hình 2.9: h9 Đường thẳng BD có phương trình: cx − aby =   y = ac Mà H = BD∩d nên tọa độ H(x; y) thỏa mãn hệ pt:  cx − aby = by c2 Khử a từ hai phương trình đó, ta cx = hay y = x c b c • Vậy quỹ tích H đường Parabol có tiêu điểm F ( ; 0) đường 4b c2 chuẩn x + = 4b Ví dụ 2.2.12 Cho đường thẳng a điểm A cố định không nằm a Hai điểm B C di động a có BC = b (trong b số dương cho trước) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm I Lời giải • Dựng hệ trục tọa độ cho: Ox ≡ a; điểm A ∈ Oy • Gọi I(x; y), giả sử khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng a h ta có A(0; h) 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Mai Hương Hình 2.10: h10 • Mặt khác: IA2 − IH = IB − IH = BH b2 ⇔ x + (y − h) − y = 2 ⇔ x2 + y − 2yh + h2 − y = b2 b2 ⇔ 2yh = x + h − b2 h ⇔y= x + − 2h 4h 2 • Vậy quỹ tích điểm M Parabol có phương trình y = 2.2.6 h b2 x + − 2h 4h Bài tập đề nghị Bài tập 2.2.1 Cho tam giác ABC, I trung điểm cạnh AB Một đường thẳng thay đổi qua I cắt AC, BC theo thứ tự A , B Tìm quỹ tích giao điểm AB BA Gợi ý: Chọn hệ tọa độ Oxy cho O ≡ I, Ox IA, Oy trung trực AB Viết phương trình AB BA sau tìm tọa độ giao điểm suy quỹ tích Bài tập 2.2.2 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a, BC = 2b, 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Mai Hương a > b Tìm quỹ tích điểm M mà tổng khoảng cách từ tới hai đường thẳng AB CD tổng khoảng cách từ tới hai đường thẳng AD BC Gợi ý: Chọn hệ tọa độ Oxy cho đỉnh hình chữ nhật có tọa độ (±a; ±b) Quỹ tích gồm: hai đoạn thẳng −a ≤ x ≤ a, y = ±a, bốn tia y = ±x với |x| ≥ a Bài tập 2.2.3 Cho điểm O cố định số k không đổi khác Với điểm M khác điểm O, lấy điểm M nằm tia OM cho OM.OM = k, k số dương khơng đổi Tìm quỹ tích điểm M trường học sau: a) Điểm M thay đổi đường thẳng d không qua O b) Điểm M thay đổi đường thẳng qua O c) Điểm M thay đổi đường tròn khơng qua O Bài tập 2.2.4 Cho elip (E) đường thẳng l cố định Một đường thẳng d thay đổi song song trùng với l cắt (E) A B Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng AB Bài tập 2.2.5 Cho hai đường thẳng cắt Tìm quỹ tích điểm M mà tích khoảng cách từ M tới hai điểm số khơng đổi Bài tập 2.2.6 Cho đường thẳng d lấy điểm A Cho trước hai số dương a, b cho a > b Xét tất điểm P, Q cho AP = a, AQ = b đường thẳng d phân giác góc P AQ Ứng −−→ −→ −→ với cặp điểm P, Q xét điểm M cho AM = AP + AQ Tìm quỹ tích điểm M 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 Lê Thị Mai Hương Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số tốn quỹ tích khơng gian 2.3.1 Quỹ tích điểm khơng gian Phương pháp chung để giải tốn quỹ tích khơng gian: Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ vng góc không gian Oxyz phù hợp: xác định ba đường thẳng đồng quy đôi cắt sở giải thiết hình vẽ có sẵn( tam diện vng, hình hộp, hình lập phương, hình chóp tứ giác, tứ diện ) Bước 2: Tọa độ hóa yếu tố điểm cho: Tính tọa độ điểm dựa điều kiện song song, vng góc giả thiết Bước 3: Chuyển giả thiết sang tọa độ, biểu thức hình học giải tích: Lập phương trình đường, mặt liên quan Bước 4: Nhận dạng phương trình quỹ tích: Đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu ý miền xác định miền giá trị phương trình để có kết luận xác quỹ tích cần tìm Ví dụ 2.3.1 Cho góc tam diện vng Oxyz có A, B, C theo thứ tự điểm thay đổi Ox, Oy, Oz cho: OA + OB + OC = 2018 Tìm quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Lời giải • Xét hệ trục tọa độ Oxyz cho: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với (a, b, c ≥ 0) • Khi a + b + c = 2018 có phương trình mặt phẳng trung trực (α), (β), (γ) đoạn thẳng OA, OB, OC là: 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Mai Hương Hình 2.11: h11 b c a (α) : x = , (β) : y = , (γ) : z = 2 • Gọi I tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC ⇒ I giao điểm a b c ba mặt phẳng (α), (β) (γ) nên ta có I( ; ; ) 2 a b c a+b+c • Đặt x = , y = , z = Ta có: x + y + z = = 1009 2x 2y z Suy + + = 1009 1009 1009 Đây phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (ABC) với A(1009; 0; 0), B(0; 1009; 0), C(0; 0; 1009) Vậy quỹ tích điểm I hình tam giác ABC Ví dụ 2.3.2 Cho ∆1 , ∆2 hai đường thẳng cố định, vuông góc chéo Lấy hai điểm P, Q nằm ∆1 , ∆2 cho đoạn P Q khơng đổi a Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn P Q b Gọi (α) mặt phẳng vng góc với đường thẳng ∆1 P (β) mặt phẳng vng góc với đường thẳng ∆2 Q Tìm quỹ tích đường giao tuyến hai mặt phẳng (α) (β) 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Mai Hương Lời giải Hình 2.12: h12 • Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho ∆1 ≡ Ox, ∆2 ⊂ (Oxyz) ∆2 ⊥ Oz hình vẽ • Giả sử khoảng cách d(∆1 ; ∆2 ) = h P Q = a với a > h Gọi ∆2 ⊥ Oz = H Khi OH đường vng góc chung ∆1 ∆2 ⇒ H(0; 0; h) • Ta có phương trình đường thẳng ∆1 ; ∆2 là:         x = t x=0       (∆1 ) : y = (t ∈ R) (∆2 ) : y = t (t ∈ R)           z = z = h −→ a Vì P ∈ ∆1 Q ∈ ∆2 ⇒ P (t; 0; 0), N (0; t ; h) ⇒ P Q(−t; t ; h) √ Do ta có: P Q = a = t2 + t + h2 (1) 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Mai Hương   t       x = t = 2x       t • Giả sử I(x; y; z) trung điểm P Q ⇒ y = ⇔ t = 2y         h   z = z = h 2   2 h − a   a2 = 4x2 + 4y + h2 x2 + y = ⇔ ⇔ h h   z = z = 2 a Vậy quỹ tích điểm I đường tròn tâm A(0; 0; ), bán kính √ a h2 − a2 R= nằm mặt phẳng có phương trình z = 2 b Phương trình mặt phẳng (α) (β) là: (α) : x−t=0 (β) : y − t = • Gọi d = (α) ∩ (β) giao tuyến d có phương trình:   x − t =  y − t = (2) • Thay (2) vào (1) ta được: a2 = x2 + y + h2 ⇔ x2 + y = a2 − h2 Vậy quỹ tích giao tuyến d thuộc mặt trụ tròn xoay với vòng tròn có √ bán kính r = a2 − h2 mặt phẳng (Oxy) Nhận xét: Trong mặt phẳng, toán quỹ tích chủ yếu liên quan đến quỹ tích điểm khơng gian ngồi quỹ tích điểm ta có thêm quỹ tích đường thẳng tốn xét ví dụ Ví dụ 2.3.3 Cho tứ diện ABCD cạnh a = √ 12 Tìm quỹ tích điểm E cho tổng bình phương khoảng cách từ điểm đến mặt tứ diện Lời giải • Dựng hình lập phương AQCS.RDP B ngoại tiếp tứ diện ABCD 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Mai Hương Hình 2.13: h13 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: đỉnh S ≡ O, SA ≡ Ox, SB ≡ Oy, SC ≡ Oz √ a • Vì cạnh tứ diện a = 12 nên cạnh hình lập phương b = √ = √ Gọi I tâm hình lập phương vừa dựng I tâm √ √ hình tứ diện ABCD Ta có tọa√độ √ điểm: A( 6; 0; 0), B(0; 6; 0), √ √ √ √ √ 6 C(0; 0; 6), D( 6; 6; 6), I( ; ; ) 2 • Các mặt tứ diện có phương trình là: mp(ABC) : x + y + z − √ 6=0 √ mp(DBC) : −x + y + z − = √ mp(DCA) : x − y + z − = √ mp(DAB) : x + y − z − = Gọi E(x0 ; y0 ; z0 ) d4 = d(E, (ABC)), ta có 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Mai Hương √ √ x + y + z − 0 d4 = = (x0 + y0 + z0 − 6) 12 + 12 + 12 Tương tự, ta có √ d1 = d(E, (DBC)), d21 = (−x0 + y0 + z0 − 6)2 ; √ d2 = d(E, (DCA)), d22 = (x0 − y0 + z0 − 6)2 ; √ 2 d3 = d(E, (DBC)), d3 = (x0 + y0 − z0 − 6) ; • Cộng vế với vế phương trình được: √ d2i = [x20 + y02 + z02 + − 6(x0 + y0 + z0 )] i=1  √ √ √ 4 6 x0 − = + y0 − + z0 − 2 2  +  • Điểm E(x0 ; y0 ; z0 ) thỏa mãn điều kiện toán  d2i = = i=1 √ 4 x0 − √ y0 − + √ √ + z0 − 2  +2 3 ⇔ OE + = ⇔ OE = ⇔ OE = √ Vậy quỹ tích điểm E mặt cầu tâm I, bán kính Ví dụ 2.3.4 Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm I khơng gian cho từ đoạn thẳng IA, IB, IC dựng tam giác vng Lời giải 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Mai Hương Hình 2.14: h14 • Nếu IC cạnh huyền ta có đẳng thức IC = IA2 + IB • Xét hệ trục tọa độ vng góc Oxyz, gốc O ≡ A, trục tung Ay ≡ AB, trục cao Az ⊥ (ABC) Từ A(0; 0; 0), B(0; b; 0), C(a; c; 0), I(x; y; z) • Ta có: IC = IA2 + IB ⇔ (a − x)2 + (c − y)2 + z = x2 + y + z + x2 + (b − y)2 + z ⇔ (x − a)2 + (y + c − b)2 + z = b2 − 2bc Suy quỹ tích điểm I rỗng, điểm mặt cầu Ta tìm cách xác định tâm bán kính mặt cầu • Giả sử M trung điểm AB, N phần kéo dài CM cho M N = CM , tức ACBN hình bình hành Đặt AB = c; AC = b; BC = a Xét ∆IAB với IM đường trung tuyến ta có: AB c2 IA + IB = 2IM + = 2IM + 2 2 Vì IA2 + IB − IC = nên IC − 2IM = 52 c2 Giả sử IN C = ϕ, Khóa luận tốt nghiệp Đại học theo định lý cosin áp dụng vào Lê Thị Mai Hương IN C IN M : IC = IN + 4M N − 4IN.M N cos ϕ, (1) IM = IN + M N − 2IN.M N cos ϕ (2) Nhân (2) với trừ (1) ta được: 2IM − IC = IN − 2M N ⇒ IN = 2IM − IC + 2M N c2 c2 2 2 = 2IM − (2IM + ) + (a + b − ) = a2 + b2 − c2 2 • Tập hợp điểm I khác rỗng a2 + b2 − c2 ≥ 0, tức góc C tam giác khơng góc tù Do quỹ tích điểm I trường hợp tam giác ABC nhọn gồm mặt cầu có tâm N, P, Q cho −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ −→ −→ −→ CN = CA + CB, BP = BC + BA, AQ = AB + AC, bán kính tương √ √ √ ứng a2 + b2 − c2 , a2 − b2 + c2 , −a2 + b2 + c2 Trường hợp ABC vuông, quỹ tích điểm I mặt cầu điểm Trường hợp ABC tù, quỹ tích điểm I hai mặt cầu Nhận xét: Qua ví dụ cho ta thấy phương pháp tọa độ mạnh hình học giải tích so với hình học túy Hình học giải tích cho phép tìm quỹ tích vượt ngồi hình vẽ thước compa tính chất hình học đường cong đại số 2.3.2 Bài tập đề nghị Bài tập 2.3.1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân AB = AC = a, góc BAC = 1200 Đỉnh S di động đường thẳng AZ vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M, N trung điểm cạnh SB, SC 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Mai Hương a Tính khoảng cách hai đường thẳng AN CM b Tìm quỹ tích hình chiếu H A lên mặt phẳng SBC Bài tập 2.3.2 Trong mặt phẳng (P ) cho ∆ABC vuông A Gọi d đường thẳng qua A, vng góc với mặt phẳng (P ) Điểm S di động d H hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng (SBC) Chứng minh H trực tâm tam giác SBC Tìm quỹ tích điểm H Bài tập 2.3.3 Cho hình lập phương ABCD.A B C D có ba điểm M, N, P chuyển động AA , BC, C D tương ứng cho A M = BN = C P = a Tìm diện tích tam giác M N P theo a xác định M để diện tích nhỏ nhất? Bài tập 2.3.4 Cho hai đường thẳng ∆, ∆ cố định chéo vuông góc với Trên ∆ lấy điểm A cố định ∆ lấy B, C thay đổi cho mặt phẳng xuất phát từ ∆ qua B, C vng góc với Gọi A ; B ; C theo thứ tự chân đường cao AA ; BB ; CC ∆ABC a Tìm quỹ tích điểm B ; C b Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Mai Hương Kết Luận Luận văn đưa hệ thống lý thuyết phù hợp, với số ví dụ điển hình góp phần làm sáng tỏ cần thiết phương pháp tọa độ vào giải tốn quỹ tích dạy học tốn trường phổ thơng Qua ví dụ cụ thể đưa trên, ta thấy ưu điểm phương pháp tọa độ, không góp phần làm đa dạng, phong phú cách giải khác tốn quỹ tích Mặt khác, trở thành phương pháp hay giúp việc giải số tốn quỹ tích phức tạp trở nên đơn giản nhiều Do bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học với thời gian chuẩn bị chưa nhiều, cộng thêm vốn kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu thân hạn chế, chắc khóa luận nhiều thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2018 Tác giả khóa luận Lê Thị Mai Hương 55 Tài liệu tham khảo [1] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình, Tài liệu giáo khoa chun tốn hình học 10, năm 2009 Nxb Giáo Dục Việt Nam [2] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình, Tài liệu giáo khoa chun tốn tập hình học 10, năm 2009 Nxb Giáo Dục Việt Nam [3] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình, Tài liệu giáo khoa chun tốn hình học 12, năm 2012 Nxb Giáo Dục Việt Nam [4] Lê Hồng Đức (chủ biên), Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Chí, Các phương pháp giải hình học khơng gian phép tọa độ hóa, Nxb Hà Nội [5] Vũ Xuân Sang, Phương pháp giải toán quỹ tích hình học khơng gian, năm 2017 56 ... tập hình học có nhiều phương pháp giải khác như: Phương pháp tọa độ, phương pháp tổng hợp, phương pháp biến hình, phương pháp vecto Trong nhiều trường hợp, phương pháp tọa độ công cụ hữu hiệu... Chương giới thiệu tốn quỹ tích nêu ví dụ điển hình tốn quỹ tích giải phương pháp tọa độ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức phương pháp tọa độ ứng dụng vào việc giải tốn quỹ tích Nhiệm vụ nghiên... 22 Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải số tốn quỹ tích 24 2.1 24 Một vài nét tốn quỹ tích ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 2.3 Lê Thị Mai Hương 2.1.1 Bài tốn quỹ tích