50 bài tập trắc nghiệm sử dụng phương pháp tọa độ giải bài toán hình học không gian

Tài liệu gồm 67 trang, tuyển chọn 50 bài tập trắc nghiệm sử dụng phương pháp tọa độ giải bài toán hình học không gian, có đáp án và lời giải chi tiết; đây là dạng toán vận dụng – vận dụng cao (VD – VDC) thường gặp trong chương trình Hình học 12 chương 3 (phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz) và đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán. Nội dung tài liệu được phân thành 04 dạng toán: 1. Dạng toán 1: Hình chóp có cạnh bên hoặc một mặt vuông góc với đáy. 2. Dạng toán 2: Hình chóp đều và hình chóp dạng khác. 3. Dạng toán 3: Hình lăng trụ tam giác. 4. Dạng toán 4: Hình hộp.

50 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VD - VDC SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN ĐỀ BÀI DẠNG TỐN 1: HÌNH CHĨP CĨ CẠNH BÊN HOẶC MỘT MẶT VNG GĨC VỚI ĐÁY Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mặt phẳng đáy Góc mặt bên ( SBC ) với mặt phẳng đáy 45 Gọi M , N trung điểm AB SB Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng MD CN A Câu 2: a B a 21 C 2a D 2a 21 21 ABC  60o , BC  2a Gọi D Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A ,    điểm thỏa mãn 3SB  SD Hình chiếu S mặt phẳng  ABC  điểm H thuộc đoạn BC cho BC  BH Tính góc hai đường thẳng AD SC biết SA tạo với mặt đáy góc 60 o A 60 o B 45o C 90 o D 30 o Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 5a , cạnh bên SA  10a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tính tan góc tạo hai mặt phẳng  AMC   SBC  A Câu 4: 2 C D Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB Hình chiếu S lên mặt phẳng  ABCD  trùng với trung điểm I AB Gọi H , K trung điểm DC SB , biết SH  A Câu 5: B a Tính khoảng cách HK SC B 15 C 15 D 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với đáy, AB  a, AD  2a, SA  3a Gọi M , N hình chiếu A lên SB, SD P giao điểm SC với mặt phẳng  AMN  Tính thể tích khối chóp S AMPN 1869a3 A 140 Câu 6: 5589a3 B 1820 181a C 120 1863a3 D 1820 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh , SA vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  SA  Gọi M , N hai điểm thay đổi hai cạnh AB , AD cho mặt phẳng  SMC  vng góc với mặt phẳng  SNC  Thể tích khối chóp S AMCN đạt giá trị nhỏ A 4 B 8 C  D 4 Trang 1/69 Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B , AB  BC  a , AD  2a ; cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Gọi M , N trung điểm SB , CD Tính cosin góc MN  SAC  A Câu 8: B 55 10 C 10 D Cho hình chóp S ABC có ABC vng B , AB  1, BC  , SAC đều, mặt phẳng  SAC  vng với đáy Gọi  góc hai mặt phẳng  SAB   SBC  Giá trị cos  A Câu 9: 65 65 B 65 20 C 65 10 D 65 65 Cho hình lập phương ABCD AB C D  có cạnh , gọi điểm M tâm mặt bên ABBA , điểm N , P, Q, K trung điểm cạnh AC , DD, DC , BC  Tính cosine góc hai mặt phẳng  MNP   AQK  A B C 102 34 D Câu 10: Cho hình chóp S A B C D có đáy ABCD hình vng cạnh a S A vng góc với mặt 3a phẳng đáy H K hai điểm nằm hai cạnh BC CD cho BH  , KD  x (0  x  a ) Tìm giá trị x để hai mặt phẳng  SAH   SAK  tạo với góc 45 a A x  B x  a C x  2a 2a D x  Điểm C di động tia Oz vng góc  OAB  , gọi H trực tâm tam giác ABC Khi C di động Câu 11: Trong không gian, cho tam giác OAB cân O có OA  OB  5; tan  AOB  tia Oz H ln thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn bằng: A B C D   Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a , góc BCD  120 a3 SA   ABCD  Thể tích khối chóp S ABCD Gọi M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SOD Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng  SBC  theo a A h  a 57 19 B h  a 57 38 C h  5a D h  5a 19 Câu 13: Cho tam giác ABC vng A đường thẳng  vng góc với mặt phẳng  ABC  điểm A Các điểm M , N thay đổi đường thẳng  cho  MBC    NBC  Biết AB  b, AC  c Giá trị nhỏ thể tích tứ diện MNBC theo b c A 3b2c b2  c2 B b2c b2  c C bc b2  c D b2c b2  c2 Trang 2/69 DẠNG TỐN 2: HÌNH CHĨP ĐỀU VÀ HÌNH CHĨP DẠNG KHÁC Câu 14: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Gọi M N trung điểm hai cạnh SA BC Biết MN  a , tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng  SBD  A B C D Câu 15: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD ; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) SH  a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a A a 57 19 B a 57 19 C 2a 13 19 D a 19 Câu 16: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi E , M trung điểm cạnh BC , SA,  góc tạo đường thẳng EM mặt phẳng  SBD  Tính sin  A sin   B sin   C sin   D sin   Câu 17: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a chiều cao h Gọi I trung điểm cạnh bên SC Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng  AIB  A ah 4h  a B ah 4h  a C ah 4h  a D 2ah h  3a Câu 18: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng cạnh a , tâm O Gọi E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA , M trung điểm AE , N trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC A a B a C a D a Câu 19: Cho hình lăng trụ ABC ABC  có A ABC tứ diện cạnh a Gọi M , N trung điểm AA BB Tính tan góc hai mặt phẳng  ABC   CMN  A B C 2 D 13  Câu 20: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân A AB  a , BAC  120 SA  SB  SC Gọi  góc hai mặt phẳng  SAB   SBC  cho cos   Khi thể tích khối chóp SABC A 3a 12 B 2a C a3 D 2a Câu 21: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , AC  2a , tam giác SAB tam giác SCB vuông A , C Khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABC  2a Cơsin góc hai mặt phẳng  SAB   SCB  bằng: Trang 3/69 A B C D Câu 22: Cho hình chóp SABCD có cạnh đáy , cạnh bên Gọi M , N điểm thuộc SB , SD cho SB  3SM , SD  3DN Khoảng cách AM CN 40 72 24 40 A B C D 857 857 153 257 Câu 23: Cho hình chóp tam giác S ABC có SA  2a , AB  a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách d từ M tới mặt phẳng  SAB  A d  a 165 30 B d  a 15 C d  a 65 15 D d  a 65 10 Câu 24: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD  AB  2BC  2CD  2a Hai mặt phẳng  SAB   SAD  vng góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi M , N trung điểm SB CD Tính cosin góc MN  SAC  , biết thể tích khối chóp a3 S ABCD A 10 B 310 20 C 310 20 D 10 Câu 25: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông A , AB  3a , AC  4a Các mặt bên  SAB  ,  SAC  ,  SBC  tạo với đáy  ABC  góc 450 Biết chân đường vng góc hạ từ S xuống mặt phẳng  ABC  nằm miền tam giác ABC Gọi góc tạo hai mặt phẳng  SAC   SBC   Tính cos A cos  10 B cos  C cos  D cos  15 Câu 26: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ABC  điểm H thuộc cạnh AB cho HA  HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABC  60 o Tính khoảng cách h hai đường thẳng SA BC theo a A a 42 B a 42 12 C a 42 D a 42 24 DẠNG TỐN 3: HÌNH LĂNG TRỤ TAM GIÁC Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có AB  AC  a , góc  ABC  30  , góc đường thẳng AB mặt phẳng  ABC  45 Gọi M , N trung điểm BC CC Cosin góc mặt phẳng  AMN  mặt phẳng  ABC  A B C 13 D Câu 28: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a mặt bên hình vng cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác ABC I trung điểm đoạn thẳng CC ' Khoảng cách hai đường thẳng A ' B GI Trang 4/69 A a 11 22 B 3a 11 C a 11 12 D 3a 11 22 Câu 29: Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC vuông cân A , cạnh BC  a Góc mặt phẳng  AB ' C  mặt phẳng  BCC ' B ' 600 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' ? A V  2a 3 B V  a3 C V  3a 3 D V  3a 3 Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác cân, với AB  AC  a góc   120 , cạnh bên AA  a Gọi M trung điểm CC  Cosin góc tạo hai mặt BAC phẳng  ABC   ABM  A 11 11 B 33 11 C 10 10 D 30 10 Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C  có đáy tam giác vng A , AB  AC  a có cạnh bên 2a Gọi M , N trung điểm BB ', CC ' Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A ' MN ) A a B 2a C 3a D a Câu 32: Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác cân C , AB  2a , AA  a ,  góc BC   ABBA  60 Gọi N trung điểm AA M trung điểm BB Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  BC N  A 2a 74 37 B a 74 37 C 2a 37 37 D a 37 37 Câu 33: Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có AB  AC  a , góc BAC 120 , AA  a Gọi M , N trung điểm BC  CC  Khoảng cách đường thẳng MN AH A a B a C a D a Câu 34: Cho hình lăng trụ ABC A1 B1C1 có đáy tam giác cạnh a AA1  2a vuông góc với mặt phẳng  ABC  Gọi D trung điểm BB1 , M di động cạnh AA1 Giá trị lớn diện tích MC1D A a 15 B a 15 C a2 D a 10 Câu 35: Cho lăng trụ tam giác ABC.A ' B ' C ' có tất cạnh a , M điểm di chuyển đường thẳng A ' C ' ; Tính khoảng cách lớn AM BC ' A a 34 B a 17 C a 14 D a 21 Câu 36: Cho lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông, AB  BC  a , cạnh bên AA '  a Gọi M trung điểm BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM BC Trang 5/69 A a B a 21 C a D a Câu 37: Cho lăng trụ đứng ABCABC có đáy ABC tam giác vuông A AB  1, AC  Gọi  p góc tạo đường thẳng BC mặt phẳng ( ABC ) có số đo lớn Biết sin   ( với q p, q nguyên tố ) Giá trị tổng p  q A 11 B C D Câu 38: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có độ dài cạnh đáy a Góc  ABC   ABC  60 Gọi M , N trung điểm BC CC Tính khoảng cách AM AN A 6a 97 97 B 3a 97 97 C 6a 65 65 D 3a 65 65 DẠNG TỐN 4: HÌNH HỘP Câu 39: Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có tất cạnh a M điển thỏa mãn   CM   AA Cơsin góc hai mặt phẳng  AMB   ABC  30 30 30 A B C D 10 16 Câu 40: Cho hình hộp ABCD ABCD tích V Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB , AC , BB Tính thể tích khối tứ diện CMNP V V A B V C D V 48 48   600 AA  2a Câu 41: Cho hình hộp ABCD ABC D , có đáy hình thoi cạnh 2a , tâm O , BAD Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABCD  trùng với tâm O Gọi M trung điểm CD Khoảng cách hai đường thẳng AM BD 21 21 21 A B C 7 D 21 Câu 42: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD , có AB  a , AD  a , góc AC mặt phẳng  ABCD  30 Gọi H hình chiếu vng góc A AB K hình chiếu vng góc A AD Tính góc hai mặt phẳng  AHK   ABB A  A 60 B 45 C 90 D 30 Câu 43: Cho lăng trụ ABCD A1 B1C1 D1 có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc A1 lên  ABCD  trùng với giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng  A1 BD  A a B a C a 21 D a Câu 44: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi K trung điểm DD ' Tính khoảng cách hai đường thẳng CK A ' D Trang 6/69 A a B a C a a D Câu 45: Cho hình hộp chữ nhật ABCD AB C D  có AB  3a , AD  AA  a Lấy điểm M thuộc đoạn AB  , điểm N thuộc đoạn AC  cho AM  AN  x ,  x  10a Tìm x theo a để   đoạn MN nhỏ A B 30a C 10 a D 10 a Câu 46: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có AB  a , AD  a , AA '  3a Gọi M , N , P trung điểm BC , C ' D ' DD ' Tính khoảng cách từ A đến mp  MNP  A 15 a 22 B a 11 C a D 15 a 11 Câu 47: Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy tam giác vng cân, AA  2a , AB  AC  a Gọi G G  trọng tâm tam giác ABC tam giác AB C  , I tâm hình chữ nhật ABBA Thể tích khối A.IGCG  A a3 B a3 C a3 D a3 30 Câu 48: Cho hình hộp ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy hình vng cạnh a Mặt phẳng ( ABB ' A ') vng góc với đáy, tam giác A ' AB vng A ' , góc BA ' đáy 600 Gọi I tâm hình vng ABCD Tính khoảng cách hai đường thẳng IA ' DB ' A a 55 B a 55 C a 55 D a Câu 49: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA  2a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tang góc tạo hai mặt phẳng ( AMC ) (SBC) A B C D Câu 50: Hai bóng hình cầu có kích thước khác đặt hai góc nhà hình hộp chữ nhật cho bóng tiếp xúc với hai tường nhà Biết bề mặt hai bóng tồn điểm có khoảng cách đến hai tường nhà mà tiếp xúc 1; 2; Tổng độ dài đường kính hai bóng là? A B 12 C 14 D 16 HẾT Trang 7/69 BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 11.A 21.B 31.B 41.B 2.C 12.A 22.A 32.A 42.B 3.D 13.D 23.A 33.D 43.B 4.D 14.B 24.C 34.A 44.A 5.D 15.A 25.A 35.C 45.C 6.B 16.A 26.A 36.D 46.D 7.B 17.A 27.D 37.D 47.B 8.D 18.A 28.D 38.B 48.C 9.C 19.C 29.D 39.A 49.B 10.A 20.A 30.D 40.A 50.C HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mặt phẳng đáy Góc mặt bên ( SBC ) với mặt phẳng đáy 45 Gọi M , N trung điểm AB SB Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng MD CN A a B a 21 C 2a D 2a 21 21 Lời giải Chọn D z S N O A M 45° B y D x C Gọi  hai mặt phẳng  SBC   ABCD   BC  AB  BC   SAB  Ta có BC   SBC    ABCD    BC  SA Suy    ABS  45 Do SAB vuông cân A nên SA  a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz (như hình vẽ) cho A  O(0;0;0), D  a;0;0 B  0; a;0  ; S  0;0; a   a a  a  Khi C  a; a;  , N  0; ;  , M  0; ;   2      a   MD   a; ;0     2      MD; NC    a ; a ; a        a a     Suy  NC   a; ;    2     a    CD   0; a;   CD  MD; NC     Trang 8/69 a    CD  MD, NC  2a 21  d  MD, NC       21 a 21  MD, NC    Cách khác: Dựng hình bình hành DMEC Ta có MD //  CNE  nên d  MD, CN   d  MD,  CNE    d  M ,  CNE   Gọi I hình chiếu M lên CE H hình chiếu M lên NI Suy MH   CNE  hay d  MD, CN   d  M ,  CNE    MH Gọi  hai mặt phẳng  SBC   ABCD   BC  AB  BC   SAB  Ta có BC   SBC    ABCD    BC  SA Suy    ABS  45 Do SAB vuông cân A nên SA  a   MI  BC  MI  BC.ME  2a Ta có sin MEC ME CE CE MH  MI MN MI  MN Câu 2:  2a 21 21 ABC  60o , BC  a Gọi D Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A ,    điểm thỏa mãn 3SB  SD Hình chiếu S mặt phẳng  ABC  điểm H thuộc đoạn BC cho BC  BH Tính góc hai đường thẳng AD SC biết SA tạo với mặt đáy góc 60 o A 60 o B 45 o C 90 o Lời giải D 30 o Chọn C z S x O B H C D y A Trang 9/69 a2 a 3a a Ta có AH  BH  BA  2.BH BA.cos 60   a  .a   AH  2 2 tan 60o  2 o SH 3a  SH  AH  AH AC  BC.sin 60  2a Ta có AH  HC  3a  a , HC  BC  9a 3a   3a  AC nên tam giác AHC vuông H , tức 4 AH  HC 3  Chọn a  chọn hệ trục tọa độ Oxyz (như hình vẽ) cho O  H  0;0;0 , C  ; 0;  , 2    3  A  0; ;0  , S  0; 0;  2      3 9 3      Suy B   ;0;0  SB    ;0;    SD    ; 0;    D   ;0;   2 4 4        3   Ta có DA   ;  ;   u      3; 2; véctơ phương AD    3 SC   ; 0;    v  1;0; 1 véctơ phương SC 2 2  Ta có u v   AD  SC Vậy góc hai đường thẳng AD SC 90 o Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 5a , cạnh bên SA  10a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tính tan góc tạo hai mặt phẳng  AMC   SBC  A B C D Lời giải Chọn D Chuẩn hóa với a  Xét hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ sau: Trang 10/69 Câu 37: Cho lăng trụ đứng ABCABC có đáy ABC tam giác vng A AB  1, AC  Gọi  góc tạo đường thẳng BC mặt phẳng ( ABC ) có số đo lớn Biết sin   p ( với q p, q nguyên tố ) Giá trị tổng p  q A 11 B C Lời giải D Chọn D Giả sử AA  m (m  0) Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ: A(0; 0; 0), B (1; 0; 0), C (0; 2; 0), C (0; 2; m ), A(0; 0; m) x y z     2mx  my  z  2m  m   véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABC ) là: n(2m; m; 2) Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là:  BC (1; 2; m) véc tơ phương đường thẳng BC   sin   cos(n; BC )  2m  5m  m  2m (5m  20)  29m2 Áp dụng bất đẳng thức cô si cho số 5m 20 : sin   2m 5m4 20  29m2  2m 20m2  29m2  Dấu “=” xảy 5m4  20  m  Vậy p  2, q   p  q  Trang 53/69 Câu 38: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có độ dài cạnh đáy a Góc  ABC   ABC  60 Gọi M , N trung điểm BC CC Tính khoảng cách AM AN A 6a 97 97 B 3a 97 97 C 6a 65 65 D 3a 65 65 Lời giải Chọn B Do BC vng góc với mặt phẳng  AMA  nên góc mặt phẳng  ABC   ABC  góc AMA 60 , Trong tam giác vng AAM : tan 600  AA ' a 3a  AA '  3 AM 2 Trong mặt phẳng  ABC  kẻ đường thẳng Ay song song với BC , đường AM , Ay, AA đơi vng góc với Xét hệ tọa độ Axyz cho: M  Ax, A '  Az Ta có: A(0;0; 0), A '(0; 0; 3a a a a 3a ), M ( ;0; 0), N ( ; ; ) 2 2  a   3a  a a 3a 3a 9a a   suy ra: A ' M ( ; 0;  ), AN ( ; ; )   A ' M , AN   ( ; ; ) 2 2 4 Áp dụng công thức tính khoảng cách đường thẳng chéo nhau, ta có:     A ' M , AN  AM 3a3 / 3a 97   d ( A ' M , AN )      97 a 291 /  A ' M , AN    Cách giải theo hình học cổ điển: Trang 54/69 Kẻ AE //AN  E  AC   AN //  AME   d  AM , AN   d  AN ,  AME    d  A,  AME    AK Có 1   2 AK AA AH a 3a AMA  60  A ' A  tan 60 AM  +Có góc  ABC   ABC    2 +Dễ thấy AE  A ' F  AC , với F  A ' N  AC S AME 2S AME 2 a2  AH EM  AH  ; mà S AME  S MEC  S ABC  S ABC  3 EM EM  AE  AM  AE AM cos150  Vậy a 31 a 53  AH  31 1 97 97     AK  a 2 97 AK AH AA 9a Câu 39: Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có tất cạnh a M điển thỏa mãn   CM   AA Côsin góc hai mặt phẳng  AMB   ABC  A 30 10 B 30 C 30 16 D Lời giải Chọn A Xét hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có tất cạnh a Gắn hệ trục hình vẽ quy ước a  ( đơn vị ) Trang 55/69 Gọi D giao điểm AM AC Vì tam giác ABC tam giác cân cạnh a nên ta suy độ dài đường trung tuyến a Suy tọa độ điểm hình vẽ     AD   DA  2 DC Theo giả thiết ta có CM   AA  ADA  CDM  CD   Vậy tọa độ điểm D là: D  0; ;1     Ta có mặt phẳng ( ABC ) có phương trình z   n ABC    0;0;1 Mặt khác mặt phẳng  AMB  mặt phẳng qua ba điểm A , D B         1  3  ; ;1  n  ABM    AD , AB    ; ; Ta có: AD   0; ;1  AB       2  6  Vậy  sin góc tạo hai mặt phẳng  AMB   ABC  là:    cos  A ' BM  ,  ABC   cos n ABM  , n ABC        3   36  30  10 10 Cách khác:       3 3     AB   ; ;1 , AM   0;1;  ,  AB , AM     ; ;    1;3 3; 2  2   2   4   Trang 56/69   mp  AMB  có vectơ pháp tuyến n ABM   1;3 3; 2    Mp(ABC) mp(Oxy): z=0 có vtpt n ABC    0;0;1    cos  A ' BM  ,  ABC   cos n ABM  , n ABC       2  27  12  30 10 Câu 40: Cho hình hộp ABCD ABCD tích V Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB , AC , BB Tính thể tích khối tứ diện CMNP V V A B V C D V 48 48 Lời giải Chọn A Đây toán tổng quát, ta đưa cụ thể, giả sử hình hộp cho hình lập phương có cạnh Khi V  Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, A gốc toạ độ, trục Ox, Oy , Oz nằm cạnh AB, AD, AA Khi đó, 1 1   C 1;1;  ; B 1; 0;   M  ; 0;  ; B  1; 0;1  P  1; 0;  ; 2 2   1  A  0; 0;1 , C  1;1;1  N  ; ;1  2    1    1    Ta có CM    ;  1;  , CN    ;  ;1  , CP   0;  1;  2    2   Khi VCMNP     5 CM , CN  CP     VCMNP  V   48 48 Trang 57/69   600 AA  2a Câu 41: Cho hình hộp ABCD ABC D , có đáy hình thoi cạnh 2a , tâm O , BAD Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABCD  trùng với tâm O Gọi M trung điểm CD Khoảng cách hai đường thẳng AM BD bằng: A 21 B 21 C 21 D 21 Lời giải Chọn B z A' B' C' D' A B O D M x C y   600 nên tam giác ABD tam giác +) Đáy ABCD hình thoi cạnh 2a , tâm O , BAD cạnh 2a  AO  AO  2a  3a AA2  AO  4a  3a  a +) Giả sử a  Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ O  O  0; 0;  , D 1; 0;   Ox ,    C 0; ;  Oy A  0; 0;1  Oz Khi đó, B  1; 0;  , A 0;  ;0     Ta có: BB  DD  AA  0; ;1 nên tìm B 1; ;1 D 1; ;1       1  ;0  M trung điểm CD  M  ; 2      AM ; BD AB   +) Ta có: d  AM ; BD      AM ; BD       AM   ; ;  1    2     AM ; BD  0;  2;    BD   2; 0;0     Trang 58/69   21   Mà AB  1; ; nên d  AM ; BD   043   Câu 42: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD , có AB  a , AD  a , góc AC mặt phẳng  ABCD  30 Gọi H hình chiếu vng góc A AB K hình chiếu vng góc A AD Tính góc hai mặt phẳng  AHK   ABB A  A 60 B 45 C 90 Lời giải D 30 Chọn B Do ABCD ABCD hình hộp chữ nhật nên A ' C ' hình chiếu vng góc A ' C  ( ABCD )  ( A ' C , ( ABCD ))  ( A ' C , A ' C ')  CA ' C '  300 CC '  'C '   CC '  a Ta có AC  AB  AD  a 3; tan CA A 'C ' Kết hợp với giả thiết ta ABB ' A ' hình vng có H tâm Gọi E, F hình chiếu vng góc K A ' D '& A ' A Ta có 1 a a    AK  ; A ' K  A ' A2  AK  ; 2 AK A ' A AD 3 1 a a    KF  ; KE  A ' K  KF  KE  2 KF KA A' K 3 Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O  A ' D, B, A theo thứ tự thuộc tia Ox, Oy, Oz Khi ta có tọa độ điểm là: a a a a a a A(0;0; a), B '(0; a;0), H (0; ; ), K ( ;0; ), E ( ;0;0), F (0;0; ) 2 3 3  Mặt phẳng  ABB ' A '  mặt phẳng ( yOz) nên có VTPT n1  (1; 0;0); Trang 59/69   a2   Ta có  AK , AH   n , n (2; 2; 2)  Mặt phẳng ( AKH ) có VTPT n  (2; 2; ); Gọi  góc hai mặt phẳng  AHK   ABB A       450 Ta có cos  cos(n1 , n )  Câu 43: Cho lăng trụ ABCD A1 B1C1 D1 có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc A1 lên  ABCD  trùng với giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng  A1 BD  A a B a C a 21 D a Lời giải Chọn B Chọn hệ trục toạ độ cho tâm O hình vng ABCD gốc toạ độ, OA trục Ox, OB trục Oy, OA1 trục Oz hình vẽ a  ; 0;0     A  Vì mp  A1 BD   mp (Oyz ) nên mp  A1 BD  có phương trình: x  AB1 cắt mp  A1 BD  trung điểm AB1  d (B1 ;( A1 BD))  d ( A;( A1 BD))  a a  2 Câu 44: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi K trung điểm DD ' Tính khoảng cách hai đường thẳng CK A ' D a a a a A B C D Lời giải Trang 60/69 Chọn A Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O trùng với điểm A , tia Ox , Oy , Oz trùng với tia AB , AD , AA ' Khi A  0; 0;  , B  a; 0;  , D  0; a;  , A '  0; 0; a  , B '  a; 0; a  , C  a; a;  a Gọi M trung điểm BB '  M  a; 0;  2     a 2  a   a    A ' M   a; 0;   , A ' D   0; a; a    A ' M , A ' D    ; a ; a   1; 2;  2     Suy  A ' DM  nhận n  1; 2;  làm vec tơ pháp tuyến qua điểm A '  0; 0; a   A ' DM  : x  y  z  2a  Do M trung điểm BB ' nên A ' M / /CK d  CK , A ' D   d  CK ,  A ' DM    d  C ,  A ' DM    a  2a  2a 2 2 2  a Câu 45: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB  3a, AD  AA  a Lấy điểm M thuộc đoạn   AB , điểm N thuộc đoạn AC  cho AM  AN  x ,  x  10a , Tìm x theo a để đoạn MN nhỏ A B 30a C 10a D 10a Lời giải Chọn C Trang 61/69 z A' D' F N B' C' M y A D E B C x Ta có AB   AB  BB 2  9a  a  10a Gọi E hình chiếu M lên AB Ta có AE AM AB AM 3ax 3x   AE    AB AB  AB  10a 10 ME AM BB  AM ax x   ME    BB  AB  AB  10a 10 Gọi F hình chiếu N lên AB  Tương tự ta tính AC   10 a , AF  3x 10 , NF  x 10 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O  A , điểm B , D , A nằm tia Ox , Oy , Oz Khi ta có tọa điểm là: A  0; 0;  , B  3a; 0;  , D  0; a;  , A  0; 0; a  ,  3x  3x  x  x M ;0; ; ;a , N  10   10  10 10   x2  x   a  Ta có MN  10  10  GTNN MN a 2x 10   x a  a2 x 2ax a   a       10 10 10 2   a x 10a Câu 46: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có AB  a , AD  a , AA '  3a Gọi M , N , P trung điểm BC , C ' D ' DD ' Tính khoảng cách từ A đến mp  MNP  A 15 a 22 B a 11 C a D 15 a 11 Lời giải Chọn D Trang 62/69 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O trùng với điểm B , tia Ox; Oy; Oz trùng với tia BA; BC; BB ' Khi B  0; 0;  ; A  a; 0;  ; C  0; a;  ; D  a; 2a;  ; C '  0; a;3a  ; D '  a; a;3a  3a a Suy M  0; a;  ; P  a; a;  N  ; 2a; 3a    2   3a  a Ta có MP  a; a;  ; MN  ; a;3a  , vectơ pháp tuyến  MNP  là:   2     3 1 a n   MP; MN   a  ;  ;    6; 9;  2 2 Suy  MNP  :6 x  y  z  9a  0; A  a;0;0  Vậy d  A;  MNP    6a  9a 2 9 2  15a 11 Câu 47: Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy tam giác vuông cân, AA  2a , AB  AC  a Gọi G G  trọng tâm tam giác ABC tam giác AB C  , I tâm hình chữ nhật ABBA Thể tích khối A.IGCG  A a3 B a3 C a3 D a3 30 Lời giải Chọn B Trang 63/69 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O trùng với điểm A , tia Ox , Oy , Oz trùng với tia AB , AC AA a a Suy A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  0; a;0  , A  0;0;2a  , B  a;0;2a  , C  0; a;2a  , G  ; ;  , 3  a a  a  G  ; ; 2a  , I  ; 0; a  (vì I trung điểm AB AB ) 3         a a a 2a Ta có IG    ; ;  a  G C    ; ; 2 a  Suy IG GC phương    3  Do bốn điểm I , G , C , G  đồng phẳng  a 2a Mặt khác GC    ; ;   3     4a 2a    G ; ;0  nên mặt phẳng  IGCG có véc-tơ pháp tuyến n   2;1;0  Vì  C , GC      Vậy phương trình mặt phẳng  IGCG : x  y  a  Suy h  d  A,  IGCG     a 1  a Diện tích tứ giác IGCG S IGCG    IG  G C  d  IG , G C    GC, GC  a 41 a 41    Trong IG  , GC  , d  IG, GC   d  G, GC   GC    4a 2a  Vì  G C , GC    ; ;  nên d  IG, GC   2a 41 3    a 41 a 41  a2   Suy SIGCG    2a 2  41 Thể tích cần tìm A' 1 a 5 a VA.IGCG  SIGCG d  A,  IGCG   a  3 E' B' Cách khác: Gọi E , E  trung điểm AB, AB , kẻ AH vng góc CE H  CEE C  hình chữ nhật, C' G' I A E H G C B Trang 64/69 EE   CC'  2a , CE  C E   a  AH  a a a2 a  , CG  C G  , GE  GE  , AE.AC a  CE SIGCG  SCEEC  SIEG  SIEG  SCGC  2a a 1 a 5 a a2   a  a   2   1 a2 5 a3 VA.IGCG  SIGCG AH  a  3 Cho hình hộp ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy hình vng cạnh a Mặt phẳng ( ABB ' A ') vuông góc với đáy, tam giác A' AB vng A' , góc BA ' đáy 0 Câu 48: Gọi I tâm hình vng ABCD Tính khoảng cách hai đường thẳng IA ' DB' A a 55 B a 55 C a 55 D a Lời giải Chọn C Gọi O hình chiếu vng góc A' lên cạnh AB Vì mặt phẳng ( ABB ' A ') vng góc với ( ABCD ) nên A ' O  ( ABCD ) Ta có góc BA' mặt phẳng ( ABCD ) góc Ta có BA '  AB.cos 60   A' BO a a a , BO  A ' B.cos 600  , OA '  A ' B.sin 60  4 Chọn hệ tọa độ O xyz hình vẽ Khi O (0; 0; 0) , A '(0;0; a a a 3a a ) , B ( a ; 0; 0) , I ( ; ;0), D( ; a;0), B '(a;0; ) 4 4   a a a    7a a   ;  , DB '   ; a;  ; A ' B '   a;0;0  4   Ta có IA '   ; Trang 65/69    a2 3a2 5a2   ; ; Khi đó:  IA '; DB '    8   a3     IA '; DB ' A ' B '  Ta có: d (A'I; DB')        IA '; DB '     27 25  a4      64 64 64  a3 a  a 55 55 Câu 49: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA  2a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tang góc tạo hai mặt phẳng ( AMC ) ( SB C ) A B C D Lời giải Chọn B Để thuận tiện việc tính tốn ta chọn a  Trong không gian, gắn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ cho gốc O trùng với điểm A , tia O x chứa đoạn thẳng AB , tia O y chứa đoạn thẳng AD , tia Oz chứa đoạn thẳng AS Khi đó: A (0 ; ; 0) , B (1; 0; 0) , C (1;1; 0) , S (0; 0; 2) , D(0;1; 0)     Vì M trung điểm SD nên tọa độ M M  0; ;1   SB Ta có    BC Gọi   (1; 0; 2)  (0;1; 0)     n SBC   [ SB; BC ] =(2;0;1) góc hai mặt phẳng ( AMC ) ( SB C )   n SBC  n AMC     Suy cos   cos n SBC  ; n AMC     n SBC  n AMC   Mặt khác,  tan   Vậy tan    5      1  tan   1 cos  cos  1  Câu 50: Hai bóng hình cầu có kích thước khác đặt hai góc nhà hình hộp chữ nhật cho bóng tiếp xúc với hai tường nhà Biết Trang 66/69 bề mặt hai bóng tồn điểm có khoảng cách đến hai tường nhà mà tiếp xúc 1; 2; Tổng độ dài đường kính hai bóng là? B 12 A C 14 Lời giải: D 16 Chọn C z a y a O I a x Xét bóng góc nhà Chọn hệ trục hình vẽ, trục O x , O y , O z ba mép tường nhà; O góc nhà Tâm bóng I  a; b; c Vì bóng tiếp xúc với hai tường nhà nên chúng tiếp xúc với ba mặt d  I ;  Oxy    d  I ;  Oyz    d  I ;  Oxz    R  a  b  c  R  phẳng tọa độ, Gọi mà M  x; y; z  điểm nằm bóng có khoảng cách đến hai tường nhà M 1;2;4 tiếp xúc 1; 2; , ta suy Điểm M nằm bóng khi: IM  R  a  2  a 1   a  2   a  4 a  a  14 a  21   7 a    7 a   Vì hai bóng có vai trị tính chất nên chúng có bán kính là: R1  7 7 ; R2  2 Vậy tổng đường kính hai bóng d  2 R1  R2   14 HẾT -Trang 67/69 ... 3a 4a 12 a 19 Vậy d  M ,  SBC    a 57 AK  19 Cách 2: Phương pháp tọa độ Khơng tính tổng qt, ta giả sử a  Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, Oz //SA Khi ta có  1     1  O  0; 0;0 ... A B C D Lời giải Chọn D Chuẩn hóa với a  Xét hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ sau: Trang 10/69 z S (0;0;10) (0; ;5) M B (5;0;0) A≡O x (0;5;0) D y C (5;5;0) Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ   A ... x  a C x  2a D x  2a Lời giải Chọn A Trang 19/69 Ta chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Khi A  0;0;0  ; B  a;0;0  ; D  0; a;0 ; S  Oz  3a  Qua ta có tọa độ điểm C  a; a;0  ; H  a; ;0