Giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ, tổng hợp các bài toán điển hình cùng phương pháp và lời giải chi tiết
1 1. Hình chóp tam giác Bài 1. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2002). Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có độ dài cạnh AB a = . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích của tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Gợi ý: Gọi O là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC, ta có 3 3 , , . 2 2 6 a a a OA OB OC OG= = = = Đặt 0. SG z = > Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và song song với SG (xem hình vẽ). Khi đó 3 3 ;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , ;0; . 2 2 2 6 a a a a A B C S z − 3 3 ; ; , ; ; . 12 4 2 12 4 2 a a z a a z M N − Tính được 15 . 6 a z = Suy ra 2 10 . 16 AMN a S = x y z G O S A B C Bài 2. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2007). Trong nửa mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính AB và điểm C trên nửa đường tròn đó sao cho AC R = . Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60 o . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh rằng tam giác AHK vuông và tính thể tích khối chóp . . S ABC Gợi ý: Ta có , 3. AC R BC R= = Đặt 0. SA z = > Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho , O C ≡ tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và song song với SA (xem hình vẽ). Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0;0 , ;0;0 , 0; 3;0 , ;0; . C A R B R S R z Khi đó tính được 8 3 4 2 ; ; 9 9 9 R R R H và 2 2 2 ;0; . 3 3 R R K Thể tích khối chóp . S ABC là: 3 . 6 . 12 S ABC R V = 2R x y z A S B C K H Bài 3. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆ . Trên ∆ lấy hai điểm A,B với AB a = . Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và . AC BD AB a = = = Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a. Gợi ý: + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó ( ) ;0;0 , (0;0;0), ( ; ;0), (0;0; ). A a B C a a D a + Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm ( ) / 2; / 2; / 2 I a a a và bán kính 3 / 2. =R a + Mặt phẳng (BCD) có phương trình 0. x y − = + Khoảng cách từ A đến (BCD) là ( ) 2 ,( ) . 2 a d A BCD = P Q a a a y z x A B D C 2 Bài 4. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2006). Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, 2 SA a = và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM. Gợi ý: + Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó 3 3 ;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , ;0;2 . 2 2 2 2 a a a a A B C S a − + Tìm được tọa độ các điểm M, N là 3 2 2 ; ; 10 5 5 a a a M và 3 2 2 ; ; . 10 5 5 a a a N − + Thể tích khối chóp A.BCNM là 3 . 3 3 . 50 A BCNM a V = a 2a z x y N O S C B A M Bài 5. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối A năm 2011). Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, 2 AB BC a = = , hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 o . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Gợi ý: +Đặt 0. SA z = > Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó: ( ) ( ) ( ) 2 ;0;0 , 0;0;0 , 0;2 ;0 , A a B C a ( ) ;0;0 , (2 ;0; ). M a S a z + Tìm được điểm ( ) ; ;0 . N a a + Vectơ pháp tuyến của (SBC) là ( ) ;0;2 . SBC n z a = − + Vectơ pháp tuyến của (ABC) là ( ) 0;0;1 . ABC n = + Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 o tìm được ( ) 2 3 2 ;0;2 3 . z a S a a= ⇒ + Suy ra 3 3 SBCNM V a= và 2 39 ( , ) . 13 a d AB SN = z y x N M C B A S Bài 6. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, 3 , 4 BA a BC a = = , mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết 2 3 SB a = và 30 . o SBC = Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. Gợi ý: + Kẻ , SO BC ⊥ khi đó ( ) SO ABC ⊥ . Tính được 3, 3 , . SO a OB a OC a = = = + Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ;3 ;0 , 3 ;0;0 , ;0;0 , 0;0; 3 . A a a B a C a S a− + Tính thể tích khối chóp S.ABC là 3 . 2 3. S ABC V a= + Phương trình mặt phẳng (SAC) là: 3 4 3 3 0. x y z a − + + − = + Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là ( ) 6 7 ,( ) . 7 a d B SAC = 4a 3a z y x S A B C O 3 Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AD = 3a, AB = 2a, AC = 4a, o BAC 60 = . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên AC và CD. Đường thẳng HK cắt đường thẳng AD tại E. Chứng minh rằng BE vuông góc với CD và tính thể tích khối tứ diện BCDE theo a. Giải: 60 o 4a 2a 3a E A B C D x z y H K C họn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với A trùng với gốc tọa độ O. A (0;0;0), B(2a;0;0), ( ) 2 ;2 3;0 C a a , D(0;0;3a) .cos60 o AH AB a = = . Suy ra tọa độ của 3 ; ;0 2 2 a a H ( ) 2 ;2 3; 3 DC a a a = − suy ra ( ) 2;2 3; 3 u = − là một vecto chỉ phương của DC nên phương trình đường thẳng DC là: 2 2 3 3 3 x t y t z a t = = = − . Vì K thuộc DC nên ( ) 2 ;2 3 ;3 3 K t t a t − . Ta có ( ) 2 2 ;2 3 ;3 3 BK t a t a t = − − 13 . 0 25 a BK DC t= ⇔ = . Vậy 26 26 3 36 ; ; 25 25 25 a a a K Vì E thuộc trục Az nên E(0;0;z). 3 ; ; 2 2 a a EH z = − ; 27 27 3 36 ; ; 50 50 25 a a a HK = V ì E, H, K thẳng hàng nên ; EH HK cùng phương, do đó suy ra 4 3 a z = − . Vậy E(0;0; 4 3 a − ). 4 2 ;0; 3 a EB a = và ( ) 2 ;2 3; 3 DC a a a = − nên EB . DC = ( ) 4 2 .2 0.2 3 3 0 3 a a a a a + + − = Vậy BE vuông góc với CD. A12: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 o . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. Giải: 60 o O H C A B S x y z Gọi O là trung điểm của AB. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có: 0; ;0 2 a A , 0; ;0 2 a B − , 3 ;0;0 2 a C 6 a OH = 2 2 7 3 a CH CO OH⇒ = + = 21 .tan 60 3 o a SH CH⇒ = = 21 0; ; 6 3 a a S ⇒ − • 3 . 1 7 . 3 12 S ABC ABC a V SH S= = 4 • ( ) 0; ;0 AB a = − ; 2 21 0; ; 3 3 a a SA = − ; 3 ; ;0 2 2 a a BC = ; 2 2 2 2 21 7 3 24 ; ; ; ; 6 2 3 3 SA BC a a a SA BC a = − ⇒ = và 3 7 ; . 2 SA BC AB a = − . Suy ra: ( ) 3 2 ; . 7 3 42 ; . 2 8 24 ; SA BC AB a a d SA BC a SA BC = = = . ☺ ☺☺ ☺ B12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chóp vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a. Giải: K O A B C S x y z H Gọi K là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) thì K là tâm của tam giác ABC. Gọi O là trung điểm của AB. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có: 0; ;0 2 a A − , 0; ;0 2 a B , 3 0; ;0 2 a C . 3 3 a CK = 2 2 33 3 a SK SC CK⇒ = − = 3 33 0; ; 6 3 a a S ⇒ 3 33 0; ; 3 3 a a SC = − ; ( ) 0; ;0 AB a = . 0 AB SC AB SC = ⇒ ⊥ ( ) AB SC AB ABH AB OH ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ . 11 4 SK OC a OH SC ⇒ = = . Giải: ( ) 2 1 5 . ,( ) 3 3 ABCD ACD ACD a V S d B ACD S= ⇒ = . Từ đây tính được 2 5 ; 3 3 A a a CD h= = . O A C D B x y z Gọi O là trung điểm của CD. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có: 5 0; ;0 3 a A , ;0;0 , ;0;0 , ; ; 3 3 3 a a a C D B x y với y > 0 Từ giả thiết BC = BD = a ta giải ra được 0; 3 a x y= = . Vậy 0; ; 3 3 a a B . 2 2 2 2 ; 0; ; 3 3 a a BC BD = − . ( ) ( ) 0;0;1 ACD n = ; ( ) ( ) 0;1; 1 BCD n = − . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0.0 0.1 1.( 1) 1 cos cos ; 45 2 0 0 1 . 0 1 1 o ACD BCD n n α α + + − = = = ⇒ = + + + + . 5 Toán học & Tuổi trẻ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a và o ABC 30 = . Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy một góc 60 o . Biết rằng hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) thuộc cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. Giải: B A C S y x z H Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng điểm A. A(0;0;0), ( ) 3 ;0;0 , 0; ;0 , ; ; 2 2 a a B C S x y z với 0; 0; 0 x y z > > > ( ) ; ; ;0 H x y với H là hình chiếu vuông góc của của S trên (ABC). ( ) 1 0;0;1 n = là vectơ pháp tuyến của (ABC) và 2 3 3 ; 0; ; 2 2 a a n AB AS z y = = − là vectơ pháp tuyến của (SAB). 3 ; ;0; 2 2 a a n AC AS z x = = − là vectơ pháp tuyến của (SAC). • ( ) 1 2 2 2 2 2 1 2 . 1 cos ( ),( ) 3 2 n n y SAB ABC z y n n z y = ⇔ = ⇔ = + (1) • ( ) 1 3 2 2 2 2 1 3 . 1 cos ( ),( ) 3 2 n n x SAC ABC z x n n z x = ⇔ = ⇔ = + (2) Từ (1), (2) ta có x y = . Nên ( ) ; ;0 H x x . Vì H thuộc BC nên 3 ; ;0 , ; ;0 2 2 2 a a a BC CH x x = − = − cùng phương, suy ra ( ) 3 2 3 2 1 3 2 2 a x x a x a a − = ⇔ = + − thay vào (1), ta được ( ) 3 2 1 3 a z = + . • ( ) ( ) 3 2 . 3 3 1 1 3 3 . . . 3 3 8 32 2 1 3 S ABC ABC a a a V SH S ∆ − = = = + . ☺ ☺☺ ☺ A B C S x y z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng với điểm A. Ta có A(0;0;0), B(8a;0;0), C(0;6a;0), S(x;y;z) với z>0 SA=7a 2 2 2 2 49 x y z a ⇔ + + = (1) SB=9a ( ) 2 2 2 2 8 81 x a y z a ⇔ − + + = (2) SC=11a ( ) 2 2 2 2 6 121 x y a z a ⇔ + − + = (3) Giải hệ (1), (2) và (3), ta được S(2a;-3a;6a). Suy ra đường cao của hình chóp S.ABC là 6 S h z a = = . 2 1 . 24 2 ABC S AB AC a = = . 3 . 48 S ABC V a = 6 2. Hình chóp tứ giác Bài 1. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2006). Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc 60 , o BAD = SA vuông góc với mặt phẳng ( ) ABCD và . SA a = Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua ' AC và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại ', ' B D . Tính thể tích khối chóp . ' ' ' S AB C D . Gợi ý: Gọi O là giao điểm của AC và DB. Vì tam giác ABD đều nên 3 , . 2 2 a a OB OD OA= = = Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và song song với SA (xem hình vẽ). Khi đó: 3 3 ;0;0 , 0; ;0 , ;0;0 , 0; ;0 , 2 2 2 2 a a a a A B C D − − 3 ' 0;0; , ;0; . 2 2 a a C S a x y z O C D A B S Tìm được 3 ' ; ; 6 3 3 a a a B và 3 ' ; ; . 6 3 3 a a a D − Thể tích khối chóp . ' ' ' S AB C D là: 3 3 3 . ' ' ' . ' ' . ' ' 1 1 1 3 1 3 3 , ' . ' , ' . ' . . . 6 6 6 6 6 6 18 S AB C D S AB C S AC D a a a V V V SA SC SB SA SC SD = + = + = + = Bài 2. (Trích đề ĐH Khối B năm 2006). Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với , 2, AB a AD a SA a = = = và SA vuông góc với mặt phẳng ( ) ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của B M và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích khối tứ diện ANIB. Gợi ý: +Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho , O A ≡ tia Ox chứa B, tia Oy chứa D và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0;0 , ;0;0 , ; 2;0 , 0; 2;0 , 0;0; ; A B a C a a D a S a 2 2 0; ;0 , ; ; . 2 2 2 2 a a a a M N ( ) ( ) ( ) 2 0;0; , ; 2;0 , 0; ; , ;0; . 2 a AS a AC a a SM a SB a a = − = − Vectơ pháp tuyến của (SAC) là ( ) 2 2 , 2; ;0 . AS AC a a = − x z y I N M D C B A S Vectơ pháp tuyến của (SBM) là 2 2 2 , ; ;0 . 2 a SM SB a = − − Vì 4 4 , . , 0 AS AC SM SB a a = − = nên ( ) ( ). SAC SBM ⊥ Ta có 2 2 . IC BC IC IA IA AM = = ⇒ = − Từ đây tìm được 2 ; ;0 . 3 3 a a I Thể tích khối tứ diện ANIB là 3 3 1 1 2 2 , . . . 6 6 6 36 ANIB a a V AN AI AB = = = 7 Bài 3. (Trích đề ĐH Khối A năm 2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP. Gợi ý: Gọi O là trung điểm AD, khi đó ( ). SO ABCD ⊥ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa N và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi đó: ( ) 3 ;0;0 , ; ;0 , 0; ;0 , 0;0; , 2 2 2 3 ; ;0 , ; ; . 2 2 4 2 4 a a a A B a N a S a a a a a P M − Ta có: 3 ; ; , ; ;0 . 4 2 2 2 a a a a AM BP a = − = − − Thể tích của khối tứ diện CMNP là 3 3 . 96 CMNP a V = x z y P M NO C D A B S Bài 4. (Trích đề ĐH Khối B năm 2007). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. Gợi ý: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Đặt SO=z, Khi đó: ( ) 2 2 2 ;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , 0;0; , 2 2 2 2 2 2 2 ;0;0 , ; ;0 , ;0; , 2 4 4 4 2 2 2 2 2 ; ; ; ; ; . 2 2 2 4 2 a a a A B D S z a a a a z C N I a a a a z E z M − − − Ta có 3 2 2 ;0; , 0; ;0 . 4 4 4 a z a MN BD = = − a z x y N M E I O C D A B S + . 0 . MN BD MN BD = ⇒ ⊥ + Khoảng cách giữa MN và AC là 2 ( , ) . 4 a d MN AC = Bài 5. (Trích đề ĐH Khối D năm 2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, 90 , , 2 . o ABC BAD AB BC a AD a = = = = = Cạnh bên SA vuông góc với đáy là 2. SA a= Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). Gợi ý: 8 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O ≡ A, tia Ox chứa B, tia Oy chứa D và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , 0;2 ;0 , 0;0; 2 . A B a C a a D a S a Tìm được 2 2 ;0; . 3 3 a a H Phương trình mặt phẳng (SCD) là: 2 2 0. x y z a + + − = Khoảng cách từ H đến (SCD) là ( ) ,( ) . 3 a d H SCD = a 2a a z x y C D A B S H Bài 6. (Trích đề ĐH Khối B năm 2008). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, , 3 SA a SB a = = và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN. Gợi ý: Gọi O là hình chiếu của S trên AB. Ta có: 3 3 , , . 2 2 2 a a a SO OA OB= = = Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy vuông góc với AB và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi đó: 3 3 ;0;0 , ;0;0 , ;2 ;0 , ;2 ;0 , 2 2 2 2 a a a a A B C a D a − − 3 3 0;0; , ;0;0 , ; ;0 . 2 2 2 a a a S M N a − − 2a a x z y N M C B A D O S + Thể tích của khối chóp S.BMDN là 3 . 3 . 3 S BMDN a V = + cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN là 5 cos( , ) . 5 SM DN = Bài 7. (Trích đề ĐH Khối A năm 2009). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; 2 , ; AB AD a CD a = = = góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 o . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Gợi ý: Từ giả thiết suy ra ( ). SI ABCD ⊥ Đặt 0. SI z = > Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O I ≡ , tia Ox chứa D, tia Oy vuông góc với AB và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;0;0 , ;2 ;0 , ; ;0 , ;0;0 , 0;0; . A a B a a C a a D a S z − − + Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 o ta tìm được 3 15 . 5 a z = + Thể tích khối chóp S.ABCD là 3 . 3 15 . 5 S ABCD a V = 2a 2a a z y x I C B A D S 9 Bài 8. (Trích đề ĐH Khối A năm 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và 3. SH a= Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. Gợi ý: Trước hết chứng minh được . DM CN ⊥ + 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 5 5 . 5 a DH HD DN DC a a a = + = + = ⇒ = + 5 3 5 . 2 10 a a DM HM DM DH= ⇒ = − = + 5 2 5 ;. . 10 5 a a HN HC= = + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O H ≡ , tia Ox chứa N, tia Oy chứa D và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi đó: ( ) 5 5 2 5 ;0;0 , 0; ;0 , ;0;0 , 10 5 5 3 5 0; ;0 , 0;0; 3 . 10 a a a N D C a M S a − − a x y z H N M C B A D S + Thể tích khối chóp S.CDNM là 3 . 5 3 . 24 S CDNM a V = + Khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC là: ( ) 2 57 , . 19 a d DM SC = Bài 9. (Trích đề ĐH Khối D năm 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. cạnh bên , SA a = hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, 4 AC AH = . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Gợi ý: + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O H ≡ , tia Ox song song với tia AB, tia Oy song song với tia AD và tia Oz chứa S (xem hình vẽ). Khi đó: 2 2 2 2 2 14 4 4 a a SH SA AH a = − = − = do đó 3 3 3 ; ;0 , ; ;0 , ; ;0 , 4 4 4 4 4 4 3 14 ; ;0 , 0;0; . 4 4 4 a a a a a a A B C a a a D S − − − − a a x y z M H D A B C S Ta có 2 2 2 SC SH CH a AC = + = = nên tam giác SAC cân tại C do đó M là trung điểm SA. Suy ra 14 ; ; . 8 8 8 a a a M − − Thể tích khối chóp S.BMC là 3 . 14 . 48 S BMC a V = 10 Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là bình hành, AD = 4a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 6 a . Tìm côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối chóp S.ABCD lớn nhất. Gợi ý: + Gọi O là giao điểm của AC và BD; M,N lần lư ợt là AB và AD. Từ giả thiết suy ra ( ) SO AC SO ABCD SO BD ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ và 2 2 6 OA OB OC OD a SO = = = = − nên ABCD là hình chữ nhật. Đặt 0. ON x = > Khi đó 2 2 4 . OA x a = + 2 2 2 2 2 . SO SA OA a x = − = − + Thể tích khối chóp S.ABCD là 2 2 . 1 8 . . 2 . 3 3 S ABCD V AB AD SO ax a x = = − 4a x y z M N O C B A D S + Bằng cách xét hàm số 2 2 8 ( ) 2 3 f x ax a x = − với ( ) 0; 2 x a∈ hoặc áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy ra . S ABCD V lớn nhất khi và chỉ khi . x a = Suy ra . SO a = Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó: ( ) 2 ; ;0 , 2 ; ;0 , 2 ; ;0 , 0;0; . 2 2 2 a a a B a C a D a S a − − − − Gọi ϕ góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) thì 2 cos . 5 ϕ = ***** [...]... cách giữa hai đường thẳng AM và B'C bằng Góc giữa hai mặt 7 phẳng (AB'C) và (BCC'B') bằng 60o Tính thể tích khối chóp MABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B'ANC theo a Giải: z C' A' M B' y x A C N B AM; B ' C AC d ( AM, B ' C ) = ⇔ AM; B ' C Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng điểm B Đặt AB = x (x>0) thì BC = 2x Ta có B(0; 0; 0), C(2x; 0; 0), A(0; x;... ( −2;0;1) Mặt phẳng (IBC) đi qua B và có vectơ pháp tuyến n ' = ( −2;0;1) nên có phương trình: −2 x + z = 0 Vậy khoảng cách từ A đến (IBC) là d ( A,( IBC ) ) = | −2a | = 2a 5 5 (−2)2 + 1 Bài 4 (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2008) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng... ABCD A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) và ( ABCD) bằng 60o Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng ( A1BD ) theo a Gợi ý: Gọi O là giao điểm của AC và BD Chọn hệ trục tọa C1 B1 z độ Oxyz như hình vẽ Khi đó: a 3 a a 3... thẳng AA ' và B ' C ' Giải: + Gọi O là trung điểm BC, H là trung điểm AB, K là trung z C' B' điểm AC thì OHAK là hình chữ nhật Ta có: BC BC = AB 2 + AC 2 = 2a, OA = = a, 2 OA ' = A' AA '2 − OA2 = 4a 2 − a 2 = a 3 a2 a 3 OH = OA − AH = a − = ; 4 2 2 2 2 B O C 2 3a a H OK = OA − AK = a − = 4 2 x A + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa H, tia Oy chứa K và tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ) Khi đó: a... AC = ( 2 x; − x;0 ) nên AB ', AC = xy;2 xy;2 x 2 nên (AB'C) có vectơ pháp tuyến là ( ) n = ( y;2 y;2 x ) (vì n cùng phương với AB ', AC ) và (BCC'B') có vectơ pháp tuyến là j = ( 0;1;0 ) cos ( ( AB ' C),( BCC ' A ') ) = n j ⇔ n j 1 2y 11 = ⇔ 5 y 2 + 4 x 2 = 16 y 2 ⇔ x = y 2 2 2 2 5y + 4 x Thế (2) vào (1), giải phương trình ta được kết quả y = (2) 4a và x = 2 a 11 3 1 1 4 a 16 11a... ' = a ; góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60o ; tam giác ABC vuông tại C và BAC = 60o Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a Gợi ý: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Đặt AC = x , suy A' B' z ra BC = x 3, AC = 2 x Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ Ta có x x 3 C' A ( x;0;0 ) , B 0; x 3;0 ,... cân, A’C = a Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a Giải: z a a Từ giả thiết ta tính được AC = AA ' = và AB = 2 2 B' A' Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng với D' C' điểm A a a a a Ta có: A(0;0;0), B 0; ;0 , C ; ;0 , D ;0;0 2 2 2 2 y A a a a a a a a a A ' 0;0; B , B ' 0; 2 ;... = AB − AO = a − ; 49 7 2 2 2 5a 7 7 Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ Khi đó a 21 2a 7 A ;0;0 , B 0; ;0 , 7 7 a 21 5a 7 M 0; − ; a 5 , A1 ;0; 2a 5 7 7 a 21 5a 7 Ta có MA1 = ; ; a 5 , MB = 0; a 7; − a 5 7 7 2 2 MA1.MB = 5a − 5a = 0 ⇒ MA1 ⊥ MB ⇒ MA1 ⊥ MB OC = BC − OB = ( y B a 2a A x ) 2a 7 b) Phương trình mặt phẳng ( A1BM ) là: 12 5 x −... bị 2 – ĐH Khối D năm 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a, M là trung điểm của đoạn AA1 Chứng minh BM ⊥ B1C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B1C Gợi ý: Gọi O là trung điểm BC và chon hệ trục tọa độ Oxyz có tia Ox chứa z C1 A, tia Oy chứa C và tia Oz chứa trung điểm của B1C1 (xem hình vẽ) B1 Khi đó: A1 a 3 a a a a B 0; − ;0 , C 0; ;0 ,... 2 a.4 a = ☺ 3 2 33 11 • Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B'ANC theo a Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp khối chóp B'ANC có dạng: ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2a1 x + 2by + 2cz + d = 0 với tâm T ( −a1 ; −b; −c ) , R = a12 + b 2 + c 2 − d Vì B', A, N, C thuộc mặt cầu (S) nên tọa độ của chúng thỏa phương trình mặt cầu, ta có hệ: 16 2 8 11 a1 = −3a a.c + d = 0 a + 11 11 b = −3a . H K C họn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với A trùng với gốc tọa độ O. A (0;0;0), B(2a;0;0), ( ) 2 ;2 3;0 C a a , D(0;0;3a) .cos60 o AH AB a = = . Suy ra tọa độ của 3 ; ;0 2 2 a a H . thuộc cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. Giải: B A C S y x z H Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng điểm A. A(0;0;0), ( ) 3 ;0;0 , 0; ;0 ,. 32 2 1 3 S ABC ABC a a a V SH S ∆ − = = = + . ☺ ☺☺ ☺ A B C S x y z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng với điểm A. Ta có A(0;0;0), B(8a;0;0), C(0;6a;0), S(x;y;z) với z>0