Các cấu trúc tự do và bài toán phân tích

đótagọialàphầntửsinhcủanhómxyclicG.Kíhiệu G=.TheođịnhnghĩanhómxyclicGvớiphầntử sinhlà acóthểđượcviếtdướidạngG={anl nZ }... ChoSlàmộttậptuỳý,tagọilànhómtựdoxácđịnhtrênXlàcặpF,ftrongđóSl

NguyễnThịHàKhóaluậntốtnghiệp

Trongquátrìnhnghiêncứuthựchiệnkhóaluận:“Cáccấu

trúctựdovàb à i toánphântích”cùngvớisựcốgắngcủabảnthân,emđãnhậnđượcsựh

ướngdẫn,giúpđỡtậntìnhcủathầygiáoVươngThông.Đồngthờiemcũngnhậnđượcsựgiúpđỡ, độngviêncủacácthầy,côvà củacácbạnsinhviêntrongkhoatoán

EmxingửilờicảmơnsâusắctớithầyVươngThôngđãgiúpđỡvàhướngdẫntậntình

để emhoànthànhtốtkhóaluậncủamình

Emxinchânthànhcảmơn

banchủnhiệmkhoatoáncácthầycôgiáovàcácbạnsinhviêntrongkhoađãtạođiềukiện,giúpđỡemhoànthànhkhóaluậnnày

Emxinchânthànhcảmơn !

HàNội,tháng5năm2009

SinhviênNguyễnThịHà

Khóaluậnnàylàkếtquảcủabảnthânemtrongquátrìnhhọctậpvànghiêncứubêncạnhđóemđãnhậnđượcsự

quantâmgiúpđỡcủacácthầycôgiáotrongkhoatoánđặcbiệtlàsựhướngdẫntậntìnhcủathầyVươngThông

NguyễnThịHà Khóaluậntốtnghiệp

Mụclục

Trang

Lờinóiđầu 5

Chương1.nhữngkiếnthứcchuẩnbị 6

1.1 phéptoánđạisố2-ngôi 6

1.2 Nhóm 6

1.3 Nhómabel 6

1.4 Nhómxyclic 7

1.5 Cấpcủanhóm,cấpcủamộtphầntử 8

1.6 Nhómcon 9

1.7 ĐịnhlýLagrage 9

1.8 Nhómconsylow 10

1.9 Nhómconchuẩntắc 10

1.10 Tíchtrựctiếp, tổngtrựctiếp 10

Chương2.Cáccấutrúctựdo 12

2.1 Nhómtựdo 12

2.1.1 Địnhnghĩa 12

2.1.2 Tínhchất 12

2.2 Nhómabeltựdo 17

2.2.1 Địnhnghĩa 17

2.2.2 Tínhchất 18

2.3 Nhómabelhữuhạnsinh 22

2.3.1 Địnhnghĩa 22

2.3.2 Tínhchất 22

2.4 Nhómcác đồngcấunhóm 23

2.4.1 Địnhnghĩa 23

2.4.2 Tínhchất 23

2.5 Nhómgiảiđược 27

5

2.5.1 Chuỗichuẩntắc 27

2.5.2 Chuỗihợpthành 27

2.5.3 Địnhnghĩanhómgiảiđược 27

2.5.4 Tínhchất 27

2.6 Môđuntựdo 29

2.6.1 Môđunsinhbởimộttập,tậpsinh 29

2.6.2 Tậpđộclậptuyếntínhvàphụthuộctuyếntính 29

2.6.3 CơsởcủaMôđun 29

2.6.4 Địnhnghĩavàvídụmôđuntựdo 30

2.6.5 Cácđiềukiệntươngđương 30

Chương3.Bàitoánphântích 32

3.1 Sựphântíchnhóm 32

3.2 Sựphântíchcủacácnhómxyclic 33

3.2.1 Sựphântíchcủanhómxyclicvôhạn 33

3.2.2 Sựphântíchcủacácnhómxyclichữuhạn 34

3.3 Sựphântíchnhómabel 36

3.4 Sựphântíchnhómabelhữuhạnsinh 39

Kếtluận 45

Tàiliệuthamkhảo 46

Đạisốlàmộtnghànhchiếmvịtríquantrọngtrongkhoahọctoánhọc Nólà

cơsởcủanhiềunghànhtoánhọckhácnhư:đạisốtuyếntính,giảitích,phươngtrìnhđạohàmriêng…

Tuynhiênđểđisâunghiêncứuvềđạisốcầncónhữnghiểubiếtsâusắcvềcấutrúcđạisố

Đốitượngchủyếucủacấutrúcđạisốlànhóm,vành,trường,…

trongđólớpcáccấutrúctựdolàmộttrongnhữngkháiniệmquantrọngcủađạisốhiệnđ ạ i Đểnghiêncứusâuvềlớpcấutrúcnàyngoàicáckháiniệmthôngthườngvềnhóm,nhómcon,…còncócáckháiniệmtíchtrựctiếp,

tổngtrựctiếpcủacácnhóm,sựphântíchcủanhóm,nhómabel,nhómabelhữuhạnsinh,…quađósẽchotamộtcáinhìntổngquáthơnvềcấutrúccủacáclớpcấutrúctựdo

Vìtấtcảnhữngýnghĩatrên,vànhờcósựđộngviên,

chỉbảo,hướngdẫncủathầyVươngThôngemđãmạnhdạnchọnđềtài:“các

cấutrúctựdovàbàitoánp h â n tích”.

Vớimongmuốnđượcnghiêncứuvàtìmhiểusâuhơnvềbộmônđạisốv à bướcđầulàmquenvớicôngtácnghiên cứukhoahọc

cácbạnsinhviênđểkhóaluậncủaemđượchoànthiệnhơn

HàNội, tháng5năm2009

đótagọialàphầntửsinhcủanhómxyclicG.Kíhiệu G=<a>.

TheođịnhnghĩanhómxyclicGvớiphầntử sinhlà acóthểđượcviếtdướidạngG={anl

nZ }

+)Mọinhómcó

cấplàsốnguyêntốlànhómxyclicsinhbởi1phầntửkhácphầntửđơnvịcủanhómđó

Theođịnhnghĩatrênthìkhinóiđếncáclớpghépcủa1nhómconchuẩnt ắ c takhôngcầnphânbiệtcáclớpghéptráihayphải

k i

2.1Nhó m tự do

2.1.1Định nghĩa.

Chương2:C á c cấutrúctựdo.

ChoSlàmộttậptuỳý,tagọilànhómtựdoxácđịnhtrênXlàcặp(F,f)trongđóSlàmộtnhóm,f:SFlàánhxạsaochovớimọiánhxạ

g:SX,Xlànhómthìtồntạiduynhấtđồngcấunhómh:FXsaochohf=g,tứclàsơđồtamgiácsaugiaohoán

theođịnhnghĩanhómtựdothì!đồngcấuh:F Xsaochohf=g

hf(a)=h[f(a)]=g(a)g(b)=hf(b)=h[f(b)]

f(a)f(b)vìhlàánhxạ.vậyflàđơnánh

GiảsửA

A

Chứngminh:

Do(F,f)lànhómtựdoxácđịnhtrênSnên!đồngcấunhóm

F’Do(F’,f’)lànhómtựdoxácđịnhtrêntậpSnên!

đồngcấunhómK:F’Fsaocho:kf'=ftứclàbiểuđồsaugiaohoán

16

GiảsửF lànhómtự dosinhbởiS.

phépnhúngg=iS:S Xmởrộngthànhđồngcấuh:F

 Xtacóh(F)X (1)

MặtkhácS=g(S)h(F)dohlàmởrộngcủagvàS F,h(F)làmộtnhóm,XlànhómsinhbởiS

Theođịnhnghĩanhómconsinhbởimộttập X h(F) (2)Từ(1)và(2) X=h(F) hlàtoàncấu,theođịnhlýcơbảnvềđồngcấunhómta có: F 

Kerh

pSlàcácphầntửsinhcủaX,cácphầntửcủaRđượcgọil à cáchệthứccủax.gọicácphầntửcủaRlàhệthứcvìgiảsửwRdo

Vídụ2.1:

GiảsửXlànhómxycliccấpnsinhbởia X.khiđóXhoàntoànx ácđịnhbởi{a}vàhệthứcan=e.DođóX={an=ao=e,a,a2,…,an-1}

2.2

Nhó m abel tự do

2.2.1 Định nghĩa.

ChoSlàmộttậphợp,tagọilànhómabeltựdotrêntậpS,mộtnhómabelFcùngvớiánhxạf:SFsaochovớimọiánhxạg:S X,Xlànhómabelthìtồntạiduynhấtđồngcấuh:FXâsaochohf=g,tứclàsơđồtamgiácsaugiaohoán

Gọiphầntửaba-1b-1làhoántửcủahaiphầntửa,b.

là-:SZvớiss.Xácđịnhánhxạ:SF

Định lý2.8:

Mọinhómabelđềuđẳngcấuvớinhómthươngcủanhómabeltựdo.TậpsinhSđượcgọilàcơsở,Kíhiệulà FS

2.3.2 Tính

chấtBổđề1

Mọinhómabelvớinphầntửsinhđềuđẳngcấuvớimộtnhómthươngcủamộtnhómabeltựdohạngn

f

TrunghoàlàđồngcấuAB

Đốicủađồngcấuf:ABlàdồngcấu–f:ABtứclà(-f)(a)=-f(a)

Định lý3

Xlànhómabel.KhiđóHom(Zn,X)T n(X)Vớ

iTn(X)={xX| nx=x}

ii) Hom(1A,1B) =1hom(A,B)

iii) Nếuf:A’A,f’:A’’A’vàg:B B’,g’:B’

Hom(1A,1B)(h)=1Ah1B=h=1Hom(A,B)(h)Hom1A ,1 B 1HomA,B

* tacóHom(ff’,gg’):Hom(A,B)hom(A’’,B’’)

6 2

Hom(ff’,gg’) =Hom(f’, g’)Hom(f,g)

saochoGi+1l ànhómconchuẩntắctốiđạicủaGi

TaviếtGi+1  G i,haytươngđươngvớinócácthương G i

kíhiệulàR(S)hay(S).tanóiSlàmộttậpsinhcủaR(S),haySsinhraR(S),R(S)chínhlàmôđunconnhỏnhấtcủaMchứaS,nếu(S)= MthìSlàtậpsinhc ủa M.

2.6.2 Tậpđộclậptuyếntính vàphụthuộctuyếntính

ChoMlàR–môđun.Mộthọtập(X)=x i ,iInhữngphầntửcủaMgọilàđộclậptuyếntínhnếuvàchỉnếumọihệthứctuyếntính

bằngnhauthìii ,ij

dướidạngmộttổhợp tuyếntínhnhữngphầntửcủaX.

Ngượclại, nếuXlàmộttậpconkhôngrỗngcủaMsaochomọiphầntửcủa

MđềubiểuthịđượcmộtcáchduynhấtdướidạngmộttổhợptuyếntínhnhữngphầntửcủaXthì Xlà cơsởcủaM,vìrõràngXsinhraM vàmọihệthức

khôngsinhraQ.SuyraQkhônglàZ-2.6.5 Cácđiềukiệntươngđương

Mệnh đề

*Phântíchmộtnhómthành tíchtrựctiếpcủacácnhómcon.Định

nghĩa1.

đ ượcthànhtíchtrựctiếpcủa2nhómconAvà B

Định lý 1

Từ2điềutrênsuyraabba1 1 ABeabba1 1 

2) Mọinhómxycliccấphữuhạnphântíchđượcthànhtổngtrựctiếpcủac á c nhómxyclicnguyênsơ.

3.3 Sự phâ n tích của nhó m abel Định

Vậy AA

1 A s Bước2:Sựduynhấtcủaphântích(saikhácthứtự)Giảsửcóha

C n

Định lý 1: ( Sựtồ n t ạiphântí chnhó m ab el hữuhạ n s inh )

Mọinhómabelhữuhạnsinhđềuphântíchđượcthànhtổngtrựctiếpcủamộtsóhữuhạnnhómxyclickhôngphântíchđược

Chứngminh:

ChoalàmộtphầntửucủaG,takíhiệu oa

làbậccủaa

Giảsử Sa1,a2, ,a n.tacóthểđánhsốlạiđểtaluôncó:

j , ,k n cóướcsốchunglớnnhấtlà1saocho m imk i ,ij, ,n

Cònlạilànhữngnhómxyclicnguyênsơ.

BằngcáchđánhsốlạithưtựcủacácnhómxyclicGi,taluôncóthểgiảthiếtphântíchtrênthỏamãnđiềukiệnsau:cấpcủaG1l àlũythừacaonhấtcủasốnguyêntốnhỏnhấtp,rồicấpcủaG2tiếptheolàlũythừacaonhấtcủaptrong

1 2

t

nhữnnhómcònlạichođếnkhitấtcảcácnhómGic ócấphữuhạnđượcvéthết.Cuốicùnglàđếnnhữngnhómcó cấpvôhạn

Mộtphântíchđượcvàthỏamãntínhchấttrêngọilàphântíchtiêuchuẩnc ủ a G

H

ệ quả 1 :mọinhómabelhữuhạnsinhđềucómộtphântíchtiêuchuẩnduynhất.

SốcáchạngtửxyclicvôhạntrongphântíchtiêuchuẩncủamộtnhómabelhữuhạnsinhGđượcgọilàhạngcủanhómđóvàđượckíhiệulàr(G).cấpcủacácnhómxyclicnguyênsơtrongphântíchtiêuchuẩncủaGđượcgọilà

cácbấtbiếnnguyênsơnàycùngvớihạngcủaGlậpthànhmộthệbấtbiếnđầyđủcủaG.khiđó,ta cóhệquảsau

Trênđâylàtoànbộnộidungkhóaluận(cáccấutrúctựdovàbàitoánp h â n tích).

Quaquátrìnhtìmhiểu,nghiêncứuđãgiúpemthấyđượcvaitròquantrọngcủacáccấutrúctựdotronglýthuyếtđạisố

Mặcdùđãcónhiềucốgắngsongvớithờigianchuẩnbịchưanhiềuvàbướcđầulàmquenvớicôngtácnghiêncứukhoahọcnênkhóaluậncủaemchắcchắnkhôngtránhkhỏinhữngthiếusót

Emrấtmongnhậnđượcsựgópýcủacácthầy,côgiáovàcácbạnsinhviênđểkhóaluậncủaemthựcsựcóýnghĩahơn

Emxinchânthànhcảmơn!

HàNội, tháng5năm2009

SinhviênNguyễnthịHà

[1], NguyễnTựCường,Giáotrìnhđạisốhiệnđại,NxbĐạihọcQuốcGia,HàNội.[2], NguyễnHữuViệtHưng(1999), Đạisốđạicương,NxbĐạihọcQuốcgia,HàNội.[3], TrầntrọngHuệ(2001), Đạisốđạicương,NxbĐạihọcquốcgia,HàNội.[4], HoàngXuânSính(2000),Đạisốđạicương,NxbGiáodục