Các cấu trúc tự do và bài toán phân tích

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********** NGUYỄN THỊ HÀ CÁC CẤU TRÚC TỰ DO VÀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: ĐẠI SỐ HÀ NỘI – 2009 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********** NGUYỄN THỊ HÀ CÁC CẤU TRÚC TỰ DO VÀ BÀI TỐN PHÂN TÍCH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ Ngƣời hƣớng dẫn khoa học GVC VƢƠNG THÔNG HÀ NỘI - 2009 Lời cảm ơn Trong q trình nghiên cứu thực khóa luận: “ Các cấu trúc tự toán phân tích ” với cố gắng thân, em nhận hướng dẫn,giúp đỡ tận tình thầy giáo Vương Thơng Đồng thời em nhận giúp đỡ, động viên thầy, bạn sinh viên khoa tốn Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Vương Thơng giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hồn thành tốt khóa luận Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa toán thầy cô giáo bạn sinh viên khoa tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2009 Sinh viên N guyễn Thị Hà Lời cam đoan Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu bên cạnh em nhận quan tâm giúp đỡ thầy cô giáo khoa toán đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Vương Thơng Trong nghiên cứu hồn thành khóa luận em có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Vì em xin khẳng định đề tài : “ cấu trúc tự tốn phân tích ”.khơng có trùng lặp với đề tài tác giả khác Sinh viên Nguyễn Thi Hà Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà Mục lục Trang Lời nói đầu Chương 1.những kiến thức chuẩn bị 1.1 phép tốn đại số 2-ngơi 1.2 Nhóm .6 1.3 Nhóm abel .6 1.4 Nhóm xyclic 1.5 Cấp nhóm,cấp phần tử 1.6 Nhóm 1.7 Định lý Lagrage .9 1.8 Nhóm sylow 10 1.9 Nhóm chuẩn tắc 10 1.10 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp 10 Chương Các cấu trúc tự 12 2.1 Nhóm tự 12 2.1.1 Định nghĩa 12 2.1.2 Tính chất .12 2.2 Nhóm abel tự 17 2.2.1 Định nghĩa 17 2.2.2 Tính chất .18 2.3 Nhóm abel hữu hạn sinh 22 2.3.1 Định nghĩa 22 2.3.2 Tính chất .22 2.4 Nhóm đồng cấu nhóm .23 2.4.1 Định nghĩa 23 2.4.2 Tính chất .23 2.5 Nhóm giải .27 2.5.1 Chuỗi chuẩn tắc 27 2.5.2 Chuỗi hợp thành 27 2.5.3 Định nghĩa nhóm giải 27 2.5.4 Tính chất .27 2.6 Mô đun tự 29 2.6.1 Môđun sinh tập,tập sinh 29 2.6.2 Tập độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 29 2.6.3 Cơ sở Môđun 29 2.6.4 Định nghĩa ví dụ môđun tự 30 2.6.5 Các điều kiện tương đương 30 Chương 3.Bài toán phân tích 32 3.1 Sự phân tích nhóm 32 3.2 Sự phân tích nhóm xyclic 33 3.2.1 Sự phân tích nhóm xyclic vô hạn 33 3.2.2 Sự phân tích nhóm xyclic hữu hạn 34 3.3 Sự phân tích nhóm abel 36 3.4 Sự phân tích nhóm abel hữu hạn sinh 39 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Lời nói đầu Đại số nghành chiếm vị trí quan trọng khoa học tốn học Nó sở nhiều nghành toán học khác như: đại số tuyến tính, giải tích, phương trình đạo hàm riêng…Tuy nhiên để sâu nghiên cứu đại số cần có hiểu biết sâu sắc cấu trúc đại số Đối tượng chủ yếu cấu trúc đại số nhóm, vành, trường ,…trong lớp cấu trúc tự khái niệm quan trọng đại số đại Để nghiên cứu sâu lớp cấu trúc ngồi khái niệm thơng thường nhóm, nhóm con,…còn có khái niệm tích trực tiếp, tổng trực tiếp nhóm, phân tích nhóm, nhóm abel, nhóm abel hữu hạn sinh,…qua cho ta nhìn tổng qt cấu trúc lớp cấu trúc tự Vì tất ý nghĩa trên,và nhờ có động viên, bảo, hướng dẫn thầy Vương Thông em mạnh dạn chọn đề tài: “ cấu trúc tự tốn phân tích ” Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu môn đại số bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Nội dung khóa luận gồm chương: Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị Chương 2: Các cấu trúc tự Chương : tốn phân tích Mặc dù có nhiều cố gắng song điều kiện thời gian kinh nghiệm nghiên cứu thân nhiều hạn chế nên khóa luận em khơng thể tránh khỏi thiếu sót.vì em mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2009 Chƣơng1 Những kiến thức chuẩn bị 1.1 Phép toán đại số -ngôi Định nghĩa1 cho X tập hợp khác rỗng Ta gọi phép toán đại số 2-ngôi xác định X ánh xạ f : X × X → X (x, y) f (x, y) 1.2 = x∗ y Nhóm Định nghĩa Cho X tập khác rỗng tùy ý Trên X ta xác định phép tốn đại số 2-ngơi kí hiệu ( ∗ ) X nhóm khi: - phép tốn ( ∗ ) có tính chất kết hợp tức - ∀x (x ∗ y ) ∗ z cho ex = xe = x ∈ X , ∃e ∈ X - ∀x ∈ X , ∃x ∈ X x ∗( y ∗ z) = ' cho xx' = x' x = e Đối với phép toán cộng phần tử e gọi phần tử trung lập(trung hòa) Phần tử x gọi phần tử đối xứng ' Đối với phép toán nhân phần tử e gọi phần tử đơn vị Phần tử x gọi phần tử nghịch đảo ' - Nếu khơng có nhầm lẫn phép tốn 2-ngơi nhóm tùy ý thường kí hiệu theo lối nhân “ ” 1.3 Nhóm abel Định nghĩa Nhóm (G, ) gọi giao hốn (hay nhóm abel ) Hệ Một nửa nhóm X nhóm khi: - ∃e ∈ X cho ex = x , ∀x ∈ X - ∀x ∈ X , ∃x ∈ X Hệ ' cho x ' x = e xy = yx,∀x, y ∈G Ta có phân tích pA: pA = ( pA1 ) × × ( ’ pAs ) = ( pB1 ) × × ( pBt ) ’ Gọi s t số ngun có tính chất sau: ≥ ≥ A A1 > p A , s' = = A = p s' s +1 ≥ ≥ B B1 > p B , t' = = B = p t' t +1 Khi pA s' +1 = = pA = pB = = pBt = ' t +1 s Từ ta có hai phân tích pA thành tích p-nhóm xyclic: ( pA ) = ( pB ) × × ( pB ) ( pA1 ) × × s pA = ' Theo giả thiết quy nạp, Vì pA < A A = B , i (i = 1, 2, , s ' nên s' = t ' ' pA = pB i nghĩa i ) i tính A dựa cách phân tích A ta có: A = A1 ' s ' = s ' ' A B B từ suy t = s Ai = = p, Bi pt −s (i = s +1, , s ) ' ps−s Ví dụ: 36 = Theo định lý tất nhóm Abel với cấp 22.32 đây: Z × Z ≅ Z 36 Z2 × Z ≅ Z2 × × Z9 Z 18 liệt kê Z4 Z3 Z3 × × ≅ Z2 Z2 Z3 Z3 × × × ≅ Z Z 12 Z6 ×Z6 3.4 Sự phân tích nhóm abel hữu hạn sinh Bổ đề Mỗi nhóm abel có n phần tử đẳng cấu với tổng trực tiếp n nhóm xyclic : ≤ t1 ≤ t2 ≤ ≤ tn t1 , t2 , , < ∞ ti+1 ti tn ti+1 < ∞ Chứng minh: Giả sử X nhóm abel có n phần tử sinh.khi X đẳng cấu với nhóm thương nhms abel tự hạng n chẳng hạn F, r( F ) = n F G X , G F , với G nhóm abel tự r( G ) = m m, Ci Đặt Φ = C1 ⊕ xét toàn cấu h : F → Φ xác đinh C2 h (ui ) = Ta ⊕ ⊕ Cn chứng minh ker ( h ) = G Thật vậy: với m m g ∈ G, g = i=1 h ( g m m i=1 i=1 ∑k v i i = i=1 ∑( t k ) u i i i m ) = ∑ ( t i k i ) = ∑ k i ( t i a i ) = ∑ ki = Vì i=1 phần tử cấp ti , i = 1, 2, , m ta có G ⊆ Ker ( h ) Ngược lại giả sử g ∈ ker ( h ) g phần tử F nên có biêu diễn: n g= ∑k u i=1 i n i ,h i=1 ( g ) = ∑k a i i = Từ tính chất biếu diễn phần tử Φ qua phần tử ,i = 1, 2, , n ta có ki = Theo định nghĩa cấp phần tử ta có: qiti i ≤ m =  ki 76 0 i > m Do n m m ∑ ku = ∑ qtu = ∑ q v ∈ G Vậy g= i=1 i i i i=1 i i i i Ker ( h ) ⊆ G Do G = Ker ( h ) i=1 Từ suy X ≅ F ≅ Φ = C1 ⊕ C ⊕ ⊕ Cn ker h ( ) F= G Định lý 1: ( Sự tồn phân tích nhóm abel hữu hạn sinh) Mọi nhóm abel hữu hạn sinh phân tích thành tổng trực tiếp só hữu hạn nhóm xyclic khơng phân tích Chứng minh: 77 Giả sử G nhóm abel có hệ sinh n phần tử Đặt Ω tập hợp tất hệ sinh gồm n phần tử G Cho a phần tửu G, ta kí hiệu o ( a bậc a ) Giả sử S = {a1, a2 , , an } ∈Ω ta đánh số lại để ta ln có: o (a1 ) ≤ o (a2 ) ≤ ≤ o (an ) Ta xây dựng Ω quan hệ thứ tự toàn phần ≤ theo kieeeur từ điển sau: Cho X = {b1 , b2 , , bn } phần tử khác o ( b1 ) ≤ o ( b2 ) ≤ ≤ o (bn ) Ω với Ta nói S ≤ X ⇔ ∃i cho: ∈ Ν : 1≤ i ≤ n o ( a1 ) = o ( b1 ) ;o ( a2 ) = o ( b2 ) ; ; o ( ai−1 ) = o ( bi−1 ) ;o ( ) < o ( bi ) Giả sử hệ sinh S chọn phần tử cuwucj tiểu tập hợp thứ tự Ω ta chứng minh G tổng trực tiếp nhóm xyclic a1 , , an định lý chứng minh Ngược lại, giả sử G tổng trực tiếp nhóm xyclic theo định nghĩa nhóm phân tích tồn nhữn só nguyên m1 , , mn Sao cho: m1a1 + m2a2 + + mnan = Mà có hạng tử tổng khác không Giả sử j số cho m1a1 = m2a2 = = mj−1aj−1 m a ≠ j j = Ta giả thiết < mj < o ( aj ) Gọi m ước số chung lớn só mj , , mn tức tồn số nguyên k j , , có ước số chung lớn 1sao cho mi = mki , i = j, , n kn Tiếp theo ta chứng minh quy nạp tho đại lượng ln tìm phần tử bj , ,bn ∈G cho: G = a1, a2 , , a j −1, bj , ,bn k = + kj + kn bj = k j a j + k j+1aj+1 + + knan Thật với k = kết luận Giả sử kết luận với k ni+1 ni ,1 ≤ i ≤ s Chứng minh: Vì nhóm xyclic cấp n đẳng cấu với nhóm cộng Ζn số nguyên modn nhóm xyclic cấp vơ hạn đẳng cấu với nhóm cộng số nguyên Z ta chứng minh tính phân tích Kí hiệu τ ( G) ≅ Ζn ⊕ Ζn ⊕ ⊕ Ζn ; G τ (G) Vậy số t hạng nhóm Abel tự G t ≅ Ζ số t không phụ thuộc phân τ (G ) tich (1) để chứng minh tính n , n , , n giả thiết G s nhóm hữu hạn đó: G = τ (G ) = Ζ ⊕ Ζ ⊕ ⊕ Ζ n1 n2 nt Do chứng minh tính ( n1, n2 , , ns ) với giả thiết nhóm G đẳng cấu với tổng trực tiếp Ζ ⊕ Ζ ⊕ ⊕ Ζ tro ng n1 >1 n1 n n2 ns Vì Ζ đẳng cấu vơi mtổng trực tiếp ỗicủa số hữu hạn nhóm nh ó m n i xyclic nguyên sơ, nhóm G biểu diễn dạng tổng trực tiếp nhóm xyclic nguyên sơ từ biểu diễn nhóm G dạng tổng trực tiếp nhóm xyclic nguyên sơ, ta có cách trở phân tích Ζ ⊕  n , Ζ nhóm ⊕ ≤ G ⊕ Ζ i < dạng n1 >1 s n n1 n2 ns ta cần chứn g i+1 minh rằng: i Đối với số nguyên tố p số dương r số lần xuất nhóm xyclic nguyê Ζ biểu diễn nhóm G n sơ dạng tỏng trực tiếp p r nhóm xyclic nguyên sơ chi phụ thuộc vào nhóm G Giả sử G biểu diễn dạng tổng trực tiếp nhóm xyclic nguyên sơ p số nguyên tố , n số lớn số nguyên r cho nhóm xyclic nguyên sơ Ζ xuất hiệnp phân tích cho r Gọi α ( p, r ) số lần xuất nhóm Ζ ,1 ≤ r ≤ n r pphân tích Ta kí hiệu tập phần tử cấp p G nhóm G [ p] [ nhóm G tập p] nhóm G Từ biểu diễn nhóm G dạng tổng trực tiếp nhóm xyclic nguyên sơ, ta suy G nhóm [ p] đẳng cấu với tổng trực tiếp : ∩ r pG (Ζ p α( ) với ≤ r < n p,n)+ +α ( p,r +1) Vậy α ( p,n)+ +α ( p,r +1) r = Card G [ p]∩ p G ta có p Do α ( p, n) + + α ( p.r +1 ) = log ( G card G [ p] ∩ log p p r ) Vậy với ≤ r tổng phụ thuộc vào nhóm G cho r nhận giá trị < n từ n-1 đến o, ta suy số α ( p, n ) , α ( p, n −1), ,α ( p,1) nhóm G ta có điều phải chứng minh phụ thuộc vào Kết luận Trên tồn nội dung khóa luận( cấu trúc tự tốn phân tích) Qua q trình tìm hiểu, nghiên cứu giúp em thấy vai trò quan trọng cấu trúc tự lý thuyết đại số Mặc dù có nhiều cố gắng song với thời gian chuẩn bị chưa nhiều bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận em chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy, cô giáo bạn sinh viên để khóa luận em thực có ý nghĩa Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2009 Sinh viên Nguyễn thị Hà Tài liệu tham khảo [1], Nguyễn Tự Cường, Giáo trình đại số đại, Nxb Đại học Quốc Gia ,Hà Nội [2], Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội [3], Trần trọng Huệ (2001), Đại số đại cương,Nxb Đại học quốc gia, Hà Nội [4], Hồng Xn Sính (2000), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục ... luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Hà TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********** NGUYỄN THỊ HÀ CÁC CẤU TRÚC TỰ DO VÀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: ĐẠI SỐ Ngƣời hƣớng... 30 2.6.5 Các điều kiện tương đương 30 Chương 3 .Bài tốn phân tích 32 3.1 Sự phân tích nhóm 32 3.2 Sự phân tích nhóm xyclic 33 3.2.1 Sự phân tích nhóm xyclic... nhìn tổng quát cấu trúc lớp cấu trúc tự Vì tất ý nghĩa trên ,và nhờ có động viên, bảo, hướng dẫn thầy Vương Thông em mạnh dạn chọn đề tài: “ cấu trúc tự toán phân tích ” Với mong muốn nghiên cứu