khóa luận đa thức và bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

Nó có mối liên hệ mật thiết giữa các kiến thức với nhau, liên quan đến các dạng toán như: Tính nhanh giá trị của biểu thức, các bài toán tìm x, rút gọn phân thức đại số, giải phương trìn

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học, là nền tảng cho các môn khoa học khác, có ứng dụngtrong hầu hết các lĩnh vực trong cuộc sống Toán học giữ vai trò quan trọng trong mọibậc học, làm thế nào để học được toán, học giỏi toán đó là vấn đề đặt ra mà khôngphải lúc nào cũng giải quyết được một cách dễ dàng Với cương vị là một sinh viênhọc chuyên ngành toán, tôi nhận thấy cần phải đầu tư suy nghĩ hơn nữa để tìm raphương pháp tốt nhất phù hợp với từng đơn vị kiến thức, giúp các em tiếp thu kiếnthức một cách chủ động nhẹ nhàng, hiệu quả

Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là nộidung hết sức quan trọng Nó có mối liên hệ mật thiết giữa các kiến thức với nhau, liên

quan đến các dạng toán như: Tính nhanh giá trị của biểu thức, các bài toán tìm x, rút gọn phân thức đại số, giải phương trình tích, Có thể nói, phân tích đa thức thành

nhân tử là một cơ sở để giải quyết một số dạng toán khác

Nhưng, điều đáng nói ở đây, là hầu hết các em học sinh chỉ biết giải một số bài toán cơbản trong sách giáo khoa, nhiều em vẫn còn làm sai, hoặc chưa thực hiện được, các emvẫn chưa nắm vững các phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một cáchlinh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể

Chính vì vậy, việc nhận dạng, phân loại và có phương hướng giải cho từng dạng bàiphân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh định hướng và giải được hầu hết cácdạng bài là hết sức cần thiết.Và đây cũng chính là lý do mà tôi lựa chọn đề tài:

“Đa thức và bài toán phân tích đa thức thành nhân tử”

2 Mục tiêu, nhiệm vụ, giới hạn đề tài

2.1 Mục tiêu

Mục tiêu chính của đề tài là:

- Nắm rõ và củng cố lại những kiến thức cơ bản về đa thức

- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử

- Củng cố các phương pháp phân tích cơ bản

- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, các dạng bài

2.2 Nhiệm vụ và giới hạn đề tài

2.2.1 Nhiệm vụ

Với phạm vi nghiên cứu của một bài khóa luận, trên cơ sở xác định mục tiêu, nhiệm

vụ của đề tài thì đề tài tập trung nghiên cứu giải quyết vấn đề cơ bản sau: đa thức vàbài toán phân tích đa thức thành nhân tử

2.2.2 Giới hạn đề tài

Đa thức và bài toán phân tích đa thức thành nhân tử trên trường số thực trong chươngtrình Đại số 8 và 9

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình triển khai đề tài, tôi sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu sau:

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh do Đảng và Nhà nước

đề ra theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội, con đường duy nhất là nângcao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông Do vậy để học sinh

tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môntoán là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó.

Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ là làm những bài tập thầy

cô ra, mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hóa vấn đề và rút

ra được những điều gì bổ ích Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là một dạngtoán rất quan trọng trong chương trình Đại số 8 đáp ứng yêu cầu này, là nền tảng, là cơ

sở để học sinh học tiếp các chương sau này, nhất là khi học về rút gọn phân thức đại

số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và việc giải phương trình, Tuy nhiên vì lí do

sư phạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà mà chương trình chỉ đề cập đếnbốn phương pháp cơ bản của quá trình phân tích đa thức thành nhân tử thông qua các

ví dụ cụ thể, việc phân tích đó là không quá phức tạp và không quá ba nhân tử

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân

tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả Vì vậy, cần phải có nhữngphương pháp làm các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để xây dựng cho họcsinh có những kĩ năng quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giảitoán, kĩ năng vận dụng bài toán để học tập tốt

1.2 Cơ sở thực tiễn

Do học sinh còn yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát, nhận xét, biến đổi và thựchành giải toán, nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướnggiải quyết thích hợp

CHƯƠNG 2: ĐA THỨC VÀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

2.1 Đa thức

Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học Trong chương trình phổthông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học cơ sở, từ nhữngphép cộng, trừ, nhân đa thức đến phân tích đa thức ra thừ số, dùng sơ đồ Horner đểchia đa thức, giải các phương trình đại số

Vì vậy, đề tài sẽ hệ thống hóa lại những kiến thức cơ bản nhất về đa thức 1 biến trêntrường số thực.

2.1.1 Đa thức và các phép toán trên đa thức

2.1.1.1 Định nghĩa

Đa thức trên trường số thực là biểu thức có dạng:

trong đó

Trong đó: được gọi là các hệ số của đa thức

được gọi là hệ số cao nhất

được gọi là hệ số tự do

n: bậc của đa thức và kí hiệu là n = deg(P)

Quy ước: bậc của đa thức hằng

Để tiện lợi cho việc viết các công thức, ta quy ước với đa thức bậc n thì vẫn có các hệ

số với k >n, nhưng chúng đều bằng 0

Kí hiệu:: tập hợp tất cả các đa thức 1 biến trên trường số thực

, : lần lượt là tập hợp các đa thức 1 biến trên số hữu tỉ và số nguyên

b,

(x+3)(x – 7) = - 7x + 3x – 21 = - 4x – 21

2.1.1.5 Bậc của tổng, hiệu, tích của các đa thức

Định lí 1:

Cho P(x), Q(x) là các đa thức bậc m, n tương ứng Khi đó:

a, deg(P Q) max {m, n} trong đó: nếu deg(P) deg(Q) thì dấu “=” xảy ra

Trong trường hợp, m = n thì deg(P Q) có thể nhận bất kì giá trị nào m

Trong phép chia P(x) cho Q(x), nếu số dư R(x) đồng nhất bằng 0 thì ta nói rằng đa

thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x)

Như vậy, P(x) chia hết cho Q(x) nếu tồn tại đa thức S(x) sao cho:

P(x) = Q(x).S(x)

Trong trường hợp này, ta cũng nói Q(x) chia hết P(x), Q(x) là ước của P(x) hoặc P(x) là bội của Q(x)

a là nghiệm của đa thức P(x)  P(x) (x – a)

Từ hệ quả trên, ta có thể có một định nghĩa khác cho nghiệm của đa thức như sau:

“ a là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(x) = (x – a)Q(x)”

(với Q(x) là 1 đa thức nào đó)

- Nếu P(x) có nghiệm nguyên x = a thì phân tích được P(x) = (x – a)Q(x) (với

Q(x) là đa thức với hệ số nguyên)

Nếu a, b và a b thì P(a) – P(b) (a -b)

- Nếu x = p/q là 1 nghiệm của P(x) (với (p, q) = 1) thì p là ước của và q là ước của

Đặc biệt thì nghiệm hữu tỉ là nghiệm nguyên

- Nếu là nghiệm của P(x) với m, n nguyên; n không phải là số chính phương thì là

nghiệm của P(x)

- Nếu là nghiệm của P(x) với m, n nguyên; n không phải là số chính phương thì (với)

- Đa thức với hệ số nguyên sẽ nhận giá trị nguyên với mọi giá trị x nguyên Điềungược lại không đúng.

Ví dụ:

- Các đa thức và nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên

- Đa thức với hệ số hữu tỉ nhưng nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên được gọi

Nếu tồn tại số nguyên p sao cho

i. không chia hết cho p

ii

iii

Thì đa thức P(x) bất khả quy

• Định lí: Quan hệ bất khả quy trên và

Nếu đa thức P(x) bất khả quy trên thì cũng bất khả quy trên

2.2 Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

2.2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử

2.2.2 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Để phân tích 1 đa thức thành nhân tử có rất nhiều phương pháp khác nhau, nhưngchúng ta thường sử dụng một số phương pháp cơ bản do sách giáo khoa giới thiệu ápdụng cho tất cả học sinh đại trà Do vậy, cần phải có những phương pháp giải phù hợpvới khả năng từng học sinh, phù hợp với mức độ của bài toán Đề tài sẽ giới thiệu 8phương pháp, phù hợp với từng đối tượng học sinh sau:

 Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản

Dùng phương pháp cơ bản:

 Phương pháp đặt nhân tử chung

 Phương pháp dùng hằng đẳng thức

 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

 Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kĩ năng

 Phối hợp nhiều phương pháp ( Các phương pháp ở trên)

 Phương pháp xét giá trị riêng

 Phương pháp đưa về một số đa thức đặc biệt

Cần phải linh hoạt sử dụng các phương pháp phù hợp cho từng bài toán, để có cách giải thích hợp

2.2.2.1 Các phương pháp cơ bản

a) Phương pháp đặt nhân tử chung

 Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các

mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).

 Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng hoặc hiệu” để đưa về

“dạng tích” để phân tích đa thức thành nhân tử

d) Phối hợp nhiều phương pháp

Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp, ta nên

chú ý chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên như sau:

• Bước 1: Đầu tiên xét xem các hạng tử có xuất hiện nhân tử chung hay không?

 Nếu có: áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung Sau đó làm tiếp để

đưa ra kết quả cuối cùng

 Nếu không, chuyển sang bước 2

• Bước 2: Nếu đa thức có dạng một hằng đẳng thức thì áp dụng phương pháp

hằng đẳng thức, nếu không thì chuyển sang bước 3

• Bước 3: Dùng phương pháp nhóm hạng tử thích hợp để xuất hiện hằng đẳngthức hoặc nhân tử chung

 Bước 3: Tách Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp.

 Đối với đa thức bậc 3 trở lên

(Xem ở phương pháp nhẩm nghiệm)

 Đối với đa thức nhiều biến

• Ví dụ:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử?

- Đa thức ở 2 là một trong những đa thức có dạng đa thức đặc biệt Khi ta thay x

= y (y = z hoặc z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức đó bằng 0 Vì vậy,ngoài cách phân tích bằng cách tách như trên, ta còn cách phân tích bằng cách

xét giá trị riêng ( Xem ở phần 2.2.2.7)

và f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)

- Lúc đó tách các số hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa nhân tử

là (x – a) Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên của đa thức, nếu có, phải là một

ước của hệ số tự do

Hệ quả:

 Hệ quả 1: Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nghiệm là x=1.

Từ đó f(x) có một nhân tử là (x-1).

 Hệ quả 2: Nếu f(x) có tổng các hệ số của các lũy thừa bậc chẵn bằng tổng các

hệ số của các lũy thừa bậc lẻ thì f(x) có một nghiệm là x= -1 Từ đó f(x) có

một nhân tử là (x+1).

 Hệ quả 3: Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a và f(1) và f(-1) thì

 Hệ quả 4: Nếu (hữu tỉ trong đó , thì p là ước của, q là ước dương của

• Ví dụ:

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử?

Lời giải:

Lần lượt kiểm tra với x = Ta thấy:

Đa thức f(x) có một nghiệm x = -2 Do đó, nó chứa một nhân tử là x+2 Từ đó, ta táchnhư sau:

Cách 1:

Cách 2:

Cách 3:

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử?

Lời giải:

Có:1+(-5)+8+(-4) = 0 Nên x = 1 là 1 nghiệm của đa thức Hay đa thức có một nhân tử

là (x – 1) Ta phân tích như sau:

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử?

Có: 1+3 = (-5)+9 nên x = -1 là một nghiệm của đa thức Hay đa thức có một nhân tử

là (x+1) Ta phân tích như sau:

nhớ sau khi thêm bớt

 Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương

Bìa 1: Phân tích đa thức thành nhân tử?

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử?

Lời giải:

Cách 1:

Cách 2:

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử?

Lời giải:

Lưu ý:

Các đa thức dạng: đều chứa nhân tử là:

(

• Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử? 1 4

2 5

3 6

4 +1 8

2.2.2.5 Phương pháp đổi biến (đặt ẩn phụ)

 Trong một số bài toán, ta nên đưa một biến phụ vào để việc giải bài toán

được gọn gàng, tránh nhầm lẫn

 Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng phương pháp cơ bản

 Đa thức dạng:

Phương pháp giải:

Đặt biến phụ rồi đưa đa thức về dạng bậc hai ẩn y

 Đa thức dạng: với a+b = c+d

Phương pháp giải;

Đặt biến phụ y = (x+a)(x+b) có thể y = (x+c)(x+d) hoặc

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử?

f(x) = x(x+4)(x+6)(x+10)+128

Thử với x không là nghiệm của đa thức Do đó, đa thức không có nghiệm nguyên

và nghiệm hữu tỉ Như vậy, đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải códạng:

2.2.2.7 Phương pháp xét giá trị riêng

Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của đathức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định các nhân tử còn lại

• Áp dụng:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử?

Lời giải:

Thay x bởi y thì Như vậy, P chứa thừa số (x-y).Ta thấy, nếu thay x bởi y, thay y bởi

z, thay z bởi x thì P không đổi (đa thức P có thể hoán vị vòng quanh) Do đó, nếu P đã

chứa thừa số (x-y) thì cũng chứa thừa

số (y-z), (z-x) Vậy P có dạng k(x-y)(y-z)(z-x)

Lại thấy: k không phải là hằng số vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích

(x-y)(y-z)(z-x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z.

Chương 3: Ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử

3.1 Ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử vào một số dạng bài toán 3.1.1 Bài toán giải phương trình

• Phương pháp giải

Sử dụng một trong số các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa vế

có chứa ẩn của phương trình về dạng:





Vậy phương trình có nghiệm x = 2 hoặc x =

3.1.2 Bài toán giải phương trình

• Phương pháp giải

 Đối với phương trình bậc cao, ta nên phân tích vế có chứa ẩn thành nhân tử

để để đưa bất phương trình về dạng bất phương trình tích

 Đối với bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta nên phân tích tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn biểu thức sau đó giải bất phương trình sẽ đơn giản hơn (A.B < 0 hoặc A.B > 0) hay bất phương trình thường

Ta thấy VT của bpt (1) là một đa thức bậc hai, ta sẽ phân tích

Việc giải bpt (1) ta sẽ đưa về giải bpt:

Lời giải:

Ta có:



Vì – 1 < 0 nên (x – 2)(x - 3) < 0 Suy ra:  2 < x < 3

Vậy bpt có nghiệm khi 2 < x < 3

3.1.3 Bài toán rút gọn biểu thức

• Phương pháp giải

Dựa trên cơ sở tính chất cơ bản của phân thức đại số, ta phân tích tử và mẫu thứcthành nhân tử để xuất hiện nhân tử chung rồi rút gọn, đồng thời tìm tập xác địnhcủa biểu thức thông qua các nhân tử nằm dưới mẫu

Ta sẽ phân tích đa thức đã cho thành một tích trong đó có xuất hiện thừa số có

dạng chia hết cho số cần chứng minh

tư duy, óc sáng tạo tìm tới phương pháp giải toán nhanh hơn, thông minh hơn.

Qua các dạng bài tập này giúp học sinh biết vận dụng các phương pháp thích hợp

để giải bài tập một cách chính xác và nhanh nhất

có hay không chia hết cho đa thức:

A = luôn luôn không âm với mọi giá trị của x

Bài 9: Cho x là số nguyên CMR:

B = là bình phương của một số nguyên

CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Với việc các em nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và kếthợp đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn toán ở khối 8 và khối 9, tôi thấy chấtlượng môn toán ngày càng tiến bộ rõ rệt Cụ thể:

Phần kết luận

Từ nhận thức của bản thân trên cơ sở thực tiễn chọn đề tài và các biện pháp triển khai

đề tài, qua khảo sát thực tế việc tiếp thu của học sinh, tôi thấy đã đạt được một số kếtquả cụ thể như sau:

Với việc trình bày các bài toán cơ bản, cùng với các ví dụ minh họa ngay sau đó, sẽgiúp tăng cường bài giảng cho các thầy , cô giáo và với các em học sinh sẽ dễ hiểu vàbiết cách trình bày bài, học sinh biết vận dụng thành thạo các kiến thức đã học làm cơ

sở cho việc tiếp thu bài mới một cách thuận lợi, vững chắc Đặc biệt là nội dung phầnbình luận sau một vài bài tập ví dụ sẽ giúp các em học sinh củng cố những hiểu biếtchưa thật thấu đáo, cùng với cách nhìn nhận vấn đề đặt ra cho các em học sinh, để trảlời một cách thỏa đáng cấu hỏi “ Tại sao lại nghĩ và làm như vậy?”