Giải bài toán bằng cách lập phương trình ở trung học cở sở

PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Dạng tốn “ giải tốn cách lập phương trình” bậc Trung học sở dạng toán tương đối khó học sinh Do đặc trưng loại tốn thường loại tốn có đề lời văn thường kết hợp tốn học, vật lý, hóa học số toán liên quan đến thực tế Hầu hết tốn có liệu ràng buộc lẫn buộc học sinh phải có suy luận tốt tìm mối liên quan đại lượng để lập phương trình Trong phân phối chương trình tốn trường Trung học sở lớp học sinh học khái niệm phương trình việc giải phương trình có chương trình tốn từ lớp với mức độ yêu cầu đơn giản Đặc thù riêng loại toán hầu hết toán gắn liền với nội dung thực tế Vì mà việc chọn ẩn thường đại lượng có liên quan đến thực tế Do giải tốn học sinh thường mắc sai lầm thoát ly khỏi thực tế dẫn đến quên điều kiện ẩn số Học sinh không khai thác hết mối quan hệ ràng buộc thực tế Từ lý dẫn đến nhiều học sinh ngại giải loại toán Mặt khác trình giảng dạy cho học sinh điều kiện khách quan giáo viện dạy cho học sinh truyền thụ theo sách giáo khoa mà chưa biết phân loại dạng toán, chưa khai thác phương pháp giải cho dạng tốn, kỹ phân tích tổng hợp học sinh yếu Vì q trình đặt ẩn, mối liên hệ số liệu toán dẫn đến lúng túng việc giải dạng toán Để giải toán cách lập phương trình điều quan trọng phải biểu diễn, diễn đạt mối liên hệ toán thành quan hệ toán học Do nhiệm vụ người thầy phải dạy cho học sinh cách dẫn giải tập Vì hướng dẫn cho hoc sinh học “giải dạng tốn cách lập phương trình” phải dựa nguyên tắc sau: - Yêu cầu giải toán - Quy tắc giải toán cách lập phương trình - Phân loại dạng tốn dựa vào q trình biến thiên đại lượng (tăng giảm, thêm bớt …) - Làm sáng tỏ mối quan hệ đại lượng dẫn đến lập phương trình Với mong muốn có chun đề chuyên sau cho dạng toán giải bài toán cách lập phương trình em chọn đề tài “ Giải tốn cách lập phương trình Trung học cở sở” Mục tiêu nghiên cứu Thông qua đề tài em muốn giới thiệu đến bạn đọc số vấn đề liên quan đến giải tốn cách lập phương trình Đề tài sâu vào nghiên cứu số toán cụ thể dạng toán giải cách lập phương trình Đối tượng khách thể nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Học sinh bậc trung học sở - Khách thể nghiên cứu: Trình bày số kiến thức phù hợp với nội dung đề tài, từ hình thành cách giải, hệ thống ví dụ nhằm bổ sung sáng tỏ phần lý thuyết tập giúp người đọc hiểu sâu Phạm vi nghiên cứu Trong chương trình trung học sở, tập giải toán cách lập phương trình nâng cao, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách có liên quan đến đề tài - Sử dụng phương pháp phân tích để nắm vững vấn đề cách chi tiết - Sử dụng phương pháp tổng hợp kiến thức, trình bày vấn đề theo trình tự logic để người đọc dễ theo dõi Nhiệm vụ đề tài - Hệ thống kiến thức “ giải tốn cách lập phương trình” - Hệ thống tập cụ thể, từ đơn giản đến phức tạp - Tìm phương pháp giải hiệu với dạng toán, PHẦN NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương Ý NGHĨA LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ BÀI 1.1 Cơ sở lý luận Mục tiêu giáo dục giai đoạn phải đào tạo người có trí truệ phát triển, giàu tính sáng tạo nhân văn cao Với vai trò mạnh mẽ tốn học nên u cầu đặt phải làm cho học sinh nắm kiến thức tốn học cách xác, vững có hệ thống, có lực vận dụng kiến thức để giải tốn thực tế Muốn học sinh phải có phương pháp học tập thích hợp Trong việc đổi phương pháp dạy học học sinh đóng vai trò chủ động việc tìm hiểu tri thức qua dẫn dắt, hướng dẫn giáo viên 1.2 Cơ sở thực tiễn Xuất phát từ thực tế em học sinh ngại khó giải toán, em thấy cần phải tạo cho em học sinh có niềm u thích say mê học tập, tự đặt câu hỏi tự tìm câu trả lời Khi gặp tốn khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả q trình học tập “Giải tốn cách lập phương trình” phiên dịch tốn từ ngơn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số dùng phép biến đổi đại số để tìm đại lượng chưa biết thỏa mãn điều kiện cho Chương PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ YÊU CẦU GIẢI MỘT BÀI TOÁN 2.1 Phương pháp nghiên cứu - Dựa vào phân phối chương trình chung Bộ giáo dục – Đào tạo ban hành chương trình tốn Trung học sở với nội dung: Phương trình hệ phương trình - Phương pháp hướng dẫn học sinh giải toán dựa vào nguyên tắc chung: Giải tốn cách lập phương trình * Nội dung quy tắc gồm bước sau: Bước 1: Lập phương trình: - Chọn ẩn ( rõ đơn vị điều kiện ẩn) - Biểu thị số liệu chưa biết biết qua ẩn - Dựa vào mối quan hệ số liệu để lập phương trình Bước 2: Giải phương trình: (Chọn cách giải cho phù hợp) Bước 3: Nhận định kết trả lời: - So sánh kết tìm với điều kiện ẩn xem có phù hợp khơng trả lời kết 2.2 Yêu cầu giải toán - Yêu cầu 1: Lời giải không phạm phải sai lầm, khơng sai sót dù nhỏ Muốn giáo viên phải cho học sinh hiểu kĩ đề bài, q trình giải khơng có sai sót kiến thức bản, phương pháp suy luận, kỹ tính tốn, cách kí kiệu ẩn phải xác, phải phù hợp với toán phù hợp với thực tế - u cầu 2: Lời giải tốn phải có xác Trong q trình thực bước phải có logic chặt chẽ với nhau, có sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt phải có ý tới việc thỏa mãn điều kiện nêu giả thiết Xác định ẩn phải khéo léo, mối quan hệ liệu cho phải làm bật ý phải tìm Nhờ mối tương quan đại lượng tốn thiết lập phương trình, từ tìm giá trị ẩn muốn giáo viên cần làm cho học sinh xác định rõ đâu ẩn, đâu kiện, đâu điều kiện Điều kiện có đủ để xác định ẩn hay khơng Từ xác định hướng đi, xây dựng lời giải - Yêu cầu 3: Lời giải phải giải thích đầu đủ mang tính tồn diện Hướng dẫn học sinh khơng bỏ sót khả năng, chi tiết nào, không thừa, không thiếu Rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đầy đủ chưa Kết toán đại diện phù hợp với cách chưa Nếu thay đổi điều kiện toán rơi vào trường hợp kết ln - u cầu 4: Lời giải toán phải đơn giản, phù hợp với kiến thức học sinh, đại đa số học sinh hiểu áp dụng - Yêu cầu 5: Lời giải phải trình bày khoa học, mối liên hệ bước giải toán phải logic, chặt chẽ với nhau, bước sau suy từ bước trước, kiểm nghiệm, chứng minh biết trước - Yêu cầu 6: Lời giải phải rõ rang, đầy đủ Các bước lập luận không chồng chéo, phụ định lẫn Muốn cần rèn cho học sinh có thói quen sau giải xong cần phải thử lại kết tìm nghiệm tốn, tránh bỏ sót nghiệm, đặc biệt phương trình bậc Chương CÁC DẠNG BÀI TOÁN “GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH” VÀ CÁC GIAI ĐOẠN GIẢI MỘT BÀI TỐN 3.1 Các dạng tốn “ Giải tốn cách lập phương trình” Trong chương trình lớp 8, giải toán cách lập phương tình phân loại sau: - Loại tốn quan hệ số, tìm số - Loại tốn chuyển động - Loại tốn liên quan đến cơng việc chung, làm riêng - Loại toán liên quan tới kiến thức hình học - Loại tốn dân số, lãi suất, tăng thưởng - Loại toán sử dụng kiến thức vật lý, hóa học 3.2 Các giai đoạn giải toán - Với toán bậc ẩn: Là dạng toán sau xây dựng phương trình, biến đổi tương đương dạng ax + b = (a 0) - Với toán cách lập phương trình bậc tốn sau xây dựng phương trình biến đổi tương đương dạng ax2 + bx + c = (a 0) Để đảm bào yêu cầu toán bước quy tắc giải toán cách lập phương trình tốn chia thành giai đoạn sau: + Giai đọan 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết, kết luận toán giúp học sinh hiểu toán cho liệu gì? Cần tìm gì? + Giai đoạn 2: Nêu rõ vấn đề có liên quan đến lập phương trình Tức chọn ẩn cho phù hợp, điều kiện cho thỏa mãn + Giai đoạn 3: Lập phương trình dựa vào quan hệ ẩn số đại lượng biết, dựa vào cơng thức, tính chất để xây dựng phương trình, biến đổi tương đương để đưa phương trình xây dựng phương trình dạng biết, giải + Giai đoạn 4: Giải phương trình phải vận dụng kỹ thuật giải phương trình biết để tìm nghiệm phương trình + Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm phương trình, để xác định lời giải toán, tức xét nghiệm phương trình với điều kiện đặt tốn, với thực xem có phù hợp khơng + Giai đoạn 6: Trả lời tốn kết luận xem có nghiệm (sau thử lại) + Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách giải, phần thường mở rộng cho học sinh khá, giỏi Sau giải xong gợi ý cho học sinh biến đổi tốn thành tốn khác, ta có thể: - Giữ nguyên ẩn số, thay đổi yếu tố khác - Giữ nguyên giữ kiện, thay đổi yếu tố khác nhằm phát triển tư học sinh - Giải tốn cách khác Tìm cách giải hay Chương CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG TRONG “ GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH” 4.1 Dạng 1: Tốn quan hệ số, tìm số 4.1.1 Các kiến thức cần nhớ - Biểu diễn số có hai chữ số: = 10a + b ( < a 9;0 0, x < 125) Chiều dài ruộng là: 125 – x (m) Vì chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi khơng đổi ta có phương trình: Chiều rộng ruộng là: 50 (m) Chiều dài ruộng là: 70 (m) Vậy diện tích ruộng là: 50.70 = 3570 m2 4.4.3 Bài tập tương tự Bài 1: Một hình chữ nhật có đường chéo 13 (m), chiều dài chiều rộng (m) Tính diện tích hình chữ nhật đó? Bài 2: Một đa giác lồi có tất 35 đường chéo Hỏi đa giác có đỉnh? Bài 3: Một hình tam giác có diện tích 180 (m2) Tính cạnh đáy biết tăng cạnh đáy (m) giảm chiều cao tương ứng (m) diện tích khơng đổi Bài 4: Một miếng đất hình thang có chiều cao 35 (m), hai đáy 30 (m) 50 (m), người ta làm hai đoạn đường có chiều rộng Các đường đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối hai trung điểm hai 24 đáy Tính chiều rộng đoạn đường biết diện tích phần làm đường diện tích hình thang Bài 5: Tìm hai cạnh tam giác vuông, biết cạnh huyền 13 (cm) tổng hai cạnh góc vng 17 (cm) * Hướng dẫn: Bài 1: Diện tích hình chữ nhật 60 m2 Bài 2: Đa giác có 10 đỉnh Bài 3: Cạnh đáy tam giác 36 m Bài 4: Chiều rộng đoạn đường 5m Bài 5: Độ dài cạnh góc vng 12 cm cm 4.5 Dạng 5: Toán dân số, lãi suất, tăng trưởng 4.5.1 Những kiến thức cần nhớ - Dân số tỉnh A năm ngoái a, tỷ lệ tăng dân số x% dân số năm tỉnh A là: Số dân năm sau là: 4.5.2 Một số ví dụ *Ví dụ 1: Năm ngối, tổng số dân tỉnh A B triệu Năm nay, dân số tỉnh A tăng thêm 1,1% dân số tỉnh B tăng thêm 1,2% Tuy vậy, số dân tỉnh A năm nhiều số dân tỉnh B 807200 người Tính số dân năm ngối mối tỉnh Phân tích đề bài: 25 - Có hai đối tượng tham gia toán tỉnh A tỉnh B - Nếu gọi số dân năm ngoái tỉnh A x số dân năm ngối tỉnh B biểu diễn nào? - Số dân tỉnh A tỉnh B năm biểu thị nào? Bài giải: Gọi số dân năm ngoái tỉnh A là: x (người) (0< x < 4000000, ) Số dân năm ngoái tỉnh B là: 4000000 – x Số dân tỉnh A năm là: Số dân tỉnh B năm là: Theo số dân tỉnh A năm nhiều tỉnh B 807200 người nên ta có phương trình: 1,011x – (4000000 – x).1,012 = 807 1,011x + 1,012x = 807200 + 4000000.1,012 2,013x x = 4855200 = 2400000 Vậy dân số năm ngoái tỉnh A là: 2400000 người Dân số năm ngoái tỉnh B là: 4000000 – 2400000 = 1600000 *Ví dụ 2: Lan mua hai loại hàng phải trả tổng cộng 120 nghìn đồng, tính 10 nghìn đồng thuế giá trị gia tăng Biết thuế VAT loại 26 hàng thứ 10%, thuế VAT loại hàng thứ hai 8% Hỏi khơng kể thuế VAT Lan phải trả loại hàng tiền? Phân tích đề bài: - Có hai đối tượng tham gia loại hang thứ loại hang thứ - Nếu gọi số tiền mua loại hang thứ nhát khơng kể thuế VAT x số tiền phải tra cho loại hang thứ không kể thuế VAT biểu thị biểu thức nào? - Số tiền thực phải trả cho loại hang thứ loại hang thứ hai bao nhiêu? (kể thuế VAT) Bài giải: Gọi số tiền mua loại hàng thứ không kể thuế VAT x (0 < x < 110000) (đồng) Tiền mua loại hàng thứ hai không kể thuế VAT 110000 – x (đồng) Số tiền thật Lan phải trả cho loại hàng thứ là: x + 0,1x (đồng) Số tiền thật Lan phải trả cho loại tiền thứ hai là: 110000 – x + 0,08.(110000 – x) Vì tổng số tiền Lan phải trả 120000 đồng nên ta có phương trình: X + 0,1x + 110000 – x + 0,08.(110000 – x) = 120000 0,1x + 110000 + 8800 – 0,08x = 120000 0,02x x = 1200 = 60000 ( Thỏa mãn điều kiện) Vậy số tiền Lan trả cho loại hàng thứ không kể thuế VAT 60 000 đồng Số tiền Lan trả cho loại hàng thứ hai khơng kể thuế VAT 50 000 đồng *Ví dụ 3: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I sản xuất vượt mức kế hoạch 18% tổ 27 II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ bao nhiêu? Phân tích đề bài: - Có hai đối tượng tham gia tổ I tổ II - Số sản phẩm vượt mức = Số sản phẩm làm theo kế hoạch × sơ phần trăm vượt mức Bài giải: Gọi x số sản phẩm tổ I hoàn thành theo kế hoạch (sản phẩm) (00) Sau thêm vào khối lượng hợp kim là: 12 + x (kg) Vì lượng đồng khơng đổi chiếm 40% nên ta có phương trình: 31 (Kg) (Thỏa mãn điều kiện) Vậy khối lượng thiếc cần thêm vào 1,5 kg * Ví dụ 3: Miếng kim loại thứ nặng 880g, miếng kim loại thứ hai nặng 858g Thể tích miếng thứ nhỏ thể tích miếng thứ hai 10 cm 3, khối lượng riêng miếng thứ lớn khối lượng riêng miếng thứ hai g/cm3 Tìm khối lượng riêng miếng kim loại? Phân tích đề bài: - Có hai đối tượng tham kim loại thứ kim loại thứ hai - Thể tích miếng kim loại khối lượng kim loại chia khối lượng riêng kim loại Bài giải: Gọi khối lượng riêng miếng kim loại thứ là: x (g/cm3) (x>0) Khối lượng riêng miếng kim loại thứ hai là: x – (g/cm3) Thể tích miếng kim loại thứ là: (cm3) Thể tích miếng kim loại thứ hai là: (cm3) Theo ta có phương trình: Ta có: x1 = 8,8 ( Thỏa mãn điều kiện) X2 = -10 (Loại) 32 Vậy khối lượng riêng miếng kim loại thứ 8,8 g/cm3 Khối lượng riêng miếng kim loại thứ hai 7,8 g/cm3 4.6.3 Bài tập tương tự Bài 1: Người ta trộn 8g chất lỏng với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ 0,2 g/cm3 để hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7 g/cm Tính khối lượng riêng chất lỏng? Bài 2: Một hợp kim gồm đồng kẽm có 5g kẽm Nếu thêm 15g kẽm vào hợp kim hợp kim mà khối lượng đồng giảm so với lúc đầu 30% Tìm khối lượng hợp kim ban đầu? Bài 3: Người ta đổ thêm 200g nước vào dung dịch chứa 40g muối nồng độ dung dịch giảm 10% Hỏi trước đổ thêm nước dung dịch chứa nước? * Hướng dẫn: Bài 1: Khối lượng chất lỏng thứ 0,8 (g/cm3) Khối lượng chất lỏng thứ hai 0,6 (g/cm3) Bài 2: 25g 10g Bài 3: 160g nước PHẦN KẾT LUẬN 33 Trên dạng toán “ Giải toán cách lập phương trình” thường gặp trường Trung học sở Mỗi dàng tốn thường có đặc điểm khác Nhưng chúng chung sở bước giải “ Giải tốn cách lập phương trình” Ở dạng em chọn tốn điển hình có tính chất giới thiệu hướng dẫn em việc xây dựng phương trình theo loại: - Bài tốn đưa phương trình bậc ẩn - Bài tốn đưa phương trình bậc ân Với vấn đề em không đặt vấn đề cho em giải phương trình mà chủ yếu gợi ý cho em xây dựng phương trình từ tốn thực tế để từ giúp em dễ dàng việc nhận dạng giải toán thực tế cách lập phương trình Phần giải tốn cách lập phương trình đa dạng, nhiên với khả mình, em đề cập đến số dạng đơn giản mà học sinh thường gặp chương trình Em sâu vào vấn đề nhỏ hướng dẫn, giúp bạn học sinh có kỹ lập phương trình tốn, bời muốn giải tốn cách lập phương trình phải lập phương trình, có phương trình giải phương trình có kết đúng, dẫn đến trả lời mà tốn đòi hỏi Trong q trình giảng dạy hẳn mong muốn cho học sinh hiểu bài, chất lượng học tập học sinh tốt hơn, tạo cho em có đầy đủ điều kiện bước vào sống học Vì đòi hỏi người tạo sản phẩm cần phải: TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) – Tơn Thân (Chủ biên), Sách giáo khoa tốn lớp (tập 2, Giáo dục Việt Nam, 2011 Tôn Thân (Chủ biên), Sách tập toán lớp (tập 2), Giáo dục Việt Nam, 2011 Vũ Hữu Bình, Nâng cao phát triển toán lớp (tập 2), Giáo dục, 2013 LỜI CẢM ƠN 35 Trên thực tế thành cơng mà khơng gắn liền với hỗ trợ, giúp đỡ dù hay nhiều, dù trực tiếp hay gián tiếp người khác Để hồn thành khóa luận này, em nhận giúp đỡ vô quý báu cá nhân tập thể Trước tiên em xin bày lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Ngô Sách Đăng – người tận tình hướng dẫn em hồn thành khóa luận từ bước Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám Hiệu, phòng ban, khoa Giáo dục – Trung học sở, thầy tổ mơn Tốn Tin thầy cô giáo nhà trường tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ em hồn thành khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn đến quan thư viện quốc gia, thư viện tỉnh, thư viện nhà trường giúp đỡ em việc tìm kiếm thu thập thơng tin Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện để giúp em hồn thành khóa luận Xin chân thành cảm ơn! Bắc Ninh, ngày 27 tháng năm 2017 Người làm khóa luận Tống Thị Khánh Linh MỤC LỤC 36 37 ... DẠNG BÀI TỐN “GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH” VÀ CÁC GIAI ĐOẠN GIẢI MỘT BÀI TOÁN 3.1 Các dạng toán “ Giải toán cách lập phương trình Trong chương trình lớp 8, giải tốn cách lập phương. .. chọn đề tài “ Giải toán cách lập phương trình Trung học cở sở Mục tiêu nghiên cứu Thông qua đề tài em muốn giới thiệu đến bạn đọc số vấn đề liên quan đến giải toán cách lập phương trình Đề tài... dung: Phương trình hệ phương trình - Phương pháp hướng dẫn học sinh giải toán dựa vào nguyên tắc chung: Giải tốn cách lập phương trình * Nội dung quy tắc gồm bước sau: Bước 1: Lập phương trình: