Luận văn sư phạm Các cấu trúc tự do và bài toán phân tích

Khóa lu n t t nghi p TR NG IH CS Nguy n Th Hà PH M HÀ N I KHOA TOÁN ********** NGUY N TH HÀ CÁC C U TRÚC T DO VÀ BÀI TỐN PHÂN TÍCH KHịA LU N T T NGHI P Chuyên ngành: HÀ N I ậ 2009 IS IH C Khóa lu n t t nghi p TR Nguy n Th Hà NG IH CS PH M HÀ N I KHOA TOÁN ********** NGUY N TH HÀ CÁC C U TRÚC T DO VÀ BÀI TỐN PHÂN TÍCH KHịA LU N T T NGHI P IS Chuyên ngành: Ng IH C ih ng d n khoa h c GVC V NG THÔNG HÀ N I - 2009 Khóa lu n t t nghi p Nguy n Th Hà L i c m n Trong trình nghiên c u th c hi n khóa lu n: “ Các c u trúc t vƠ tốn phân tích ” v i s c g ng c a b n thân, em nh n đ h ng d n,giúp đ t n tình c a th y giáo V nh n đ ng Thông cs ng th i em c ng c s giúp đ , đ ng viên c a th y, cô c a b n sinh viên khoa toán Em xin g i l i c m n sâu s c t i th y V ng Thông giúp đ h ng d n t n tình đ em hồn thành t t khóa lu n c a Em xin chân thành c m n ban ch nhi m khoa tốn th y giáo b n sinh viên khoa t o u ki n, giúp đ em hồn thành khóa lu n Em xin chân thành c m n ! Hà N i, tháng n m 2009 Sinh viên N guy n Th Hà Khóa lu n t t nghi p Nguy n Th Hà L i cam đoan Khóa lu n k t qu c a b n thân em trình h c t p nghiên c u bên c nh em nh n đ giáo khoa toán đ c bi t s h c s quan tâm giúp đ c a th y cô ng d n t n tình c a th y V ng Thơng Trong nghiên c u hồn thành khóa lu n em có tham kh o m t s tài li u ghi ph n tài li u tham kh o Vì v y em xin kh ng đ nh đ tài : “ c u trúc t vƠ bƠi tốn phơn tích ”.khơng có s trùng l p v i đ tài c a tác gi khác Sinh viên Nguy n Thi Hà Khóa lu n t t nghi p Nguy n Th Hà M cl c Trang L i nói đ u Ch ng 1.nh ng ki n th c chu n b 1.1 phép tốn đ i s 2-ngơi 1.2 Nhóm 1.3 Nhóm abel 1.4 Nhóm xyclic 1.5 C p c a nhóm,c p c a m t ph n t 1.6 Nhóm 1.7 nh lý Lagrage 1.8 Nhóm sylow 10 1.9 Nhóm chu n t c 10 1.10 Tích tr c ti p, t ng tr c ti p 10 Ch ng Các c u trúc t 12 2.1 Nhóm t 12 2.1.1 nh ngh a 12 2.1.2 Tính ch t 12 2.2 Nhóm abel t 17 2.2.1 nh ngh a 17 2.2.2 Tính ch t 18 2.3 Nhóm abel h u h n sinh 22 2.3.1 nh ngh a 22 2.3.2 Tính ch t 22 2.4 Nhóm đ ng c u nhóm 23 2.4.1 nh ngh a 23 2.4.2 Tính ch t 23 2.5 Nhóm gi i đ c 27 Khóa lu n t t nghi p Nguy n Th Hà 2.5.1 Chu i chu n t c 27 2.5.2 Chu i h p thành 27 2.5.3 nh ngh a nhóm gi i đ c 27 2.5.4 Tính ch t 27 2.6 Mô đun t 29 2.6.1 Môđun sinh b i m t t p,t p sinh 29 2.6.2 T p đ c l p n tính ph thu c n tính 29 2.6.3 C s c a Môđun 29 2.6.4 nh ngh a ví d mơđun t 30 2.6.5 Các u ki n t Ch ng đ ng 30 ng 3.Bài tốn phân tích 32 3.1 S phân tích nhóm 32 3.2 S phân tích c a nhóm xyclic 33 3.2.1 S phân tích c a nhóm xyclic vơ h n 33 3.2.2 S phân tích c a nhóm xyclic h u h n 34 3.3 S phân tích nhóm abel 36 3.4 S phân tích nhóm abel h u h n sinh 39 K t lu n 45 Tài li u tham kh o 46 Khóa lu n t t nghi p Nguy n Th Hà L i nói đ u i s m t nghành chi m v trí quan tr ng khoa h c tốn h c Nó c s c a nhi u nghành toán h c khác nh : đ i s n tính, gi i tích, ph ng trình đ o hàm riêng…Tuy nhiên đ sâu nghiên c u v đ i s c n có nh ng hi u bi t sâu s c v c u trúc đ i s it ng ch y u c a c u trúc đ i s nhóm, vành, tr ng ,…trong l p c u trúc t m t nh ng khái ni m quan tr ng c a đ i s hi n đ i nghiên c u sâu v l p c u trúc ngồi khái ni m thơng th ng v nhóm, nhóm con,…cịn có khái ni m tích tr c ti p, t ng tr c ti p c a nhóm, s phân tích c a nhóm, nhóm abel, nhóm abel h u h n sinh,…qua s cho ta m t nhìn t ng quát h n v c u trúc c a l p c u trúc t Vì t t c nh ng ý ngh a trên,và nh có s đ ng viên, ch b o, h V ng d n c a th y ng Thông em m nh d n ch n đ tài: “ c u trúc t vƠ bƠi tốn phân tích ” V i mong mu n đ b c nghiên c u tìm hi u sâu h n v b môn đ i s c đ u làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c N i dung c a khóa lu n g m ch Ch ng 1: Nh ng ki n th c chu n b Ch ng 2: Các c u trúc t Ch ng : toán phân tích ng: M c dù có nhi u c g ng song u ki n v th i gian kinh nghi m nghiên c u c a b n thân nhi u h n ch nên khóa lu n c a em khơng th tránh kh i nh ng thi u sót.vì v y em r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a th y giáo b n sinh viên đ khóa lu n c a em đ c hoàn thi n h n Hà N i, tháng n m 2009 Khóa lu n t t nghi p Ch Nguy n Th Hà ng1 Nh ng ki n th c chu n b 1.1 Phép tốn đ i s 2-ngơi nh ngh a1 cho X m t t p h p khác r ng Ta g i phép tốn đ i s 2-ngơi xác đ nh X m t ánh x f : X  X  X x, y f x, y  x  y 1.2 Nhóm nh ngh a Cho X m t t p khác r ng tùy ý Trên X ta xác đ nh m t phép toán đ i s 2-ngơi kí hi u (  ) X m t nhóm ch khi: - phép tốn (  ) có tính ch t k t h p t c x   y  z  x  y  z - x  X, e  X cho ex  xe  x - x  X, x'  X cho xx'  x' x  e i v i phép toán c ng ph n t e đ Ph n t x' đ c g i ph n t đ i x ng i v i phép toán nhân ph n t e đ x' đ Ph n t c g i ph n t trung l p(trung hòa) c g i ph n t đ n v c g i ph n t ngh ch đ o - N u khơng có nh m l n phép tốn 2-ngơi m t nhóm tùy ý th ng đ c kí hi u theo l i nhân “ ” 1.3 Nhóm abel nh ngh a Nhóm (G, ) đ c g i giao hốn (hay nhóm abel ) n u xy  yx, x, y  G H qu M t n a nhóm X nhóm ch khi: - e  X, x  X cho ex  x - x  X, x'  X cho x' x  e H qu Khóa lu n t t nghi p M t n a nhóm X nhóm ch ph Nguy n Th Hà ng trình ax  b ya  b có nghi m X, a , b  X 1.4 Nhóm xyclic 1.4.1 nh ngh a Cho (G, ) m t nhóm G đ c g i nhóm xyclic ch m i ph n t c a đ u l y th a c a ph n t a  G ta g i a ph n t sinh c a nhóm xyclic G Kí hi u G = Theo đ nh ngh a nhóm xyclic G v i ph n t sinh a có th đ c vi t d d ng G = {an l n  Z } N u phép tốn 2-ngơi x phép tốn ( + ) G  {na l n  Z } 1.4.2 Phơn lo i nhóm xyclic N u a n  a m v i m i c p s ngun khác n,m c p c a nhóm xyclic vơ h n ta có nhóm xyclic vơ h n N u t n t i s nguyên n  m cho a n  a m  a  n  a  m , nên có th gi s r ng n  m  h n n a a nm  a n a  m  a ma  m  e V y t n t i s t nhiên r  bé nh t cho a r  e Ta s ch ng minh G  a  e, a , a , , a r 1 Th t v y n u t n t i s i,j gi s i  j, o  i, j  r  cho a i  a j  a i j  e u trái v i tính bé nh t c a r j  i  r V y a i  a j Gi s a k  G v i k s nguyên k  nr  m.0  m  r ta có   a k  a nr  m  a r n V y tr ng h p ta ch ng minh đ a m  a m bé nh t r có tính ch t a r  e B đ c G nhóm h u h n có c p s i Khóa lu n t t nghi p Nguy n Th Hà Cho X  a , Y  b nhóm xyclic c p Khi ánh x f : X  X a m  bm Là m t đ ng c u nhóm Ch ng minh +) x, y  X, x  a m , y  a n , m.n   Ta có f  xy  f  a ma n   f  a m n   b mn  b m b n  f  x f  y   f m t đ ng c u nhóm +) f đ n c u Th t v y: x, y  X , mà f(x) = f( y) v i x  a m , y  a n  bm  bn  bmn  eY Mà gi s X Y c p k nên  m  n  k  m  n  ks  m  n  ks V y a m  a n a ks  a n  a k   a n  eX   a n  x  y s s +) f toàn c u y  Y  b  y  b m  x  a m  a  X cho f  x  y ฀ Nh n xét: - Các nhóm xyclic c p vô h n s đ ng c u v i Z - Các nhóm xyclic c p n h u h n s đ ng c u v i nhóm  n 1.5 C p c a nhóm, c p c a ph n t nh ngh a1 Cho G nhóm v i phép tốn (.) C p c a nhóm G s ph n t c a nhóm G nh ngh a C p c a ph n t a  G c p c a nhóm Chú ý: C p c a ph n t a n n u n s nguyên d ng bé nh t đ a n  e Khi a  a  e, a , a , , a n1 N u không t n t i s nguyên khác không đ 10 an  e Khóa lu n t t nghi p N u X phân tích đ Nguy n Th Hà c thành tích tr c ti p c a nhóm chu n t c A B m i ph n t c a A giao hoán đ c v i m i ph n t c a B m i ph n t gX đ u bi u di n đ c nh t d i d ng g  ab, a  A, b  B Ch ng minh: * a  A, b  B ta ph i ch ng minh ab  ba   ab  ba   e 1 Th t v y ta có: -  ab  ba    ab   a 1b1    aba 1  b1  B B  X 1 -  ab ba    ab   a 1b 1   a ba 1b 1   A A X 1 T u suy  ab  ba   A B  e   ab  ba   e  ab  ba 1 1 * Do g  X mà X  AB  g  ab * Ta ch ng minh s bi u di n nh t Th t v y gi s g  ab  a1b1 ta ch ng minh a  a1 , b  b1 Ta có a 1a1  a 1a1  b1b11   a 1  a1b1  b11  a 1  ab  b11  a 1abb11  ebb11  bb11  B  a 1a1  B Mà ta có a 1a1  A bb11  A nh lý 2: Gi s X phân tích đ c thành tích tr c ti p c a nhóm chu n t c A,B X s đ ng c u v i tích tr c ti p P  A B Ch ng minh: Do m i ph n t x  X bi u di n nh t d i d ng x  ab , a  A, b  B xét ánh x f : X  A B x  ab   a , b   f  x  Ta s ch ng minh f đ ng c u nhóm Th t v y: x, y  X, x  ab, y  cd f  xy   f  ab  cd    f  a  bc  d   f a  cb  d   f  ac  bd    ac, bd    a , b  c, d  35 Khóa lu n t t nghi p Nguy n Th Hà  f  ab  f  cd   f  x  f  y   f đ ng c u nhóm - f đ n c u x, y  X, x  ab, y  cd gi s a  c f  x  f  y    a , b    c, d     ab  cd  x  y b  d - f toàn c u y  A B  y   a , b  M t khác X phân tích thành tích tr c ti p c a A B nên ` a  A, b  B đ x  ab cho f  x  f  ab    a , b   y V y X  P  A B 3.2 S phơn tích c a nhóm xyclic 3.2.1 nhóm xyclic c p  B đ Nhóm (Z, +) khơng phân tích đ c Ch ng minh: Gi s t n t i nhóm khơng t m th ng A,B c a (Z, +) cho A B  0 Z  A B A  0 , B  0 nên   a  A,  b  B Ta có ab  A nhóm c a nhóm (Z, + ) nên ab  A B nhóm c a nhóm (Z, + ) nên ab  B V y  ab  A B  0 < mâu thu n > u gi s sai ta có u ph i ch ng minh 3.2.2 nhóm xyclic c p h u h n nh ngh a Nhóm xyclic c p p m , m   p s nguyên t g i nhóm xyclic nguyên s V y nhóm xyclic tr Ví d ng h p đ c bi t c a p-nhóm 8 ,8  23 nhóm xyclic nguyên s 36 Khóa lu n t t nghi p B đ Nguy n Th Hà Gi s p s nguyên t , m    Khi nhóm c ng  p s nguyên m mod p m khơng phân tích đ c Ch ng minh: Gi s A,B nhóm chu n t c c a  p cho A B  o m   pm  A B   pm  A B, A B  Ta có A B nhóm xyclic Gi s A  a , B  b  a l p m b l p m ( theo đ nh lý Lagrange ) Do p nguyên t  a  p r , b  p s  r , s  m Do pr a  0, p s b  ( đ n v c a nhóm  p ) m M t khác p r a  p r  a 1   p r a 1      p s b  p s b.1  p s b   pr a  pm m r  a  p k   s m m s    p b p b  p l Mà  p m   Tr ng h p 1: n u s  r , s  r  a1 , a1   Ta có k.b  k p ms l  k p ms l.1      k p m r a1  l.1  k p mr p a1 l.1  k.l p a1 p mr  l p a1 k p mr  a  A M t khác ta có k.b  b  B  k.b  A B A B  0 Tr ng h p 2: n u r  s, r  s  b1 , b1   Ta có l.a  l p mr k  l p m s b  k.1  k.l p b  p m s 1  k p b l p m s 1  b  B 1 M t khác l.a  a  A  l.a  A B  A B  0 V y  p khơng th phân tích đ m c thành t ng tr c ti p c a nhóm th c s 37 Khóa lu n t t nghi p Nguy n Th Hà Nh n xét: M i nhóm xyclic nguyên s c p p m đ u đ ng c u v i  p  m i m nhóm xyclic nguyên s đ u khơng phân tích đ c B đ N u n  t.s,  t , s   n  t   s Ch ng minh:    n  0, , n  n  t.s  t , s  n ,1  t , s  n  t A t  n n  t.s  n  t.s  s.t   t  s  A  0,1.t , 2.t , ,  s  1 t t B s n t  ng t nh s  t  B  0,1.s, 2.s, ,  t  1 s   A B  Vì  t , s    k, m đ k.t  m.s    k'  n ta có k '  k '  k ' k.t  m.s  k ' k.t  m.s  k 'k.t  k ' m.s  A  B   n  A  B M t khác A b  n a  b  A B, a  A,  a  n b  B  b  n  a  b  n Do n  A B, A B  0   n  A B Mà A   s , B  t v y n  t   s ta có u ph i ch ng minh nh lý N u s t nhiên n có s phân tích : n  p1m p2m prm r Trong pi , i  1, r r s nguyên t khác n   p   p    p m1 m2 mr r Ch ng minh: Quy n p theo r - n u r =  n  p1m n   p  r  đ nh lý m1 Gi s đ nh lý v i r-1 s nguyên t  r  1 ta ch ng minh đ nh lý 38 Khóa lu n t t nghi p v i r s nguyên t Nguy n Th Hà Th t v y đ t t  p1m p2m prm1 , s  prm   t , s   ` r 1 r theo b đ ta có n  t   s   p m1 m2 mr 1 p2 pr 1   pmr   pm1   pm2    pmr r r Nh n xét: T đ nh lý ta có k t lu n sau: 1) M t nhóm xyclic khơng t m th ng khơng phân tích đ c  nhóm vơ h n hay ngun s 2) M i nhóm xyclic c p h u h n phân tích đ c thành t ng tr c ti p c a nhóm xyclic nguyên s 3.3 S phơn tích c a nhóm abel nh ngh a1 Gi s A nhóm abel B,C nhóm c a N u B  C  A B  C  ánh x B  C  A cho b i  x, y  x  y m t đ ng c u thay cho cách vi t A  B  C ta có th vi t A  B  C nói r ng A t ng tr c ti p c a B C kí hi u t ng t c ng đ c dùng đ i v i t ng tr c ti p c a m t s h u h n b t kì nhóm B1 , , Bn cho B1   Bn  A Bi 1   B1   Bi   Trong tr ng h p ta vi t: A  B1   Bn nh lý M i p-nhóm abel đ u đ ng c u v i m t tích c a p-nhóm xyclic Hai phân tích nh th khác th t c a nhân t Ch ng minh: Gi s A m t p-nhóm abel, a1 m t ph n t có c p c c đ i p r , A g i A1 nhóm xyclic sinh b i a1 B c 1: S t n t i c a phân tích Ch ng minh b ng quy n p theo A 39 Khóa lu n t t nghi p Nguy n Th Hà Gi s a1 ph n t có c p c c đ i, kí hi u p r A t A1  a1 theo gi thi t quy n p A A1 nh n đ c m t s bi u di n d i d ng tích A A1  A2   As , Trong Ai nhóm xyclic c p p s Gi s  a1  m t ph n t sinh c a Ai i ( i = 2,3,…,s ) Khi t n t i đ i bi u c a  a i  A có c p v i  a i  , t c ord(ai) = p s , g i Ai nhóm xyclic sinh b i i Ta s ch ng minh r ng: A  A1  A2   As Th t v y x  A, g i  x l p c a x A A1 Do gi thi t v s t n t i phân tích cho A A1 , có s nguyên m2 , , ms đ cho:  x  m2  a    ms  a s  Suy x  m2 a   ms a s  A1 t n t i s nguyên m1 cho x  m1a1   ms a s ngh a A  A1  A2   As Ti p theo gi s m1, , ms s nguyên không âm th a mãn h th c m1a1  m2 a   ms a s  Vì có b c p r nên có th gi s mi  p r ,  i  1, 2, , s  Chi u đ ng th c lên i A A1 , ta có m2  a    ms  a s   T m2   ms  B i A A1  A2   As Nh th m1a1  , m1  V y A  A1   As B c 2: S nh t c a phân tích ( sai khác th t ) Gi s có hai phân tích c a p-nhóm abel h u h n A: A  A1   As  B1   Bt Trong Ai , Bj p-nhóm xyclic, ta s ch ng minh t = s, Ai  Bi Ai  Bi ,  i  1, 2, , s  Ch ng minh quy n p theo A , ta có pA m t p-nhóm Abel v i c p pA  A p 40 Khóa lu n t t nghi p Ta có phân tích c a pA: Nguy n Th Hà pA   pA1     pAs    pB1     pBt  G i s’ t’ nh ng s nguyên có tính ch t sau: A1   As'  p, As' 1   As  p B1   Bt '  p, Bt ' 1   Bt  p Khi pAs 1   pAs  pBt 1   pBt  ' ' T ta có hai phân tích pA thành tích p-nhóm xyclic:    pA   pA1    pAs'   pB1    pBt '  Theo gi thi t quy n p, Vì pA  A nên s '  t ' pAi  pBi ngh a i  1, 2, , s  Ai  Bi , ' tính A d a cách phân tích A ta có: A  A1 As' p s s  B1 Bs' pt s t suy t = s Ai  Bi  p, ' ' i  s  1, , s  ฀ ' Ví d : Theo đ nh lý t t c nhóm Abel v i c p 36  22.32 đ d c li t kê i đây: Z Z Z Z 4  Z  Z 36  Z  Z  Z  Z 18  Z  Z  Z Z 12  Z  Z3  Z3  Z6  Z6 3.4 S phơn tích c a nhóm abel h u h n sinh B đ M i nhóm abel có n ph n t đ u đ ng c u v i t ng tr c ti p c a n nhóm xyclic t1 , t2 , , tn :  t1  t2   tn   ti 1  ti n u ti 1   Ch ng minh: Gi s X nhóm abel có n ph n t sinh.khi X đ ng c u v i nhóm th ng c a m t nhms abel t h ng n ch ng h n F, r( F ) = n 41 Khóa lu n t t nghi p F G Nguy n Th Hà  X , G  F , v i G nhóm abel t r( G ) = m1 s ni 1  ni ,1  i  s Vì m i nhóm n đ ng c u v i t ng tr c ti p c a m t s h u h n nhóm i xyclic nguyên s , nhóm G có th bi u di n d i d ng t ng tr c ti p nhóm xyclic nguyên s t m t bi u di n c a nhóm G d i d ng t ng tr c ti p c a nhóm xyclic nguyên s , ta ch có m t cách nh t tr v phân tích c a nhóm G d i d ng n  n   n n1 >1 ni 1  ni ,1  i  s s ta ch c n ch ng minh r ng: i v i m i s nguyên t p s d ng r s l n xu t hi n c a nhóm xyclic nguyên s  p bi u di n c a nhóm G d r i d ng t ng tr c ti p c a nhóm xyclic nguyên s chi ph thu c vào nhóm G Gi s G đ c bi u di n d i d ng t ng tr c ti p nhóm xyclic nguyên s p m t s nguyên t , n s l n nh t s nguyên r cho nhóm xyclic nguyên s  p xu t hi n phân tích cho r G i   p, r  s l n xu t hi n c a nhóm  p ,  r  n phân tích r Ta kí hi u G  p  t p ph n t c p p c a nhóm G t p G  p  m t nhóm c a nhóm G T bi u di n c a nhóm G d i d ng t ng tr c ti p c a nhóm xyclic nguyên s , ta suy r ng nhóm G  p   p r G đ ng c u v i t ng tr c ti p c a :     p , n     p , r 1 p v i  r  n V y ta có p  p,n   p,r 1  Card G  p p r G Do   p, n      p.r  1   log cardG  p   p r G  log p 46 Khóa lu n t t nghi p Nguy n Th Hà V y v i  r  n t ng ch ph thu c vào nhóm G l n l t cho r nh n giá tr t n-1 đ n o, ta suy r ng s   p, n  ,   p, n  1 , ,   p,1 ch ph thu c vào nhóm G ta có u ph i ch ng minh 47 Khóa lu n t t nghi p Nguy n Th Hà K t lu n Trên tồn b n i dung khóa lu n( c u trúc t vƠ bƠi tốn phân tích) Qua q trình tìm hi u, nghiên c u giúp em th y đ c vai trò quan tr ng c a c u trúc t lý thuy t đ i s M c dù có nhi u c g ng song v i th i gian chu n b ch a nhi u b c đ u làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c nên khóa lu n c a em ch c ch n khơng tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ c s góp ý c a th y, cô giáo b n sinh viên đ khóa lu n c a em th c s có ý ngh a h n Em xin chân thành c m n! Hà N i, tháng n m 2009 Sinh viên Nguy n th Hà 48 Khóa lu n t t nghi p Nguy n Th Hà TƠi li u tham kh o [1], Nguy n T C ng, Giáo trình đ i s hi n đ i, Nxb i h c Qu c Gia ,Hà N i [2], Nguy n H u Vi t H ng (1999), is đ ic ng, Nxb i h c Qu c gia, Hà N i [3], Tr n tr ng Hu (2001), [4], Hồng Xn Sính (2000), is đ ic is đ ic 49 ng,Nxb i h c qu c gia, Hà N i ng, Nxb Giáo d c ... 30 2.6.5 Các u ki n t Ch ng đ ng 30 ng 3 .Bài toán phân tích 32 3.1 S phân tích nhóm 32 3.2 S phân tích c a nhóm xyclic 33 3.2.1 S phân tích c a nhóm xyclic...Khóa lu n t t nghi p TR Nguy n Th Hà NG IH CS PH M HÀ N I KHOA TOÁN ********** NGUY N TH HÀ CÁC C U TRÚC T DO VÀ BÀI TỐN PHÂN TÍCH KHịA LU N T T NGHI P IS Chuyên ngành: Ng IH C ih ng d n khoa... p vơ h n M t phân tích đ c th a mãn tính ch t g i phân tích tiêu chu n c a G H qu 1: m i nhóm abel h u h n sinh đ u có m t phân tích tiêu chu n nh t S h ng t xyclic vơ h n phân tích tiêu chu