Luận văn sư phạm Các định lí giới hạn và ứng dụng

Khoá lu n t t nghi p TR NG IH CS PH M HẨ N I KHOA TOÁN ***** ***** L I TH THANH HU CÁC NH Lệ GI I H N VẨ KHOÁ LU N T T NGHI P NG D NG IH C Chuyên ngƠnh: Toán ng d ng HÀ N I - 2010 L i Th Thanh Hu K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p TR NG IH CS PH M HẨ N I KHOA TOÁN ***** ***** L I TH THANH HU CÁC NH Lệ GI I H N VẨ KHOÁ LU N T T NGHI P NG D NG IH C Chuyên ngƠnh: Toán ng d ng Ng ih ng d n khoa h c GVC.ThS Tr n M nh Ti n HÀ N I - 2010 L i Th Thanh Hu K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p L IC M N Trong trình nghiên c u hồn thành khố lu n này, em nh n đ c s quan tâm giúp đ t n tình c a th y t Tốn ng d ng nói riêng khoa Toán tr ng i h c s ph m Hà N i nói chung v i s h tr c a các b n sinh viên Em xin bày t lòng bi t n sâu s c đ i v i th y Tr n M nh Ti n, ng i t n tình h đ c khoá lu n ng d n em su t th i gian qua đ em hoàn thành Do trình đ th i gian nghiên c u h n ch nên nh ng v n đ mà em trình bày khố lu n s khơng tránh kh i nh ng thi u sót Em kính mong nh n đ c s ch b o đóng góp ý ki n c a th y cô giáo b n sinh viên đ khố lu n c a em đ c hồn thi n h n Em xin chân thành c m n! Sinh viên L i Th Thanh Hu L i Th Thanh Hu K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p L I CAM OAN Khoá lu n c a em đ c hoàn thành d is h ng d n c a th y Tr n M nh Ti n v i s c g ng c a b n thân em Trong trình nghiên c u th c hi n khoá lu n em có tham kh o tài li u c a m t s tác gi (đã nêu m c Tài li u tham kh o) Em xin cam đoan nh ng k t qu khoá lu n k t qu nghiên c u c a b n thân, không trùng v i k t qu c a tác gi khác N u sai em xin ch u trách nhi m! Sinh viên L i Th Thanh Hu L i Th Thanh Hu K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p M CL C Trang M đ u Ch ng Ki n th c chu n b 1.1 H i t 1.2 Hàm đ c tr ng 1.3 B t đ ng th c Chebyshev 11 Chu ng Các đ nh lí gi i h n vƠ ng d ng 14 2.1 Lu t s l n 14 2.1.1 nh ngh a 14 2.1.2 nh lí Chebyshev 14 2.1.3 ng d ng c a lu t s l n 2.2 18 nh lí gi i h n trung tâm 20 2.2.1 nh lí 20 2.2.2 ng d ng c a đ nh lí gi i h n trung tâm 22 2.3 nh lí gi i h n Moivre_Laplace 30 2.3.1 nh lí 30 2.3.2 ng d ng c a đ nh lí gi i h n Moivre_Laplace 31 2.4 nh lí gi i h n Laplace đ a ph ng 2.4.1 nh lí 2.4.2 ng d ng c a đ nh lí gi i h n Laplace đ a ph 2.5 37 37 nh lí Poisson ng 39 40 2.5.1 nh lí 40 2.5.2 ng d ng c a đ nh lí Poisson 41 BƠi t p áp d ng 45 K t lu n 47 TƠi li u tham kh o 48 L i Th Thanh Hu K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p U M Các nhà toán h c Pháp th k 17 nh Pierre de Fermat (1601 – 1665), Blaise Pascal (1623 – 1662) đ t n n móng đ u tiên cho lí thuy t xác su t b i nh ng l i gi i cho toán trò ch i ng u nhiên Cu i th k 17, James Bernoulli (1654 – 1705), nhà toán h c Th y S , đ ng i kh i x c xem nh ng c a lí thuy t xác su t v i nh ng nghiên c u v lu t y u s l n đ i v i dãy phép th đ c l p Pierre Simon Laplace (1749 – 1827), nhà tốn h c Pháp có nhi u c ng hi n cho xác su t th ng kê l nh v c đ nh lí gi i h n trung tâm Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), nhà toán h c v đ ic a bình ph c có đóng góp l n đ i v i xác su t th ng kê: Ph ng pháp ng c c ti u lu t phân ph i chu n Andrei Kolmogrov (1903 – 1987), nhà toán h c l i l c c a Nga, ng i cách m ng hoá cho lí thuy t xác su t v i h tiên đ xác su t hi n đ i mà ông đ a vào đ u nh ng n m 1930 Không th k h t nh ng tên tu i c a nh ng nhà toán h c tiên phong c ng nh nhà toán h c l i l c đ ng đ i l nh v c “lý thuy t xác su t” Ngày nay, “lý thuy t xác su t” tr thành m t nghành toán h c l n n n toán h c th gi i Ng i ta bi t đ n “lí thuy t xác su t” khơng ch m t nghành tốn h c ch t ch v lí thuy t mà có ng d ng r ng rãi nhi u nghành khoa h c k thu t, khoa h c xã h i nhân v n c bi t g n li n v i khoa h c Th ng kê, m t khoa h c v ph pháp thu th p, t ch c phân tích d li u, thơng tin đ nh l D is h ng ng ng d n t n tình c a GVC.ThS Tr n M nh Ti n v i h ng thú tìm hi u v “Lí thuy t xác su t” em l a ch n đ tài “Các đ nh lí gi i h n ng d ng” đ hồn thành khố lu n t t nghi p c a L i Th Thanh Hu K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p Lu n v n c a em trình bày m t s nghiên c u v lu t s l n, đ nh lí gi i h n trung tâm, đ nh lí gi i h n Moivre_Laplace, đ nh lí gi i h n Laplace đ a ph ng, đ nh lí Poisson nh ng đ nh lí gi i h n quan tr ng nh t c a lí thuy t xác su t có nhi u ng d ng th c ti n V i khoá lu n này, em mong r ng s m t tài li u b ích cho nh ng quan tâm t i v n đ Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên L i Th Thanh Hu L i Th Thanh Hu K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p CH NG KI N TH C CHU N B 1.1 H i t 1.1.1 M t s đ nh ngh a Cho dãy bi n ng u nhiên  Xn n1 bi n ng u nhiên X xác đ nh không gian xác su t  , A , P  nh ngh a 1.1 H i t theo xác su t Dãy bi n ng u nhiên X1 , X2 , đ c g i h i t theo xác su t t i bi n p ng u nhiên X , kí hi u Xn   X n u   : lim P  Xn  X     n  Ho c t ng đ (1.1) ng, n u   : lim P  Xn  X     n  (1.2) nh ngh a 1.2 H i t h u ch c ch n Dãy bi n ng u nhiên X1 , X2 , đ c g i h i t h u ch c ch n t i h.c.c bi n ng u nhiên X , kí hi u Xn  X n u   P  :lim Xn    X    n  (1.3) nh ngh a 1.3 H i t theo phân ph i Dãy bi n ng u nhiên X1 , X2 , đ c g i h i t theo phân ph i t i d bi n ng u nhiên X , kí hi u Xn  X n u lim Fn  x  F  x , x  t p liên t c c a F ( x) n (1.4) ngh a là: n u x m liên t c c a hàm phân ph i F ( x) c a X lim P  Xn  x  P  X  x n L i Th Thanh Hu (1.5) K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p 1.1.2 Quan h gi a d ng h i t nh lí 1.1 Cho dãy bi n ng u nhiên  Xn n1 dãy gi m p h.c.c X Xn   X , Xn  Ch ng minh t Yn  Xn  X p Vì  Xn n1 dãy gi m Xn h i t theo xác su t, Xn   X nên Yn c ng p dãy gi m Yn  0 h.c.c Ta ch ng minh Yn   b ng ph n ch ng Gi s Yn không h i t h u ch c ch n t i T c   , bi n c A A cho: P  A    sup Yk     , n tu ý,   A kn nh ng Yn  dãy gi m nên Yn    sup Yk   nên kn A   : Yn      suy P Yn     P  A    0, n p i u mâu thu n v i gi thi t Yn  0 Suy u gi s sai nh lí 1.2 Cho dãy bi n ng u nhiên  Xn n1 h i t h u ch c ch n đ n bi n ng u nhiên X ch v i   b t kì,   P sup Xk    X      0, n   kn hay   P sup Xn k    X      0, n   L i Th Thanh Hu k 1 K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p Ch ng minh t Zn  sup Xk    X   ,n  1,2 , kn suy dãy  Zn n1 dãy gi m ( n bé) v h.c.c h.c.c Khi Xn   X ch Zn  0 h.c.c Nh ng  Zn n1 dãy gi m, nên Zn  0 t t ng đ ng đ p ng v i Zn   hay ng v i:   P sup Xk    X      0, n    kn nh lí 1.3 Ta có kh ng đ nh sau: h.c.c p i) N u Xn   X Xn  X h.c.c p N u  Xn n1 dãy gi m Xn   X ch Xn  X p d ii) N u Xn   X Xn  X Ch ng minh i) Ta có X n   X     sup Xk  X   kn  suy    P  Xn  X     P sup Xk  X    0, n   kn h.c.c ( Xn  X) p V y Xn  X  ii) Gi s x R F  x liên t c,   ta có  X  x      Xn  x, X  x      Xn  x, X  x    suy F  x     P  X  x     P  Xn  x, X  x     P  Xn  x, X  x    L i Th Thanh Hu 10 K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p Ví d 2.9 M t nhà xã h i h c cho r ng 12% s dân c a thành ph m t b phim A m i chi u tivi ng u nhiên g m 500 ng a thích kh ng đ nh này, ơng ta ch n m t m u i đ h i ý ki n th y 75 ng i tr l i a thích b phim a) Tính xác su t đ m t m u ng u nhiên g m 500 ng thích b phim nh t 75 ng i, s ng i a i n u gi thi t p  12% b) Gi thi t c a nhà xã h i h c có đáng tin c y khơng, v i m c ý ngh a 0,05? L i gi i a) G i X s ng i a thích b phim Khi X có phân ph i nh th c B(500; 0,12) n u gi thi t p  0,12 ~ Khi X có phân ph i x p x phân ph i chu n X ~ N  np, npq  ta có:   ~ P  X  75  P X  74,5  74,5  500.0,12    500.0,12.0,88         1,995  0,0230 b) V i m c ý ngh a   0,05 , xác su t đ m t m u ng u nhiên 500 ng i có nh t 75 ng i a thích b phim, đ c coi nh Theo ngun lí xác su t nh m t bi n c nh v y s không x y m t phép th Mà ta l i th y x y m u quan sát c a ta Mâu thu n ch ng t gi thi t p  0,12 sai Ta đ n k t lu n: “ t l ng ph i 0,12” i a thích b phim không tin c y c a k t lu n 0,95 V y v i đ l ch 0,02 t l ng i a thích b phim cao h n hay th p h n so v i gi thuy t c a nhà xã h i h c Vì n  500 l n nên không c n gi thi t chu n đ i v i bi n ng u nhiên X L i Th Thanh Hu 38 K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p Xét toán ki m đ nh gi thuy t H: p  0,12 v i đ i thuy t K: p  0,12 , m c ý ngh a   0,05 ,   0,02 X u 75  0,15 500 X p n  0,15  0,12 500  33,54 0,02   u  0,05    0,05  0,95  u    1,645 Suy u  33,54  1,645  u   V y ta bác b gi thuy t H ch p nh n đ i thuy t K T c t l ng i xem b phim A l n h n 12% nh lí gi i h n Moivre_Laplace đ ii) c ng d ng đ tính xác su t đ m r i vƠo kho ng t m0 đ n m1 Vì đ nh lí gi i h n Moivre_Laplace tr h n trung tâm, v y c ng đ ng h p riêng c a đ nh lí gi i c ng d ng đ tính xác su t đ m r i vào kho ng t m0 đ n m1 , i) nên ta có n V i m  Yi , Yi ~ B 1, p  , i  1, n i 1  m  0,5  np   m  0,5  np    P  m0  m  m1          npq npq      m  0,5  np   m  0,5  np    P  m0  m  m1          npq npq     Ví d 2.10 Gieo m t xúc x c cân đ i đ ng ch t 12000 l n Tìm xác su t đ cho s l n xu t hi n m t m t n t phía xúc x c g m gi a 1900 2150 L i Th Thanh Hu 39 K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p L i gi i G i X t ng s l n xu t hi n m t m t n t Khi X có phân ph i nh th c n  12000 p  Áp d ng lí lu n ta có P 1900  X  2150    x1     x0  v i x0  x1  1900  0,5  12000 12000 6 2150  0,5  12000 12000 6  2,46  3,686 Khi P 1900  X  2150     3,686     2,46   0.99989  0,0069  0,99299 Ví d 2.11 Trong kho có 100 lơ hàng, m i lơ có 90 s n ph m t t 10 s n ph m x u, v i m i lô ng i ta ki m tra ng u nhiên s n ph m ( l y có hồn l i) Tính xác su t đ t ng s s n ph m x u 100 lô hàng n m kho ng t 50 đ n 70 L i gi i Vì ki m tra s n ph m có hồn l i nên xác su t đ ch n đ c s n ph m x u p  0,1 Và s l n ki m tra s n ph m n  5.100  500 G i X t ng s s n ph m x u 100 lơ hang n Khi X   Xi , Xi ~ B 1;0,1 Theo đ nh lí Moivre_Laplace ta có i 1 L i Th Thanh Hu 40 K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p  70  0,5  500.0,1   50  0,5  500.0,1  P  50  X  70         500.0,1.0,9  500.0,1.0,9       2,91    0,07   0,99815  0,52985  0,4683 2.4 2.4.1 nh lí gi i h n Laplace đ a ph nh lí 2.4 Gi s ng X bi n ng u nhiên có phân ph i nh th c v i tham s (n, p) Kí hi u pk  P  X  k   Cnk p k q nk , q   p N u n  , p  0,1 không đ i xk  k  np npq b ch n theo k n P  X  k     xk  1 n  k  npq c  x2   n , c  h ng s   x  e hàm m t đ c a n 2 phân ph i chu n t c Ch ng minh S d ng công th c Stirling: 1 ln n!  ln 2 n  n ln n  n  o   n (2.1) đ khai tri n h s nh th c P  X  k   Cnk p k q nk , q   p (2.2) Ta có k  np  xk npq , L i Th Thanh Hu n  k  nq  xk npq 41 K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p T (2.1) ta thu đ c     ln k!  ln 2 k  np  xk npq ln np  xk npq  np   xk   npq  o   np  x npq  k    (2.3)    ln  n  k !  ln 2  n  k   nq  xk npq ln nq  xk npq     nq  xk npq  o   nq  x npq  k   (2.4) S d ng công th c x2 ln 1  x  x   o  x3  đ có khai tri n  ln np  xk npq  ln np  ln 1  xk   q q xk2 q  ln np  xk   o  xk3  np np np   q   np   q   np   p  ln np  xk npq  ln nq  ln 1  xk  nq    p p  p xk2 p  ln nq  xk   o  xk3  nq nq  nq nq    (2.5)  T (2.1) đ n (2.6) ta suy đ (2.6) c k t lu n c a đ nh lí Chú ý: 1) V i n l n, ta có: P  X  k     xk  npq 2) Công th c s d ng t t n  100; npq  20 L i Th Thanh Hu 42 K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p 2.4.1 ng d ng c a đ nh lí gi i h n Laplace đ a ph nh lí gi i h n Laplace đ a ph ng đ ng c ng d ng đ x p x phân ph i nh th c b i phân ph i chu n Ví d 2.12 Gi s t l dân c m c b nh A vùng 15% a) Ch n ng u nhiên m t nhóm 420 ng nhóm có 65 ng i.Vi t cơng th c tính xác su t đ i m c b nh A b) Tính x p x xác su t b mg đ nh lí gi i h n Laplace đ a ph ng L i gi i i m c b nh A nhóm a) G i X s ng X có phân ph i nh th c v i tham s n  420, p  0,15 Ta có 65 P  X  65  C420  0,15   0,85  65 b) S d ng đ nh lí gi i h n Laplace đ a ph P  X  65   355 ng ta có  65  420.0,15     420.0,15.0,85  420.0,15.0,85   0,1366.  0,2733  0,1366.0,38464  0,05254 Ví d 2.13 M t c u th ném bóng 450 l n vào r v i xác su t ném trúng r c a m i l n ném 0,82 Tìm xác su t đ c u th ném trúng 350 l n L i gi i G i X s l n ném trúng vào r c a c u th Khi X có phân ph i nh th c v i tham s n  450 p  0,82 Ta có P  X  350   C 450  0,82  350 S d ng đ nh lí gi i h n Laplace đ a ph L i Th Thanh Hu 43 350  0,18 100 ng ta có K32_CN Tốn Khố lu n t t nghi p P  X  350    350  450.0,82    450.0,82.0,18  450.0,82.0,18   0,127.  2,413  0,127.0,02139  0,0027 2.5 nh lí Poisson 2.5.1 ph i nh th c, nh lí 2.5 Cho X1 , X2 , dãy bi n ng u nhiên có phân v i m i n , Xn ~ B  n, pn  npn   Gi s r ng t n t i gi i h n lim n  Khi Xn h i t theo phân ph i t i bi n ng u nhiên X có phân ph i Poisson v i tham s  Ch ng minh Ta ch ng minh v i m i k  0, 1, 2,  lim P X  n  k  P  X  k  e n  k k! Ta có P  Xn  k   Cnk pnk 1  pn  nk n  n 1  n  k  1 k nk pn 1  pn  k! k  npn  1  1   1  k 1   p n  p  k   n  n k!  n  n   n    Ta có  np  lim n n  k! k  k k! t n  npn Khi L i Th Thanh Hu 44 K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p lim 1  pn  n  n n    n    n  1   lim n   n       n  e  Các th a s l i có gi i h n b ng V y lim P  Xn  k   n  2.5.2 k e  k! ng d ng c a đ nh lí Poisson nh lí Poisson đ c ng d ng đ x p x phơn ph i nh th c b i phơn ph i Poisson Khi n l n pn bé phân b nh th c v i tham s  n, pn  có th x p x b i phân b Poisson v i tham s n  npn X p x t t n  50 pn  0,1 Ví d 2.14 M t x ng in sách th y r ng trung bình m t cu n sách 625 trang sách có ch a 50 l i Tìm xác su t đ m t trang: a) Có l i b) Có nh t hai l i L i gi i G i X s l i in m t trang gi y Vì xác su t p đ m t ch b l i r t nh s ch n m t trang sách r t l n Do s l i X m t trang sách có phân ph i x p x phân ph i Poisson v i tham s   np b ng s l i trung bình m t trang sách Vì c 625 trang có 50 l i nên s l i trung bình 50  0,08 625 a) Xác su t đ m t trang sách có l i in : P  X  2  e L i Th Thanh Hu 0,08  0,08 2!  0,08  0,9231 45 0,002954 K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p b) Xác su t đ m t trang sách có nh t l i in : P  X     P  nhi u nh t l i in   1- P ( X  0) - P ( X  1) 0,08   e0,08  e0,08 1!  0,003034 Ví d 2.15 M t máy tính n t g m 10000 bóng đèn, có 1000 bóng lo i 1, v i kh n ng b h ng c a m i bóng 0,0005; 3000 bóng lo i 2, v i kh n ng b h ng c a m i bóng 0,0003; 6000 bóng lo i 3, v i kh n ng b h ng c a m i bóng 0,0001 Máy tính s ng ng làm vi c n u có nh t m t bóng b h ng Gi s r ng bóng b h ng đ c l p v i a) Tìm xác su t đ có nh t m t bóng lo i i  i  1,2,3 b h ng b) Tìm kh n ng máy tính ng ng làm vi c L i gi i a) G i Xi s bóng lo i i  i  1,2,3 b h ng Do xác su t đ m i bóng lo i i  i  1,2,3 b h ng r t nh s bóng lo i i  i  1,2,3 r t l n Do Xi có phân ph i x p x phân ph i Poisson v i tham s i  ni pi ,  i  1,2,3 V i n1  1000, p1  0,0005,  1  0,5 n2  3000, p2  0,0003,  2  0,9 1 n3  6000, p3  0,0001,  3  0,6 Xác su t đ có nh t m t bóng lo i i  i  1,2,3 b h ng P  Xi  1   P  bóng lo i i b h ng    P  Xi    2   e i L i Th Thanh Hu 46 K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p Thay (1) vào (2) ta nh n đ c: P  X1  1   e 0,5  0,3935 P  X2  1   e 0,9  0,5934 P  X3  1   e 0,6  0,4512 b) Máy tính ng ng làm vi c có nh t m t bóng b h ng, t c ta có bi n c  X1  1   X2  1   X3  1 Vì bóng b h ng đ c l p v i nên P  X1  1   X2  1   X3  1   P  X1  1  P  X2  1  P  X3  1  P  X1  1   X2  1   P  X1  1   X3  1  P  X2  1  X3  1   P  X1  1   X2  1   X3  1 = 0,3935 + 0,5934 + 0,4512 - 0,3935 x 0,5934 - 0,3935 x 0,4512- 0,5934 x 0,4512 + 0,3935 x 0,5934 x 0,4512  0,86466 Ví d 2.16 Gi s xác su t đ làm m t đinh c không quy cách p  0,02 Ng i ta x p đinh c vào t ng h p, m i h p 100 chi c a) Tính t l h p ch a toàn đinh c quy cách b) C n ph i x p nh t đinh c m i h p đ t l h p ch a 100 đinh c t t t i thi u 85% L i gi i a) N u g i X s đinh c không quy cách h p ch a 100 đinh c Khi X có phân b nh th c v i tham s n  100 , p  0,02 P  X     0,98 100 Dùng x p x Poisson ta có P  X    e   e np  e2  0,1353 Nh v y ch có 13,53% s h p ch a 100 đinh c t t L i Th Thanh Hu 47 K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p b) Gi s m i h p ch a 100  k đinh c, k s nguyên d ng G i X s đinh c không quy cách 100  k đinh c X có phân b nh th c v i tham s n  100  k , p  0,02 Ta ph i xác đ nh k nh nh t đ k P  X  k   Cni  0,02   0,98 i n i i 0 Dùng x p x Poisson P  X  i  Cni  0,02  0,98 i n i  e  i i!   np  100  k  0,02   0,02.k  V y ta c n tìm k nh nh t đ k   2      e 1     0,85 k!   1! 2! 2  2  2 k  1     0,85.e2 1! 2! k! Th v i k  1,2,3, ta th y v i k  , b t đ ng th c đ c tho mãn Nh v y dùng x p x Poisson đ a ta đ n k t lu n m i h p c n 103 chi c đinh c Khi xác su t đ có nh t 100 đinh c t t 103 chi c 0.8571 L i Th Thanh Hu 48 K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p BÀI T P ÁP D NG Bài Trong ca làm vi c, m t máy t đ ng s n su t đ ph m Xác su t đ m t s n ph m đ c 120 s n c s n xu t thu c lo i ph ph m 0,025 Ta xem trình s n xu t s n ph m ti n hành đ c l p v i a) Tìm quy lu t phân ph i xác su t c a s ph ph m ca b) Trung bình ca có ph ph m xác su t có s ph ph m Bài Ti n hành n phép th đ c l p phép th th k bi n c  xu t hi n v i xác su t pk   pk  1, k  0 G i Xn s l n xu t hi n bi n c  n phép th Ch ng minh r ng n 1  p X pi    0 n    n  n i 1  Bài Cho dãy bi n ng u nhiên X1, X2 , đ c l p có hàm phân ph i xác su t 3x2 , x  0,1 f  x   x  0,1 0, t T25  X1  X2   X25 S d ng đ nh lí gi i h n trung tâm tính P T25  30  Bài Cho h 5000 bi n ng u nhiên đ c l p phân ph i v i đ l ch chu n khơng v t q Tìm xác su t đ đ l ch t đ i c a trung bình c ng bi n so v i trung bình c ng kì v ng c a chúng không v 0,2 Bài Cho bi n ng u nhiên X ~ Bn  200; p  0,2 Tìm xác su t đ X nh n giá tr kho ng  40;50  L i Th Thanh Hu 49 K32_CN Toán t Khoá lu n t t nghi p Bài Dãy bi n ng u nhiên đ c l p Xi  i  1,2,  có b ng phân ph i xác su t nh sau Xi pXi H i có th áp d ng đ  2 c lu t s l n c a Chebyshev đ i v i dãy bi n ng u nhiên nói không? Bài Ti n hành gieo ng u nhiên 150 l n m t xúc x c lí t ng Tính g n x c su t c a s ki n A “s l n xu t hi n m t ch m n m kho ng t 20 đ n 40 Bài Xác su t đ s n ph m sau s n xu t không đ l ng b ng 0,2 Tìm xác su t đ 400 s n ph m đ a) 80 s n ph m không đ c ki m tra ch t l b) Có t 70 đ n 100 s n ph m không đ L i Th Thanh Hu 50 c ki m tra ch t c s n xu t có: ng c ki m tra ch t l ng K32_CN Toán Khoá lu n t t nghi p K T LU N Khố lu n c a em trình bày m t s đ nh lí gi i h n, g m: lu t s l n, đ nh lí gi i h n trung tâm, đ nh lí gi i h n Moivre_ Laplace, đ nh lí gi i h n Laplace đ a ph ng, đ nh lí Poisson đ nh lí gi i h n quan tr ng “lí thuy t xác su t” có nhi u ng d ng th c ti n Tuy nhiên u ki n th i gian có h n ch a có nhi u kinh nghi m công tác nghiên c u khoa h c nên nh ng v n đ mà em trình bày khố lu n s khơng tránh kh i nh ng thi u sót Em kính mong nh n đ c s ch b o đóng góp ý ki n c a th y giáo b n sinh viên đ khố lu n c a em đ c hoàn thi n h n Em xin g i l i c m n chân thành nh t t i th y t Tốn ng d ng nói riêng khoa Toán tr chung ng i h c s ph m Hà N i nói c bi t em xin bày t lòng bi t n sâu s c đ i v i th y Tr n M nh Ti n, ng i t n tình h thành đ c khoá lu n L i Th Thanh Hu ng d n em su t th i gian qua đ em hồn 51 K32_CN Tốn Khố lu n t t nghi p TẨI LI U THAM KH O 1) De groot M 1989 Probability and Statistics New york 2) Ơo H u H 1999 Xác su t th ng kê Nhà xu t b n i h c Qu c Gia, Hà N i 3) ng Hùng Th ng 2005 M đ u v lý thuy t xác su t ng d ng Nhà xu t b n giáo d c 4) inh V n G ng 2003 Lý thuy t xác su t th ng kê Nhà xu t b n giáo d c 5) Nguy n Vi t Phú, Nguy n Duy Ti n 2002 C s lý thuy t xác su t Nhà xu t b n L i Th Thanh Hu i h c Qu c Gia, Hà N i 52 K32_CN Toán ... a đ nh lí gi i h n trung tâm 22 2.3 nh lí gi i h n Moivre_Laplace 30 2.3.1 nh lí 30 2.3.2 ng d ng c a đ nh lí gi i h n Moivre_Laplace 31 2.4 nh lí gi i h n Laplace đ a ph ng 2.4.1 nh lí 2.4.2... u v lu t s l n, đ nh lí gi i h n trung tâm, đ nh lí gi i h n Moivre_Laplace, đ nh lí gi i h n Laplace đ a ph ng, đ nh lí Poisson nh ng đ nh lí gi i h n quan tr ng nh t c a lí thuy t xác su t có... Chebyshev 11 Chu ng Các đ nh lí gi i h n vƠ ng d ng 14 2.1 Lu t s l n 14 2.1.1 nh ngh a 14 2.1.2 nh lí Chebyshev 14 2.1.3 ng d ng c a lu t s l n 2.2 18 nh lí gi i h n trung tâm 20 2.2.1 nh lí 20 2.2.2