Các định lí giới hạn và ứng dụng khóa luận tốt nghiệp

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

EKER đe đeđ Re

LAI THI THANH HUE

CAC DINH Li GIOI HAN VA UNG DUNG

Trang 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

EKER đe đeđ Re

LAI THI THANH HUE

CAC DINH Li GIOI HAN VA UNG DUNG

Trang 3

LOI CAM ON

Trong quá trình nghiên cứu và hồn thành khố luận này, em đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ tận tình của các thầy cơ trong tổ Tốn ứng dụng nói riêng và trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 nói chung cùng

với sự hỗ trợ của các các bạn sinh viên

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy Trần Mạnh Tiến, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em hồn thành

được khố luận này

Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà em trình bày trong khố luận này sẽ khơng tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và

Trang 4

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy Trần

Mạnh Tiến cùng với sự cô gắng của bản thân em Trong quá trình nghiên cứu

và thực hiện khoá luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục Tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác

Trang 5

MỤC LỤC Trang Mở đầu 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Hội tụ 4 1.2 Hàm đặc trưng 8 1.3 Bat dang thite Chebyshev 11 Chuong 2 Các định lí giới hạn và ứng dụng 14 2.1 Luật số lớn 14 2.1.1 Định nghĩa 14 2.1.2 Định lí Chebyshev 14 2.1.3.Ứng dụng của luật số lớn 18 2.2 Định lí giới hạn trung tâm 20 2.2.1 Định lí 20

2.2.2 Ứng dụng của định lí giới hạn trung tâm 22

2.3 Định lí giới han Moivre_Laplace 30

2.3.1 Định lí 30

Trang 6

MỞ ĐÀU

Các nhà toán học Pháp thế ki 17 như Pierre de Fermat (1601 — 1665),

Blaise Pascal (1623 — 1662) đã đặt nền móng đầu tiên cho lí thuyết xác suất

bởi những lời giải cho các bài toán trong các trò chơi ngẫu nhiên Cuối thế kỉ

17, James Bernoulli (1654 — 1705), nha toán học Thụy Sĩ, được xem như

người khởi xướng của lí thuyết xác suất với những nghiên cứu về luật yếu số

lớn đối với dãy phép thử độc lập Pierre Simon Laplace (1749 — 1827), nhà

toán học Pháp có nhiều cống hiến cho xác suất thống kê trong lĩnh vực các

định lí giới hạn trung tâm Carl Friedrich Gauss (1777 — 1855), nhà toán học

vĩ đại của Đức có các đóng góp lớn đối với xác suất thông kê: Phương pháp bình phương cực tiểu và luật phân phối chuẩn Andrei Kolmogrov (1903 — 1987), nhà toán học lỗi lạc của Nga, người cách mạng hoá cho lí thuyết xác suất với hệ tiên đề xác suất hiện đại mà ông đưa ra vào đầu những năm 1930

Không thể kế hết những tên tuổi của những nhà toán học tiên phong cũng như các nhà toán học lỗi lạc đương đại trên lĩnh vực “jý thuyết xác suất”

Ngày nay, “Jÿ (huyết xác suất” đã trở thành một nghành toán học lớn trong nền toán học thế giới Người ta biết đến “jí thuyét xác suất” không chỉ

vì nó là một nghành toán học chặt chẽ về lí thuyết mà nó còn có ứng dụng

rộng rãi trong nhiều nghành khoa học kĩ thuật, khoa học xã hội và nhân văn

Đặc biệt nó gắn liền với khoa học Thống kê, một khoa học về các phương

pháp thu thập, tổ chức và phân tích các dữ liệu, thông tin định lượng

Dưới sự hướng dẫn tận tình của GVC.ThS Trần Mạnh Tiến cùng với hứng thú tìm hiểu vé “Li thuyét xác suất” em đã lựa chọn đề tài “Các định lí giới hạn và ứng dụng” đề hồn thành khố luận tốt nghiệp của mình

Trang 7

Luận văn của em trình bày một số nghiên cứu về luật số lớn, định lí

giới hạn trung tâm, dinh li gidi han Moivre Laplace, dinh li gidi han Laplace địa phương, định lí Poisson là những định lí giới hạn quan trọng nhất của lí thuyết xác suất và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn

Với khoá luận này, em mong rằng nó sẽ là một tài liệu bổ ích cho

Trang 8

CHƯƠNG 1

KIEN THUC CHUAN BI

1.1 Hội tụ

1.1.1 Một số định nghĩa

Cho dãy biến ngẫu nhiên (X,),„, và biến ngẫu nhiên X cùng xác định

trên không gian xác suất (Q,A,P)

Định nghĩa I.I Hội tụ theo xác suất

Day bién ngẫu nhiên X,,X, được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến

ngdu nhién X , ki hiéu X,—2>X néu Ve>0:

lim P{|X,-X|>e}=0 (1.1)

Hodc twong duong, néu Ve>0:

lim P{|X,-—X|<e}=1 (1.2)

Dinh nghia 1.2 H6i tu hau chac chan

Dãy biến ngẫu nhiên X,,X, được gọi là hội tụ hầu chắc chắn tới biên ngau nhién X , ki hiéu X,—“>X néu

P{ø:lim X,(ø)= X (œ)} =1 (1.3)

Định nghĩa I.3 Hội tụ theo phân phối

Dãy biến ngẫu nhiên X,,X, được gọi là hội tụ theo phân phối tới

biến ngẫu nhiên X, kí hiệu X,——>X nếu

Trang 9

1.1.2 Quan hệ giữa các dạng hội tụ

Dinh lí I1 Cho dãy biến ngẫu nhiên (X,)„, là đấy giảm và X,—>X, khi đó X,—**©—yX

Chứng mình

Dat Y,=X,-X

Vì (X,)„, là dãy giảm và X, hội tụ theo xác suất, X,——›X nên Y, cũng là

dãy giảm và Y,——0

Ta đi chứng minh Y,—**“—›0 bằng phản chứng Giả sử Y, không hội tụ hầu chắc chắn tới 0

Tức là 1>0, và biến cổ AeA sao cho:

P(A)>6>0 và supY,(ø)>e£, n tuỳ ý, @eA k>n nhưng vì (Y,) là dãy giảm nên Y, (ø)=supY, (2) nên kèn Ac{|øe©:Y,(ø)> e} Suy ra PỰ,>e)>P(A)>ð>0,Vn

Điều này mâu thuẫn với giả thiết Ÿ,—”—›0 Suy ra điều giả sử sai.†

Định lí 1.2 Cho dãy biến ngẫu nhiên (X, )„, hội tụ hậu chắc chắn đến

Trang 10

Chứng mình

Zn= sup|X ¢(@)- X(o),n =12,

k>n

suy ra đấy (Z,), là dãy giảm ( khi n càng bé) về 0

Khi đó X,—*“—>X khi và chỉ khi Z,—**—>0

Nhưng (Z,), là dấy giảm, nên Z„—**›0 tương đương với Z,——>0 hay

Trang 12

1.2 Hàm đặc trưng

Định nghĩa L4 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X là kì vọng

toán của biến ngẫu nhiên phúc e*, ( =—1) và được kí hiệu là ø, (f) Tức là Ø(P)= Ele] =E(cosix)+iE(sinrx)

Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm phân phối xác suất p, thì

9% (t)=de™ p, = >;(cosx,)p,+¡Ð(sinfx,) p,

7 7 7

Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất F(x) thì

Trang 13

iw) F(x)_ xác định một cách duy nhất hàm đặc trưng Øy (t) v) Nếu X,„X, X„ là các biến ngẫu nhiên độc lập thì Pr,.x, x, (t)=T1 Px, (f) Vì các biến ngẫu nhiên X,.X, X,„ độc lập nên theo tính chất kì vọng toán, ta có / ity yx HX, itX, j Px, Ky onk, ()=E ¿` eee , =Ele le 2.2% | =[E|e”* |= 119,

vi) Néu ton tai EIx thì hàm đặc trưng Ø; (t) cũng tôn tại đạo hàm đến bậc

k tại mọi điểm t

Hệ quả Nếu tôn tại E|XỈ thì ø, (t) sẽ có khai triển Taylor như sau

it) it)’

Dx ()=Lemjrtm, + + ĐT tố[£)

trong dom, =E[ X'],i=Lk

vii) Nếu {F,(x)} là day hàm phân phối xác suất và {@,(t)} la day các đặc trưng tương ứng thì điều kiện can và đủ để {F,(x)} hội tụ yếu (tức là hội tụ

tại các điểm F„(x) liên tục ) tới hàm phân phối xác suất F(x)_ là {ø,(t)} hội

tụ tại mọi t đến hàm đặc trưng {p(t} tuong ung voi F(x)

Trang 15

oy > th=E(el)= f e*—e 7 dx= ø,(f)=E|e*) J = x ? 1 _\2 +2 —+# + | — —(x-it) =[ e7 dx= [——e ?e 2 dx Z Z 2 =e 2, Vay 2 @(0)=e 2 Ví dụ I.4 Cho biến ngẫu nhiên X ~ N(u,0°) Tim 9, (t) Lời giải Ta có Z=Ă~—M⁄~ N(0.1) Ø Suy ra X =ơZ+~ N(u,Ø°) Suy ra Ø; (f)=Ø„z.„(f)= chớ, (ot)= 2,2 2,2 ott itp-2t =ele 2 =e" 2 1.3 Bat dang thire Chebyshev

Trang 16

Chứng mình

Ta chứng minh cho trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rac, trường

hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục được chứng minh tương tự

Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trỊ có thể có là X;;Ä;, „X„ VỚI

các xác suất tương Ứng p, p; J„

Giả thiết |x,— EX|<£ với ¡=l,k, và |x,— EX|>£ với i=k+l,n

Vì các biến cố để thực hiện các bất đăng thức |X - EX|<£ và |X -EX|>e

đối lập nhau, do đó

P(|X - EX|<e)=1- P(|X - EX|> e) (*)

Vì X là biến ngẫu nhiên rời rạc nên

Trang 17

P(|X -EX|>2)< 2% (1.9) é Thay (1.9) vao (*) ta duge DX Œ P(|XEX|<e)>I~ Biểu thức (1.9) cũng được sử dụng như một dạng khác của bất đẳng thức Chebyshev

Vi du 1.5 Cho X là biến ngẫu nhiên có DX =ơ”? Lấy e=kơ, với keN Tìm k để X nhận giá trị từ EX-kơ đến EX +kơ với xác suất không nhỏ hơn 0,95 Lời giải Vì là biến ngẫu nhiên X có ĐX=ơ? nên theo bất đẳng thức Chebyshev ta có Ve>0: DX P[lX-EX|>z]<== Lấy e=kơ với keN, øơˆ=DX, ta được ơ 1 P[|X ~EX|>kơ |<+ 2? = ee hay P[|X ~EX|<kø]>I~ Từ đó ta có

P[EX -kơ< X <EX +ko]> 1-5 20,95

suyra &”>20 hay k>5

Trang 18

CHƯƠNG 2

CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

2.1 Luật số lớn

2.1.1 Định nghĩa Họ biến ngẫu nhiên (X;)„, được gọi là tuân theo luật số lớn (dạng Chebyshev) nếu Ve >0: n n oft Sx, _1y Ex, colo (n>) (2.1) Nk=l ñk=I Hoặc tương đương nếu Ve >0: 1 n 1 n P3|— > X, -— LEX; |2 6+ 0 (n>) (2.2) k=l Nal Tương đương với lẻ p = >(x, - EX;}-250 (n> ~) N k=l 2.1.2 Dinh li Chebyshev

Định lí 2.1 Nếu (X, )„, là họ biển ngẫu nhiên độc lập, có các kì vọng

Trang 19

\4z D(X) =D[1EX, |= DX, Hi n2 ữ 1 Áp dụng bất dắng thức Chebyshev đối với biến ngẫu nhiên X x XDX PÍ|X-EX|<z)>1-“Š =H theo giả thiết DX, <C,¡=l,n do đó P[X-E|<z)>I~S =—= cho —>œ, ta được

lim P(X -EX|<e)>4im(1-— E> )=I

mà xác suất của một biến cô không thê lớn hơn 1, do đó

lim P(/X -EX|<e)=I

Vậy định lí được chứng minh

Bản chất của định lí Chebyshew

Định lí Chebyshev chứng minh sự hội tụ theo xác suất của trung bình số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên về trung bình số học của các kì

vọng tương ứng

Trang 20

Chứng minh rằng

¬› X,—200 (n>) (@ la hang số thực)

k=l

Lời giải

Từ bảng phân phối ta thấy họ {X,„ø >1} không cùng phân phối Nhưng ta tính

được EX,=0, DX, = 2a" Vn >1 Suy ra DX, bị chặn đều Vậy theo định lí Chebyshev ta có

ly X,—0 (n>)

Nia

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2.2 Cho họ biến ngẫu nhiên độc lập {X,„ø>I} có phân phối được xác n?

Trang 21

suy ra DX, bị chặn đều Vậy theo định lí Chebyshev ta có YX, £90 (n>) k=l Hệ quá 2.1 Nếu {X„n > J là họ biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng kì vọng toán EX,=ji=ln và các phương sai cũng bị chặn trên (DX, <C.¡=1,n) thì khi n —>œ 1a có ty x, (2.3) n i=l Chứng mình

Do họ {X,.n >I} độc lập, cùng phân phối, có EX,= u,¡ =l,n và các

phương sai cũng bị chặn trên (DX, <Cj¡ =1n), nén theo dinh li Chebyshev

thì họ đó tuân theo luật số lớn, đo đó: P +y x -1y Ex nia nia ‘ Thay EX, = “,i=1,n vao (2.4) ta cd 1 n PES xy i=l =e} 90(n->2) (2.4) = 2} 0(n->2) suy ra 1S x, 25.0 Nia

Hệ quả 2.2 (Định lí Bernoulli) Nếu S„ là số thành công trong npháp

Trang 22

Chứng mình Đặt X, là số thành công ở phép thử thứ k,k > I Khi đó, do dãy phép thử Bernoulli là độc lập nên họ {X k= J độc lập và 8,=>X, k=l Các X, có cùng phân phối là X, 0 1 Với EX, = p;DX, = p(I—p) Khi đó theo hệ qua 2.1 ho {X,.k > 1} tuân theo luật số lớn , nghĩa là 13x, 2 p(n >) N =I hay S., P TỶ p.(n—>œ).L] 2.1.3 Úng dụng của Luật số lớn

ï) Luật số lớn là cơ sở để đưa ra định nghĩa thống kê về xác suất Giả sử tiến hành ø phép thử độc lập, như nhau và theo đõi sự xuất hiện biến cố A có liên quan

Trang 23

Gọi 4, là số lần suất hiện A ở phép thử thứ & thì họ {4,,& >I} là họ

độc lập các biến ngẫu nhiên cùng có phân phối rời rạc với các giá tri 0,1 với các xác suất tương ứng l— P(A) và P(A) chưa biết Ta có EA, = P(A) DA, = P(A)(1- P(A)) n(A)= S4, Từ hệ quả 2.1 ta có ")_— z p(A).(n > œ) n Như vậy khi số phép thử n đủ lớn ta có thê lấy tần suất cua A thay cho P(A) ( mà ta chưa biết) ca A

Như vậy nêu tôn tại tim (A) thi gidi han nay la P (A) no

ii) Luật số lớn chính là cơ sở cho phương pháp đo lường trong vật

Để xác định giá trị của một đại lượng vật lí nào đó ta thường tiễn hành

đo n lần và lấy trung bình số học của các kết quả đo làm giá trị thực của đại lượng cần đo

Thật vậy giả sử xem kết quả của n lần đo là các biến ngẫu nhiên X,,X,, X, Déi voi các biến ngẫu nhiên này có thể áp dụng hệ quá 2.1, vi chúng độc lập với nhau, có kì vọng toán EX, = //¿ chính là giá trị thực của đại

lượng vật lí đó, các phương sai đều bị chặn trên bởi ø” là độ chính xác của

Trang 24

Như vậy trung bình số học của các kết quả đo sẽ sai lệch rất ít so với giá trị thực của đại lượng vật lí và điều đó xảy ra với xác suất gần như bằng 1

ii) Luật số lớn còn là cơ sở cho một phương pháp được áp dụng rộng rãi trong thống kê: đó là phương pháp mẫu

Thực chất của nó là dựa vào một mẫu ngẫu nhiên khá nhỏ có thê kết

luận về toàn bộ tập hợp tông quát của các đối tượng được nghiên cứu

Chẳng hạn để đánh giá năng suất cây trồng của một vùng nào đó người ta không cần phải điều tra trên toàn bộ diện tích của vùng đó mà chỉ cần dựa vào kết quả thu hoạch của một mẫu ngẫu nhiên khá nhỏ mà vẫn đưa ra được các kết luận đủ chính xác về năng suất cây trồng của vùng đó

2.2 Định lí giới hạn trung tâm

Trang 25

Chứng mình

Từ tính chất vii) cua ham đặc trưng ta có: Sự hội tụ của các hàm đặc

Trang 26

2 2 140-5 +of © 41> —z + Z— ai NY 2n n suy ra ø,(0=[1=ẩn suy ra ; ry os in, ()=lim{ 1-55) =e 1=)

Vậy ta có điều phải chứng minh

2.2.2 Úng dụng của định lí giới hạn trung tâm

Ù Định lí giới hạn trung tâm được ứng dụng trong bài toán ước lượng giá trị trung bình của tổng thể từ giá trị trung bình mẫu

Xét tập hợp gồm N cá thể, và một đặc tính định lượng X nào đó của

mỗi cá thể đó Gọi x; là giá trị ứng với cá thể thứ ¡ Khi đó giá trị trung bình của tổng thể là xX + + XN N và phương sai của đặc tính đó trên tổng thé 1 N 2 2 Oo =— N > Ht) Xi

Trang 27

Gọi X; là giá trị đo được ở cá thé thứ ¡ trong mẫu, vì mẫu chọn ngẫu nhiên

nên các X; là các biến ngẫu nhiên và các biến ngẫu nhiên này độc lập cùng phân phối, EX; = /, DX; =ơ” Trung bình mẫu là

Xịi+ +Xp

n

X=

Theo định lí giới hạn trung tâm, khi 0 đủ lớn thì X¡ + + X„ có phân bố xấp

xỉ phân bố chuẩn với kì vọng ø/z và phương sai nơ” Do đó X sẽ có phân aan 2 ơ? bô xâp xỉ phân bô chuân với kì vọng / và phương sai —— n Khi đó ta xét P|X~dl<e]=P|[u—e< X <+£] 4e)4:⁄] Ø Ø - 20") Ø Ấn định xác suất này bằng 1— ø ta có 20f 8") 1-1-4 Ø Vậy ước lượng khoảng của wu là (x-a.2x+4 2] 0(0,)=1- >

1— ø được gọi là độ tin cậy của ước lượng khoảng, thông thường độ tin

cậy I— ø được chọn theo yêu cầu cho trước khá lớn 0,9; 0,95; 0,90;

Trang 28

Vi du 2.3 Trọng lượng trung bình của một loại táo là / (chưa biết) với độ

lệch tiêu chuẩn là 12g Một mẫu ngẫu nhiên gồm 400 quả táo có trọng lượng trung bình 80,3g, với độ tin cậy 95% ước lượng khoảng cho // Lời giải Theo lí luận ở trên ta có = 12 = 12 X —</<X+0,— ° V400 2 ” J400 (6, )=1- 5 =1-0,025=0,975 = Ø(I97)— Ø, = I,97 Suy ra > X -1,97.—— < u< X +197.—— 12 > 12 V 400 m 400 OX -118< p< X +118

Voi gia thiét X =80,3 ta thu duge 7912< <§81,48

Ví dụ 2.4 Do sttc bền chịu lực của một loại ống công nghiệp người ta thu được bộ số liệu sau

4500 6500 5000 5200 4800 4900 5125 6200 5375

Trang 29

i X -6, =;X +4, — Ø % Oo

[Fa Grea)

&(6,)=1- 5 =1-0,025=0,975= Ø(I97)—= Ø, = I,97 Vậy khoảng tin cậy cần tìm có dạng

(5289 — 197.5 ;528889 + 59) = (5052,89;5484,89)

ii) Dinh li giới hạn trung tâm được ứng dụng trong thống kê: giải bài toán kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình

Giả sử (X,,X„ X„) là mẫu ngẫu nhiên rút từ biến ngẫu nhiên X có

EX = và DX =ơ) (nếu X không chuẩn thì z>30) Xét bài toán kiểm định giả thuyết sau

Giả thuyết H: = “4

Đối thuyết K: > tụ Với mức ý nghĩa z và ơ? đã biết

Ta tiên hành các bước sau: , x = X— - Xuất phát từ mẫu đã cho tính X và u=——“®⁄/n oO - Tim gid tri u(a) tl ®(u(a))=1-a - So sánh w và w(Ø): Nếu „>w(ø) thì ta bác bỏ H

Nếu „< u(a) thi ta chap nhan H

Cơ sở lí luận của qui tắc trên là dựa vào định lí giới hạn trung tâm

Trang 30

2 X~ xa) n X= fy ~ N(0,1) Ø Suy ra Do đó theo định lí giới hạn trung tâm khi n đủ lớn ta có oO p XM Gi cu(a)| =0(u(a)) 1a Hay ph Siena =1-®(u(a))=a o

Như vậy với mức ý nghĩa œ đã cho (thường rất nhỏ) nên ta di đến kết luận

chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết H

Trang 31

89,7 96,0 85,3 92.7 85,2 87,2 91,1 90,9 86,8 92.0 87,1 89,5 92,9 88,5 88,2 85,2 Lời giải Theo giả thiết o° =9 >o=3 Tính X = (89.7 +§5,2+ + 89,5 + 85,2) ~ 89,260 ¡=Š—h jn= 2= 16 = 1,692 Ø @(u(a))=1-a = ®(u(0,05)) =0,95 => u(0,05) =1,645

Suy ra u=1,692>1,645= u(0,05)

Vậy trên cơ sở bảng số liệu đã cho ta bác bỏ giá thuyết H và chấp nhận đối thuyết K: />88

Ví dụ 2.6 Trong năm trước trọng lượng trung bình trước khi xuất chuồng của bò ở một trại chăn nuôi là 375 kg Năm nay người ta áp dụng thử một chế độ chăn nuôi mới với hi vọng là bò sẽ tăng trọng nhanh hơn Sau thời gian áp dụng thử người ta lẫy ngẫu nhiên 50 con bò trước khi xuất chuồng đem cân và tính được trọng lượng trung bình của chúng là 390 kg

Vậy với mức ý nghĩa œ=0,01 có thể cho rằng trọng lượng trung bình của bò trước khi xuất chuồng đã tăng lên hay không? Giả thiết trọng lượng của bò là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 35,2 kg

Trang 32

Lời giải

Gọi X là trọng lượng của bò trước khi xuất chuồng Theo giả thiết X phân phối chuẩn với o =35,2

Vậy trọng lượng xuất chuồng trung bình là /

Xét bài toán kiểm định giả thuyết H: ;=375 với đối thuyết K >375 với mức ý nghĩa œz=0,01 Theo giả thiết n = 50, X= 390, o = 35,2, a=0,01 Tinh X -375 390 —375 = 50 =~ > /50 =3,013 H352 35,2 Ta có (u(a))=©(u(0,01)) =1-0,01=0,99 => u(0,01) = 2,33 So sánh w với (0,01) ta có u =3,013> 2,33 = (0,01)

Suy ra ta bác bỏ giả thiết H

Vậy trọng lượng trung bình của bò trước khi xuất chuồng khi áp dụng chế độ chăn nuôi mới lớn hơn 375

Tức là khi áp dụng chế độ chăn nuôi mới thì trọng lượng trung bình của bò trước khi xuất chuồng đã tăng lên

iii) Dinh li giới hạn trung tâm được sử dụng tính xác suất để U, rơi vào khoảng (a,b)

Trang 33

Từ định định lí giới hạn trung tâm ta có (e EU peel 2dt=O hoặc P(a<U, <b)=® b-EU, —œ® a—ÈU, JDU, JDU,

Vi du 2.7 Chon ngau nhién 192 sé trén doan [0,1] Tìm xác suất để tổng SỐ

Trang 34

P(88< X < 104) = 8°) of BPE) = ®(2)-®(-2) = 2@(2)-1 = 2.0,9773-1 = 0,9546 2.3 Định lí giới hạn Moivre_Laplace 2.3.1 Dinh li 2.3 Cho X,, ~ B(n,p) Khi do ta co ">> | Ajnpd Định lí giới hạn Moivre_Laplace là trường hợp riêng của định lí giới hạn br SP <a] (0) at VaeR trung tam Chứng mình Vi X, ~ B(n,p) =>, Sy, i=l Với Y,,Y,, Y, là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối ð(I, p)

Khi đó với méi i, i=1,n ta có EY, = p; DY, = p(I— p)

Trang 35

Vậy inal = <a}=0), VaeR n> Jnpq

2.3.2 Ung dung ciia định lí giói hạn Moivre_Laplace

i) Dinh Hí giới hạn Moivre_Laplace được ứng dụng để tính xấp xỉ

phân phối nhị thức bởi phân phối chuẩn

Kí hiệu X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kì vọng /=np

và phương sai ø” =npạ Khi n đủ lớn ta có ; | Jnpq "npg Như vậy ta có thể nói: Phân bố nhị thức B(n, p) co thé xap xi boi phan bé chuẩn Nứip, npq) Người ta thấy rằng xấp xỉ là tốt khi np và ñ lớn hơn 5 hoặc khi npg lớn hơn 20

Ngoài ra vì ta đã xấp xỉ một phân phối rời rạc bằng một phân phối liên tục, nên ta cân một sự “ hiệu chỉnh” đê sai sô giảm đi

Trang 36

Cụ thể ta có hiệu chỉnh sau Nếu k là số nguyên thì P{X >k} được xap xi bởi Pix >k-08] P{X >k} được xấp xỉ bởi P{x >k+05] Nếu k,,k, là các số nguyên thì PÍk,< X <k,} được xấp xỉ bởi P|k,=0,5<X <k, +045} P{k,<X <k,| duge xấp xỉ bởi P|k+0.5<X <k,~0/5] P{k < X <k,} được xấp xỉ bởi P|k,=0,5<X <k,~0.5| P{k,<X <k,} duge xp xi béi P{k +0,5<X <k, +05}

Vi du 2.8 Mot kí túc xá có 650 sinh viên Xác suất để một sinh viên đến xem

phim tại câu lạc bộ vào tối thứ bảy là 0,7

a) Tính xác suất đề số sinh viên đi xem phim vào tối thứ bảy ít hơn 440

b) Cần chuẩn bị bao nhiêu ghế để với xác suất 0,99 ta có thể đảm bảo đủ ghế

cho người đến xem?

Lời giải

a) Gọi X là số sinh viên đến xem phim

Trang 38

Ví dụ 2.9 Một nhà xã hội học cho rằng 12% số dân của thành phố ưa thích

một bộ phim A mới chiếu trên tivi Để khẳng định này, ông ta chọn một mẫu

ngẫu nhiên gồm 500 người để hỏi ý kiến và thấy 75 người trả lời ưa thích bộ phim đó

a) Tính xác suất để trong một mẫu ngẫu nhiên gồm 500 người, số người ưa

thích bộ phim ít nhất là 75 người nếu giả thiết p=12% là đúng

b) Giả thiết của nhà xã hội học có đáng tin cậy không, với mức ý nghĩa là

0,05?

Tời giải

a) Gọi X là số người ưa thích bộ phim

Khi đó X có phân phối nhị thức (00; 0,12) nếu giả thiết p = 0,12đúng

Khi đó X có phân phối xấp xỉ phân phối chuân X~N (np.npq) và ta có:

P{X >75} =r|x >743|

_ No

=1-®(1,995) =0,0230

b) Với mức ý nghĩa œ=0,05, xác suất để trong một mẫu ngẫu nhiên 500 người có ít nhất 75 người ưa thích bộ phim, được coi là nhỏ Theo nguyên lí xác suất nhỏ thì một biến cố như vậy sẽ không xảy ra trong một phép thử Mà ta lại thấy nó xảy ra ở mẫu quan sát của ta Mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết p = 0,12 là sai Ta đi đến kết luận: “ tỉ lệ người ưa thích bộ phim đó không

phải là 0,12” Độ tin cậy của kết luận này là 0,95

Vậy với độ lệch 0,02 thì tỉ lệ người ưa thích bộ phim này cao hơn hay thấp hơn so với giả thuyết của nhà xã hội học

Trang 39

Xét bài toán kiểm định giả thuyết H: p=0,12 với đối thuyết K: p>0.12, mức ý nghĩa z=0,05, Z=0,02 x = <0,15 500 u=X—P„~0.15=912 T08 —33,54 Oo 0,02 @(u(0,05)) =1—0,05 =0,95 => u(a) =1,645 Suy ra u =33,54>1,645 = u(a) Vậy ta bác bỏ giả thuyết H và chấp nhận đối thuyết K Tức là tỉ lệ người xem bộ phim A lớn hon 12%

ii) Dinh lí giới hạn Moivre_Laplace được ứng dụng để tính xác suất

dé m roi vao khoang tir m, dén m,

Vì định lí giới hạn Moivre_ Laplace là trường hợp riêng của định lí giới hạn trung tâm, vì vậy nó cũng được ứng dụng để tính xác suất để ø rơi vào khoảng từ mạ đến m,, và do ï) nên ta có Voi m= Xử Y, B(.p) )„¡ =l,n thì P(m semper xnpq "Pa Plmysmsm) 0] MPSA gf #05) n4 nạ

Ví dụ 2.10 Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 12000 lần Tìm xác

Trang 40

Lời giải

Gọi X là tổng số lần xuất hiện mặt một nốt Khi đó X có phân phối nhị thức ø„=12000 và p =< Ap dung lí luận ở trên ta có P(1900< X <2150)=®(x,)~®(x) VỚI 1900—0,5 ~12000.L Xy — =2.46 |I2000.=.= 66 2150+0,5 ~12000.L x, = ——* = 3,686 12000.—.— 6 Khi đó P(1900 < X <2150) =®(3,686) - ®(2,46) =0.99989 - 0.0069 = 0,99299

Vi du 2.11 Trong kho có 100 lô hàng, mỗi lô có 90 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu, với mỗi lô người ta kiểm tra ngẫu nhiên 5 sản phẩm ( lấy có hoàn lại) Tính xác suất để tổng số sản phẩm xấu trong 100 lô hàng nằm trong khoảng từ 50 đến 70

Lời giải

Vì kiểm tra 5 sản phẩm có hoàn lại nên xác suất để chọn được sản

phẩm xấu là p =0,1 Và số lần kiểm tra sản phâm là ø =5 100 = 500

Gọi X là tổng số sản phẩm xấu trong 100 lô hang