Các định lí giới hạn và ứng dụng

Khoa Toán CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Lời cảm ơn Lời khóa luận em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn T.s Trần Minh Tước Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành khóa luận Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thầy cô giáo khoa Toán giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập khoa Đồng thời em xin cảm ơn bạn lớp K35 CN Toán, khoa Toán nhiệt tình giúp đỡ em trình học tập lớp Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Minh Thu SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán Khoa Toán CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Lời cam đoan Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo Trần Minh Tước, với cố gắng thân trình nghiên cứu thực khóa luận, em có tham khảo số tác giả(đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Minh Thu SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán Mục lục Các định lí giới hạn 1.1 Các dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 1.1.1 Hội tụ theo xác suất 1.1.2 Hội tụ theo bình phương trung bình 1.1.3 Hội tụ theo phân bố 1.1.4 Hội tụ hầu chắn 1.2 Một số bất đẳng thức 1.2.1 Bất đẳng thức Chebyshev 1.2.2 Bất đẳng thức Kolmogorov 1.3 Hàm đặc trưng 1.3.1 Định nghĩa hàm đặc trưng 1.3.2 Tính chất hàm đặc trưng 1.4 Luật số lớn 1.4.1 Định nghĩa hàm đối xứng 1.4.2 Luật số lớn dạng yếu 1.4.3 Luật mạnh số lớn 1.5 Định lí giới hạn trung tâm 1.5.1 Định lí Poisson 1.5.2 Định lí giới hạn địa phương 1.5.3 Định lí giới hạn Moivre-Laplace 1.5.4 Định lí giới hạn trung tâm Ứng dụng định lí giới hạn 2.1 Ứng dụng luật số lớn 2.1.1 Bài toán 2.1.2 Bài toán 2.1.3 Bài toán 2.2 Ứng dụng định lí giới hạn 6 7 10 10 11 13 13 14 15 15 15 20 23 23 24 25 26 28 28 28 28 29 30 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khoa Toán 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.2.8 2.2.9 Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài toán toán toán toán toán toán toán toán toán SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 30 31 32 33 34 35 35 37 38 Khoa Toán CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Lời nói đầu Xác suất phận toán học nghiên cứu tượng ngẫu nhiên Lý thuyết xác suất nhằm tìm quy luật tượng tưởng chừng quy luật này; đời nước Pháp vào nửa cuối kỷ 17 Vào năm 1933, Kolmogorov cho đời sách "Foundation of the Theory of Probability" giới Toán học công nhận Xác suất lĩnh vực toán học chặt chẽ Các định lí giới hạn thành tựu quan trọng Xác suất Với vấn đề " Các định lí giới hạn ứng dụng" khóa luận trình bày theo bố cục: Chương 1: Các định lí giới hạn Chương 2: Ứng dụng định lí giới hạn Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng thầy cô bạn Em xin chân thành ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Minh Thu SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán Chương Các định lí giới hạn 1.1 Các dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Giả sử (X1 , X2 , , Xn ) dãy biến ngẫu nhiên (b.n.n) xác định không gian xác suất cố định (Ω, F, P ) 1.1.1 Hội tụ theo xác suất Định nghĩa 1.1.1 Dãy (Xn )n≥1 b.n.n xác định không gian xác suất (Ω, F, P ) gọi hội tụ theo xác suất đến b.n.n X n → ∞ ∀ε > lim P (|Xn − X| ≥ ε) = n→∞ P Kí hiệu Xn − → X Khẳng định (Xn )n≥1 hội tụ theo xác suất tới X nghĩa là: ∀ε > 0, ∀n ≥ P (|Xn − X| ≥ ε) + P (|Xn − X| < ε) = P → X ⇔ ∀ε > lim P (|Xn − X| < ε) = ⇒ Xn − n→∞ Ví dụ 1.1.1 Cho Xn b.n.n rời rạc xác định sau: P (Xn = 0) = − 1 ; P (Xn = n) = n n Khi đó, Xn hội tụ tới theo xác suất Thật CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khoa Toán Ta có P (|Xn | > ε) = P (Xn = n) = → 0, n → ∞ n P Do Xn − → 1.1.2 Hội tụ theo bình phương trung bình Định nghĩa 1.1.2 Ta nói dãy (Xn )n≥1 b.n.n hội tụ theo bình phương trung bình tới b.n.n X lim (E|Xn − X|2 ) = n→∞ Như Xn hội tụ tới X theo nghĩa bình phương trung bình khoảng cách Xn X lấy " trung bình" nhỏ tùy ý n lớn Ví dụ 1.1.2 Cho Xn b.n.n rời rạc xác định sau: P (Xn = 1) = 1 ; P (Xn = 2) = − n n Khi đó, Xn hội tụ tới theo nghĩa bình phương trung bình Thật ta có E(|Xn − 2|2 ) = (1 − 2)2 1.1.3 1 + (2 − 2)2 (1 − ) = → 0, n → ∞ n n n Hội tụ theo phân bố Định nghĩa 1.1.3 Cho (Xn )n≥1 dãy b.n.n X b.n.n khác Ta định nghĩa hội tụ theo phân bố (Xn )n≥1 tới X sau: Trường hợp (Xn )n≥1 X b.n.n rời rạc nhận giá trị tập đếm K={c1 , c2 , } (Xn )n≥1 gọi hội tụ phân bố tới X ∀ci ∈ K lim P (Xn = ci ) = P (X = ci ) n→∞ Như vậy, n lớn xấp xỉ P( Xn = c) P(X = c) SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khoa Toán Trường hợp (Xn )n≥1 dãy b.n.n (liên tục rời rạc), X b.n.n liên tục (Xn )n≥1 gọi hội tụ theo phân bố tới X ∀ x ∈ R lim P (Xn < x) = P (X < x) n→∞ d Kí hiệu Xn − → X Mệnh đề 1.1.1 Nếu P Xn − →X d Xn − → X Chứng minh ∀ x ∈ R cho F(x) liên tục, ∀ε > ta có P (X < x − ε) = P (X < x − ε, Xn ≥ x) + P (X < x − ε, Xn < x) Ta có {X < x − ε, Xn ≥ x} ⊂ {|Xn − X| ≥ ε} {X < x − ε, Xn < x} ⊂ {Xn < x} ⇒ P (X < x − ε) ≤ P (|Xn − X| ≥ ε) + P (Xn < x), ∀x ⇒ P (X < x − ε) ≤ lim P (|Xn − X| ≥ ε) + lim P {Xn < x} n→∞ hay P (X < x − ε) ≤ lim P {Xn < x} n→∞ (1) n→∞ Tương tự ta có ∀ε > 0, P (X < x + ε) = P (X < x + ε, Xn ≥ x) + P (X < x + ε, Xn < x) Ta có {X < x + ε, Xn ≥ x} ⊃ {|Xn − X| ≥ ε} {X < x + ε, Xn < x} ⊃ {Xn < x} ⇒ P (X < x + ε) ≥ P (|Xn − X| ≥ ε) + P (Xn < x), ∀x ⇒ P (X < x + ε) ≥ lim P (|Xn − X| ≥ ε) + lim P {Xn < x} n→∞ hay P (X < x + ε) ≥ lim P {Xn < x} n→∞ SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán n→∞ (2) CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khoa Toán Từ (1) & (2) ta có P (X < x−ε) ≤ lim P {Xn < x} ≤ lim P {Xn < x} ≤ P (X < x+ε) n→∞ n→∞ ⇒ lim P {Xn < x} = P {X < x} n→∞ d hay Xn − → X Ví dụ 1.1.3 Cho X b.n.n rời rạc xác định bởi: P {X = 1} = 1 ; P {X = −1} = 2 Dãy Xn xác định sau: Với n chẵn Xn = X; Với n lẻ Xn = -X Khi đó, hiển nhiên với n Xn nhận hai giá trị -1 với P {X = 1} = P {X = −1} = Do lim P {Xn = 1} = P {X = 1} lim P {Xn = −1} = P {X = −1} Như dãy Xn hội tụ tới X theo phân bố Tuy nhiên Xn không hội tụ tới X theo xác suất Thật Với n = 2m + 1: P {|X2m+1 − X| > 1} = P {|2X| > 1} = P {|X| > } = Do lim P {|X2m+1 − X| > 1} = ̸= n→∞ Như điều ngược lại mệnh đề 1.1 không 1.1.4 Hội tụ hầu chắn Định nghĩa 1.1.4 Cho (Xn )n≥1 gọi hội tụ hầu chắn (h.c.c) đến b.n.n X tồn tập A có xác suất cho Xn (ω) −→ X(ω) với ω ∈ /A Kí hiệu h.c.c Xn −−→ X SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khoa Toán h.c.c Định lí 1.1.1 Xn −−→ X khi, với ε > P {sup |Xk − X| > ε} −→ 0, n → ∞ k≥n Zn = sup |Xk − X| Chứng minh Đặt k≥n h.c.c h.c.c Rõ ràng Xn −−→ X ⇔ Zn −−→ h.c.c P Nhưng (Zn ) dãy giảm nên Zn −−→ tương đương với Zn − →0 Hay tương đương với P {sup |Xk − X| > ε} −→ 0, n → ∞ k≥n Nhận xét: Từ hệ thức {|Xn − X| > ε} ⊂ {sup |Xk − X| > ε} k≥n h.c.c P Ta suy ra, Xn −−→ X Xn − → X 1.2 1.2.1 Một số bất đẳng thức Bất đẳng thức Chebyshev Định lí 1.2.1 Cho X b.n.n không âm, tức P (x ≥ 0) = tồn EX Khi đó, ∀a > ta có P (X > a) ≤ EX a Chứng minh Trước hết ta chứng minh cho trường hợp X b.n.n rời rạc Giả sử C tập giá trị X Kí hiệu C1 = {c ∈ C, c ≤ a} C2 = {c ∈ C, c > a} ∑ Khi EX = ci P {X = ci } ci ∈C = ∑ ci ∈C1 ≥ ∑ ci ∈C2 ci P {X = ci } + ∑ ci ∈C2 ci P {X = ci } ≥ a ci P {X = ci } ∑ ci ∈C2 P {X = ci } = aP (X > a) SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 10 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khoa Toán P (k1 < X < k2 ) xấp xỉ P (k1 + 0, < X < k2 − 0, 5) P (k1 ≤ X < k2 ) xấp xỉ P (k1 − 0, < X < k2 − 0, 5) P (k1 < X ≤ k2 ) xấp xỉ P (k1 + 0, < X < k2 + 0, 5) 1.5.4 Định lí giới hạn trung tâm Định lí 1.5.4 Giả sử (Xn )n≥1 dãy b.n.n độc lập có phân bố với kì vọng EXi = µ phương sai DXi = σ Sn = Đặt X1 + X2 + + Xn − nµ √ σ n Khi với x ∈ R lim P (Sn < x) = P (Z < x) n→∞ Z b.n.n có phân bố chuẩn tắc Nói cách khác, Sn hội tụ theo phân bố tới Z n X −µ ∑ i Chứng minh Ta có Yn = √ , ∀n ≥ n i=1 σ ( ) n X −µ ∑ i EYn = E √ =0 n i=1 σ ) ) ( ( n X −µ n 1∑ ∑ Xi − µ i DYn = D √ = D n i=1 σ n i=1 σ n n ∑ ∑ = DX = σ = i nσ i=1 nσ i=1 Xi − µ Đặt Zi = , i=1,2, σ n ∑ Zi ⇒ Yn = √ n i=1 ( ) ( ( ))n n n ∏ ∏ 1 n (t) = ⇒ φYn (t) = φ √1 ∑ φ √1 Zi (t) = φZi √n t = φZi √n t n n i=1 i=1 i=1 ( ) √ Khai triển Taylor hàm φZi t t = ta có n ( φZi t √ n ) φ′Zi (0) t φ′′Zi (0) t2 t2 =1+ √ + + 1! n 2! n n SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 25 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khoa Toán Ta có φ′Zi (0) = (EZi = 0) φ′′Zi (0) = i2 EZi2 = −1 [ ]n t2 ⇒ φYn (t) = − 2n −2n −t2 [ ] t2 t t2 ⇒ lim φYn (t) = lim − = e− = φZ (t) n→∞ n→∞ 2n Chú thích: Nếu dãy (Xn ) xác định sau: { biến cố A xảy lần gieo thứ n Xn = biến cố A không xảy lần gieo thứ n tổng X1 + X2 + + Xn có phân bố nhị thức B(n, p) với p = P (A) ; EXi = p ; DXi = p(1 − p) = pq Thành thử, định lí Moivre-Laplace trường hợp riêng định lí giới hạn trung tâm n ∑ Kí hiệu Un = Xi Khi với x ∈ R i=1 ( P (Un < x) = P Un − nµ x − nµ √ < √ σ n σ n ) Với n lớn theo định lí giới hạn trung tâm ) ( ) ( x − nµ x − nµ ≈P Z< √ = P (Vn < x) P Sn < √ σ n σ n Ở Vn ∼ N (nµ, nσ ) n ∑ Như vậy, tổng Un = Xi có phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn Vn i=1 với kì vọng EVn = nµ phương sai DVn = nσ SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 26 Chương Ứng dụng định lí giới hạn 2.1 2.1.1 Ứng dụng luật số lớn Bài toán Thu nhập hàng năm dân cư thành phố X 2000 USD độ lệch chuẩn 320 USD Hãy xác định khoảng thu nhập hàng năm xung quanh giá trị trung bình 95% dân cư thành phố X Giải Gọi X thu nhập hàng năm dân cư thành phố X X b.n.n với quy luật phân phối xác suất chưa biết Nhưng có: EX = 2000, σ = 320 DX = σ = 3202 = 102400 Theo BĐT Chebyshev ta có: P (|X − EX| < ε) ≥ − =1− DX ε2 102400 = 0, 95 ε2 ⇒ ε ≈ 1431, 084 Vậy 95% dân cư thành phố X có thu nhập năm nằm khoảng (20000 - 1431,084; 2000 + 1431,084) tức (1568,916; 3431,084) USD 2.1.2 Bài toán Một cửa hàng vải muốn ước lượng nhanh chóng số vải bán tháng Số vải khách hàng làm tròn số nguyên m ngần (ví dụ sổ ghi 195,6m làm tròn 196m) 27 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khoa Toán Kí hiệu Xi sai số số mét vải thực bán số mét vải tính tròn khách hàng thứ i Với xác suất 0,99, ước lượng sai số số mét vải thực bán số mét vải tính tròn Giải Các sai số X1 , , Xn b.n.n độc lập có phân bố đoạn [−0, 5; 0, 5] Khi đó: EXi = ; DXi = 12 Sai số tổng cộng tháng Sn = X1 + + Xn (n số khách mua hàng tháng) và: ES = n ∑ EXi = i=1 DS = n ∑ DXi = i=1 n 12 Theo BĐT Chebyshev xác suất để sai số vượt ε mét đánh giá DS n P (|S| > ε) ≤ = ε 12ε2 Giả sử có n = 104 khách hàng tháng Để xác suất P (|S| > ε) < 0, 01 √ n n ta phải có ≤ 0, 01 hay ε ≥ = 288, 67 12ε 12(0, 01) Vậy với xác suất 0,99 sai số số vải thực bán với số vải tính tròn không vượt 289m số khách hàng 104 2.1.3 Bài toán Để xác định giá trị đại lượng vật lí đó, người ta thường tiến hành đo n lần cách độc lập lấy trung bình cộng kết đo làm giá trị thực đại lượng cần đo Giả sử kết n lần đo X1 , X2 , , Xn Chúng b.n.n độc lập với có phân bố Kì vọng EXi = µ giá trị thực đại lượng vật lí SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 28 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khoa Toán DX1 = σ đặc trưng cho độ xác phép đo (phụ thuộc vào thiết bị đo) Sai số lấy trung bình cộng n lần đo là: X1 + X2 + + Xn −µ n Áp dụng hệ BĐT Chebyshev ta có:  ∑  n n ∑ D Xi Xi  i=1  σ2 i=1   P − µ > ε ≤ = n n2 ε2 nε ∑ n  Xi  i=1 E   n ∑ n  Xi    = µ D  i=1   n  =  D n ∑ i=1 n2 Xi nσ = n Cho trước sai số phép ε Bài toán đặt cần tiến hành phép đo để với xác suất 0,99 sai số trung bình cộng so với giá trị thực không vượt ε Từ đánh giá ta suy để:  ∑  n  i=1   ≤ 0, 01 P − µ > ε  n  σ2 100.σ ta cần có: ≤ 0, 01 hay n > nε ε2 2.2 2.2.1 Ứng dụng định lí giới hạn Bài toán Một xưởng in sách thấy trung bình sách 500 trang sách có chứa 300 lỗi Tìm xác suất để trang: a) Có lỗi b) Có lỗi Giải SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 29 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khoa Toán Vì xác suất P để môt chữ bị lỗi nhỏ chữ số n trang sách lớn, số lỗi X trang sách có phân bố xấp xỉ phân bố Poisson với tham số λ = np = số lỗi trung bình trang sách Vì 500 trang có 300 lỗi nên số lỗi trung bình 300 = 0, 500 Thành thử (0, 6)2 P (X = 2) = e−0,6 = 0, 21 P (X ≥ 2) = − P (X = 0) − P (X = 1) = − 0, 549 − 0, 359 = 0, 122 2.2.2 Bài toán Một kí túc xá có 650 sinh viên Xác suất để sinh viên đến xem phim câu lạc vào tối thứ 0,7 a) Tính xác suất để số sinh viên xem phim vào tối thư 440 b) Cần phải chuẩn bị ghế để với xác suất 0,99 ta đảm bảo đủ ghế cho người đến xem Giải a) Gọi X số sinh viên đến xem phim Ta coi số sinh viên định xem độc lập với Như X có phân bố nhị thức B( 650; 0,7 ) Theo định lí Moivre-Laplace, X có phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn X ≈ N (µ, σ ) với µ = np = 650.0, = 455 σ = 650.0, 7.0, = 136, Vậy P (X < 440) ≈ P (X < 439, 5) ) ( 439, − 455 √ = Φ(−1, 327) =Φ 136, = − Φ(1, 327) = − 0, 9077 = 0, 0923 b) Giả sử k số ghế cần chuẩn bị Ta phải có: P(X > k) ≤ 0, 01 ⇒ P(X > k) ≈ P(X > k + 0,5) ≤ 0,01 SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 30 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khoa Toán ⇒ P (X < k + 0, 5) ≥ 0, 99 = Φ(2, 326) ) ( (k + 0, 5) − 455 √ Φ ≥ Φ(2, 326) 136, k − 454, ≥ 2, 326 ⇒ k ≥ 481, ⇒ 11, 68 Vậy cần chuẩn bị 482 ghế ngồi 2.2.3 Bài toán Một xúc xắc đối xứng gieo 30 lần Tìm xác suất để tổng số nốt xuất lớn 120 Giải Gọi Xi số nốt xuất lần gieo thứ i , i = 1, 30 Khi X1 , X2 , , X30 b.n.n độc lập có phân bố sau: Xi 1 p 6 35 Ta có EXi = 3, 5; DXi = 12 30 ∑ Kí hiệu T = Xi 6 6 i=1 Ta cần phải tính P(T > 120) Phân bố xác T phức tạp Nhưng theo định lí giới hạn trung tâm T có phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn V với kì vọng 35 30.(3,5) = 105 phương sai 30 = 87,5 12 Thành thử P (T > 120) ( ≈ P (V)> 120) 120 − 105 √ = − Φ(1, 6) ≈ 0, 054 =1−Φ 87, Vì T b.n.n rời rạc nhận giá trị nguyên nên xấp xỉ phân bố chuẩn, ta nên hiệu chỉnh trường hợp phân bố nhị thức để thu xấp xỉ tốt Cụ thể ( ) 120, − 105 √ P (T > 120) ≈ P (V > 120, 5) = − Φ 87, = − Φ(1, 657) = 0, 0488 SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 31 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khoa Toán 2.2.4 Bài toán Trong khu phố có 180 hộ người 50 hộ người Lượng nước sinh hoạt hộ người dùng ngày b.n.n có giá trị trung bình 0,6 m3 độ lệch tiêu chuẩn 0,04 m3 , hộ nhiều người b.n.n có giá trị trung bình 1,9 m3 độ lệch tiêu chuẩn 0,14m3 Tìm xác suất để ngày khu phố sử dụng 205m3 nước Giải Gọi X1 , , X180 lượng nước dùng hộ người Y1 , , Y50 lượng nước dùng hộ nhiều người U = X1 + + X180 ; V = Y1 + + Y50 Ta có EU = 180.0, = 108 DU = 180.(0, 04)2 = 0, 288 EV = 50.1, = 95 DV = 50.(0, 14)2 = 0, 98 Theo đinh lí giới hạn trung tâm U có phân bố xấp xỉ chuẩn với kì vọng 108, phương sai 0,288 V có phân bố xấp xỉ chuẩn với kì vọng 95, phương sai 0,98 Vì U, V độc lập nên U + V có phân bố xấp xỉ chuẩn với E(U + V ) = EU + EV = 108 + 95 = 203 D(U + V ) = DU + DV = 0, 288 + 0, 98 = 1, 268 ) ( 205 − 203 Vậy: P (U + V > 205) ≈ − Φ √ 1, 268 = − Φ(1, 776) = − 0, 9621 = 0, 0379 Định lí giới hạn trung tâm nhà thống kê sử dụng toán ước lượng giá trị trung bình tổng thể từ giá trị trung bình mẫu Xét tập hợp (số lượng lớn) cá thể mà gọi tổng thể (hay dân số) Giả sử ta quan tâm tới đặc tính định lượng X cá thể tổng thể Gọi xi giá trị ứng với cá thể i SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 32 Khoa Toán CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khi giá trị trung bình tổng thể µ= x1 + + xN N phương sai đặc tính tổng thể N ∑ σ = (xi − µ)2 N i=1 Ở N số lượng cá thể tổng thể Thông thường N lớn, ta đo giá trị Xi cho tất cá thể trung bình phương sai đặc tính X tổng thể Ta phải tìm cách ước lượng µ từ mẫu ngẫu nhiên Giả sử ta lấy mẫu có kích thước n Gọi Xi giá trị đo cá thể thứ i mẫu Các Xi b.n.n mẫu ta chọn ngẫu nhiên Các b.n.n X1 , , Xn độc lập có phân bố EXi = µ, DXi = σ X1 + + Xn Trung bình mẫu X = n Theo định lí giới hạn trung tâm n đủ lớn X1 + + Xn có phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn với kì vọng nµ phương sai nσ Do đó, X có phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn với kì vọng µ σ2 phương sai n Ta có ví dụ cụ thể sau: 2.2.5 Bài toán Trọng lượng trung bình đàn ông nước 78,5kg với độ lệch tiêu chuẩn 11,2kg Chọn ngẫu nhiên 20 người X trọng lượng trung bình mẫu Tìm xác suất để X lớn 82kg Giải 11, 22 X có phân bố xấp xỉ chuẩn với kì vọng 78,5 phương sai 20 Từ ( √ ) (82 − 78, 5) 20 P (X > 82) = − Φ 11, SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 33 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khoa Toán ( 3, =1−Φ 2, 504 2.2.6 ) = − Φ(1, 398) = 0, 081 Bài toán Đàn ông dân tộc A có chiều cao trung bình 179cm với độ lệch tiêu chuẩn 12cm Đàn ông dân tộc B có chiều cao trung bình 177cm với độ lệch tiêu chuẩn 8cm Chọn mẫu ngẫu nhiên 32 người từ dân tộc A với trung bình mẫu X mẫu ngẫu nhiên 75 người từ dân tộc B với trung bình mẫu Y Tính xác xuất để Y > X Giải 12 X có trung bình 179 độ lệch tiêu chuẩn √ 32 Y có trung bình 177 độ lệch tiêu chuẩn √ 75 √ Do X − Y có trung bình 179 - 177 = độ lêch tiêu chuẩn 144 64 + = 2, 314 32 75 X − Y có phân bố xấp xỉ chuẩn Ta có ( ) −2 P (X − Y ) = Φ = Φ(−0, 864) = 0, 1938 2, 314 Ứng dụng toán kiểm định giả thiết 2.2.7 Bài toán Một người nông dân qua nhiều năm trồng trọt nhận thấy rằng, khoai tây ông có sản lượng trung bình 1,82kg, với độ lệch tiêu chuẩn 0,34kg Năm ông ta bón thêm loại phân bón thu hoạch 1395kg 750 Hỏi loại phân có tác dụng thực làm tăng sản lượng hay không? Giải Sản lượng trung bình 750 là: 1395 X= = 1, 86kg 750 SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 34 Khoa Toán CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Mặc dù X > 1,82 " sai số mẫu" so với giả trị trung bình tổng thể Nếu giả thiết phân bón tác dụng X b.n.n có 0, 34 kì vọng 1,82 độ lệch tiêu chuẩn √ = 0, 012 750 Xác suất để nhận mẫu kích thước 750 có trung bình > 1,86 là: ( ) 1, 86 − 1, 82 P (X ≥ 1, 86) = − Φ 0, 012 = − Φ(3, 33) = 0, 001 Đây xác suất nhỏ nên theo nguyên lý xác suất nhỏ thực tế không xảy Thành thử giả thiết phân bón tác dụng sai sản lượng trung bình khoai tây sau bón phân phải lớn 1,82 Bài toán nảy sinh toán ước lượng giá trị trung bình µ tổng thể Một cách hợp lý, trung bình mẫu X dùng làm ước lượng cho µ Tính xác suất để sai số |X − µ| bé ε Ta biết với mẫu lớn X có phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn với σ2 kì vọng µ phương sai Thành thử n P (|X − µ| < ε) = P (µ − ε < X < µ + ε) ( √ ) ( √ ) ( √ ) −ε n ε n ε n =Φ −Φ =2 −1 σ σ σ Ấn định xác suất 0,95 ta có ( √ ) ( √ ) ε n ε n 2Φ − = 0, 95 ⇒ Φ = Φ(1, 96) σ σ 1, 96.σ ⇒ε= √ n Vậy có 95% mẫu ngẫu nhiên thỏa mãn đẳng thức 1, 96.σ 1, 96.σ [...]... n→∞ n i=1 n i=1 và giả sử các Xi có kì vọng với mọi i an = Định lí 1.4.1 Định lí Chebyshev Nếu (Xn )n≥1 là dãy các b.n.n độc lập từng đôi một, có phương sai hữu hạn và bị chặn bởi cùng một hằng số D(Xk ) ≤ c, ∀k thì với mọi ε > 0 cho trước, ta luôn có ( ) n n ∑ ∑ 1 1 lim P Xk − EXk < ε = 1 n→∞ n k=1 n k=1 SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 15 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khoa Toán ( Chứng minh Từ giả... nên áp dụng định lí 4 n n 1∑ 1∑ Xk − EXk < ε n k=1 n k=1 Vậy ( lim P n→∞ ) = 1 ) X − p < ε = 1 n Định lí 1.4.3 Giả sử (Xn )n≥1 là dãy các b.n.n độc lập sao cho EX1 = = EXn = µ và DXi ≤ c, ∀i = 1, 2, n ∑ Khi đó, X n = i=1 n Chứng minh Ta có hội tụ theo xác suất tới µ n 1∑ EXi = µ n i=1 n c 1 ∑ n.c DX n = 2 µ 2 = n i=1 n n EX n = SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 17 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khoa... MINH THU-K35CNToán 24 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khoa Toán P (k1 < X < k2 ) được xấp xỉ bởi P (k1 + 0, 5 < X < k2 − 0, 5) P (k1 ≤ X < k2 ) được xấp xỉ bởi P (k1 − 0, 5 < X < k2 − 0, 5) P (k1 < X ≤ k2 ) được xấp xỉ bởi P (k1 + 0, 5 < X < k2 + 0, 5) 1.5.4 Định lí giới hạn trung tâm Định lí 1.5.4 Giả sử (Xn )n≥1 là dãy các b.n.n độc lập có cùng phân bố với kì vọng EXi = µ và phương sai DXi = σ 2... xác định giá trị của một đại lượng vật lí nào đó, người ta thường tiến hành đo n lần một cách độc lập và lấy trung bình cộng các kết quả đo ấy làm giá trị thực của đại lượng cần đo Giả sử kết quả n lần đo là X1 , X2 , , Xn Chúng là các b.n.n độc lập với nhau và có cùng phân bố Kì vọng EXi = µ chính là giá trị thực của đại lượng vật lí đó SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 28 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG... phân phối chuẩn tắc 2π Đặt SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 23 Khoa Toán 1.5.3 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Định lí giới hạn Moivre-Laplace Định lí 1.5.3 Giả sử X là b.n.n có phân phối nhị thức với tham số (n, p) Xn − np Đặt Sn = √ npq Khi đó với mọi x ∈ R lim P {Sn < x} = P {Z < x} n→∞ ở đó Z là b.n.n có phân phối chuẩn tắc Nói cách khác Sn hội tụ theo phân bố về Z Nhận xét: Kí hiệu X là b.n.n có phân... cần có: 2 ≤ 0, 01 hay n > nε ε2 2.2 2.2.1 Ứng dụng của định lí giới hạn Bài toán 1 Một xưởng in sách thấy rằng trung bình một cuốn sách 500 trang sách có chứa 300 lỗi Tìm xác suất để trong một trang: a) Có đúng 2 lỗi b) Có ít nhất 2 lỗi Giải SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 29 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khoa Toán Vì xác suất P để môt chữ bị lỗi là rất nhỏ và chữ số n trong một trang sách là lớn,... X2 , , Xn là các b.n.n độc lập n Khi đó φ ∑ Xi (t) = i=1 n ∏ φXi (t) i=1 n Chứng minh Ta có φ ∑ Xi (t) = Ee i=1 = Ee itX1 Ee itX2 Ee itXn = n ∏ it n ∑ Xi i=1 ) ( = E eitX1 eitX2 eitXn φXi (t) i=1 SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 14 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khoa Toán 1.4 1.4.1 Luật số lớn Định nghĩa hàm đối xứng Định nghĩa 1.4.1 Hàm n biến f (x1 , x2 , , xn ) được gọi là hàm đối xứng nếu f (x1... tồn tại N ∈ N: ∀n ≥ N |rn | < ε và r = sup |rn | < +∞ Do đó n≥1 n ∑ k=1 Xk ≤ N∑ −1 |rk |(bk+1 − bk ) + ε k=1 n−1 ∑ (bk+1 − bk ) + b1 |r0 | + bn |rn | k=N ≤ r(bN − b1 ) + ε(bn − bN ) + b1 |r0 | + bn |rn | Chia hai vế cho bn , sau đó cho n −→ +∞ suy ra 1 ∑ xk −→ 0, n → ∞ bn k=1 n SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 19 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khoa Toán Định lí 1.4.6 Định lí Kolmogorov (Luật mạnh số lớn... n=1 ∞ ∑ P {|X1 | > n} < ∞ 1 Từ đó và (1.7) ta có E|X1 | ≤ ∞ ∑ (m + 1)P {m < |X1 | ≤ m + 1} < ∞ m=0 Khi đó, theo chứng minh trên ⇒ a = EX1 1.5 1.5.1 n 1 ∑ h.c.c Xk −−→ EX1 n k=1 Định lí giới hạn trung tâm Định lí Poisson Định lí 1.5.1 Cho (Xn ) là dãy các b.n.n có phân bố nhị thức, ở đó với mỗi n, Xn có phân vố nhị thức với tham số (n, pn ) Giả sử rằng tồn tại giới hạn lim npn = λ Khi đó Xn hội tụ theo... EX1 = a −n SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 21 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Khoa Toán n ∑ Như vậy k=1 Xk′ n h.c.c −−→ a Từ (1.8) & (1.9) ta có (1.9) n 1 ∑ h.c.c Xk −−→ EX1 n k=1 n 1 ∑ h.c.c Xk −−→ a, ∀a ∈ R n k=1 ( ) n ∑ Xn 1 ∑ n−1 1 n−1 h.c.c Vì a hữu hạn nên = Xk − Xk −−→ 0 n n k=1 n n − 1 k=1 Ngược lại, giả sử Và do đó với xác suất 1 chỉ có một số hữu hạn các biến cố {|Xn | > n} xảy ra, suy ra ∞ ∑ ... Với vấn đề " Các định lí giới hạn ứng dụng" khóa luận trình bày theo bố cục: Chương 1: Các định lí giới hạn Chương 2: Ứng dụng định lí giới hạn Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn... Trong khóa luận tốt nghiệp với đề tài "Các định lí giới hạn ứng dụng" , em nghiên cứu nội dung chủ yếu sau: Các định lí giới hạn Ứng dụng định lí giới hạn vào giải số toán Ngoài nỗ lực học hỏi... 1.5 Định lí giới hạn trung tâm 1.5.1 Định lí Poisson 1.5.2 Định lí giới hạn địa phương 1.5.3 Định lí giới hạn Moivre-Laplace 1.5.4 Định lí giới hạn trung