Các định lí giới hạn và ứng dụng

Khoa Tốn CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Lời cảm ơn Lời khóa luận em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn T.s Trần Minh Tước Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em trình hồn thành khóa luận Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thầy giáo khoa Tốn giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập khoa Đồng thời em xin cảm ơn bạn lớp K35 CN Tốn, khoa Tốn nhiệt tình giúp đỡ em trình học tập lớp Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Minh Thu SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán Khoa Toán CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNTốn Lời cam đoan Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo Trần Minh Tước, với cố gắng thân q trình nghiên cứu thực khóa luận, em có tham khảo số tác giả(đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Minh Thu Mục lục Các định lí giới hạn 1.1 Các dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 1.1.1 Hội tụ theo xác suất 1.1.2 Hội tụ theo bình phương trung bình 1.1.3 Hội tụ theo phân bố 1.1.4 Hội tụ hầu chắn 1.2 Một số bất đẳng thức 10 1.2.1 Bất đẳng thức Chebyshev 10 1.2.2 Bất đẳng thức Kolmogorov 11 1.3 Hàm đặc trưng 13 1.3.1 Định nghĩa hàm đặc trưng 13 1.3.2 Tính chất hàm đặc trưng 14 1.4 Luật số lớn 15 1.4.1 Định nghĩa hàm đối xứng 15 1.4.2 Luật số lớn dạng yếu 15 1.4.3 Luật mạnh số lớn 20 1.5 Định lí giới hạn trung tâm 23 1.5.1 Định lí Poisson 23 1.5.2 Định lí giới hạn địa phương 24 1.5.3 Định lí giới hạn Moivre-Laplace 25 1.5.4 Định lí giới hạn trung tâm 26 Ứng dụng định lí giới hạn 28 2.1 Ứng dụng luật số lớn 28 2.1.1 Bài toán 28 2.1.2 Bài toán 28 2.1.3 Bài toán 29 2.2 Ứng dụng định lí giới hạn 30 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.2.8 2.2.9 Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài toán toán toán toán toán toán toán toán toán 30 31 32 33 34 35 35 37 38 Lời nói đầu Xác suất phận toán học nghiên cứu tượng ngẫu nhiên Lý thuyết xác suất nhằm tìm quy luật tượng tưởng chừng khơng có quy luật này; đời nước Pháp vào nửa cuối kỷ 17 Vào năm 1933, Kolmogorov cho đời sách "Foundation of the Theory of Probability" giới Tốn học cơng nhận Xác suất lĩnh vực tốn học chặt chẽ Các định lí giới hạn thành tựu quan trọng Xác suất Với vấn đề " Các định lí giới hạn ứng dụng" khóa luận trình bày theo bố cục: Chương 1: Các định lí giới hạn Chương 2: Ứng dụng định lí giới hạn Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng thầy cô bạn Em xin chân thành ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Minh Thu Chương Các định lí giới hạn 1.1 Các dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Giả sử (X , X2, , Xn) dãy biến ngẫu nhiên (b.n.n) xác định 1không gian xác suất cố định (Ω, F, P ) 1.1.1 Hội tụ theo xác suất Định nghĩa 1.1.1 Dãy (Xn)n≥1 b.n.n xác định không gian xác suất (Ω, F, P ) gọi hội tụ theo xác suất đến b.n.n X n → ∞ ∀ε > lim n→∞ P (|Xn − X| ≥ ε) = P Kí hiệu Xn −→ X Khẳng định (Xn)n≥1 hội tụ theo xác suất tới X nghĩa là: ∀ε > 0, ∀n ≥ P (|Xn − X| ≥ ε) + P (|Xn − X| < ε) = P ⇒ X −→ X ⇔ ∀ε > lim P (|Xn − X| < ε) = n→∞ n Ví dụ 1.1.1 Cho Xn b.n.n rời rạc xác định sau: 1 P (Xn = 0) = − ; P (Xn = n) = n n Khi đó, Xn hội tụ tới theo xác suất Thật Khoa Tốn CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG Ta có P (|Xn| > ε) = P (Xn = n) = → 0, n → ∞ n P Do X − n → 1.1.2 Hội tụ theo bình phương trung bình Định nghĩa 1.1.2 Ta nói dãy (Xn)n≥1 b.n.n hội tụ theo bình phương trung bình tới b.n.n X lim (E|Xn − X| 2) = n →∞ Như Xn hội tụ tới X theo nghĩa bình phương trung bình khoảng cách Xn X lấy " trung bình" nhỏ tùy ý n lớn Ví dụ 1.1.2 Cho Xn b.n.n rời rạc xác định sau: P (Xn = 1) = n ; P (X = 2) = n n Khi đó, Xn hội tụ tới theo nghĩa bình phương trung bình Thật ta có E( | X − 2|2 ) = (1 − 2)2 + (2 − 2)2(1 n = n − 1.1.3 n ) n → 0, n → ∞ Hội tụ theo phân bố Định nghĩa 1.1.3 Cho (Xn)n≥1 dãy b.n.n X b.n.n khác Ta định nghĩa hội tụ theo phân bố (Xn)n≥1 tới X sau: Trường X, clà ,các b.n.n rời rạc nhận giá trị n)n≥1 tập hợp đếm(X K={c } (Xn)n≥1 gọi hội tụ phân bố tới X ∀ci ∈ K lim P (X = c ) = P (X = c ) n i i n→∞ Như vậy, n lớn xấp xỉ P( Xn = c) P(X = c) SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán Trường hợp (Xn)n≥1 dãy b.n.n (liên tục rời rạc), X b.n.n liên tục (Xn)n≥1 gọi hội tụ theo phân bố tới X ∀ x ∈ R lim P (Xn < x) = P (X < x) n→∞ d Kí hiệu X − n →X Mệnh đề 1.1.1 P d Nếu Xn −→ X Xn −→ X Chứng minh ∀ x ∈ R cho F(x) liên tục, ∀ε > ta có P (X < x − ε) = P (X < x − ε, Xn ≥ x) + P (X < x − ε, Xn < x) Ta có {X < x − ε, Xn ≥ x} ⊂ {|Xn − X| ≥ ε} {X < x − ε, Xn < x} ⊂ {Xn < x} ⇒ P (X < x − ε) ≤ P (|Xn − X| ≥ ε) + P (Xn < x), ∀x ⇒ P (X < x − ε) ≤ lim n →∞ P (|Xn − X| ≥ ε) + P {Xn < x} lim n→∞ hay P (X < x − ε) ≤ lim P {Xn < x} n→∞ (1) Tương tự ta có ∀ε > 0, P (X < x + ε) = P (X < x + ε, Xn ≥ x) + P (X < x + ε, Xn < x) Ta có {X < x + ε, Xn ≥ x} ⊃ {|Xn − X| ≥ ε} {X < x + ε, Xn < x} ⊃ {Xn < x} ⇒ P (X < x + ε) ≥ P (|Xn − X| ≥ ε) + P (Xn < x), ∀x ⇒ P (X < x + ε) ≥ lim n →∞ P (|Xn − X| ≥ ε) + P {Xn < x} lim hay P (X < x + ε) lim P {X < x} ≥ n→∞ n n →∞ (2) ⇒P (X˜ < k + 0,(5) ≥ 0, 99 = Φ(2, 326) ) (k + 0, 5) − 455 √ Φ ≥ Φ(2, 326) 136, k − 454, ⇒ ≥ 2, 326 ⇒ k ≥ 481, 11, 68 Vậy cần chuẩn bị 482 ghế ngồi 2.2.3 Bài toán Một xúc xắc đối xứng gieo 30 lần Tìm xác suất để tổng số nốt xuất lớn 120 Giải Gọi Xi số nốt xuất lần gieo thứ i , i = 1, 30 Khi X1, X2, , X30 b.n.n độc lập có phân bố sau: Xi p 1 1 1 356 6 6 Ta có EXi = 3, 5; DXi = 12 30 ∑ Kí hiệu T = Xi i=1 Ta cần phải tính P(T > 120) Phân bố xác T phức tạp Nhưng theo định lí giới hạn trung tâm T có phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn V với kì vọng 35 30.(3,5) = 105 phương sai 30 = 87,5 12 ( ) 120) Thành thử P (T > 120) ≈ P (V > 120 − 105 √ =1−Φ = − Φ(1, 6) ≈ 0, 054 87, Vì T b.n.n rời rạc nhận giá trị nguyên nên xấp xỉ phân bố chuẩn, ta nên hiệu chỉnh trường hợp phân bố nhị thức để thu ( xấp xỉ tốt Cụ thể 120, 5) − 105 P (T > 120) ≈ P (V > 120, 5) = − √ 87, Φ = − Φ(1, 657) = 0, 0488 2.2.4 Bài toán Trong khu phố có 180 hộ người 50 hộ người Lượng nước sinh hoạt hộ người dùng ngày b.n.n có giá trị trung bình 0,6 m3 độ lệch tiêu chuẩn 0,04 m3 , hộ nhiều người b.n.n có giá trị trung bình 1,9 m3 độ lệch tiêu chuẩn 0,14m3 Tìm xác suất để ngày khu phố sử dụng 205m3 nước Giải Gọi X1, , X180 lượng nước dùng hộ người Y1, , Y50 lượng nước dùng hộ nhiều người U = X1 + + X180 ; V = Y1 + + Y50 Ta có EU = 180.0, = 108 DU = 180.(0, 04)2 = 0, 288 EV = 50.1, = 95 DV = 50.(0, 14)2 = 0, 98 Theo đinh lí giới hạn trung tâm U có phân bố xấp xỉ chuẩn với kì vọng 108, phương sai 0,288 V có phân bố xấp xỉ chuẩn với kì vọng 95, phương sai 0,98 Vì U, V độc lập nên U + V có phân bố xấp xỉ chuẩn với E(U + V ) = EU + EV = 108 + 95 = 203 D(U + V ) = DU + DV( = 0, 288 +)0, 98 = 1, 268 205 − 203 √ Vậy: P (U + V > 205) ≈ − 1, 268 Φ = − Φ(1, 776) = − 0, 9621 = 0, 0379 Định lí giới hạn trung tâm nhà thống kê sử dụng toán ước lượng giá trị trung bình tổng thể từ giá trị trung bình mẫu Xét tập hợp (số lượng lớn) cá thể mà gọi tổng thể (hay dân số) Giả sử ta quan tâm tới đặc tính định lượng X cá thể tổng thể Gọi xi giá trị ứng với cá thể i SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 32 SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 32 Khi giá trị trung bình tổng thể x1 + + xN µ= N phương sai đặc tính tổng thể σ2 = ∑ N − µ)2 (x N i i=1 Ở N số lượng cá thể tổng thể Thông thường N lớn, ta khơng thể đo giá trị Xi cho tất cá thể khơng biết trung bình phương sai đặc tính X tổng thể Ta phải tìm cách ước lượng µ từ mẫu ngẫu nhiên Giả sử ta lấy mẫu có kích thước n Gọi Xi giá trị đo cá thể thứ i mẫu Các Xi b.n.n mẫu ta chọn ngẫu nhiên Các b.n.n X1, , Xn độc lập có phân bố EXi = µ, DXi = σ2 X1 + + Trung bình mẫu X Xn = n Theo định lí giới hạn trung tâm n đủ lớn X1 + + Xn có phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn với kì vọng nµ phương sai nσ2 Do đó, X có phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn với kì vọng µ phương sai σ n Ta có ví dụ cụ thể sau: 2.2.5 Bài tốn Trọng lượng trung bình đàn ơng nước 78,5kg với độ lệch tiêu chuẩn 11,2kg Chọn ngẫu nhiên 20 người X trọng lượng trung bình mẫu Tìm xác suất để X lớn 82kg Giải X có phân bố xấp xỉ chuẩn với kì vọng 78,5 phương sai SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNTốn 33 11, 22 ( Từ P (X > 82) = − Φ √ ) 20 (82 − 78, 5) 20 11, SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán 34 =1− Φ ( 3, = − Φ(1, 398) = 0, 081 ) 2, 504 2.2.6 Bài tốn Đàn ơng dân tộc A có chiều cao trung bình 179cm với độ lệch tiêu chuẩn 12cm Đàn ơng dân tộc B có chiều cao trung bình 177cm với độ lệch tiêu chuẩn 8cm Chọn mẫu ngẫu nhiên 32 người từ dân tộc A với trung bình mẫu X mẫu ngẫu nhiên 75 người từ dân tộc B với trung bình mẫu Y Tính xác xuất để Y > X Giải 12 X có trung bình 179 độ lệch tiêu chuẩn √ 32 Y có trung bình 177 độ lệch tiêu chuẩn √ 75 Do X − Y có trung bình 179 - 177 = độ lêch tiêu chuẩn √144 64 = 2, 314 + 32 75 X − Y có phân bố xấp xỉ chuẩn Ta có P (X − Y ) = Φ ( −2 ) 2, 314 = Φ(−0, 864) = 0, 1938 Ứng dụng toán kiểm định giả thiết 2.2.7 Bài toán Một người nông dân qua nhiều năm trồng trọt nhận thấy rằng, khoai tây ơng có sản lượng trung bình 1,82kg, với độ lệch tiêu chuẩn 0,34kg Năm ơng ta bón thêm loại phân bón thu hoạch 1395kg 750 Hỏi loại phân có tác dụng thực làm tăng sản lượng hay không? Giải Sản lượng trung bình 750 là: 1395 X= = 1, 86kg 750 Mặc dù X > 1,82 " sai số mẫu" so với giả trị trung bình tổng thể Nếu giả thiết phân bón khơng có tác dụng X b.n.n có 0, 34 kì vọng 1,82 độ lệch tiêu chuẩn √ = 0, 012 750 Xác suất để nhận mẫu kích thước 750 có trung bình > 1,86 là: ( P (X ≥ 1, 86) = − 1, 86 − 1, ) Φ 82 0, 012 = − Φ(3, 33) = 0, 001 Đây xác suất nhỏ nên theo nguyên lý xác suất nhỏ thực tế khơng xảy Thành thử giả thiết phân bón khơng có tác dụng sai sản lượng trung bình khoai tây sau bón phân phải lớn 1,82 Bài toán nảy sinh tốn ước lượng giá trị trung bình µ tổng thể Một cách hợp lý, trung bình mẫu X dùng làm ước lượng cho µ Tính xác suất để sai số |X − µ| bé ε Ta biết với mẫu lớn X có phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn với σ2 Thành thử kì vọng µ phương n sai P (|X − µ| < ε) = P (µ − ε < X < µ + ε) √ ) ( −ε n √ ( ) ( √ ) ε n =Φ = ε n −1 − Φ σ σ σ Ấn định xác suất 0,95 ta có ( √ ) 2Φ ε n − = 0, 95 ⇒ Φ σ ( √ ) = Φ(1, 96) ε n ⇒ ε = 1, 96.σ √ n SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNTốn σ 35 Vậy có 95% mẫu ngẫu nhiên thỏa mãn đẳng thức 1, 96.σ 1, 96.σ X− √