Phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPTốn Trường đại học sư phạm hà nội Khoa toán ********** đinh thị quỳnh liên phép nghịch đảo tốn quỹ tích Khóa luận tốt nghiệp đại học Chun ngành: Hình học Hà nội – 2009 Trường đại học sư phạm hà nội Khoa toán ********** đinh thị quỳnh liên phép nghịch đảo toán quỹ tích Khóa luận tốt nghiệp đại học Chun ngành: Hình học người hướng dẫn khoa học GV đinh văn thủy Hà nội – 2009 Lời cảm ơn Trong trình nghiên cứu hồn thành khố luận này, em nhận quan tâm, giúp đỡ vật chất, tinh thần thầy giáo, cô giáo tổ Hình học nói riêng khoa Tốn trường Đại học sư phạm Hà Nội nói chung với hỗ trợ giúp đỡ bạn sinh viên Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo Đinh Văn Thuỷ, người tận tình hướng dẫn em suốt thời gian qua để em hồn thành khóa luận Do trình độ thời gian nghiên cứu hạn chế nên vấn đề mà em trình bày khố luận khơng tránh khỏi thiếu xót Em kính mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo, bạn sinh viên để khố luận em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Đinh Thị Quỳnh Liên Lời cam đoan Em xin cam đoan vấn đề em trình bày khố luận kết nghiên cứu riêng em hướng dẫn trực tiếp thầy Đinh Văn Thuỷ, không trùng với tác giả khác Nếu sai em hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Đinh Thị Quỳnh Liên Mục lục Phần 1:Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Phần 2: Nội dung Chương 1:Phép nghịch đảo 1.1 Các định nghĩa 1.1.1 Không gian bảo giác 1.1.2 Phép nghịch đảo 1.2 Các tính chất 1.3 Các định lý 1.4 Phép nghịch đảo hệ toạ độ Đềcác vng góc 15 Chương 2:Phép nghịch đảo tốn quỹ tích 17 2.1 Bài tốn quỹ tích 17 2.2 Giải tốn quỹ tích nhờ phép nghịch đảo 17 2.2.1 Phương pháp chung 17 2.2.2 Các ví dụ minh hoạ .17 2.2.3 tập tự luyện 31 2.2.4 Hướng dẫn 34 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 Phần 1: Mở đầu Lý chọn đề tài Hình học mơn học hấp dẫn thu hút nhiều học sinh yêu toán Việc giải tập, tìm nhiều cách giải, có cách giải hay, độc đáo phát huy tính sáng tạo niềm say mê môn học Mỗi tập hình học giải nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ, phương pháp vectơ phương pháp biến hình Trong nhiều trường hợp, phép biến hình cơng cụ hữu hiệu cho phép giải hợp lý ngắn gọn tốn hình học tốn chứng minh, tốn quỹ tích, tốn dựng hình tốn tính tốn Trong chương trình tốn phổ thơng, học sinh học phép biến hình: phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến, phép vị tự Phép nghịch đảo phép biến hình khơng đưa vào chương trình phổ thơng, đề xuất luyện học sinh chuyên, bồi dưỡng học sinh giỏi Phép nghịch đảo với tính chất khác biệt đưa đến hướng giải số lớp tốn hình học Để góp phần làm rõ tính ưu việt việc sử dụng phép biến hình vào giải tốn hình học, tơi sâu nghiên cứu lý thuyết phép biến hình ứng dụng phép biến hình để giải tốn hình học Trong khn khổ khố luận tốt nghiệp, thời gian nghiên cứu có hạn nên tập trung khai thác ứng dụng phép nghịch đảo việc giải toán quỹ tích Đó lý tơi lựa chọn đề tài: phép nghịch đảo tốn quỹ tích Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu kiến thức phép nghịch đảo ứng dụng việc giải tốn quỹ tích - Xây dựng hệ thống ví dụ minh hoạ tập tự luyện thể việc sử dụng phương pháp biến hình vào giải tốn quỹ tích Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: phép nghịch đảo - Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng phép nghịch đảo việc giải toán quỹ tích mặt phẳng khơng gian Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo trình, giảng chuyên đề tài liệu tham khảo có liên quan Phần 2: Nội dung Chương 1: Phép nghịch đảo 1.1 Các định nghĩa 1.1.1 Không gian bảo giác Không gian E n  n 2,3 bảo giác bổ sung phần tử (điểm vô cực) gọi không gian Bn Trong không gian bảo giác Bn, đường thẳng hay mặt phẳng qua điểm  1.1.2 Phép nghịch đảo Trong không gian bảo giác Bn cho điểm O cố định số thực k 0 Phép biến hình n: B  B cho: n Ma M' n M  Nếu M O M '  Nếu M  thì M ' O Nếu M O, thỡ O,M,M ' thẳng hàng OM.OM ' k n gọi phép nghịch đảo cực O , phương tích k Kí hiệu n k O Nhận xét: n  O,k  n  O,k  X O on  O,k , XO phép đối xứng tâm O 1.2 Các tính chất 1.2.1 Tính chất Phép nghịch đảo phép biến hình đối hợp : phép đồng n 1.2.2 Tính chất Nếu M ' ảnh qua n  O,k thì O, M, M ' thẳng hàng Nếu M,O,N không thẳng hàng M ', N' ảnh M, N qua n  O,k thì tứ giác MM ' N' N tứ giác nội tiếp 1.2.3 Tính chất Nếu phương tích nghịch đảo k 0 phép nghịch đảo n điểm bất động siêu cầu tâm O , bán kính  O,k  có tập k (gọi siêu cầu nghịch đảo) Nếu phương tích nghịch đảo k < phép nghịch đảo n điểm bất động  O,k  khơng có 1.3 Các định lý 1.3.1.Định lý Phép nghịch đảo biến siêu phẳng không qua cực nghịch đảo thành siêu cầu qua cực nghịch đảo biến siêu cầu qua cực nghịch đảo thành siêu phẳng không qua cực nghịch đảo Chứng minh: Ta chứng minh E Việc chứng minh E hoàn toàn tương tự + Phép nghịch đảo biến đường thẳng không qua cực nghịch đảo thành đường tròn qua cực nghịch đảo Giả sử n  O,k  E cho phép nghịch đảo d đường thẳng khơng qua O Hạ OH d, H d, H' n H C' C ... xác định phép nghịch đảo hệ toạ độ Đềcác vng góc, có cực trùng với gốc toạ độ phương tích k(k 0) Chương 2 :Phép nghịch đảo tốn quỹ tích 2.1 Bài tốn quỹ tích Bài tốn quỹ tích tốn tìm quỹ tích (hay... 1.4 Phép nghịch đảo hệ toạ độ Đềcác vng góc 15 Chương 2 :Phép nghịch đảo tốn quỹ tích 17 2.1 Bài tốn quỹ tích 17 2.2 Giải tốn quỹ tích nhờ phép nghịch đảo ... chất: phép nghịch đảo phép biến hình đối hợp nên phép nghịch đảo biến đường tròn qua cực nghịch đảo đường thẳng khơng qua cực nghịch đảo 1.3.2 Định lý Phép nghịch đảo biến siêu cầu không qua cực nghịch