Phép nghịch đảo với bài toán dựng hình học trong mặt phẳng

Để giúp các em học sinh phổ thông, đặc biêt là các em học sinh khá, giỏi hứng thú hơn với bài toán dựng hình, trong khóa luận này, tôi xin cung cấp một số lí thuyết tổng quát nhất về bài

Người hướng dẫn khoa học

GVC Đinh Văn Thuỷ

HÀ NỘI - 2007

Lời cảm ơn

Trong quá trình hoàn thành khóa luận này, em đã nhận được sự động viên, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy Đinh Văn Thủy, cùng những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô trong tổ Hình học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy Đinh Văn Thủy - người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo em trong suốt quá trình làm khóa luận Đồng thời em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Hình học đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2007

Sinh viên

Vũ Thị Thúy

Mục lục

Trang

Lời nói đầu 5

Chương 1: Bài toán dựng hình 7

1.1 Một số định nghĩa 7

1.1.1 Hình là gì? 7

1.1.2 Nghiệm của một bài toán dựng hình là gì? 7

1.1.3 Giải một bài toán dựng hình là gì? 7

1.2 Các bước giải một bài toán dựng hình 8

1.3 Các phương pháp dựng hình 8

Chương 2: phép nghịch đảo 10

2.1 Định nghĩa và các tính chất của phép nghịch đảo 10

2.1.1 Định nghĩa 10

2.1.2 Một số tính chất của phép nghịch đảo 10

2.2 Các định lí 11

2.3 ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép nghịch đảo 12

Chương 3:ứng dụng phép nghịch đảogiải bài toán dựng hình 13

3.1 Bài toán 1 13

3.2 Bài toán 2 15

3.3 Bài toán 3 15

3.4 Bài toán 4 15

3.5 Bài toán 5 17

3.6 Bài toán 6 19

3.7 Bài toán 7 21

3.8 Bài toán 8 23

3.9 Bài toán 9 26

3.10 Bài toán 10 27

3.11 Bài toán 11 29

3.12 Bài toán 12 29

3.13 Bài toán 13 29

3.14 Bài toán 14 31

3.15 Bài toán 15 (Bài toán Apoloniuyt) 33

3.16 Bài toán 16 38

Chương 4:Một số Bài tập áp dụng 40

4.1 Đề bài 40

4.2 Hướng dẫn giải 41

Phần kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50

Lời nói đầu

1 Lí do chọn đề tài

Hình học là môn học hấp dẫn, thu hút nhiều học sinh yêu toán Việc giải các bài tập, tìm ra nhiều cách giải, trong đó có những cách hay, độc đáo

sẽ phát huy tính sáng tạo, niềm say mê đối với môn hình học Với mỗi bài tập

có thể có nhiều phương pháp giải: phương pháp tổng hợp, phương pháp véctơ, phương pháp biến hình,

Trong chương trình hình học phổ thông, bài toán dựng hình luôn là bài toán khó đối với học sinh, các em thường ngại hoặc không thích giải bài toán dựng hình Vì lí do sư phạm mà các sách giáo khoa phổ thông không đi sâu nghiên cứu lí thuyết của bài toán dựng hình, cũng như những phương pháp giải bài toán dựng hình Để giúp các em học sinh phổ thông, đặc biêt là các

em học sinh khá, giỏi hứng thú hơn với bài toán dựng hình, trong khóa luận này, tôi xin cung cấp một số lí thuyết tổng quát nhất về bài toán dựng hình đồng thời đưa ra một phương pháp giải rất hay bài toán dựng hình dựa vào phép nghịch đảo

Phép nghịch đảo là một phép biến hình không được dạy trong chương trình phổ thông, mà chỉ được dạy cho học sinh các lớp chuyên Do phép nghịch đảo có khả năng biến đường tròn thành đường thẳng và ngược lại nên

nó có ứng dụng to lớn đối với lớp các bài toán dựng đường tròn Việc qui bài toán từ dựng đường tròn sang dựng đường thẳng thỏa mãn một số yêu cầu nào

đó, làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều

Chính vì những lí do đó mà tôi đã chọn đề tài: "Phép nghịch đảo với bài toán dựng hình trong mặt phẳng"

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu lớp các bài toán dựng hình (chủ yếu là dựng đường tròn) dựa vào phép nghịch đảo Từ đó thấy được tính ưu việt của phép biến hình, cụ thể là phép biến hình nghịch đảo, đối với các bài toán dựng hình trong mặt phẳng

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tạp chí toán học và các tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài

4 Nội dung khóa luận

Khóa luận này trình bày những ứng dụng của phép nghịch đảo giải bài toán dựng hình trong mặt phẳng Ngoài việc làm rõ tính ưu việt của phép nghịch đảo trong việc giải các bài toán dựng hình, luận văn còn đưa ra các bài toán biến đổi từ bài toán ban đầu mà vẫn sử dụng phép nghịch đảo để giải

Nội dung khóa luận gồm 4 chương:

Chương 1: Bài toán dựng hình

Chương này cung cấp những kiến thức tổng quát nhất của bài toán dựng hình

Chương 2: Phép nghịch đảo

Chương này trình bày định nghĩa, các tính chất, các định lí của phép nghịch đảo

Chương 3: ứng dụng phép nghịch đảo giải bài toán dựng hình

Chương này gồm các bài toán dựng hình có sử dụng phép nghịch đảo để giải Cuối mỗi bài toán đều có nhận xét và những bài toán suy ra từ bài toán ban đầu

Chương 4: Một số bài tập áp dụng

Chương này gồm 6 bài tập, tương ứng với mỗi bài đều có hướng dẫn giải

Do lần đầu tiên làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên tôi không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên

Chương 1 Bài toán dựng hình

Chương này cung cấp những lí thuyết tổng quát nhất về bài toán dựng hình trong mặt phẳng

1.1 Một số định nghĩa

1.1.1 Hình là gì?

Hình là một tập hợp khác rỗng những điểm

1.1.2 Nghiệm của một bài toán dựng hình là gì?

 Nghiệm của bài toán dựng hình là hình thoả mãn các điều kiện của bài toán đó

 Tìm nghiệm của bài toán dựng hình là chỉ ra thứ tự của một dãy hữu hạn các phép dựng cơ bản cần phải thực hiện để có nghiệm của bài toán

1.1.3 Giải một bài toán dựng hình là gì?

Giải một bài toán dựng hình là tìm tất cả các nghiệm của nó Xét xem trong trường hợp nào thì bài toán có nghiệm, nếu có thì có bao nhiêu nghiệm

Về số nghiệm của bài toán dựng hình, ta quy ước như sau:

 Nếu đề không quy định vị trí của hình phải tìm đối với hình đã cho thì những hình bằng nhau (chỉ khác nhau về vị trí) thoả mãn bìa toán thì sẽ được xem là một nghiệm

 Nếu đề quy định rõ vị trí của hình phải tìm đối với hình đã cho thì những hình bằng nhau nhưng khác nhau về vị trí vẫn được coi là những nghiệm khác nhau

1.2 Các bước giải một bài toán dựng hình

Nói chung, trừ những bài toán quá dễ, muốn giải một bài toán dựng hình, người ta thường thực hiện bốn bước:

 Bước 3: Chứng minh

Xác nhận hình đã dựng thực sự thoả mãn đầy đủ các yêu cầu của đề Trong bước này ta xem như các phép dựng ở phần 2 đều thực hiện được

 Bước 4: Biện luận

Xét xem những yếu tố đã cho phải thoả mãn những điều kiện nào để có thể dựng được hình phải tìm và nếu dựng được thì có bao nhiêu hình như thế Nói cách khác là thiết lập điều kiện giải được và xác định số nghiệm của bài toán

1.3 Các phương pháp dựng hình

Nói chung có 3 phương pháp chính hay sử dụng:

 Phương pháp quĩ tích

Đó là phép nghịch đảo

Chương 2 phép nghịch đảo

2.1 Định nghĩa và các tính chất của phép nghịch đảo

Thì phép biến hình f gọi là phép nghịch đảo cực O, phương tích k

Ta thường kí hiệu phép nghịch đảo là f(O, k)

Phép nghịch đảo hoàn toàn được xác định nếu biết cực O và phương tích k của nó

2.1.2 Một số tính chất của phép nghịch đảo

1 Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp

2 Nếu k > 0 thì hai điểm M và M' = f(M) cùng nằm về một phía đối với điểm O, Khi đó tập hợp những điểm kép của phép nghịch đảo f(O, k) là đường tròn tâm O có bán kính bằng k

Ta gọi đường tròn này là đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo f(O, k)

3 Nếu k < 0 thì hai điểm M và M' = f(M) nằm về 2 phía đối với điểm

O Khi đó ta không có điểm kép,do đó không có đường tròn nghịch đảo vì k <

0

2.2 Các định lí

Chúng ta công nhận các định lí sau về phép nghịch đảo Các định lí đã được chứng minh rõ ràng trong các sách tham khảo, ở đây ta chỉ đưa ra để áp dụng vào giải các bài toán liên quan

2.2.1 Định lí 1

Nếu phép nghịch đảo f(O, k) có phương tích k > 0 thì mọi đường tròn

đi qua hai điểm tương ứng M và M' = f(M) đều trực giao với đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo đó

Hệ quả 1: Qua phép nghịch đảo với phương tích k > 0, mọi đường tròn

trực giao với đường tròn nghịch đảo đều biến thành chính nó

2.2.4 Định lí 4

Tích của hai phép nghịch đảo có cùng cực O là f(O, k) và f'(O, k') là

một phép vị tự tâm O, tỉ số k '

k

Hệ quả 2: Hình dạng của một hình H trong một phép nghịch đảo không

phụ thuộc vào phương tích nghịch đảo mà chỉ phụ thuộc vào vị trí của cực nghịch đảo

2.2.5 Định lí 5

Cho hai điểm A, B và ảnh A', B' của chúng trong một phép nghịch đảo cực O, phương tích k Độ dài các đoạn thẳng AB, A'B' liên hệ với nhau bởi hệ

thức: A'B' = AB

k OA.OB

Hệ quả 3: Nếu đường tròn tâm I biến thành đường thẳng d thì tâm I của

nó biến thành điểm đối xứng I' của cực nghịch đảo O qua d

Chương 3 ứng dụng phép nghịch đảo giải bài toán dựng hình

Do phép nghịch đảo có khả năng biến đường tròn thành đường thẳng nên người ta khai thác khả năng này của phép nghịch đảo để giải toán Đặc biệt là các bài toán liên quan đến việc dựng đường tròn Việc quy bài toán từ dựng đường tròn sang dựng đường thẳng làm cho bài toán trở nên đơn giản rất nhiều Muốn vậy, trong các bài toán người ta thường chọn cực nghịch đảo

là giao điểm của một số đường tròn và các tính chất được đề cập đến phải là các bất biến của phép nghịch đảo như độ lớn của góc, tính trực giao của đường, sự tiếp xúc của các đường

Lựa chọn phép nghịch đảo thích hợp với cực nghịch đảo là điểm cố định, phương tích nghịch đảo là hằng số giúp cho việc dựng một số điểm thuộc hình cần dựng tương đối khó trở nên dễ dàng hơn Dùng phép nghịch đảo chủ yếu ở bước phân tích giải được nhiều bài toán dựng đường tròn thỏa mãn các điều kiện nào đó

Dưới đây là một số bài toán dựng hình giải bằng phép nghịch đảo

Xét phép nghịch đảo f = f(A, P A

/ ( ) ) Khi đó:

f: ( ) ( )

B  B' ( )  Z, trong đó Z là đường thẳng

Do  1 đi qua A, B và tiếp xúc

với ( ) nên Z đi qua B' và cũng tiếp

 Dựng C' là ảnh của C qua phép nghịch đảo f

 Dựng đường tròn   đi qua ba điểm A, B, C

 Chứng minh:

Đường tròn   đi qua A, B theo cách dựng Do   là ảnh của Z qua phép nghịch đảo f và đường thẳng Z là tiếp tuyến của đường tròn ( ) nên hai đường tròn ( ) và   tiếp xúc nhau Vậy   là đường tròn cần dựng

 Biện luận:

 Nếu B' nằm trong ( ) thì bài toán vô nghiệm

 Nếu B' nằm trên ( ) thì bài toán cũng vô nghiệm

 Nếu B' nằm ngoài ( ) thì bài toán có hai nghiệm hình

 Nhận xét:

Qua phép nghịch đảo f=f(A,P A

/ ( ) ) ta dễ dàng dựng được đường tròn( ) thoả mãn các yêu cầu của bài toán Việc dựng đường tròn ( ) được đưa về bài toán dựng hình cơ bản như dựng tiếp tuyến của đường tròn, dựng đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng mà học sinh phổ thông đã biết cách dựng Nếu thay đổi một số yêu cầu hay một vài giả thiết của bài toán 1 ta

sẽ được một bài toán mới có cách giải tương tự

Nếu thay điểm B bằng một đường thẳng d ta được bài toán sau:

3.2 Bài toán 2

Dựng đường tròn ( ) thoả mãn điều kiện: Đi qua một điểm A cho trước và tiếp xúc với một thẳng d cho trước đồng thời tiếp xúc với đường tròn ( ) cho trước

Nếu ta coi đường thẳng là đường tròn có tâm ở xa vô tận và điểm B là vòng tròn có bán kính bằng 0 thì ta có bài toán sau:

3.4 Bài toán 4

Dựng đường tròn ( ) tiếp xúc với đường tròn ( ) cho trước đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d tại một điểm A cho trước

Ta có thể giải bài toán này như sau:

Bài giải

 Phân tích:

Giả sử đã dựng được đường tròn ( ) tiếp xúc với đường tròn ( ) cho trước, đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm A Gọi M là điểm tiếp xúc của ( ) và ( )

Xét phép nghịch đảo f = f(A, P A

/ ( ) ) Khi đó f: ( ) ( )

d  d

( )  d1 với d1 là đường thẳng

M  M1

Do ( ) tiếp xúc với d nên d1 // d (1)

Do ( ) tiếp xúc với ( ) nên d1 tiếp xúc với ( ) tại M1 (2)

 Chứng minh: Với phép nghịch đảo f=f(A, P A

/ ( ) )

Từ cách dựng ta có ( ) tiếp xúc với d tại A

Vì f(d)=d, ( ) tiếp xúc với d suy ra d//d1 là ảnh của ( ) qua phép nghịch đảo f và d1 cũng qua M1 là ảnh của M qua f suy ra d1 tiếp xúc với( )

 Nếu d tiếp xúc với ( ) tại A thì bài toán có vô số nghiệm

 Nếu d tiếp xúc với ( ) tại một điểm khác A thì bài toán có một nghiệm

 Nếu A nằm ngoài ( ) thì bài toán có hai nghiệm

 Nhận xét: Nếu thay giả thiết ( ) tiếp xúc với đường tròn ( )1 tại điểm

M cho trước thì bằng cách kẻ hình phụ là đường thẳng d tiếp xúc với ( )1 tại

M ta được bài tập trên

Bài toán 3 là bài toán khá quen thuộc đối với học sinh phổ thông.Việc dựng đường tròn đi qua một điểm cho trước và tiếp xúc với 2 đường thẳng cắt nhau (hoặc song song), học sinh đã biết cách dựng dựa vào phép vị tự với tâm

vị tự là giao điểm hai đường thẳng (hoặc phép tịnh tiến), ta cũng có thể giải bài toán này bằng một phép biến hình khác đó là phép nghịch đảo với cực nghịch đảo chính là điểm A Bài toán được đưa về dựng tiếp tuyến chung của hai đường tròn và dựng ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép nghịch đảo

3.5 Bài toán 5

Cho đường tròn ( ) = (O, R) và 2 điểm phân biệt A, B không thuộc

( ) Dựng đường tròn ( ) đi qua A, B và trực giao với ( )

B  B'

( )  Z với Z là đường thẳng

Do ( ) đi qua A, B và trực giao với ( )

nên đường thẳng Z đi qua B' và trực giao với ( )

 Dựng đường tròn ( ) đi qua bốn điểm: M, N, A, B

 Chứng minh: Rõ ràng ( ) đi qua A, B theo cách dựng

Do B'O là trực giao với ( ) và ( ) là ảnh của B'O qua phép nghịch

O

B B'

A

M M'

Vậy ( ) là đường tròn thoả mãn yêu cầu bài toán

 Biện luận:

 Nếu B' nằm trong ( ) và A, B', O thẳng hàng thì bài toán vô nghiệm

 Các trường hợp còn lại bài toán luôn có một nghiệm hình

Do Z tạo với ( ) một góc bằng 600 nên d(O, Z) =R

   

 Dựng Z đi qua B' và tiếp xúc với  1

 Dựng C' là giao của Z với đường tròn

Rõ ràng ( ) đi qua A, B theo cách dựng

Do ( ) là ảnh của Z qua phép nghịch đảo f và góc giữa ( ) và Z bằng

600 nên góc giữa ( ) và ( ) bằng 600

Vậy ( ) thoả mãn yêu cầu bài toán

 Biện luận:

 Nếu B' thuộc miền trong của đường tròn ( )1 thì bài toán vô nghiệm

 Nếu B' nằm trên ( )1 sao cho AB' là tiếp tuyến của ( )1 thì bài toán cũng vô nghiệm

B

A C

O .

O' .

Z C'

SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán

 Từ bài toán vừa giải ta cũng có thể suy ra bài toán sau:

Dựng đường tròn ( ) đi qua điểm A, tiếp xúc với một đường tròn cho trước đồng thời tạo với một đường tròn cho trước khác một góc bằng 600

 Các bài toán 1, 3, 4 đều yêu cầu dựng một đường tròn ( ) đi qua 2 điểm cho trước và tạo với đường tròn ( ) cho trước một góc nào đó Chẳng hạn ở bài toán 1, góc giữa hai đường tròn ( ) và ( ) bằng 00, bài toán 3 góc bằng 900 hay bài toán 4 góc bằng 600 Vậy nếu xét trong trường hợp tổng quát, tức là ( ) qua A, B và tạo với ( ) một góc bằng  0

   thì có lời giải bài toán dựng hình không?

( ) 

 Dựng đường tròn ( )1 đi qua A, B2 và trực giao với ( )

 Dựng giao điểm C1, D1 qua f

Mặt khác do C, D lần lượt là ảnh của C1, D1 nên C, D ( )

Vậy CD là đường kính của ( )

Vậy ( ) thoả mãn yêu cầu bài toán

 Biện luận:

 Nếu B nằm trong ( ) thì bài toán vô nghiệm

 Nếu B nằm ngoài ( ) thì bài toán có 1 nghiệm

 Phân tích:

Giả sử đã dựng được đường tròn ( ) tiếp xúc với đường tròn ( ) tại điểm P cho trước, đồng thời tiếp xúc với đường thẳng AB Vì ( ) tiếp xúc với ( ) tại P nên tâm O1 của ( ) nằm trên đường thẳng OP

Qua P vẽ một tiếp tuyến với với vòng

tròn ( ) cắt AB ở Q Vì ( ) tiếp xúc

với ( ) ở P và tiếp xúc với AB ở M

nên O1 nằm trên đường phân giác của

Rõ ràng ( ) và ( ) có điểm chung P trên đường nối tâm OO1nên ( )

và ( ) tiếp xúc với nhau tại P

( ) có tâm O1 nằm trên đường phân giác của góc PQB và tiếp xúc với

cạnh PQ tại P nên cũng tiếp xúc với QB tại M Vậy ( ) thoả mãn yêu cầu bài toán

Tương tự thì vòng tròn tâm O2 = OP d2, bán kính O2P cũng là đường tròn cần dựng

 Biện luận:

 Nếu d1  d2 và PO cắt 2 đường thẳng tại hai điểm phân biệt thì bài toán

có 2 nghiệm hình

 Nếu d1  d2 và PO cắt d1 thì bài toán có 1 nghiệm

 Nếu OP không cắt cả d1 và d2 thì bài toán vô nghiệm

AB  (AB) Với (AB) là đường tròn đi qua A1 = f(A), B1 = f(B)

Do ( ) tiếp xúc với ( ) và AB nên d1 // d và d1 tiếp xúc với đường tròn (AB)

 Nhận xét: