Phép nghịch đảo với bài toán dựng hình học trong mặt phẳng

Trường đại học sư phạm hà nội Khoa toán ====  ==== Vũ thị thuý phép nghịch đảo với toán dựng hình mặt phẳng Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học GVC Đinh Văn Thuỷ HÀ NỘI - 2007 Khóa luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Trong trình hoàn thành khóa luận này, em nhận động viên, hướng dẫn, bảo tận tình thầy Đinh Văn Thủy, ý kiến đóng góp quý báu thầy cô tổ Hình học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy Đinh Văn Thủy - người trực tiếp hướng dẫn bảo em suốt trình làm khóa luận Đồng thời em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô tổ Hình học giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2007 Sinh viên Vũ Thị Thúy SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán Khóa luận tốt nghiệp Mục lục Trang Lời nói đầu Chương 1: Bài toán dựng hình 1.1 Một số định nghĩa 1.1.1 Hình gì? 1.1.2 Nghiệm toán dựng hình gì? 1.1.3 Giải toán dựng hình gì? 1.2 Các bước giải toán dựng hình 1.3 Các phương pháp dựng hình Chương 2: phép nghịch đảo 10 2.1 Định nghĩa tính chất phép nghịch đảo 10 2.1.1 Định nghĩa 10 2.1.2 Một số tính chất phép nghịch đảo 10 2.2 Các định lí 11 2.3 ảnh đường thẳng đường tròn qua phép nghịch đảo 12 Chương 3:ứng dụng phép nghịch đảo giải toán dựng hình 13 3.1 Bài toán 13 3.2 Bài toán 15 3.3 Bài toán 15 3.4 Bài toán 15 3.5 Bài toán 17 3.6 Bài toán 19 3.7 Bài toán 21 3.8 Bài toán 23 3.9 Bài toán 26 3.10 Bài toán 10 27 3.11 Bài toán 11 29 3.12 Bài toán 12 29 3.13 Bài toán 13 29 3.14 Bài toán 14 31 3.15 Bài toán 15 (Bài toán Apoloniuyt) 33 3.16 Bài toán 16 38 Chương 4: Một số Bài tập áp dụng 40 4.1 Đề 40 4.2 Hướng dẫn giải 41 SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán Khóa luận tốt nghiệp Phần kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán Khóa luận tốt nghiệp Lời nói đầu Lí chọn đề tài Hình học môn học hấp dẫn, thu hút nhiều học sinh yêu toán Việc giải tập, tìm nhiều cách giải, có cách hay, độc đáo phát huy tính sáng tạo, niềm say mê môn hình học Với tập có nhiều phương pháp giải: phương pháp tổng hợp, phương pháp véctơ, phương pháp biến hình, Trong chương trình hình học phổ thông, toán dựng hình toán khó học sinh, em thường ngại không thích giải toán dựng hình Vì lí sư phạm mà sách giáo khoa phổ thông không sâu nghiên cứu lí thuyết toán dựng hình, phương pháp giải toán dựng hình Để giúp em học sinh phổ thông, đặc biêt em học sinh khá, giỏi hứng thú với toán dựng hình, khóa luận này, xin cung cấp số lí thuyết tổng quát toán dựng hình đồng thời đưa phương pháp giải hay toán dựng hình dựa vào phép nghịch đảo Phép nghịch đảo phép biến hình không dạy chương trình phổ thông, mà dạy cho học sinh lớp chuyên Do phép nghịch đảo có khả biến đường tròn thành đường thẳng ngược lại nên có ứng dụng to lớn lớp toán dựng đường tròn Việc qui toán từ dựng đường tròn sang dựng đường thẳng thỏa mãn số yêu cầu đó, làm cho toán trở nên đơn giản nhiều Chính lí mà chọn đề tài: "Phép nghịch đảo với toán dựng hình mặt phẳng" Nhiệm vụ nghiên cứu SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán Khóa luận tốt nghiệp Nghiên cứu lớp toán dựng hình (chủ yếu dựng đường tròn) dựa vào phép nghịch đảo Từ thấy tính ưu việt phép biến hình, cụ thể phép biến hình nghịch đảo, toán dựng hình mặt phẳng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí toán học tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài Nội dung khóa luận Khóa luận trình bày ứng dụng phép nghịch đảo giải toán dựng hình mặt phẳng Ngoài việc làm rõ tính ưu việt phép nghịch đảo việc giải toán dựng hình, luận văn đưa toán biến đổi từ toán ban đầu mà sử dụng phép nghịch đảo để giải Nội dung khóa luận gồm chương: Chương 1: Bài toán dựng hình Chương cung cấp kiến thức tổng quát toán dựng hình Chương 2: Phép nghịch đảo Chương trình bày định nghĩa, tính chất, định lí phép nghịch đảo Chương 3: ứng dụng phép nghịch đảo giải toán dựng hình Chương gồm toán dựng hình có sử dụng phép nghịch đảo để giải Cuối toán có nhận xét toán suy từ toán ban đầu Chương 4: Một số tập áp dụng Chương gồm tập, tương ứng với có hướng dẫn giải SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán Khóa luận tốt nghiệp Do lần làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên Chương Bài toán dựng hình Chương cung cấp lí thuyết tổng quát toán dựng hình mặt phẳng 1.1 Một số định nghĩa 1.1.1 Hình gì? Hình tập hợp khác rỗng điểm 1.1.2 Nghiệm toán dựng hình gì?  Nghiệm toán dựng hình hình thoả mãn điều kiện toán  Tìm nghiệm toán dựng hình thứ tự dãy hữu hạn phép dựng cần phải thực để có nghiệm toán 1.1.3 Giải toán dựng hình gì? Giải toán dựng hình tìm tất nghiệm Xét xem trường hợp toán có nghiệm, có có nghiệm Về số nghiệm toán dựng hình, ta quy ước sau:  Nếu đề không quy định vị trí hình phải tìm hình cho hình (chỉ khác vị trí) thoả mãn bìa toán xem nghiệm SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán Khóa luận tốt nghiệp  Nếu đề quy định rõ vị trí hình phải tìm hình cho hình khác vị trí coi nghiệm khác 1.2 Các bước giải toán dựng hình Nói chung, trừ toán dễ, muốn giải toán dựng hình, người ta thường thực bốn bước:  Bước 1: Phân tích Bước quan trọng nhất, chìa khoá để giải toán Mục đích phân tích thiết lập mối quan hệ yếu tố phải tìm yếu tố cho để từ suy cách dựng (nếu cần thiết vẽ thêm hình phụ)  Bước 2: Cách dựng Chỉ thứ tự phép dựng cần thực để có hình cần phải tìm Để tránh rườm rà, người ta không qui toán dựng hình phép dựng mà qui toán dựng hình  Bước 3: Chứng minh Xác nhận hình dựng thực thoả mãn đầy đủ yêu cầu đề Trong bước ta xem phép dựng phần thực  Bước 4: Biện luận Xét xem yếu tố cho phải thoả mãn điều kiện để dựng hình phải tìm dựng có Nói cách khác thiết lập điều kiện giải xác định số nghiệm toán 1.3 Các phương pháp dựng hình Nói chung có phương pháp hay sử dụng:  Phương pháp quĩ tích SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán Khóa luận tốt nghiệp  Phương pháp đại số  Phương pháp biến hình Ngoài ba phương pháp trên, dựng hình theo phương pháp khác như: Phương pháp ngược, phương pháp hình học giải tích Bài toán dựng hình giải phương pháp khác lời giải đơn giản sử dụng phép biến hình có toán giải phương pháp khác phương pháp biến hình Các phép biến hình mà ta thường sử dụng như: Phép vị tự, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay Ngoài phép biến hình kể mà học sinh làm quen trường phổ thông phép biến hình quan trọng, tiện lợi lớp toán yêu cầu dựng đường tròn Đó phép nghịch đảo SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chương phép nghịch đảo 2.1 Định nghĩa tính chất phép nghịch đảo 2.1.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng (P), cho điểm O cố định số thực k  Một song ánh f: (P)  (P) M  M' O,M,M  th¼ng hµng Sao cho  OM.OM   k Thì phép biến hình f gọi phép nghịch đảo cực O, phương tích k Ta thường kí hiệu phép nghịch đảo f(O, k) Phép nghịch đảo hoàn toàn xác định biết cực O phương tích k 2.1.2 Một số tính chất phép nghịch đảo Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp Nếu k > hai điểm M M' = f(M) nằm phía điểm O, Khi tập hợp điểm kép phép nghịch đảo f(O, k) đường tròn tâm O có bán kính k Ta gọi đường tròn đường tròn nghịch đảo phép nghịch đảo f(O, k) Nếu k < hai điểm M M' = f(M) nằm phía điểm O Khi ta điểm kép,do đường tròn nghịch đảo k < SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 10 Khóa luận tốt nghiệp  Trường hợp 2: đường tròn đồng tâm hai ba đường tròn đồng tâm đường tròn thứ ba không cắt hai đường tròn toán vô nghiệm (Hình 16) Hình 16  Trường hợp 3: Nếu vòng tròn tiếp xúc với vòng tròn thứ qua tiếp điểm cắt đồng thời đường tròn toán có hai nghiệm (Hình 17 hình 18) Hình 18 Hình 17  Trường hợp 4: Nếu vòng tròn cho, kể đôi nhau, đồng thời tiếp tuyến chung đôi điểm chung với vòng tròn thứ đường tròn cắt đôi toán có nghiệm:  Đường tròn thoả mãn: Tiếp xúc với hai đường tròn tiếp xúc với đường tròn lại - có đường tròn  Đường tròn thoả mãn: Tiếp xúc với đường tròn tiếp xúc với đường tròn lại - có ba đường tròn SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 36 Khóa luận tốt nghiệp  Đường tròn thoả mãn: Tiếp xúc với đường tròn cho có đường tròn  Đường tròn thoả mãn: Tiếp xúc với đường tròn cho có đường tròn  Trường hợp 5: Nếu đường tròn tiếp xúc với đôi toán có nghiệm (Hình 19)  Trường hợp 6: Nếu vòng tròn tiếp xúc với điểm Hình 19 toán có vô số nghiệm hình Còn nhiều trường hợp khác vị trí đường tròn dẫn đến số nghiệm toán Trên số trường hợp điển hình Bạn đọc bổ xung trường hợp khác tương ứng với số nghiệm toán Bây ta xét số trường hợp đặc biệt toán Apoloniuyt Việc dựng đường tròn học sinh dựng toán trước:  Nếu coi vòng tròn vòng tròn điểm có toán: Dựng đường tròn qua điểm cho trước  Nếu coi đường tròn đường thẳng có tâm xa vô tận ta có toán: Dựng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng cho trước  Nếu coi vòng tròn vòng tròn điểm đường thẳng vòng tròn có tâm xa vô tận có toán: Dựng vòng tròn qua điểm cho trước tiếp xúc với đường thẳng cho trước (2 đường thẳng song song cắt nhau) SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 37 Khóa luận tốt nghiệp  Dựng vòng tròn qua điểm cho trước tiếp xúc với vòng tròn cho trước  Dựng vòng tròn tiếp xúc với đường thẳng đường tròn cho trước  Dựng vòng tròn tiếp xúc với vòng tròn cho trước, đồng thời tiếp xúc với đường thẳng cho trước  Dựng vòng tròn qua điểm cho trước tiếp xúc với vòng tròn cho trước Các tập giải có chung yêu cầu dựng đường tròn thoả mãn yêu cầu Việc sử dụng phép nghịch đảo giúp ta dựng đường tròn thoả mãn yêu cầu toán thông qua phép dựng hay toán dựng hình Nếu xét toán học sinh tưởng phép nghịch đảo có tác dụng toán dựng đường tròn, toán dựng hình khác không dựng Bài toán giúp ta thấy vai trò phép nghịch đảo toán dựng hình đường tròn 3.16 Bài toán 16 Cho đường tròn (O) điểm M, N, P nằm (O) Dựng ABC nội tiếp đường tròn (O) cho đường thẳng AB, BC, CA qua điểm M, N, P cho Bài giải  Phân tích: Giả sử dựng ABC nội tiếp (O) M AB, N BC, P CA Khi xét phép nghịch đảo f = f(M, f(A, P M / (O)), ta có: f: (O)  (O) A  B SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 38 Khóa luận tốt nghiệp C  C1 N  N1 P  P1 Do C  (O) (O) bất động qua phép nghịch đảo f nên C1  (O).Theo tính chất phép nghịch đảo nên tứ giác CNN1C1, CPP1C1, NPP1N1 tứ giác nội tiếp Suy C1, C nằm đường tròn NPP1N1 Ta lại có C, C1 (O)  C, C1 giao đường tròn (O) B C1 đường tròn ngoại tiếp tứ giác NPP1N1 Từ N1 O ta có cách dựng  Cách dựng: O1 C  Dựng N1 = f(N), P1 = f(P) với P A N f = f(M, P M / (O)) M  Dựng đường tròn (O1) qua bốn điểm P1 Hình 20 N, P, N1, P1  Dựng C, C1 giao đường tròn (O) (O1)  Dựng B = CN  (O)  Dựng A = CP  (O) ABC tam giác cần dựng  Chứng minh: Dễ dàng suy từ cách dựng  Biện luận:  Nếu (O1) không cắt (O) toán vô nghiệm  Nếu (O1)  (O) điểm toán có nghiệm  Nếu (O1)  (O2) hai điểm toán có nghiệm SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 39 Khóa luận tốt nghiệp Chương Một số Bài tập áp dụng 4.1 Đề Bài toán Dựng đường tròn qua điểm cho trước tạo với đường tròn góc      900  Bài toán Qua điểm A cho trước, dựng đường tròn tiếp xúc với đường tròn cho trước Bài toán SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 40 Khóa luận tốt nghiệp Cho điểm thẳng hàng theo thứ tự A, B, C Dựng nửa đường tròn đường kính AB, BC, CA đường thẳng Z qua B vuông góc với đường thẳng ABC Hãy dựng đường tròn (S1) (S2) tiếp xúc với nửa đường tròn đường thẳng d Bài toán Cho A 1B1C1 nội tiếp đường tròn (I) Hãy dựng ABC thoả mãn A1, B1, C1 hình chiếu I xuống cạnh BC, CA, AB tam giác Bài toán Cho điểm O cố định cách đường thẳng d cố định khoảng OH =1 Cho góc xOy =600 quay quanh O cắt d A B Khi đường tròn (OAB) tiếp xúc với đường tròn cố định (  ) Hãy dựng đường tròn (  ) Bài toán Dựng đường tròn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp đồng thời tiếp xúc với đường tròn bàng tiếp tam giác ABC 4.2 Hướng dẫn giải 1.Bài toán  Phân tích: Giả sử dựng đường tròn ( ) qua hai điểm A, B tạo với ( ) góc      900  Xét phép nghịch đảo f = f(A, f: P A / ( ) ), ( )  ( ) SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 41 Khóa luận tốt nghiệp B  B' ( )  Z với Z đường thẳng Do ( ) qua A, B tạo với ( ) góc  nên Z qua tạo với ( ) góc Z   d  Do Z tạo với ( ) góc  nên O d(O, Z) = Rcos  Suy Z tiếp tuyến đường tròn ( ) tâm O, bán kính Rcos  Từ suy cách dựng Hình 21a  Cách dựng:  Dựng B' ảnh B qua f = f(A, P A / ( ) )  Dựng đường tròn ( ) = (O, Rcos  )  Dựng Z tiếp tuyến với ( ) , qua B'  Dựng C' giao ( ) với Z  Dựng C ảnh C' qua f  Dựng ( ) qua ba điểm A, B, C Khi ( ) đường tròn cần Z dựng  Chứng minh: Dễ dàng suy từ B' C' (1) ( ) O B C cách dựng (  ) A Hình 21b  Biện luận: SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 42 Khóa luận tốt nghiệp  Nếu B' thuộc miền ( ) toán vô nghiệm  Nếu B' nằm ( ) AB' tiếp tuyến ( ) toán vô nghiệm  Nếu B' nằm ( ) AB' không tiếp tuyến ( ) toán có nghiệm Nếu B' nằm ( ) toán có nghiệm hình Bài toán  Phân tích: Giả sử dựng đường tròn (O) qua A tiếp xúc với đường tròn (O1) (O2) cho: Xét phép nghịch đảo : f = f(A, P f: A / (O1)) Khi đó: (O1)  (O1) (O2)  ( O2 ) (O)  Z, với Z đường thẳng Do (O) tiếp xúc với (O1) (O2) nên đường thẳng Z tiếp xúc với đường tròn (O1) ( O2 ), tức Z tiếp tuyến chung đường tròn (O1) ( O2 ) Từ Z ta có cách dựng .O  Cách dựng:  Dựng ảnh ( O2 ) đường tròn (O1) O qua phép nghịch đảo f = f(A, P A / (O1)) Dựng tiếp tuyến O2 A O2 chung Z đường tròn (O1) ( O2 )  Dựng ảnh Z qua phép nghịch đảo f Hình 22 SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 43 Khóa luận tốt nghiệp ảnh Z đường tròn (O) cần dựng  Chứng minh: Dễ dàng suy từ cách dựng Thật vậy: Do Z không qua A nên (O) qua A Do Z tiếp xúc với (O1) ( O2 ) nên (O) tiếp xúc với (O1) (O2)  Biện luận:  Nếu (O1) (O2) chứa A nằm đường tròn toán vô nghiệm  Nếu đường tròn chứa A nằm đường tròn bé toán vô nghiệm  Nếu đường tròn chứa A nằm đường tròn lớn nằm đường tròn bé toán có nghiệm  Nếu đường tròn tiếp xúc A không trùng với tiếp điểm toán có nghiệm hình  Nếu đường tròn tiếp xúc A toán có vô số nghiệm  Nếu đường tròn tiếp xúc toán có nghiệm  Nếu hai đường tròn cắt A nằm đường tròn toán có nghiệm, lại toán có nghiệm  Nếu A nằm đường tròn A, O1, O2 thẳng hàng toán có nghiệm, A, O1, O2 không thẳng hàng toán vô nghiệm Bài toán Z2 Hướng dẫn: Z1 d S1 Giả sử dựng hai đường S2 tròn (S1) (S2) hình vẽ, tức là: A SVTH: Vũ Thị Thúy 44 O1 O3 B O2 -CToán K29E Khóa luận tốt nghiệp (S1) tiếp xúc với đường tròn (O1), (O3) đường thẳng d (S2) tiếp xúc với đường tròn (O2), (O3) đường thẳng d Xét phép nghịch đảo: f1   = f1 A,AB.AC Hình 23 f1 : B  C (O1)  Z1 (O3)  d (S1)  ( S1 )  Xét tiếp phép nghịch đảo: f2 = f2 C,CB.CA f2 : A   B (O2)  Z2 (O3)  d (S2)  ( S2 ) Do (O1), (O3) tiếp xúc nên d // Z1 Do (S1) tiếp xúc với (O1), (O3), d nên ( S1 ) tiếp xúc với (O3) tiếp xúc với đường thẳng song song với Z1 Do (O2), (O3) tiếp xúc nên Z2 // d Do (S1) tiếp xúc với (O2), (O3) d nên ( S2 ) tiếp xúc với Z2, (O3) d Như ta chuyển toán cho toán đơn giản mà học sinh biết cách giải Đó là: Dựng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng song song đồng thời tiếp xúc với đường tròn Bài toán Cách 1:  Phân tích: SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 45 Khóa luận tốt nghiệp Giả sử dựng ABC thoả mãn yêu cầu toán Gọi bán kính đường tròn (I) r2, gọi trung điểm cạnh A1B1, B1C1, C1A1 A 1B1C1 C0, A0, B0 Khi ta có: IA IA  IB0 IB  IC0 IC  r Xét phép nghịch đảo f = f(I, r2) f: A0  A B0  B C0  C Từ ta có cách dựng  Cách dựng:  Dựng A0, B0, C0 trung điểm A cạnh B1C1, C1A1, A1B1 A 1B1C1 C1 B1 A0 I  Dựng A = f(A0), B = f(B0), C = f(C0) với C0 B0 f = f(I, r2) Khi ABC tam giác cần dựng B C A1 Hình 23a  Chứng minh: Theo cách dựng ta có: IA IA  r  IC12  AC1I vuông C1  C1 hình chiếu I xuống cạnh AB Tương tự vậy, ta có A1, B1 hình chiếu I xuống cạnh tương ứng BC CA  Biện luận: Bài toán có nghiệm hình Cách 2:  Phân tích: SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 46 Khóa luận tốt nghiệp Giả sử chứng minh ABC thoả mãn yêu cầu toán, tức có A1, B1, C1 hình chiếu I xuống cạnh BC, CA, AB Ta thấy AB, BC, CA tiếp tuyến đường tròn (I) điểm C1, A1, B1 Từ ta có cách dựng A  Cách dựng:  Dựng tiếp tuyến A1, B1, C1 với đường tròn B1 C1 (I) d1, d2, d3  Dựng A = d2  d3, B = d1  d3, I B C d1 A1 C = d1  d2 d2 d3 Hình 23b  Dựng ABC  Chứng minh: Dễ dàng suy từ cách dựng Biện luận: Bài toán có nghiệm hình Bài toán Hướng dẫn: Giả sử dựng đường tròn (  ) cố định tiếp xúc với đường tròn  quay quanh O xOy  =600 Gọi A', B' giao đường tròn (ABC) xOy tâm I bán kính với I trung điểm OH Xét phép nghịch đảo: f = f(O,1) f: A  A' B  B' (I)  d (OAB)  A'B', với A'B' đường thẳng ( )  (  ) Do (OAB) tiếp xúc với (  ) nên A'B' tiếp tuyến đường tròn (   ) Khi  quay quanh O A'B' thay đổi A OB =600 xOy SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 47 Khóa luận tốt nghiệp  A B  sin600   const 2 Gọi r khoảng cách từ I tới A'B'  A B  r = IB       16   2 Suy (   ) đường tròn tâm I, bán kính Suy (  ) ảnh (   ) qua phép nghịch đảo f = f(O,1) Từ ta có phép dựng O Ir A' B' B A d H x y Hình 24 Bài toán Hướng dẫn: Sử dụng phép nghịch đảo chứng minh đường tròn (  ) thỏa mãn yêu cầu toán đường tròn qua điểm M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA tam giác ABC SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Phần kết luận Bài toán dựng hình toán khó học sinh phổ thông, để giải toán dựng hình học sinh phải huy động kiến thức toán chứng minh toán quĩ tích Một toán dựng hình giải phương pháp khác giải phương pháp biến hình có nhiều ưu điểm Do phép nghịch đảo có khả biến đường tròn thành đường thẳng nên người ta hay sử dụng để đưa toán dựng đường thẳng toán trở nên đơn giản nhiều Để dựng đường tròn thỏa mãn điều kiện đó, sử dụng phép nghịch đảo ta chuyển toán dựng ảnh đường tròn cần dựng qua phép nghịch đảo Thường toán dựng đường thẳng hay đường tròn phải đơn giản toán dựng ban đầu Dựng ảnh đường thẳng hay đường tròn qua phép nghịch đảo xét ta đường tròn cần dựng Riêng với dựng ảnh đường tròn qua phép nghịch đảo ta xác định tâm điểm thuộc đường tròn hoặc xác định ba điểm thuộc đường tròn SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 49 Khóa luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo Bùi Văn Bình, Nguyễn Văn Vạn - Giáo trình hình học sơ cấp (tập 2) ĐHSP Hà Nội 2, 1993 Bùi Văn Bình - Bài tập hình học sơ cấp (tập 1) - ĐHSP Hà Nội 2, 1993 Nguyễn Minh Chương, Lê Đình Phi , Nguyễn Công Quý - Hình học sơ cấp - NXB Giáo dục, 1968 Nguyễn Mộng Hy - Các phép biến hình mặt phẳng - NXB Giáo dục, 2000 V VPraxolov - Các toán hình học phẳng (tập 2) - NXB ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 50 [...]... tâm nghịch đảo chính là hai tâm vị tự trong và ngoài của hai đường tròn đó SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 12 Khóa luận tốt nghiệp Chương 3 ứng dụng phép nghịch đảo giải bài toán dựng hình Do phép nghịch đảo có khả năng biến đường tròn thành đường thẳng nên người ta khai thác khả năng này của phép nghịch đảo để giải toán Đặc biệt là các bài toán liên quan đến việc dựng đường tròn Việc quy bài toán từ dựng. .. được bài tập trên Bài toán 3 là bài toán khá quen thuộc đối với học sinh phổ thông.Việc dựng đường tròn đi qua một điểm cho trước và tiếp xúc với 2 đường thẳng cắt nhau (hoặc song song), học sinh đã biết cách dựng dựa vào phép vị tự với tâm vị tự là giao điểm hai đường thẳng (hoặc phép tịnh tiến), ta cũng có thể giải bài toán này bằng một phép biến hình khác đó là phép nghịch đảo với cực nghịch đảo. .. của phép nghịch đảo  Biện luận: Bài toán luôn có một nghiệm hình Bây giờ ta xét một bài toán rất tổng quát mà các trường hợp của nó sẽ bao trùm các bài toán ta đã giải ở trên 3.15 Bài toán 15 (Bài toán Apoloniuyt) Dựng đường tròn tiếp xúc với 3 đường tròn Bài giải Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta hãy giải 2 bài toán phụ sau:  Bài toán phụ thứ nhất: Dựng một vòng tròn tiếp xúc với hai đường... trực giao với đường tròn nghịch đảo đều biến thành chính nó 2.2.2 Định lí 2 Cho phép nghịch đảo f(O, k) với k > 0 Nếu có hai đường tròn trực giao với đường tròn nghịch đảo tâm O và cắt nhau tại M, M' thì hai điểm này là hai điểm tương ứng của phép nghịch đảo f(O, k) đã cho 2.2.3 Định lí 3 Đối với một phép nghịch đảo f(O, k) bất kì, hai điểm A, B không thẳng hàng với cực nghịch đảo, cùng với ảnh của... cho việc dựng một số điểm thuộc hình cần dựng tương đối khó trở nên dễ dàng hơn Dùng phép nghịch đảo chủ yếu ở bước phân tích giải được nhiều bài toán dựng đường tròn thỏa mãn các điều kiện nào đó Dưới đây là một số bài toán dựng hình giải bằng phép nghịch đảo 3.1 Bài toán 1 Dựng đường tròn thoả mãn điều kiện: đi qua hai điểm A, B cho trước và tiếp xúc với một đường tròn ( ) = (O, R) cho trước Bài giải... cần dựng  Biện luận:  Nếu B' nằm trong ( ) thì bài toán vô nghiệm  Nếu B' nằm trên ( ) thì bài toán cũng vô nghiệm  Nếu B' nằm ngoài ( ) thì bài toán có hai nghiệm hình SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 14 Khóa luận tốt nghiệp  Nhận xét: P Qua phép nghịch đảo f=f(A, A / ( ) ) ta dễ dàng dựng được đường tròn ( ) thoả mãn các yêu cầu của bài toán Việc dựng đường tròn ( ) được đưa về bài toán dựng. .. kính AC Bài toán có thể có 4 nghiệm a O   c I b hình Hình 12 SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 33 Khóa luận tốt nghiệp  Bài toán phụ thứ 2: Dựng một vòng tròn tiếp xúc với 3 vòng tròn cho trước (O1), (O2), (O3) trong đó (O1) và (O2) tiếp xúc với nhau tại T Bài giải Giả sử đã dựng được (O) tiếp xúc với (O1), (O2), (O3) Trong đó (O1) và (O2) tiếp xúc với nhau tại T Xét phép nghịch đảo f = f(T, k) với. .. sang dựng đường thẳng làm cho bài toán trở nên đơn giản rất nhiều Muốn vậy, trong các bài toán người ta thường chọn cực nghịch đảo là giao điểm của một số đường tròn và các tính chất được đề cập đến phải là các bất biến của phép nghịch đảo như độ lớn của góc, tính trực giao của đường, sự tiếp xúc của các đường Lựa chọn phép nghịch đảo thích hợp với cực nghịch đảo là điểm cố định, phương tích nghịch đảo. .. nghiệp Xét phép nghịch đảo f= f  A,AB2  Khi đó f: B  B (O1)  d1, với d1 là đường thẳng (O2)  (O2) (O)  (O') d d Do (O1) tiếp xúc với d1 nên d1// d Do (O2) tiếp xúc với (O1) nên d1 tiếp xúc với (O2) Từ đó ta đưa bài toán về bài toán dựng đường tròn tiếp xúc với 2 đường thẳng song song và tiếp xúc với một đường tròn mà học sinh đã biết cách dựng Từ đó ta dựng được (O)  Cách dựng:  Dựng tiếp... Tích của hai phép nghịch đảo có cùng cực O là f(O, k) và f'(O, k') là một phép vị tự tâm O, tỉ số k' k Hệ quả 2: Hình dạng của một hình H trong một phép nghịch đảo không phụ thuộc vào phương tích nghịch đảo mà chỉ phụ thuộc vào vị trí của cực nghịch đảo 2.2.5 Định lí 5 SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 11 Khóa luận tốt nghiệp Cho hai điểm A, B và ảnh A', B' của chúng trong một phép nghịch đảo cực O, phương ... hay toán dựng hình Nếu xét toán học sinh tưởng phép nghịch đảo có tác dụng toán dựng đường tròn, toán dựng hình khác không dựng Bài toán giúp ta thấy vai trò phép nghịch đảo toán dựng hình đường... dụng phép nghịch đảo giải toán dựng hình mặt phẳng Ngoài việc làm rõ tính ưu việt phép nghịch đảo việc giải toán dựng hình, luận văn đưa toán biến đổi từ toán ban đầu mà sử dụng phép nghịch đảo. .. phép tịnh tiến), ta giải toán phép biến hình khác phép nghịch đảo với cực nghịch đảo điểm A Bài toán đưa dựng tiếp tuyến chung hai đường tròn dựng ảnh đường thẳng đường tròn qua phép nghịch đảo