Phép nghịch đảo với bài toán quỹ tích

trờng đại học s phạm hà nội khoa toán Ngô thị thủy PHẫP NGHCH O VI BI TON QU TCH khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyờn ngnh : Hình học Người hướng dẫn khoa học GV §inh văn thủy Hà Nội - 2012 Khúa lun tt nghip GVHD: Đinh Văn Thủy LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu đề tài: " Phép nghịch đảo với tốn quỹ tích" tơi nhận giúp đỡ thầy Tổ mơn hình học trường ĐHSP Hà Nội Tác giả khóa luận xin gửi tới thầy cô lời cảm ơn chân thành sâu sắc nhất, đặc biệt thầy giáo Đinh Văn Thủy người tận tình giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012 Tác giả khóa luận Ngơ Thị Thủy SVTH: Ngơ Thị Thủy K34B – SP Tốn LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan vấn đề tơi trình bày khóa luận kết nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp thầy Đinh Văn Thủy, không trùng với tác giả khác Nếu sai tơi hồn tồn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012 Tác giả khóa luận Ngơ Thị Thủy MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọ đề tài Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG CHƯƠNG 1: PHÉP NGHỊCH ĐẢO 1.1 Các định nghĩa 1.1.1 Không gian bảo giác 1.1.2 Phép nghịch đảo 1.2 Các tính chất 1.3 Các định lý 1.4 Phép nghịch đảo hệ tọa độ Đềcác vng góc 10 CHƯƠNG 2: PHÉP NGHỊCH ĐẢO VỚI BÀI TỐN QUỸ TÍCH 12 2.1 Bài tốn quỹ tích 12 2.2 Phương pháp chung để giải toán quỹ tích 12 2.3 Các ví dụ minh họa 12 2.4 Bài tập tự luyện 27 2.5 Hướng dẫn 30 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học môn học hấp dẫn thu hút nhiều học sinh u tốn Việc giải tập, tìm nhiều cách giải, có cách giải hay, độc đáo phát huy tính sáng tạo niềm say mê mơn học Mỗi tập hình học giải nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ, phương pháp vectơ phương pháp biến hình Trong nhiều trường hợp, phép biến hình cơng cụ hữu hiệu cho phép giải hợp lý ngắn gọn toán hình học tốn chứng minh, tốn quỹ tích, tốn dựng hình tốn tính tốn Trong chương trình tốn phổ thơng, học sinh học phép biến hình: phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến, phép vị tự Phép nghịch đảo phép biến hình khơng đưa vào chương trình phổ thơng, đề xuất luyện học sinh chuyên, bồi dưỡng học sinh giỏi Phép nghịch đảo với tính chất khác biệt đưa đến hướng giải số lớp tốn hình học Để góp phần làm rõ tính ưu việt việc sử dụng phép nghịch đảo giải SVTH: Ngô Thị Thủy K34B – SP Tốn tốn hình đảo ứng dụng việc giải học, tốn quỹ tích tơi nghiên vào cứu lý thuyết phép nghịch đảo ứng dụng phép nghịch đảo để giải tốn hình học Trong khn khổ khóa luận tốt nghiệp, thời gian nghiên cứu có hạn nên tập trung khai thác ứng dụng phép nghịch đảo việc giải tốn quỹ tích Đó lý tơi lựa chọn đề tài: nghịch "phép đảo với tốn quỹ tích" 2.Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu kiến thức phép nghịch SVTH: Ngô Thị Thủy K34B – SP Tốn - Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa tập tự luyện thể việc sử dụng phép nghịch đảo vào giải toán quỹ tích 3.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: phép nghịch đảo - Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng phép nghịch đảo việc giải tốn quỹ tích mặt phẳng khơng gian 4.Phương pháp nghiên cứu -Nghiên cứu sách giáo trình, giảng chuyên đề tài liệu tham khảo có liên quan NỘI DUNG CHƯƠNG 1: PHÉP NGHỊCH ĐẢO 1.1 Các định nghĩa 1.1.1 Không gian bảo giác Không gian En ( n = 1, 2, 3) bổ sung phần tử ∞ (điểm vô cực ) gọi không gian bảo giác Bn Trong không gian bảo giác Bn đường thẳng hay mặt phẳng qua điểm ∞ 1.1.2 Phép nghịch đảo Trong không gian bảo giác Bn cho điểm O cố định số thực k Phép biến hình N : B → Bn cho: M → M' =N (M) Nếu M ≡ O M' ≡ ∞ thẳng hàng Nếu M ≡ ∞ M' ≡ O O, M, M' Nếu M ∉ {O,∞}  OM.OM ' = k N gọi phép nghịch đảo cực O , phương tích k Kí hiệu N k O N (O,k) Nhận xét: N (O,k) = Xo° N (O,-k) Xo 1.2 Các tính chất 1.2.1 Tính chất phép đối xứng tâm O Phép nghịch đảo biến hình đối hợp : N phép đồng 1.2.2 Tính chất Nếu M' ảnh M qua N (O,k) O, M, M' thẳng hàng Nếu M, O, N không thẳng hàng M', N' ảnh M, N qua N (O,k) tứ giác MM'N'N tứ giác nội tiếp 1.2.3 Tính chất Nếu phương tích nghịch đảo k > phép nghịch đảo N (O,k) có tập điểm bất động siêu cầu tâm O , bán kính k ( gọi siêu cầu nghịch đảo) Nếu phương tích nghịch đảo k < phép nghịch đảo N (O,k) khơng có điểm bất động 1.3 Các định lý 1.3.1 Định lý Phép nghịch đảo biến siêu phẳng không qua cực nghịch đảo thành siêu cầu qua cực nghịch đảo biến siêu cầu qua cực nghịch đảo thành siêu phẳng không qua cực nghịch đảo Chứng minh: Ta chứng minh E2 Việc chứng minh E3 hoàn toàn tương tự +) Phép nghịch đảo biến đường thẳng không qua cực nghịch đảo thành đường tròn qua cực nghịch đảo Giả sử E2 cho phép nghịch đảo N (O,k) d đường thẳng khơng qua O Hạ OH ⊥ d, H∈d, H' = N (H) Xét M thuộc d M' = N (M) Khi OM.OM ' =OH.OH ' = k ⇒ Tứ giác MM'N'H tứ giác nội tiếp ο ⇒ ( H'M', MM') = (H'H, MH) = 90 Do OH' cố định ⇒ M' nằm đường tròn đường khính OH ⇒ Tập hợp J cung tròn đường tròn đường kính OQ nằm đường tròn (O) Xét phép nghịch đảo N cực O, phương tích R ∆OIT 2 vuông T, JT ⊥ OI ⇒ OI.OJ = OT = R ⇒ I J hai điểm tương ứng phép nghịch đảo N Vậy tập hợp điểm I hai tia Xx, Yy vng góc với AB với X, Y giao điểm (O) đường tròn đường kính OQ Bài a Gọi H trực tâm tam giác ABC Ta có: ∆HBO đồng dạng ∆A hai tam giác CO ⇒ OB = OC OH OA hay OA.OB = OC.OH Ta ln có: OC.OH = −OA.OB = - P (O (C)) Xét phép nghịch đảo N1 cực O, phương tích k = - (C) ) H= N1(C) P (O Tập hợp điểm C đường tròn (C') ⇒ Tập hợp điểm H ảnh đường tròn (C') qua phép nghịch đảo cực O, phương tích - P (C) (O ) b Chọn (C), (C') để quỹ tích (C) Ta có: N1 (O,- P (O (C) (O (C)) )= X O° N2 (O, P (O (C)) ) = X )) Trong XO phép đối xứng tâm O Nếu quỹ tích (C) tức (C) = N1 ( C ' )  O° N2 (O, P ⇒ (C') = N1 ( C )  = XO ° N2 ( C ' )  ( C )  = XO Hay (C) (C') hai đường tròn đối xứng qua O c Quỹ tích (C'') tức ta có: (C'') = N1  ( C ')    ⇒ k=P O (C') ( ) ⇔ P (O (C')) = −P (O (C)) ⇔ P (O (C')) + P (O (C)) = Vậy để quỹ tích (C') ta phải chọn điểm O cho: P (O (C')) + P (O (C)) = Bài 8: a Gọi H chân đường vng góc hạ từ A xuống đường thẳng a Ta có HM HM ' = −HA2 - số không đổi Xét phép nghịch đảo N cực H, phương tích k = - HA Khi M, M’ hai điểm tương ứng với phép nghịch đảo N Giả sử Q = N (B) B cố định ⇒ Q điểm cố định nằm đường tròn ngoại tiếp ∆BMM ' Do HB.HQ = −HA < ⇒ B ≠ Q Vậy B cố định (BMM') ln qua điểm cố định Q khác B b Tìm tập hợp tâm (BMM') B cố định Theo chứng minh a, (BMM') qua hai điểm cố định B, Q ⇒ tập hợp tâm (BMM') đường trung trực đoạn thẳng BQ c Khi B di động b, tìm tập hợp Q Khi B di động b, Q = N (B) nên tập hợp Q ảnh đường thẳng b qua phép nghịch đảo N chọn Bài 9: Gọi H hình chiếu vng góc S (P) SH = h Xét phép nghịch đảo N cực S, phương tích k = h Với điểm M ∈(P) , M' nằm đường thẳng SM thỏa mãn SM.SM ' = h ⇒M M' hai điểm tương ứng phép nghịch đảo N : N(M) = M' Tập hợp điểm M (P) ⇒ tập hợp điểm M' ảnh mặt phẳng (P) qua phép nghịch đảo N : mặt cầu (W) xác định sau: Do S ∉ P ⇒ S ∈ (W) SH2 = h ⇒ N (H) = H SH ⊥ (P) ⇒ (W) mặt cầu đường kính SH Bài 10: Ta giải tốn hai cách sau: Cách 1: Dùng tọa độ Chọn hệ trục tọa độ cho gốc tọa độ trùng tâm O mặt cầu (W) Khi (W) có phương trình: 2 x +y +z =1 Xét phép nghịch đảo N cực O phương tích k = M = (x, y, z) ∈(W) M'∈OM OM.OM ' = ⇒ M' = N (M) Giả sử M' = (x', y', z',) ta có: y' z' x ' = = = (λ ∈□ )  x y z λ   xx '+ yy '+ zz' =  2  x + y + z =   λ(x '2 + y '2 + z '2  )= λ =  ⇔  ⇔ 2 λ (x ' + y ' +z' )=  ⇒ M' nằm mặt cầu có phương trình x '2 + y'2 + z '2 =  2 x + y + z = M thay đổi mặt cầu (W) ⇒ tập hợp điểm M' mặt trình cầu có phương x + y2 + z2 = Đây mặt cầu có tâm trùng với tâm (W), bán kính r = Cách 2: Theo giả thiết M ∈ (W) ⇒ OM = OM.OM ' = M' ∈ OM ⇒ OM' = Do O cố định ⇒ M' nằm mặt cầu tâm O bán kính Tập hợp điểm M mặt cầu (W) ⇒ tập hợp điểm M' mặt cầu tâm O bán kính Bài 11: (P) qua M cắt (O,R) theo giao tuyến đường tròn (S) tâm I ⇒ OI ⊥ (P) A ∈ OI, B ∈ (S) cho AB tiếp tuyến (O,R) ⇒ AB ⊥ OB B Như ∆ABO tam giác vuông BI ⊥ AO ⇒ OI.OA = OB = R Xét phép nghịch đảo N cực O,phương tích R A = N (I) Mặt khác, OI ⊥ (P) ⇒ OI ⊥ IM M, O cố định ⇒ Tập hợp điểm I mặt cầu đường kính OM ⇒ Tập hợp điểm A ảnh mặt cầu đường kính OM qua phép nghịch đảo N nằm (O,R) nên khơng có điểm chung với (O,R) Do tập hợp điểm A mặt phẳng khơng có điểm chung với mặt cầu đường kính OM (O,R) Bài 12: Theo giả thiết (P) cắt (O,R) theo giao tuyến đường tròn (S) tâm I ⇒ OI ⊥ (P), I, M ∈ (P) ⇒ IM ⊥ OI ⇒ Tập hợp điểm I phần mặt cầu đường kính OM nằm mặt cầu (O, R) A ∈ OI, B ∈ (S) mà AB tiếp tuyến (O,R) Xét ∆ABO : AB ⊥ OB (do AB tiếp tuyến (O,R)) ⇒ OI.OA = OB = R Xét phép nghịch đảo N cực O phương tích R ta có: A = N (I) (O,R) mặt cầu nghịch đảo phép nghịch đảo N Tập hợp A ảnh phần mặt cầu đường kính MO nằm (O,R) qua phép nghịch đảo N: Là phần mặt phẳng qua giao tuyến (O,R) mặt cầu đường kính OM trừ phần nằm mặt cầu (O,R) Bài 13: Giả sử N phép nghịch đảo thảo mãn điều kiện tốn, N có cực S, phương tích k ( S(O , R )) N biến (O , R ) thành ⇒k = P ( S (O , R )) ⇒ P ( S = P ( S(O , R )) ⇒ S (O , R ) ) Do N biến (O1, R1) thành ⇒k = P 1 nằm 2 mặt phẳng đẳng 1 2 phương (O1, R1) (O2, R2) Đây mặt phẳng qua A vuông góc với O1O2, trừ điểm A (vì ( S(O , R )) = P ( S(O , R )) ≠ ) P Bài 14: Giả sử (O1, R1 ) (O3, R3 ) ) tiếp xúc với (O , R ) A3 , ( O , R 2) tiếp xúc với A1 , (O3, R3 tiếp xúc với (O1, R1 ) A2 Theo chứng minh ta có kết quả: Tập hợp điểm S giao điểm ba mặt phẳng: + (P1) qua A1 vng góc với O2O3 + (P2) qua A2 vng góc với O1O3 + (P3) qua A3 vng góc với O1O2 Gọi d1, d2, d3 giao tuyến SVTH: Ngô Thị Thủy 75 K34B – SP Tốn (P1), (P2), (P3) với mặt phẳng (O1O2O3) d1 ⊥ O2O3 , d2 ⊥ O1O3 , d3 ⊥ O1O2 Ta chứng minh d1, d2, d3 đồng quy SVTH: Ngơ Thị Thủy 76 K34B – SP Tốn Thật vậy, gọi I giao điểm d1 d2 ( (O , R ) =I P Ta có: P ) P ( 1   (O , R ) I    3  ( I ∈d  I (O , R )  3   (O , R ) ) I∈d I 2 ) I ⇒P (O , R ) (O2 , R2 ) 1 =P Mà I ∈ ( O1O 2O3 ) ⇒ I ∈ ⇒ I ∈d = (P3 ) ∩ (O1O2O3 ) ) ( I Vậy d1, d2, d3 đồng quy I IA1 = IA2 = IA3 ⇒ I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆A1A2A3 tâm đường tròn nội tiếp tam giác O1O2O3 Vậy tập hợp điểm S đường thẳng vng góc với mặt phẳng (O1O2O3) tâm đường tròn ngoại tiếp ∆A1A2A3 KẾT LUẬN Qua q trình xem xét ví dụ tập ta có kết luận sau: Đối với tốn quỹ tích, thơng thường để giải phải chứng minh phần thuận phần đảo Trong hai phần này, việc chứng minh phần thuận dễ dàng chứng minh phần đảo thường khó khăn Tuy nhiên, nhờ tính chất đối hợp phép nghịch đảo nên giải tốn quỹ tích nhờ phép nghịch đảo phần thuận phần đảo tốn quỹ tích giải lúc Đây ưu điểm việc sử dụng phép nghịch đảo vào tốn quỹ tích Khi giải tốn quỹ tích nhờ phép nghịch đảo, điều quan trọng xuất phát từ giả thuyết tốn, từ tính chất phép nghịch đảo, ta phải lựa chọn phép nghịch đảo thích hợp, đưa toán cho trở thành toán đơn giản Do phép nghịch đảo có khả biến đường tròn thành đường thẳng, mặt cầu thành mặt phẳng nên tốn quỹ tích có liên quan đến nhiều đường tròn hay mặt cầu chuyển tốn có đường tròn, mặt cầu giải dễ dàng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]: Bùi Văn Bình, Nguyễn Văn Vạn, Giáo trình hình học sơ cấp, tập 2, ĐHSP Hà Nội 2, 1993 [2] : Bùi Văn Bình, Bài tập hình học sơ cấp, tập 1, ĐHSP Hà Nội 2, 1993 [3]: Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXBGD, 2000 [4]: Đỗ Thanh Sơn, Các phép biến hình mặt phẳng, NXBGD, 2006 [5]: Đỗ Thanh Sơn, Các phép biến hình khơng gian, NXBGD, 2006 ... định phép nghịch đảo hệ tọa Đềcác vng góc, có cực trùng với gốc tọa độ phương tích k (k ≠ 0) CHƯƠNG 2: PHÉP NGHỊCH ĐẢO VỚI BÀI TỐN QUỸ TÍCH 2.1 Bài tốn quỹ tích Bài tốn quỹ tích tốn tìm quỹ tích. .. 1.4 Phép nghịch đảo hệ tọa độ Đềcác vng góc 10 CHƯƠNG 2: PHÉP NGHỊCH ĐẢO VỚI BÀI TỐN QUỸ TÍCH 12 2.1 Bài toán quỹ tích 12 2.2 Phương pháp chung để giải tốn quỹ tích. .. chất Nếu phương tích nghịch đảo k > phép nghịch đảo N (O,k) có tập điểm bất động siêu cầu tâm O , bán kính k ( gọi siêu cầu nghịch đảo) Nếu phương tích nghịch đảo k < phép nghịch đảo N (O,k) khơng