Hàm Theta và áp dụng của nó đối với bài toán phân tích số nguyền thành tổng các bình phương

LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo tổ Giải tích bạn sinh viên khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào tận tình giúp đỡ em q trình hồn thành khóa luận tốt nghiệp Lần đầu thực công tác nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Em xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn sinh viên Hà Nội, tháng năm 2011 Tác giả Đỗ Thị Út Lộc LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, khóa luận tốt nghiệp "Hàm Theta áp dụng tốn phân tích số ngun thành tổng bình phương" hồn thành theo quan điểm riêng cá nhân tơi Trong q trình làm đề tài, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2011 Tác giả Đỗ Thị Út Lộc Mục lục Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số phức mặt phẳng phức 1.1.1 Các tính chất 1.1.2 Sự hội tụ dãy số phức 1.2 Hàm biến phức 1.2.1 Hàm liên tục 1.2.2 Hàm chỉnh hình 1.2.3 Chuỗi lũy thừa 11 1.2.4 Không điểm cực điểm 12 Chương HÀM THETA 16 2.1 Cơng thức tích hàm Theta Jacobi 16 2.2 Luật biến đổi 24 2.3 Hàm sinh 28 Chương HÀM THETA ĐỐI VỚI CÁC ĐỊNH LÝ VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG 32 3.1 Định lý tổng hai bình phương 33 3.2 Định lý bốn bình phương 41 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Bài tốn biểu diễn số ngun n thành tổng bình phương số nguyên cho trước vấn đề tiếng môn lý thuyết số Lịch sử ẩn chứa cơng trình Diophantus Thế nhưng, thực xuất từ định lý Girard Fecmat, nói số nguyên dạng 4m + tổng hai bình phương Hầu hết nhà số học ý tới vấn đề kể từ Fecmat đưa lời giải tốn chứa đựng nhiều điều thú vị xung quanh vấn đề Trở lại đơi chút lịnh sử tốn người phát điều nào? Vào dịp Noel năm 1640 (trong thư đề ngày 25.12.1640), nhà toán học vĩ đại Pier Fermat (1601-1665) gửi thông báo cho Mersenne, bạn thân Descartes “liên lạc viên” nhà bác học đương thời “Mọi số nguyên tố có số dư phép chia cho biểu diễn cách dạng tổng hai bình phương” Thời chưa có tạp chí tốn học, tin tức trao đổi qua thư kết thông thường thông báo mà không kèm theo chứng minh Gần 20 năm sau, thư gửi cho Carcavi vào khoảng tháng năm 1659, Fermat tiết lộ ý tưởng phép chứng minh định lý Ông viết ý tưởng phép chứng minh dùng phương pháp xuống thang, cho phép từ giả thiết định lý không với p = 4k + 1, suy khơng với số nhỏ cuối ta đến số 5, mà rõ ràng mâu thuẫn = 12 + 22 Những cách chứng minh Euler (1707-1783) tìm khoảng năm 1742 − 1747 Hơn nữa, để tỏ lòng kính trọng Fecmat, Euler tìm phép chứng minh dựa theo ý tưởng Fecmat Vì vậy, người ta gọi định lý định lý Fecmat − Euler Vấn đề tổng hai bình phương bốn bình phương khơng giải từ trước kỷ thứ trước công nguyên khoảng năm 1500 Nó giải đầy đủ nhờ có lý thuyết hàm Theta Jacobi Trong tốn học, hàm Theta hàm biến phức đặc biệt đóng vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực bao gồm như: lý thuyết số; lý thuyết đa tạp Abel; khơng gian modul dạng tồn phương; Bởi tầm quan trọng hàm Theta Nguyễn Văn Hào, em chọn đề tài: “Hàm Theta tốn phân tích số ngun bình phương” để hồn thành khóa luận tốt nghiệp hướng dẫn TS áp dụng thành tổng ngành Tốn Khóa luận bố cục thành ba chương Chương Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức số phức mặt phẳng phức, hàm chỉnh hình, hàm liên tục, chuỗi lũy thừa, không điểm cực điểm Chương Chương dành cho việc trình bày số kiến thức quan trọng hàm Theta Phần đầu chương, đưa cơng thức tích hàm Theta Jacobi số luật biến đổi Tiếp theo, chúng tơi xây dựng nên dãy hàm sinh nhằm mục đích phục vụ cho việc trình bày ứng dụng hàm Theta chương Chương Chúng tơi trình bày ứng dụng hàm Theta định lý tổng hai bình phương, tổng bốn bình phương Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu vấn đề hàm Theta Jacobi: định nghĩa, tính chất - Nghiên cứu ứng dụng hàm Theta định lý tổng hai bình phương, tổng bốn bình phương Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu hàm Theta - Nghiên cứu số ứng dụng hàm Theta Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, phân tích, so sánh, tổng hợp Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số phức mặt phẳng phức 1.1.1 Các tính chất Số phức số có dạng z = x + iy; với x, y ∈ R i đơn vị ảo mà i2 = −1 Ta gọi x phần thực y phần ảo, ta kí hiệu tương ứng x = Rez, y = Imz Tập hợp số phức kí hiệu C Tập hợp số phức đồng với mặt phẳng R2 phép tương ứng C→R z = x + iy ›→ (x, y) Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox trục thực, Oy trục ảo Phép cộng phép nhân số phức thực cách thơng thường phép tốn tập hợp số thực với lưu ý i2 = −1 Ta có z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2) z1.z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2 y1 y2 = (x1x2 − y1y2) + i (x1y2 + y1x2) Với số phức z = x + iy ta xác định modul số phức z , |z| = x2 + y2 Số phức liên hợp số phức z = x + iy kí hiệu z = x − iy Khơng khó khăn, ta kiểm tra Rez = z + ; Imz z − z¯ 2i = z¯ |z| = z.z¯; z z = với z ƒ= ¯ |z| Số phức khác biểu diễn dạng cực z = r.eiθ với r > 0, θ ∈ R gọi argument số phức z(argument số phức z xác định cách với sai khác bội 2π) eiθ = cos θ + i sin θ Bởi eiθ = nên r = |z| θ góc hợp chiều dương trục Ox nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ qua điểm z Cuối cùng, ta lưu ý z = r.eiθ w = s.eiϕ z.w = r.s.ei(θ+ϕ) 1.1.2 Sự hội tụ dãy số phức Dãy số phức {zn} gọi hội tụ đến số phức w ∈ C viết w = lim zn ⇔ lim |zn − w| = n→∞ Dễ dàng kiểm tra zn ⇔ w = lim n→∞ n→∞ lim n→∞ Rezn = Rew Imzn li m = Imw n→∞ Dãy số phức {zn} gọi dãy Cauchy |zn − zm| → m, n → ∞ Điều tương đương với ε > 0, tồn số nguyên dương N cho |zn − zm| < ε với n, m ≥ N 1.2 Hàm biến phức 1.2.1 Hàm liên tục Cho hàm f (z) xác định tập Ω ⊂ C Ta nói f (z) liên tục điểm z0 ∈ Ω thoả mãn hai điều kiện tương đương sau i) Với ε > 0, tồn δ > cho với z ∈ Ω |z = z0 < δ| |f (z) − f (z0)| < ε ii) Với dãy {zn} ⊂ Ω mà lim n→∞ zn = z0 f (zn) = f (z0) lim n→∞ Hàm f (z) gọi liên tục Ω liên tục điểm Ω Tổng tích hàm liên tục hàm liên tục Nếu hàm f (z) liên tục hàm xác định z ›→ |f (z)| liên tục Điều suy từ bất đẳng thức tam giác ||f (z)| − |f (z0)|| ≤ |f (z) − f (z0)| Ta nói hàm f (z) đạt giá trị cực đại z0 ∈ Ω |f (z)| ≤ |f (z0)|, với z ∈ Ω Hàm f (z) đạt cực tiểu z0 ∈ Ω |f (z)| ≥ | f (z0)|, với z ∈ Ω 1.2.2 Hàm chỉnh hình Cho hàm phức f (z) xác định tập mở Ω Hàm f (z) gọi chỉnh hình điểm z0 ∈ Ω tồn giới hạn biểu thức f (z0 + h) − f (z 0) , h → 0, h ƒ= h ∈ C với z0 + h ∈ Ω (1.1) Giới hạn ký hiệu f t(z0) gọi đạo hàm hàm f (z) điểm z0 Như vậy, ta có h)0)− fh f t (z0) = lim f (z0 + (z h→0 Hàm f gọi chỉnh hình Ω chỉnh hình điểm Ω Nếu M tập đóng C, ta nói f chỉnh hình M f chỉnh hình tập mở chứa M Hàm f chỉnh hình C gọi hàm nguyên Ví dụ 1.1 Hàm f (z) = z chỉnh hình tập mở C f t(z) = Thật vậy, ta có (z + h) − = f t (z0) = lim f (z0 + h) − f lim z h = h→0 (z0) h→0 h Từ đó, ta suy đa thức P (z) = a0 + a1z + + anzn chỉnh hình mặt phẳng C P t (z) = a1 + 2a2z + + nanzn−1 ánh xạ 1−1 Bây đặt µ (τ ) = 1/(1 − τ ), ánh xạ thành ∞ ngược lại µ−1 (τ ) = − 1/τ ánh xạ từ ∞ thành 1, ta nhận Un = µ−1Tnµ, Tn phép tịnh tiến Tn (τ ) = τ + n Như hệ quả, ta nhận UnUm = Un+m, = T2S U−1 = −1 Vì thu Un từ T2, S nghịch đảo chúng Do f bất biến theo T2 S nên bất biến theo Um Từ đó, ta suy f µ−1Tnµ (τ ) = f (τ ) Do đó, ta đặt F (τ ) = f µ−1 (τ ) = f − F tuần hồn τ theo chu kỳ 1, có nghĩa F (Tnτ ) = F (τ ) cho số nguyên n Trong lập luận trước ta đặt h(z) = F (τ ) với z = e2πiτ ta thấy h có điểm kỳ dị bỏ z = 0, kết nhận từ nguyên lý modul cực đại Để hồn thành phép chứng minh định lý hai bình phương ta thực bước cuối Ta xét hàm f (τ ) = C (τ ) θ (τ ) Từ cơng thức tích hàm θ(τ ) không triệt tiêu nửa mặt phẳng (Hệ 2.1) chỉnh hình H Hơn nữa, Mệnh đề 3.2, f bất biến biến đổi T2 S Điều có nghĩa f (τ + 2) = f (τ ) f (−1/τ ) = f (τ ) Cuối cùng, miền F hàm f (τ ) có giới hạn thực tế có xu hướng tiến tới Im (τ ) dần tới ∞, hay τ tiến tới điểm lùi ±1 Điều có tính chất (iii) (iv) Mệnh đề 3.2 xác nhận C θ2 Do đó, f bị chặn H Kết f 46 số, mà phải 1, ta chứng minh θ(τ ) = C (τ ) điều chứng tỏ định lý hai bình phương 47 3.2 Định lý bốn bình phương Trong phần chứng minh số nguyên dương tổng bốn bình phương ta xác định công thức cho r4(n) Ta giới thiệu hàm ước khác biểu thị 1bằng σ∗ (n), tổng ước n không chia hết cho Định lý 3.3 Mọi số nguyên dương tổng bốn bình phương r4 (n) = 8σ∗1 (n) với n ≥ Như phần trước, ta xét chuỗi {r4 (n)} qua hàm sinh với lũy thừa tương ứng hàm θ, trường hợp lũy thừa bậc Đó ∞ θ(τ ) = r4 (n) q n, n=0 q = eπiτ với τ ∈ H Bước ta tìm hàm modul với θ(τ ) để biểu diễn đồng thức r4 (n)1 = 8σ∗ (n) Nhưng hàm C(τ ) không đơn giản định lý hai bình phương Thay vào cần phải xây dựng biến tinh tế chuỗi Eisenstein Trong thực tế, ta định nghĩa E (τ ∗ ) = m − + n n m n mτ + n , τ ∈ H m τ Biểu thị bậc tổng tới hạn chuỗi khơng hội tụ tuyệt đối Sau ta quy định lý bốn bình phương tính chất modul E∗2 Mệnh đề 3.3 Khẳng định r4 (n) = 8σ∗ (n) tương đương với đồng thứ −1 ∗ c θ(τ ) = E (τ ) , τ ∈ H π2 Chứng minh Nó đủ để chứng minh q = eπiτ ∞ −1 ∗ k ∗ E2 (τ ) = + 8σ1 (k) q π2 k=1 Trước hết, chuỗi Eisenstent xác định F (τ ) = m n (mτ + n) Ở đây, số hạng n = m = bỏ qua Tổng không hội tụ tuyệt đối, bậc tổng xác định trước hết theo n sau theo m Với lưu ý này, định nghĩa E∗2 F đưa τ E∗ Ta chứng minh (τ ) = F − 4F (2τ ) F (τ ) = ∞ π2 − 8π2 (3.5) σ1 (k) e2πikτ , k=1 σ1 (k) tổng ước k Xét σ1∗(n) = n σ1 (n) − 4σ1(n/4) n ƒ σ1 (n) Thật vậy, n khơng chia hết cho khơng có ước n chia hết cho Nếu n = d ước n chia hết cho 4, nói d = 4d˜, d˜ 4n˜ chia hết cho n˜ Điều cho ta công thức thứ hai Do đó, từ quan sát (3.5) tìm thấy E∗ ∞ πikτ ∗ (τ ) = −π − 8π k= σ1 (k) e Do có Định lý 3.3 quy đồng thức θ4 = −π−2E∗ Và chìa khóa để thiết lập mối quan hệ E∗2 thỏa mãn tính chất modul θ(τ ) Định lý 3.4 Hàm E∗ (τ ) định nghĩa nửa mặt phẳng có tính chất i) E∗ (τ + 2) = (τ ) E∗ ii) E∗ (τ ) = −τ −2 ∗ E (−1/τ ) iii) E ∗ (τ ) → −π2 Im (τ ) → ∞ iv) |E∗ (1 − 1/τ )| = O τ 2eπiτ Im (τ ) → ∞ Hơn nữa, −π2θ4 có tính chất Tính tuần hồn (i) E∗2 suy trực tiếp từ định nghĩa Chứng minh tính chất khác E ∗2 xem xét nhiều thu từ nghịch Xét chuỗi Eisenstent F nghịch đảo F˜ đảo bậc tổng F (τ ) = m n) n (mτ + F˜ (τ ) = m n (mτ + n) Cả hai trường hợp, không xét n = m = thỏa mãn Bổ đề 3.2 Hàm F F˜ a) F (−1/τ ) = τ F˜ (τ ) b) F (τ ) − F˜ (τ ) = 2πi/τ c) F (−1/τ ) = τ 2F (τ ) − 2πiτ Chứng minh Tính chất (a) suy trực tiếp từ định nghĩa hàm đồng thức F˜ n+m F, − τ =τ −2 (−m + nτ ) Chứng minh tính chất (b), ta gọi phương trình hàm cho hàm Dedekind Eta thành lập trước η−1 = ητ (τ ) , τ i Q ∞ η (τ ) = q1/12 n=1 − q2n q = eπiτ tlogarit Trước tiên, lấy đạo hàm η biến τ ta nhận ∞ τ nq2n πi (τ ) = − 2πi 2n τ 12 1−q n=1 Hơn nữa, σ1(k) tổng ước k ∞ ∞ nq2n − q2n ∞ = n=1 nq l=0 ∞ ∞ n=1 = = 2ln q n=1 m=1 ∞ 2n nq2nm σ1 (k) q 2k k=1 Sử dụng hệ thức F (τ ) π2 − 8π2 = ∞ σ1 (k) q2k k=1 ta tìm (ηt/η) (τ ) = i F (τ ) 4π Bằng qui tắc dây xích, đạo hàm logarit η (−1/τ ) τ −2 (ηt/η) (−1/τ ), sử dụng tính chất (a), ta suy đạo hàm logarit η (−1/τ ) i F˜ (τ ) Do đó, lấy đạo hàm logarit phương trình hàm cho η ta 4π i ˜ i F1 (τ ) + F (τ ) = 4π Vì 2τ π F˜ (τ ) = −2πi/τ + F (τ ) Cuối cùng, (c) hệ (a) (b) Để chứng minh công thức biến đổi (ii) cho E∗2 vớ i τ → −1/τ , ta bắt đầu E τ) =F ∗ ( Do E ∗ − = τ F − τ − − 4F 2τ 4F (2τ ) τ = 4τ F (2τ ) − 4πiτ = 4τ F (2τ ) −2 τ = −τ F F τ −4 τ F τ − πiτ τ − 4F (2τ ) = −τ 22E ∗ (τ ) Để chứng minh tính chất thứ ta gọi F (τ ) = ∞ π2 − 8π2 σ1 (k) e2πikτ , k=1 tổng dần tới Im (τ ) → ∞ Tiếp theo, sử dụng công thức ) = F τ − 4F (2τ ) , E ∗ suy E (τ ) → −π2 Im (τ ) → ∞ Để chứng minh tính chất cuối cùng, ta sử dụng công thức biến đổi ∗ τ − τ E − = τ − F 2 ∗(τ τ F Từ công thức biến đổi cho F , ta có τ − F 1− = F = 2τ 2τ (3.6) 2τ F τ − 2τ 1−τ − 2πi τ 2τ 1− F F 2τ −2 + = 1−τ 1−τ Do 1 F − = τ F =F − τ τ −1 1− − − τ = 2πi τ F 2 τ −1 τ − (2τ ) 2πi2 − τ1 (τ − − τ 2πi − 2 1) 2τ Mặt khác, τ = F −2 = F − τ nên E ∗ − = F τ τ − =τ τ − 2πi τ − 4F −2 F2τ 2F τ −F − 2πi + 4πiτ + τ −1 τ 2τ 1−τ 2τ τ−1 = τ F τ τ −1 − 2F Điều chứng minh (3.6) Tính chất cuối suy từ công thức F (τ ) = ∞ π2 − 8π2 σ1 (k) e2πikτ k=1 Định lý bốn bình phương chứng minh, cách xét thương số f (τ ) = 2E∗ (τ ),θ(τ ) áp dụng Định lý 3.2 định lý hai bình phương Trong ta cần đến kết sau 4 θ(τ ) → θ(1 − 1/τ ) ∼ 16τ 2eπiτ Im(τ ) → ∞ Từ đó, ta nhận f (τ ) số −π2 Định lý bốn bình phương chứng minh hoàn toàn KẾT LUẬN Trên tồn nội dung khóa luận: “Hàm Theta áp dụng định lý tổng bình phương” Khóa luận giải vấn đề sau Hệ thống hóa kiến thức số phức mặt phẳng phức, hàm liên tục, hàm chỉnh hình, chuỗi lũy thừa, khơng điểm cực điểm Trình bày kiến thức lý thuyết hàm Theta; cơng thức tích hàm Theta, luật biến đổi dãy hàm sinh Trình bày ứng dụng hàm Theta giải tốn định lý tổng hai bình phương, tổng bốn bình phương Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2006), Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Thủy Thanh (2006), Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] L V Ahlfor (1979), Complex analysis, New York, third edition [4] Elias M Stein and Rami Shakarchi (2003), Complex analysis, Princeton University Press ... ứng dụng hàm Theta định lý tổng hai bình phương, tổng bốn bình phương 3 Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu hàm Theta - Nghiên cứu số ứng dụng hàm Theta Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, phân tích, ... 24 2.3 Hàm sinh 28 Chương HÀM THETA ĐỐI VỚI CÁC ĐỊNH LÝ VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG 32 3.1 Định lý tổng hai bình phương 33 3.2 Định lý bốn bình phương 41... trình bày ứng dụng hàm Theta chương Chương Chúng tơi trình bày ứng dụng hàm Theta định lý tổng hai bình phương, tổng bốn bình phương Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu vấn đề hàm Theta Jacobi: